FORTE CENTRALE . PROPRIETATI GENERALE ALE MISCARII UNUI PUNCT MATERIAL IN CAMP CENTRAL

FORTE CENTRALE PROPRIETATI GENERALE ALE MISCARII UNUI PUNCT MATERIAL IN CAMP CENTRAL

Definitia miscarii in camp central . Exemple de forte centrale

Daca asupra unui punct material se exercita forta a carei dependenta de pozitie este de tipul:

(1.1)

unde este vectorul pozitiei punctului material fata de un centru fix C, spunem ca particula respectiva se misca intr-un camp de forte centrale (sau camp central de forte). Astfel, putem defini fortele centrale prin proprietatea ca marimea fiecareia este determinata numai de distanta de la punctul material la un punct fix C (centrul fortelor) iar suportul ei este dreapta care uneste acest centru cu particula. In relatia (1.1) functia f(r) ne da atat modulul fortei, cat si sensul acesteia: in sensul centru - particula (forte de respingere) daca f > 0 sau in sensul particula - centru (forte de atractie ) daca f<0.

Exemple bine cunoscute:

a)Fortele gravitationale newtoniene care actioneaza asupra unui punct material de masa m din partea unui corp de masa M considerat punctiform si presupus fix in punctul C:

; . (1.2)

b)Fortele gravitationale newtoniene care se exercita asupra punctului material m in prezenta unei sfere fixe de raza R cu centrul in C avand masa M omogen distribuita in volum:

,

(1.3)

,

unde este, de asemenea, raza vectoare fata de C. Mai general, daca distributia masei in volumul sferei considerate mai sus este data de o densitate dependenta numai de distanta r de la centrul sferei, fortele care se exercita asupra punctului material m sunt, de asemenea, centrale.

c)Fortele electrice coulombiene de forma:

; (1.4)

care se exercita asupra sarcinii electrice punctiforme q din partea unei sarcini punctiforme Q presupusa fixa. Analogul electrostatic al cazului (b) poate fi usor definit, avand in acest caz:

,

(1.5)

, .

d)Fortele elastice de orice natura de forma:

.      (1.6)

1.2 Proprietati generale

Fortele centrale independente de timp sunt, in general, conservative: cu ipoteze destul de generale privind integrabilitatea functiei f(r ), din relatia de definitie (1.1) se poate introduce o functie U(r ) (energia potentiala a punctului material in campul dat ) astfel ca

(1.7)

adica

, (1.8)

Aceste relatii pot fi verificate direct exprimand gradientul lui U in coordonate cartziene :

si avand in vedere ca

etc.

Energia potentiala U(r ) este determinata, dandu-se f(r ), pana la o constanta aditiva arbitrara. Alegand aceasta constanta astfel ca U(r₀)=0 avem

.      (1.9)

Miscarile care se efectueaza in campuri centrale se caracterizeaza print-o serie de proprietati care se exprima ca teoreme generale referitoare la tipul de miscare studiat si care reprezinta consecinte directe ale teoremelor generale din mecanica:

T₁) Energia mecanica a particulei in camp central definita prin suma dintre energia cinetica E_c si energia potentiala U in campul dat,

E=E_c+U (1.10)

se conserva adica este constanta in tot timpul miscarii.

T₂) Momentul cinetic al particulei fata de centrul C al fortelor se conserva.

T₃) Traiectoria miscarii unui corp intr-un camp de forte centrale este plana, miscarea efectuandu-se intr-un plan fix care trece prin centrul fortelor.

T₄)Viteza areolara a miscarii in camp central este constanta : raza vectoare a punctului material, dusa de la centrul fortelor, matura arii egale in intervale de timp egale.

Prima teorema (T₁) nu reprezinta altceva decat rezultatul aplicarii la cazul particular al miscarii in camp central a teoremei conservarii energiei unei particule care se misca intr-un camp de forte conservativ.

Pentru demonstrarea conservarii momentului cinetic (T₂) plecam de la definitia momentului cinetic al punctului material de masa m si viteza , deci de impuls , calculat in raport cu centrul C al fortelor,

. (1.11)

Derivand in aceasta relatie ambii membri in raport cu timpul,

,

obtinem teorema momentului cinetic pentru un punct material unde este momentul in raport cu acelasi punct C al fortei care se exercita asupra corpului considerat. In cazul fortei centrale

astfel ca

,      (1.12)

momentul cinetic al punctului material in raport cu centrul fortelor fiind, intr-adevar, constant (T₂).

Cea de-a treia teorema (T₃) este consecinta directa a precedentei. Produsul vectorial fiind constant in virtutea ecuatiei (1.12) rezulta ca atat raza vectoare cat si viteza sunt permanent perpendiculare pe directia fixa definita de momentul cinetic , . Deci orice punct al traiectoriei pe care se misca particula apartine planului perpendicular pe si trecand prin centrul C al fortelor.

Transcrierea ecuatiei de conservare (1.12) sub o forma adecvata studiului miscarii studiate se realizeaza prin alegerea unui sistem convenabil de coordonate. Miscarea fiind plana iar planul miscarii trecand prin centrul C si fiind permanent perpendicular pe directia fixa definita de momentul cinetic , este natural sa ne referim, in primul rand, la un sistem de axe carteziene ortogonale cu originea in centrul C al fortelor si cu axa C_z in directia si sensul definite de (vezi figura 1.1) avand deci urmatoarele componente ale momentului cinetic pe aceste axe :

, . (1.13)

Introducand coordonatele polare (r,φ)      in planul C_xy al miscarii scriem relatiile dintre acestea si coordonatele carteziene ale punctului material : , in care atat r cat si φ sunt functii de timp, componentele vitezei fiind date de relatiile:

(1.14)

unde notam cu punct derivata in raport cu timpul.

Exprimand cu ajutorul ultimelor relatii componenta L_z (singura nenula) obtinem (figura 1.1)

(1.15)

iar teorema conservarii momentului cinetic va fi exprimata prin ecuatia

      (1.16)

Din relatia (1.15) intre momentul cinetic constant L, distanta r si viteza unghiulara rezulta, in particular, ca pentru miscarile caracterizate prin si viteza unghilara nu se poate anula si mai mult, este permanent pozitiva (>0) . Aceasta inseamna ca unghiul φ este functie monoton crescatoare cu timpul; urmarind punctul material in miscarea sa pe traiectorie, aceasta din urma este parcursa intr-un singur sens si anume, privind planul miscarii dinspre partea pozitiva a axei z -sensul de miscare este cel trigonometric. Exceptii de la aceasta regula apar in situatiile in care L=0 particula trecand prin centrul fortelor. In continuare, in cazul in care nu mentionam contrariul, vom considera numai miscarile cu .

Teorema ariilor (T₄) este consecinta ecuatiei (1.16). Considerand pozitia de vector a particulei la un moment initial t₀ sa notam aria maturata de raza vectoare a particulei in miscarea acesteia pe traiectorie in intervalul de timp dintre t₀ si un moment oarecare t > t₀. Pentru momentul t si un moment ulterior t dt razele vectoare corespunzatoare ,respectiv impreuna cu portiunea parcursa intre aceste doua momente delimiteaza suprafata infinitezimala de arie dA data de relatia

de unde rezulta ca derivata fata de timp a ariei este

constant,      (1.17)

deci, intr-adevar, viteza areolara este constanta - proprietate cunoscuta in cazul miscarii planetelor in legea a doua a lui Kepler.

Relatia (1.10) care exprima conservarea energiei poate fi transcrisa in coordonate polare introducand expresia patratului vitezei

      (1.18)

si obtinand

constant. (1.10')

Tinand seama de relatia (1.15) scriem impreuna cele doua ecuatii care exprima conservarea momentului cinetic sub forma

constant , (a)

(1.19)

constanta (b)

ecuatii care pun in evidenta doua constante ale miscarii (sau integrale prime ale ecuatiilor miscarii ) exprimate in coordonate polare. Ultimele ecuatii pot fi puse la baza studiului miscarii in camp central reprezentand avantajul ca din acestea rezulta usor unele concluzii cu caracter general.

Inainte de a trece la analiza ecuatiilor (1.19) si la stabilirea solutiilor ecuatiilor in diferite campuri particulare, vom arata cum pot fi stabilite direct aceste relatii pe baza ecuatiilor fundamentale ale mecanicii. In acest scop vom scrie legea fundamentala a dinamicii newtoniene pentru punctul material in camp central

proiectata pe cele doua axe C_x si C_y din planul miscarii si transcrisa in coordonate polare,

(a)

(1.20)

(b)

Inmultind ambii membri ai ecuatiei (1.20,a) cu si cei ai ecuatiei (1.20,b) cu si luand diferenta membru cu membru a celor doua ecuatii obtinute rezulta

sau, cu adica ecuatia (1.16). Inmultind ecuatia (1.20,a) cu si ecuatia (1.20,b) cu si considerand suma, obtinem ecuatia pentru coordonata radiala pe care o trascriem sub forma

. (1.21)

Conservarea energiei pentru miscarea in camp central poate fi stabilita si direct pe baza ecuatiei (1.21): folosind ecuatia (1.8) ecuatia (1.21) poate fi scrisa sub forma

. (1.21')

Inmultind aceasta ecuatie cu , membrul din stanga poate fi scris

     

iar membrul din dreapta se poate scrie ca derivata totala in raport cu timpul a unei functii:

adica ecuatia (1.21') conduce la

deci la constanta miscarii pusa in evidenta prin relatia (1.19,b).

Ecuatia de miscare sub forma (1.21) sau (1.21') determina evolutia in timp a distantei de la centrul fortelor la particula. Se remarca identitatea dintre descrierea evolutiei acestei distante si descrierea miscarii unidimensionale a unei particule de masa m intr-un camp de forte caracterizat prin energia potentiala efectiva

, (1.22)

echivalenta ce rezulta din forma (1.21') a ecuatiei miscarii radiale. Termenul adaugat la in definitia lui este un termen " repulsiv " centrifugal caruia in ecuatia (1.21 ) ii corespunde expresia cunoscuta a _" fortei centrifuge "

Retinand aceste observatii sa trecem la integrarea ecuatiilor miscarii care se pot realiza plecand de la ecuatiile (1.19). Astfel, din ecuatia (1.19,b) rezulta

      (1.23)

sau, separand variabilele r si t si integrand,

      (1.24)

Daca scriem ecuatia (1.19,a) sub forma

integrarea este imediata obtinand

. (1.25)

In principiu, odata cu stabilirea rezultatelor (1.24) si (1.25) problema miscarii in camp central este rezolvata: din eliminarea variabilei r din relatiile (1.24) si (1.25) se obtine dependenta de timp a variabilei unghiulare iar prin eliminarea lui se obtine dependenta de t a variabilei radiale r adica, in final, caracterizarea completa a miscarii punctului material. Practic, insa, integralele din ecuatiile (1.24) si (1.25) nu conduc,de obicei, la functii elementare cu exceptia unor campuri particulare.

Sa vedem ce se poate afirma - in plus fata de proprietatilegenerale stabilite mai sus - referitor la miscarea studiata pe baza acestor ultime rezultate.

Ecuatia (1.19,b) -de conservare a energiei - permite sa facem precizari privind limitele in care poate varia distanta r, pentru energie E si moment L date, in functie de forma functiei . Daca scriem ecuatia (1.19,b) sub forma

      (1.26)

aceasta este relatia care corespunde exprimarii energiei cinetice in miscarea unidimensionala a carei descriere este identica cu descrierea miscarii radiale in camp central. Termenul cinetic radial este definit pozitiv si, in consecinta, coordonata r nu poate sa ia decat valori pentru care membrul din dreapta este pozitiv sau nul adica,

. (1.27)

Valorile lui r pentru care

      (1.27')

definesc extremitati ale intervalelor de valori permise in timpul miscarii pentru distanta de la centrul fortelor. Derivata se anuleaza pentru valorile lui r care sunt radacini ale ecuatiei (1.27') dar aceasta nu inseamna ca viteza particulei se anuleaza deoarece ; la momentul in care are loc egalitatea functia isi schimba caracterul din crescatoare in descrescatoare sau invers: daca imediat inainte de momentul respectiv particula se indeparta de centru, imediat dupa acest moment particula se va apropia de centru si invers. Punctul in care este, prin definitie, un punct _" de intoarcere '' al traiectoriei.

In functie de intervalele definite prin ecuatia (1.27 ) si valoarea a distantei la un moment oarecare t₀ din timpul miscarii, putem trage concluzii cu privire la forma traiectoriei. Astfel, daca r_min este o radacina pozitiva a ecuatiei (1.27 ) si toate valorile lui r intre r_min si infinit sunt permise (verifica inegalitatea (1.27) ), si daca atunci miscarea particulei este nelimitata: particula poate sa vina de la infinit,sa se apropie de centrul fortelor pana la distanta r_min si apoi sa se indeparteze spre infinit. Daca r_min si r_max sunt doua radacini distincte (r_min < r_max) si pozitive ale ecuatiei (1.27 )iar in intervalul dintre acestea , , este verificata inegalitate (1.27) si de asemenea r₀ se afla in acest interval, atunci miscarea particulei este limitata: intreaga traiectorie a miscarii este continuta in regiunea din planul miscarii delimitata de cercurile de raze r_min si r_max adica intr-o coroana circulara. Oricare dintre punctele in care particula se afla la distanta minima r_min de centrul fortelor (pentru o traiectorie marginita sau nu) se numeste un _" pericentru al miscarii (periheliu - in cazul miscarii planetelor) si corespunzator lui r_max (numai pentru miscari limitate) - un _" apocentru " (afeliu).

In cazul traiectoriei marginite, aceasta poate sa fie o curba inchisa sau o curba care nu se inchide, particula, in acest din urma caz, trecand, intr-un interval de timp infinit, oricat de aproape de orice punct de coroana circulara definita mai sus. Pentru a stabili conditia generala de inchidere a traiectoriei sa revenim la ralatia (1.25) care defineste unghiul polar in functie de distanta r la centru. Pentru a fixa constanta din aceasta relatie sa presupunem ca la momentul t=0 particula se afla intr-un punct P la distanta r_min de centrul fortelor si sa luam ca semiaxa C_x semidreapta determinata de centrul C si acest punct. Urmarind particula pe traiectoria ei in miscarea ulterioara (t>0), inainte de a realiza distanta r_max , relatia (1.25) se va scrie:

.      (1.25

Prima data (dupa momentul t=0) particula va trece printr-un punct pentru care r=r_max (apocentru) la momentul t₁(r_max) dat de

.     

Particula va fi din nou situata la distanta minima de centru la momentul t₁(r_min) dat de relatia

si asa mai departe. Se observa ca in intervalul de timp in care particula parcurge portiunea de traiectorie de la pericentru la apocentru este acelasi, , cu timpul in care revine la distanta minima (nu pe acelasi drum). Se vede de asemenea ca distanta marginita se caracterizeaza in general printr-o periodicitate a variabilei r.

Caracterul inchis sau deschis al traiectoriei poate fi stabilit pe baza ultimelor relatii. Unghiul pe care il matura raza vectoare intr-un interval de timp T₀=2in care particula realizeaza doua apropieri succesive la distanta r_min de centrul C este

      (1.28)

Daca dupa un numar n de realizari succesive a distantei minime valoarea unghiului maturat de raza vectoare, adica , este un numar intreg de ,

(1.29)

atunci traiectoria este inchisa si particula efectueaza o miscare care se caracterizeaza prin perioada T=nT₀. Daca nu exista o astfel de pereche de numere (n,m), care sa verifice ecuatia (1.29), traiectoria nu se inchide. Relatia (1.29) reprezinta deci conditia de inchidere a traiectoriei revenind la aceea ca dat de (1.28) sa fie o fractie rationala de ,adica

(1.29

unde m si n sunt numere intregi.

Mentionam posibilitatea de a demonstra o teorema (teorema Bertrand) conform careia conditia (1.29) este indeplinita pentru orice miscare marginita numai in cazul a doua campuri centrale si anume, in cazul campului in care energia potentiala a particulei este de forma si in cazul in care (k>0) .

Pentru a ilustra cele de mai sus sa cosideram un punct material intr-un camp de forte invers proportionale cu patratul distantei,

(1.30)

Energia potentiala efectiva este     

(1.31) E₁

in figura 1.2 sunt reprezentate cu linii punctate r₂ r_c r₃ U_ef(r)

energia potentiala U(r) si termenul centrifugal      r

L²/2mr² iar cu linie plina energia potentiala      r₁

efectiva. Din aceasta figura se observa mai E₂

multe tipuri distincte de miscari de moment E₃

cinetic dat:      U(r)

Daca energia particulei este diferenta E₁ - U_ef (r) este pozitiva pentru toate valorile r>r₁ ; in acest caz distanta la centrul fortelor nu este limitata superior ci numai inferior, avand r_min= r_1. . Traiectoria particulei venind de la infinit este intoarsa intr-un punct de pe cercul de raza r₁ plecand din nou catre infinit. Miscarea este nemarginita.

2) Daca energia totala este E₂ verificand

inegalitatile E₃ < E₂ <0 unde E₃ este ordonata

punctului de minim al functiei , valorile

E permise pentru r sunt numai cele din intervalul

U_ef(r) (vezi figura 1.2). Miscarea particulei este

limitata inferior de r_min=r₂ si superior de r_max=r₃.

In cazul campului de forte (1.30) asa cum vom

vedea mai jos, traiectoria corespunzatoare este o

U(r) curba inchisa. Reprezentari grafice asemanatoare

r corespund si altor campuri care nu mai verifica

Fig 1.3 insa conditia de inchidere pentru toate miscarile

.finite.

3) Consideram separat valoarea E₃ a energiei pentru care exista o singura valoare r=r_c permisa. In acest caz miscarea este tot finita si se efectueaza pe cercul de raza r_c cu centrul in centrul fortelor. In acest caz pentru orice moment t si din ecuatiile miscarii (1.21) impreuna cu ecuatia (1.19,a) rezulta

care este conditia cunoscuta pentru miscarea pe orbita circulara si anume, de egalitate intre forta activa de atractie spre centru si forta centrifuga ".

Evident ,pentru valoarea L data a momentului cinetic,valorile E<E₃ ale energiei nu sunt realizabile.

In cazul unui camp de forte de respingere care verifica legea proportionalitatii cu inversul patratului distantei,

     

graficul functiei U_ef(r) este reprezentat in figura 1.3. In acest caz sunt permise numai valori pozitive ale energiei particulei. Miscarea particulei este nelimitata.

Un alt camp de forte centrale in care traiectroria finita este inchisa - este cel al fortelor de atractie direct proportionale cu distanta,

(1.32)

In cazul graficul functiei U_ef(r) este dat de figura 1.4,a. Se observa ca sunt realizabile numai valori pozitive ale energiei E limitate inferior de o anumita valoare poizitiva E₀>0. miscarea este finita si studiul acesteia revine la studiul compunerii a doua miscari oscilatorii liniare pe directii perpendiculare si de aceeasi frecventa. In cazul L=0 (figura 4.4,b) toate valorile sunt realizabile iar miscarea particulei degenereaza intr-o miscare oscilatorie pe o dreapta ce trece prin centrul fortelor

U U_ef

L=0

E E

U

r_min r_max r r

In incheierea acestui paragraf vom stabili ecuatia diferentiala a traiectoriei miscarii in camp central (ecuatia Binet). Aceasta se obtine direct din ecuatia miscarii radiale (1.21) in care se pune in evidenta functia avand urmatoarele relatii pentru derivatele in raport cu timpul:

unde inlocuind pe din relatia (1.19,a),

.

Mai departe,

astfel ca ecuatia (1.21) se va scrie sub forma

      (1.33)

care este tocmai ecuatia diferentiala a traiectoriei cunoscuta sub numele de ecuatia lui Binet.