FIZICA STATISTICA CLASICA

FIZICA STATISTICA CLASICA

A. Breviar teoretic

1. Problema fundamentala a fizicii statistice

Se considera un sistem termodinamic format din N particule.

Macrostarea sistemului este determinata de parametrii de stare macroscopici. Starea sistemului de particule, specificata de ansamblul celor 2f (=6N, in cazul in care particulele sunt considerate libere variabile canonice (q,p) se numeste microstare. Ansamblul de microstari compatibile cu o macrostare data, constituie un colectiv virtual sau un ansamblu statistic dintre toate microstarile acestui ansamblu se realizeaza numai una, microstarea reala

Microstarea unui ansamblu statistic se reprezinta in spatiul fazelor (G sau spatiul lui Gibbs printr-un punct reprezentativ coordonatele microstarii in spatiul Gibbs (2f dimensional) sunt variabilele canonice (q_i,p_i), cu .

Evolutia ansamblului statistic trecerea de la o stare de echilibru statistic la o alta stare de echilibru statistic este reprezentata prin traiectoria punctului reprezentativ in spatiul fazelor.

Probabilitatea ca sistemul termodinamic sa fie caracterizat de o microstare localizata in interiorul elementului de volum dW, acesta fiind:

reprezinta probabilitatea de localizare a microstarii si are expresia:

(2)

unde este densitatea de probabilitate de localizare sau functia de repartitie statistica.

Aceasta marime satisface conditia de normare

Problema fundamentala a fizicii statistice o constituie cunoasterea functiei de repartitie, functie ce caracterizeaza o anumita clasa de sisteme termodinamice.

Cunoasterea functiei de repartitie statistica permite

determinarea valorilor medii ale marimilor de stare microscopica;

evaluarea fluctuatiilor marimilor de stare microscopica fata de valorile medii ale acestora.

2. Postulatele fundamentale ale fizicii statistice

Postulatul I (al evolutiei sistemului fizic)

Miscarea unui sistem fizic alcatuit dintr-un numar N de particule, cu f grade de libertate, satisface ecuatiile canonice (Hamilton):

Postulatul II (al mediei marimilor de stare microscopica)

Valorile marimilor de stare macroscopica se obtin prin medierea marimilor de stare microscopica. Gibbs a aratat ca media temporala poate fi inlocuita prin media statistica ipoteza ergodica adica:

sau

(6)

iar

(7)

Postulatul III (al probabilitatilor apriori egale)

Daca se considera un sistem izolat, aflat la echilibru statistic, diferitele zone accesibile de acelasi volum din spatiul fazelor au probabilitati apriori egale.

Postulatul IV (al probabilitatiilor maxime)

Starea de echilibru statistic a unui sistem termodinamic este starea cea mai probabila functia de repartitie statistica admite in acest caz un maxim.

Postulatul V (al dependentei liniare a probabilitatii)

Postulatul VI (al independentei statistice)

Daca se considera un sistem termodinamic alcatuit din mai multe subsisteme ce interactioneaza slab intre ele, atunci probabilitatile de realizare ale microstarilor pentru aceste subsisteme sunt independente statistic in aceste conditii este indeplinita teorema de multiplicare a probabilitatilor.

3. Functia de repartitie statistica. Tipuri de repartitii statistice

Functia de repartitie statistica nu depinde explicit de timp.

La echilibru statistic      

Repartitia microcanonica este satisfacuta in cazul sistemelor izolate (care nu fac schimb de energie si de particule cu mediul ambiant).

unde:

, iar: (10)

(11)

reprezinta functia Dirac.

C este constanta de normare si are valoarea

(12)

Repartitia canonica este satisfacuta in cazul sistemelor inchise (care fac schimb de energie, dar nu si de particule cu mediul ambiant).

(13)

unde k=1,3810 J/K, T este temperatura termodinamica, iar C este constanta de normare

Z se numeste functie de partitie sau suma de stare.

Valoarea medie statistica a unei marimi de stare microscopica A este in cazul utilizarii repartitiei canonice:

Repartitia macrocanonica este satisfacuta in cazul sistemelor deschise (care fac schimb de energie si de particule cu mediul ambiant).

unde m este potentialul chimic, Z_M este suma de stare, iar N este numarul total de particule.

(17)

4. Repartitia Maxwell-Boltzmann. Repartitiile Maxwell si Boltzmann

4.1 Repartitia Maxwell-Boltzmann

Este indeplinita pentru un sistem de N particule identice, discernabile si care nu interactioneaza intre ele. Un astfel de sistem il constituie gazul ideal. Functia de repartitie Maxwell-Boltzmann are expresia:

Aceasta expresie a fost obtinuta din repartitia canonica, calculandu-se probabilitatea ca o particula a sistemului sa aiba coordonatele si componentele vitezei , , , indiferent de valorile pe care le pot avea coordonatele si componentele vitezei pentru celelalte (N-1) particule. U(x,y,z) este energia potentiala a campului de forte externe care actioneaza asupra sistemului. C_M-B reprezinta constanta de normare si se calculeaza din conditia de normare.

4.2 Repartitia Maxwell

Repartitia Maxwell dupa componentele vitezei

Probabilitatea ca o molecula a gazului ideal care satisface repartitia Maxwell-Boltzmann sa aiba componentele vitezei:

, ,

indiferent de valorile coordonatelor sale, x, y si z, va avea expresia:

reprezinta repartitia (functia de repartitie statistica) Maxwell dupa componentele vitezei.

Repartitia Maxwell dupa modulul vitezei

Probabilitatea ca o molecula a gazului ideal, care satisface repartitiei Maxwell (gaz Maxwell sa aiba modulul vitezei , indiferent de directia vitezei, are expresia:

( 20)

reprezinta repartitia Maxwell dupa modulul vitezei.

In diferite aplicatii ale gazului Maxwell se utilizeaza integralele Poisson de tipul:

(21)

sau cele de tipul:

(22)

Vitezele moleculare (ale unui gaz ideal) pot fi considerate drept aplicatii ale repartitiei Maxwell dupa modulul vitezei

viteza cea mai probabila

unde m este mase unei molecule de gaz, iar m este masa molara

viteza termica

viteza medie

4.3 Repartitia Boltzmann

Se considera un gaz ideal aflat intr-un camp de forte externe, sistem care satisface repartitia Maxwell-Boltzmann. Probabilitatea ca o molecula sa aiba coordonatele , indiferent de valorile componentelor vitezei, v_x, v_y si v_z, are expresia:

(26)

In relatia (VIII.26) C_B este constanta de normare (se calculeaza din conditia de normare), U(x,y,z) reprezinta energia potentiala a campului de forte externe; P_B este repartitia Boltzmann (functia de repartitie statistica), iar dV=dxdydz este elementul de volum.

O aplicatie a repartitiei Boltzmann este formula barometrica care indica concentratia moleculelor de gaz in atmosfera:

(27)

unde n este concentratia moleculelor la cota z, iar n₀ este concentratia moleculelor la cota zero (z=0).

Formula barometrica poate fi pusa sub forma:

(28)

unde si p₀ sunt presiunile gazului ideal la cota z, respectiv cota zero.