MISCAREA DE ROTATIE A SOLIDULUI RIGID

MISCAREA DE ROTATIE A SOLIDULUI RIGID

Un corp are o miscare de rotatie, daca o dreapta care-i apartine ramane fixa in spatiu; aceasta dreapta se numeste axa de rotatie. Fixarea axei se face prin "legaturile solidului cu axa fixa". Ex.: miscarea usii.

Sistemele de axe se aleg convenabil (vezi fig. 1), triedrul fix reprezentand pozitia initiala a sistemului mobil, acesta din urma rotindu-se dupa un timp cu unghiul de rotatie proprie j

y q

Miscarea rigidului este complet definita daca se cunoaste functia scalara: j j (t)

numita ECUATIA miscarII de rotatie.

Variind numai un unghi Euler, un punct oarecare din solid descrie un cerc situat intr-un plan

perpendicular pe axa de rotatie si cu centrul pe aceasta axa (asa cum s-a aratat la 3.3).

1. Distributia vitezelor

In formulele de la miscarea generala se fac particularizarile (evidente in fig. 1):

x_O = y_O = z_O = 0 y q ,

(2)

cu consecinta: (3)

Din (23) rezulta:

si , (4)

adica si sunt vectori situati pe axa de rotatie, avand marimea, respectiv.

Relatia (33) devine:

, (5)

cu expresia analitica: , adica

(6)

si modulul: (din triunghiul OP'P).

Deci v_P=w d , unde d este lungimea perpendicularei (distanta) din P la axa de rotatie.

Din figura 1 se observa legatura dintre vectorul(de la miscarea de rotatie a rigidului) si scalarul w (de la miscarea circulara a punctului P - din vederea de mai jos).

Proprietati ale distributiei de viteza

a)- Singurele puncte de viteza nula sunt cele ce apartin axei de rotatie: v_p = w d = 0 d = 0

b)- Vitezele sunt continute in plane perpendiculare pe axa de rotatie; aceasta rezulta din (6),

observand ca v_z = 0.

c)- Punctele situate pe o dreapta (D) paralela cu axa de rotatie (fig. 2) au aceeasi viteza,

deoarece punctele de pe dreapta au aceleasi coordonate x si y, numai cota z fiind variabila; cu aceasta observatie, din relatia (6) rezulta ca vitezele tuturor punctelor de pe dreapta paralela au aceleasi proiectii, deci sunt vectori paraleli si egali.

d)- Pe o dreapta (D) perpendiculara pe axa de rotatie si concurenta cu ea (fig. 2), vectorul viteza variaza liniar; din fig. 2 se observa: v_M = w OM = w x , ceea ce demonstreaza proprietatea enuntata. Varfurile vitezelor sunt pe dreapta varfurilor.

Variind pozitiile dreptelor (D) si (D) din fig. 2 astfel ca sa fie baleiate toate punctele corpului cu axa de rotatie Oz, se obtine o imagine spatiala a distributiei vitezelor.

2. Distributia acceleratiilor

; (7)

vectori reprezentati in fig. 3. Se mai poate scrie:

; a _p = = d

. (8)

Expresii analitice:

;

(9)

Proprietati ale distributiei acceleratiilor

a) Singurele puncte de acceleratie nula sunt cele apartinand axei de rotatie:

a_p = d d = 0

b) Acceleratiile sunt continute in plane normale la axa de rotatie, asa cum rezulta din (9), observand ca a_z = 0.

c) Punctele situate pe o dreapta (S) paralela la axa de rotatie au aceeasi acceleratie, deoarece aceste puncte au aceleasi coordonate x si y, numai z fiind variabil; cu aceasta observatie, din relatia (9) rezulta ca acceleratiile tuturor punctelor de pe dreapta paralela au aceleasi proiectii, deci sunt vectori paraleli si egali (fig. 4).

Daca = 0 (deci = const.), miscarea de rotatie se numeste uniforma.

Daca = const., miscarea de rotatie este uniform variata:

- accelerata ( si au acelasi sens);

- incetinita (siau sensuri contrare).

Legile miscarii de rotatie uniform variate:

j j_o w_o t w w_o e t

OBS.: In miscarea de ROTATIE, toate punctele au miscari CIRCULARE.

PROBLEMA

O roata cu viteza unghiulara initiala w_o face N ture pana se opreste datorita unei rezistente la miscare. Considerand ca miscarea este uniforma incetinita, sa i se determine acceleratia unghiulara.