Miscarea fluidelor perfecte - Particula fluida

Miscarea fluidelor perfecte

1. Miscarea fluidelor

Miscarea lichidelor si gazelor poate fi determinata de diferentele de nivel, de presiune si de densitate, dintre diferitele puncte din fluid sau de alte cauze care solicita la lunecare fluidul.

Miscarea unui fluid are loc, de regula, intr-un spatiu limitat de pereti solizi, de alt fluid sau de acelasi fluid printr-o suprafata de discontinuitate a vitezelor.

Mediul fluid in miscare poarta denumirea de curent.

Miscarea fluidelor se deosebeste de miscarea corpului solide datorita faptului ca fluidele curg si deseori anumite particule ale acestora pot avea miscari diferite. Particulele din lichidul in miscare se pot deplasa individual si dupa alte directii, decat directia medie a miscarii, iar in anumite zone se pot ivi perturbari sau materie in repaus.

Deci curentii nu sunt numai paraleli, formati din miscari paralele ale particulelor, ci pot fi covergenti, divergenti sau de rotatie in jurul unei axe.

Miscarea fluidului se poate face in toate cele trei directii ale spatiului, pe doua sau una din aceste directii. Din acest punct de vedere miscarea poate fi tridimensionala, bidimensionala sau unidimensionala.

Dupa desfasurarea in timp miscarea poate fi permanenta, atunci cand parametrii locali (viteza, acceleratia, presiunea etc.) sunt constanti in timp sau nepermanenta (variabila), atunci cand parametrii locali variaza. Daca vectorii vitezelor au marimea variabila in timp, insa isi pastreaza neschimbate directia si sensul, atunci miscarea este considerata semipermanenta. Miscarea semipermanenta constituie un caz particular de miscare variabila.

Miscarea fluidelor este influentata de proprietatile lor. Unele dintre acestea (fluiditatea, greutatea, vascozitatea, compresibilitatea) au o mare influenta asupra miscarii fluidelor, in mai mica masura.

2. Modele de fluid

Pentru usurarea miscarii fluidelor, tinand seama de complexitatea fenomenelor naturale, este necesar sa se introduca anumite ipoteze simplificatoare cu privire la structura materiei si la proprietatile fluidelor.

In functie de aceste ipoteze se obtin diferite modele de fluid, dupa cum se iau in considerare una sau mai multe din proprietatile fluidelor reale. Desi aceste fluide sunt fictive, miscarea lor este, in numeroase privinte, apropiata de miscarea fluidelor reale.

Dupa cum este cunoscut, fluidele reale sunt alcatuite dintr-un numar extrem de mare de particule mici aflate la anumite distante unele de altele. De exemplu, cele aproximativ 2,5 x 10¹⁹ molecule de apa, care se afla intr-un centimetru cub la temperatura camerei, se gasesc unele fata de altele la distanta asa cum se poate observa in fig. 15.

Fig. 15. Molecule de apa marite.

De asemenea, cei doi atomi de hidrogen si unul de oxigen, care alcatuiesc molecula de apa sunt dispusi astfel incat distanta dinttre centrul atomului de oxigen si al celui de hidrogen este de 0,957 x 10^-10 m (fig. 16).

Fig. 16. Dispunerea atomilor in molecula de apa.

Hidraulica face abstractie de structura atomo-moleculara a materiei, considerand fluidul un mediu continuu. Teoretic, mediul continuu, denumit si continuum material, poate fi impartit in elemente oricat de mici, fiecare element continand materie. Astfel, se obtine un fluid imaginar, un model de fluid, carui I se pot atribui, dupa caz, una sau mai multe din proprietatile macroscopice ale fluidului real.

Cel mai simplu model de fluid este fluidul cu o singura proprietate, de exemplu, fluiditatea (deformabilitatea).

In general, un corp este considerat deformabil atunci cand distantele dintre diferitele puncte materiale din masa sa pot sa varieze.

Un alt model de fluid este fluidul perfect care are fluiditate si greutate, insa este considerat practic incompresibil si lipsit de vascozitate.

Prin fluid incompresibil se intelege modelul de fluid al carui volum nu se schimba sub actiunea variatiei presiunii, un fluid a carui densitate (masa volumica) ramane constanta.

Pentru adancirea studiului miscarii se introduc treptat si celelalte proprietati, ajungandu-se la modele cu caracteristici din ce in ce mai apropiate de ale fluidelor reale.

Din cele de mai sus rezulta ca si fluidele reale luate in considerare in calculele hidraulice sunt la randul lor modele simplificare, deoarece, chiar daca se au in vedere toate proprietatile principale, se neglijeaza unele proprietati si fenomene secundare, care insotesc miscarea. De exemplu, in calcule se tine seama, de regula, de proprietatile apei distilate, insa se stie ca apa naturala contine impuritati in suspensie, saruri in solutie, aer etc.

3. Particula fluida

Pentru studiul miscarii se face ipoteza ca fluidul poate fi impartit in particule foarte mici, care se mentin in contract prin actiunea si reactiunea unor forte. Deci, in hidraulica prin notiunea de particula fluida se intelege o portiune de fluid de dimensiuni oricat de mici, dar care pastreaza caracteristicile modelului de mediu continuu, descris mai inainte. Aceasta particula nu este molecula ci o portiune imaginara mult mai mare. In baza acestei ipoteze se poate studia miscarea fluidului fara a se tine seama de miscarile de agitatie ale moleculelor si atomilor care compun corpul lichid sau gazos, miscare care nu intra in calculele hidraulice.

Forma particulei se alge arbitrar, astfel incat demonstratiile sau calculele sa se poata face cat mai simplu. Dupa caz se pot utiliza particule cilindrice sau paralelipipedice, elemente de dimensiuni mici cuprinse intre suprafetele vecine etc.

Studiul miscarii unei particule fluide prezinta o mare importanta, deoarece usureaza explicarea fenomenelor care insotesc miscarea fluidelor reale si obtinerea unor relatii cantitative de calcul.

4. Miscarea mecanica a particulelor fluide

Particulele de fluid pot fi in stare de miscare sau de repaus.

Starea de miscare a particulei se defineste in functie de pozitia pe care acesta o are fata de un sistem de referinta considerat fix. Un punct oarecare ales in sistemul de referinta, constituie, dupa cum stim, un punct de reper.

Particula se gaseste in miscare mecanica atunci cand isi schimba continuu pozitia, in raport cu sistemul de referinta. Cand nu si-o schimba este in repaus.

Miscarile mecanice ale particulelor pot fi reduse la doua miscari simple: miscarea de translatie si miscarea de rotatie.

Particulele de fluid si, in general, corpurile din natura au dimensiuni.

In anumite cazuri, pentru simplificare se pot neglija dimensiunile corpului reducandu-l la un singur punct material, in care se presupune ca s-a concentrat intreaga masa a corpului respectiv. El se reprezinta ca un punct geometric, insa are toate proprietatile unui corp material.

Punctul material fiind fara dimensiuni nu poate avea miscari de rotatie, ci numai de translatie.

Deci punctul material este un model (un concept) al mecaniciim care poate fi folosit pentru corpuri in miscarea de translatie, reduse la centrul lor de masa, in care se presupune concentrata intreaga masa. De asemenea, el poate fi folosit si pentru corpurile ale caror miscari de rotatie si de deformatie se pot neglija.

O multime de puncte materiale, aflate in interactiune mecanica, alcatuiesc un sistem de puncte materiale.

Particulele fluidelor incompresibile, avand dimensiuni reduse, pot fi asadar considerate, pentru studiul miscarii mecanice de translatie, puncte de materiale.

Drumul pe care se deplaseaza punctul material in miscarea sa, fata de un sistem de referinta, poarta denumirea de traiectorie.

Traiectoria poate fi rectilinie (in linie in dreapta) sau curbilinie (o linie curba).

Lungimea drumului strabatut de punctul material pe traiectorie se numeste in cinematica spatiu si se noteaza cu litera s.

Durata miscarii (timpul) se noteaza cu litera t.

Intre spatiul parcurs (s) si durata miscarii (t) exista o anumita relatie matematica, care exprima legea miscarii.

Catul dintre spatiul parcurs s si timpul t, in care acest spatiu a fost parcurs, reprezinta viteza cu care s-a deplasat punctul material.

Viteza, este marimea vectoriala care caracterizeaza directia, sensul miscarii si drumul parcurs in unitatea de timp. Ea are deci o marime (egala cu modul vectorului adica cu valoarea lui numerica), o directie si un sens.

Vectorul vitezei se exprima in scris printr-o litera supralinitata, avand simbolul v ^- sau v^→ .

Simbolul nesupraliniat (litera v) reprezinta numai marimea vitezei.

Vectorul viteza se reprezinta geometric printr-un segment de dreapta, cu o sageata la capat. (fig. 17).

Fig. 17. Reprezentarea vectorului vitezei.

Ca orice marime vectoriala, vectorul vitezei se asterne pe o dreapta, care indica directia vectorului, numita suportul vectorului.

Sensul miscarii este indicat de varful sagetii, lungimea vectorului fiind proportionala cu valoarea numerica a vitezei. Originea vectorului, punctul Mo, se numeste punct de aplicatie.

In cazul unei miscari rectilinii, suportul vectorului vitezei coincide cu traiectoria (fig. 18).

Fig. 18. Traiectoria rectilinie

In cazul traiectoriilor curbilinii, vectorul vitezei este intotdeauna tangent la traiectorie (fig. 19).

Fig. 19. Traiectoria curbilinie.

Sa urmarim drumul parcus de punctul material M, in miscare pe traiectoria curba, plecand din M₀. El trece la momentul t₁, prin M₁ cu viteza v^-₁ iar la t₂ prin M₂ cu viteza v^-₂.

Notand cu s₁ spatiul parcurs din M₀ pana in M₁ si cu s₂ din M₀ pana in M₂, se stabileste ca spatiul parcurs in M₁ si M₂ va fi egal cu diferenta dintre s₂ si s₁. Cunoscand ca spatiul s₂-s₁ a fost parcurs in intervalul de timp t₂-t₁, se poate calcula viteza medie a punctului M pe aceasta portiune de drum:

V_m = s₂ - s₁

t₂ - t₁ (1)

Notand cu ∆s diferenta (diferenta finita) s₂ - s₁ si cu ∆t diferenta t₂ - t₁, expresia care da valoarea vitezei medii poate fi scrisa sub forma generala astfel:

V_m = ∆s

∆t (2)

Viteza medie fiind caracterizata numai prin valoare numerica este deci o marime scalara, egala cu raportul dintre drumul parcurs de un punct material si intervalul de timp corespunzator.

Viteza punctului material poate sa varieze in timpul miscarii. De aceea uneori este necesar sa se calculeze viteza punctului material la un moment dat.

Viteza particulelor in punctul M dupa timpul t, se numeste viteza locala si se noteaza cu litera v^-.

Pentru a o determina se calculeaza viteza medie in vecinatatea acestui punct, intr-un timp ∆t, cat mai redus posibil.

v^- = ∆s, cand ∆t este foarte mic.

∆t (3)

Din aceasta relatie se observa ca cu cat intervalul de timp va fi mai scurt cu atat viteza calculata va fi mai apropiata de viteza reala a particulei la momentul t. Cu cat intervalul de timp va fi mai redus, cu atat rezultatul va fi mai precis. Cand intervalul va fi mai mare, precizia va scadea, deoarece viteza va inregistra variatii mai mari.

Cand viteza locala a particulei ramane constanta ca marime are loc o miscare uniforma. Daca marimea vitezei locale nu ramane constanta, atunci miscarea particulei este variata si anume: miscare accelerata cand viteza creste si miscare incetinita cand viteza scade.

Relatia dintre spatiul s (exprimat in metri), viteza v (in metri pe secunda) si timpul (in secunde) este:

s = v · t (4)

Relatia (4) reprezinta legea miscarii uniforme si arata ca spatiul este direct proportional cu timpul.

Daca in aceasta relatie se considera timpul egal cu unitatea (t = 1), rezulta ca s = v. Aceasta inseamna ca in miscarea uniforma viteza este numeric egala cu spatiul parcurs de particula in unitatea de timp.

Acceleratia este marimea vectoriala ce caracterizeaza variatia vitezei in unitatea de timp si are simbolul a^-:

a^- = ∆v^- cand ∆t este foarte mic. (5)

∆t

Pentru a determina acceleratia in mometul t₁ se calculeaza acceleratia medie a_m corespunzatoare intervalului de timp redus t₂ - t₁ si anume prin impartirea variatiei vitezei la intervalul de timp, respectiv:

a_m = v₂ - v₁ = ∆v

t₂ - t₁ ∆t

(6)

Ca si in cazul vitezei, cu cat t₂ va fi mai apropiat de t₁, cu atat acceleratia calculata va fi mai apropiata de aceeleratia reala la t₁.

Din relatia (6) se deduce ca la viteza constanta, acceleratia este egala cu zero. Daca in timpul miscarii viteza creste, v₂ devine mai mare decat v₁ si in consecinta numaratorul este mai mare decat zero. Avand in vedere ca t₂ este totdeauna mai mare decat t₁ numitorul este pozitiv si deci acceleratia este mai mare decat zero. Acceleratia fiind pozivita miscarea va fi accelerata. Din contra, daca viteza particulei descreste, v₂ fiind mai mic ca v₁, numaratorul are semnul minus (∆v = v₂ - v₁ < 0) si deci acceleratia este mai mica decat zero. Acceleratia fiind negativa miscarea va fi incetinita.

In cazul miscarii rectilinii uniform variata, viteza variind cu o cantitate constanta in unitatea de timp, acceleratia este constanta ca marime, directie si sens:

a^- = ∆v^- = const.

∆t

(7)

La miscarea uniform accelerata, fara viteza initiala, cum este cazul unui punct material, care porneste din stare de repaus, viteza este direct proportionala cu timpul:

v = at

Spatiul parcurs in timpul t va fi:

s = a/2 t      (9)

Deci, in miscarea uniform accelerata, fara viteza initiala, distanta parcursa este direct proportionala cu patratul timpului.

Pentru a se obtine relatia dintre viteza si distanta parcursa de mobil, se elimina t din relatia (8).

In acest caz,

t = v/a

Inlocuind pe t din relatia (9) se obtine:

V = √2 as

Expresia de mai sus este binecunoscuta ecuatie a lui Galilei.

5. Linie de curent

Curba descrisa de centrul unei particule de fluid in miscare poarta dupa cum s-a aratat, denumirea de traiectorie.

In deplasarea lor, particulele de fluid formeaza linii de curent. La figura 20 este aratata o linie de curent care trece printr-un punct anumit M₀. Ea se formeaza astfel: particula unui interval de timp ∆t in M₁, parcurgand distanta M₀M₁; in acelasi timp ∆t o alta particula m₁, care la momentul t se afla in M₁, se deplaseaza in M₂, parcurgand distanta M₁M₂; tot in acelasi timp ∆t particula m₂, care se afla in M₂, se deplaseaza in M₃ si asa mai departe. Vitezele particulelor sunt tangente la linia care reprezinta drumul parcurs de particule pe linia de curent.

Linia de curent este asadar curba la care in momentul respectiv vitezele particulelor sunt tangente.

In cazul miscarilor permanente si semipermanente, directiile vitezelor fiind aceleasi in fiecare punct din fluid, liniile de curent coincid cu traiectoriile particulelor.

Acest lucru este usor de inteles daca ne gandim ca particulele, care s-au deplasat din M₀ in M₁ daca un prim interval de timp ∆t, vor ajunge dupa trecerea aceluiasi timp ∆t, in M₂, apoi in M₃ etc., urmand traseul particulelor anterioare, datorita faptului ca directiile vitezelor locale raman aceleasi in timp.

Fluidul fiind in miscare permanenta, particulele trec prin M₀, una dupa alta si urmand acelasi drum, se vor insirui formand o linie fluida continua.

Fig. 20. Linie de curent.

6. Tub de curent

Daca se ia o curba inchisa (fig. 21) si se traseaza liniile de curent, care la un moment dat trec prin toate punctele acestei curbe, se obtine un tub cu lungime nedefinita, numit "tub de curent". Suprafata formata din liniile de curent, care trec prin curba considerata, se numeste suprafata de curent.

In momentul considerat fluidul va circula prin tubul de curent ca si cum acesta ar avea pereti solizi, adica fara ca fluidul sa poata trece dintr-o parte in celalata a suprafetei de curent.

Fig. 21. Tub de curent.

7. Fir de curent

Daca sectiunea transversala a tubului de curent este considerata suficient de mica penutru a se emite pe ea o distributie uniforma a vitezelor si presiunilor, se obtine un tub elementar de curent.

Fluidul din interiorul tubului elementar de curent formeaza un fir de curent.

Firul de curent se reprezinta grafic printr-o linie, ca si linia de curent. Intre ele exsita insa deosebiri esentiale. Linia de curent este asa cum s-a aratat o notiune geometrica, abstracta, in timp ce firul de curent reprezinta o cantitate redusa de fluid, care umple tubul elementar.

8. Debitul elementar

Sa consideram un tub elementar de curent (fig. 22) si sa ducem o suprafata fixa ∆A normala pe axa curentului..

Fig. 22. Tub elementar de curent

Fluidul aflat in miscare unidimensionala va traversa sectiunea elementara ∆A cu o viteza v, practic uniforma pe toata sectiunea.

Cantitatea de fluid care trece la un moment dat prin sectiunea fixata ∆A, in unitatea de timp, se numeste debit.

Notand cu ∆V volumul de fluid care trece intr-un interval de timp ∆t prin sectiunea ∆t prin sectiunea ∆A, debitul elementar q va fi:

q = ∆V/∆t      (11)

in care ∆V este egal cu volumul care are baza ∆A si inaltimea v^- ∙ ∆t.

∆V = v^- ∙ ∆A ∙ ∆t.

In cazul miscarii permanente, viteza v^- fiind constanta in sectiunea fixa ∆A, debitul va fi:

q = ∆V = v^- ∙ ∆A∙ ∆t

∆t ∆t

sau dupa simplificarea cu ∆t,

q = v^- ∆A

Impartind debitul la aria suprafetei normale ∆A, se obtine valoarea vitezei v^-, cu care fluidul trece prin sectiune:

v^- = q/∆A (13)

Daca viteza locala v^- variaza in timp, pentru ca debitul sa fie cat mai apropiat de valoarea momentana, trebuie ca ∆t sa fie cat mai mic. Deci:

q = ∆V/∆t, cand ∆t este foarte mic (14)

Debitul calculat cu expresiile de mai sus este debitul volumetric, exprimat in metri cubi pe secunda (sau uneori in litri pe secunda sau litri pe minut).

Daca se inmulteste debitul volumetric cu densitatea fluidului ρ se obtine debitul de masa q_m:

q_m = ρ q , (kg/s) (15)

9. Ecuatia de continuitate

Sa consideram un tub elementar de curent si doua sectiuni fixe ∆A₁ si ∆A₂ normale pe axa sa, situate la distanta ∆S una de alta (fig. 23).

Fig. 23. Tub elementar de curent

Fie v^-₁ si v^-₂ vitezele fluidului care trece prin aceste sectiuni.

Debitul care intra prin sectiunea ∆A₂ in unitatea de timp este:

Q₁ = ∆A₁ ∙ v^-1 (16)

iar debitul care iese prin suprafata ∆A₁ este:

q₂ = ∆A₂ ∙ v^-₂ (17)

Pentru a stabili ecuatia de continuitate se porneste de la conditia de continuitate a fluidului aflat in miscare (care exclude existenta unor spatii libere lipsite de materie) precum si de la principiul conservarii materiei.

Astfel, in cazul miscarii permanente a unui fluid incompresibil, tubul fiind complet umplut cu fluid, relatia de continuitate se obtine scriind egalitatea dintre volumul de fluid care intra si iese, intr-un interval de timp egal cu unitatea, din spatiul inchis cuprins intre cele doua suprafete fixe ∆A₁ si ∆A₂. Vom avea deci:

q₁ = q₂ = v^-₂ ∙ ∆A = v^-2 ∙ ∆A₂      (18)

Cum cele doua sectiuni au fost luate arbitrar, relatia este valabila pentru orice sectiune si deci poate fi scrisa si sub forma urmatoare:

q = v^- ∙ ∆A = const.

Daca sectiunea este constanta, adica ∆A₁ = ∆A₂ = const., atunci si v^-₁ = v^-₂ = const., deci viteza va fi egala in toate sectiunile firului de curent.

Miscarea in care vitezele sunt egale si constante de-a lungul firului de curent poarta denimirea de miscare uniforma.

10. Starea de tensiune

S-a aratat ca fluidul este considerat un mediu continuu, un continuum material compus dintr-o infinitate de particule materiale care raman in permanenta legatura.

Solicitarea din interiorul unui fluid, aflat in repaus sau in miscare, produsa prin interactiunea particulelor se numeste stare de tensiune.

Raportul dintre forta elementara care reprezinta interactiunea dintre particule separate prin ∆A si aria suprafetei elementare poarta denumirea de tensiune sau efort unitar.

Sa consideram, de exemplu, o particula cilindrica (fig. 24), care are baza ∆A. Fie forta elementara care actioneaza normal pe baza particulei. Tensiunea (efortul unitar) p^-_n are valoarea:

p^-_n = ∆F/∆A

Tensiunea (efortul unitar) p_n este deci o marime vectoriala, care caracterizeaza starea de tensiune dintr-un punct M din fluid si are ca unitate de masura, in sistemul international de masuri, newtonul pe metru patrat (N/m).

Tensiunile pot fi rezultatul fie al fortelor elastice de compresiune sau de intindere, care actioneaza perpendicular pe fetele care limiteaza particula (tensiune normala), fie al fortelor de frecare care actioneaza tangetial la suprafetele unde are loc frecarea (tensiune tangentiala).

In cazul fluidelor tensiunile normale predominante sunt cele de compresiune, care asigura continuitatea mediului material. Gradul de comprimare dat de starea de tensiune dintr-un punct care poarta denumirea de presiue si este egala cu media aritmetica a tensiunilor normale luate cu semn schiumbat.

Tensiunile tangentiale la fluide apar numai cand acestea sunt in miscare. Cand fluidul este in stare de repaus, fortele de frecare sunt egale cu zero.

Fig. 24. Particula cilindrica de fluid.

In afara fortelor de tensiune, care asigura continuitatea mediului, asupra particulelor mai actioneaza fortele masice, care sunt datorate unui camp de atractie, ca, de exemplu, greutatea particulelor (datorita gravitatiei). Forta care actioneaza asupra tuturor particulelor din volumul de fluid considerat se numeste forta masica. Ea se noteaza cu F^-_v si are ca unitate de masura, in sistemul SI newtonul (N).

Forta masica a unei particule, raportata la masa acesteia si poarta denumirea de forma masica unitara. Ea se noteaza cu f si are dimensiunile unei acceleratii (m/s).

Alte forte, care intervin, insa numai atunci cand particula este in miscare si supusa unei acceleratii, sunt fortele de inertie.

Forta de inertie a unei particule in miscare se exprima prin produsul dintre masa si acceleratia ei, luat cu sensul schimbat, deci va avea sensul contrar vectorului acceleratiei.

Cunoscand totalitatea fortelor, care actioneaza asupra unei particule din fluidul continuu aflat in miscare, se poate scrie ecuatia de echilibru a acestor forte. Ecuatia de echilibru a fortelor de tensiune prezinta ecuatia miscarii fluidului respectiv.

Pe langa acestea, pentru rezolvarea problemelor legate de miscarea fluidelor, se folosesc si relatii care exprima conservarea masei (relatia de continuitate), starea fizica a fluidului (variatia densitatii ρ, in functie de presiune si temperatura, variatia diferitelor forme de energie si luarea in considerare a schimburilor de energie cu mediul inconjurator, in cazul cand exista etc.).

11. Teorema lui Bernoulli

Sa consideram un tub elementar de curent in miscare permanenta, care are sectiunea variabila in lungul axei sale (fig. 25). Sectiunea tubului este prin ipoteza suficient de mica, astfel incat se poate considera ca atat vitezele cat si presiunile sunt uniform distribuite in sectiune.

Fie MN traiectoria unei particule de fluid ideal, situata in axa tubului. Ducand un plan normal AB la axa in M se va obtine o sectiune transversala cu aria ∆A₀. De asemenea, ducand in N un plan normal la axa se va obtine sectiunea transversala CD cu aria ∆A₁.

Fig. 25. Schema miscarii unei particule de fluid perfect

Vitezele fluidului in sectiunile AB si CD sunt v^-₀ si respectiv v^-₁. Aria sectiunii CD fiind mai mica decat cea a sectiunii AB, valoarea vitezei fluidului creste de la v^-₀ la v^-₁.

Volumul de fluid perfect, cuprins intre peretii tubului de curent si cele doua sectiuni care la momentul t se afla in ABCD, se deplaseaza, dupa trecerea unui timp scurt ∆t, in A`B`C`D`.

In baza legii conservarii energiei se poate scrie ca lucrul mecanic consumat de masa de fluid ABCD in miscare este echivalent cu variatia energiei cinetice a fluidului respectiv.

Pentru aceasta trebuie evaluate, in prealabil variatia energiei cinetice si lucrul mecanic consumat.

Variatia energiei cinetice. Miscarea fluidului perfect fiind, prin ipoteza permanenta, pe portiunea comuna A`B`CD in timpul ∆t, nu au variat nici masele, nici vitezele. Ca urmare, variatia energiei cinetice a intregului sistem se reduce la variatia energiei cinetice a volumului ABA`B`, care insa in momentul t avea viteza v^-₀ si dupa ∆t a aparut in CDC`D`, insa cu viteza v^-₁.

Acest lucru poate fi pus in evidenta astfel: volumul ABA`B` este egal cu ∆A₀ ∙ v^-₀∙ ∆t, iar volumul CDC`D`, cu ∆A₁ ∙ v^-₁ ∙ ∆t. Din conditia de continuitate se obtine: ∆A₀ ∙ v^-₀ = ∆A₁ ∙ v^-₁ si deci: ∆A₀ ∙ v^-₀ ∙ ∆t = ∆A₁ ∙ v^-₁ ∙ ∆t, adica volumul ABA`B` este egal cu BCB`C`.

Notand cu ρ densitatea si cu m masa acestor doua cantitati egale (m = ρ∆A₀ ∙ v₀ ∙ ∆t = ρ∆A₁ ∙ v₁ ∙ ∆t, variatia energiei cinetice a intregului sistem va fi egala cu diferenta dintre energia cinetica a masei m in momentul (t + ∆t), cand acesta ocupa pozitia CDC`D` si are viteza v^-₁ si energia cinetica a aceleasi mase in momentul t, cand ocupa pozitia ABA`B` si avea viteza v^-₀:

m v₁ - m v₀      (20)

Lucrul mecanic consumat. Lucrul mecanic consumat de fluidul ideal, aflat in miscare, se compune din lucrul mecanic al gravitatiei si cel al presiunilor exercitate pe fetele externe AB si CD.

Lucrul mecanic al gravitatiei este egal cu variatia energiei potentiale a greutatii volumului de fluid ABA`B`, cand acesta se deplaseaza in BCB`C`, adica din M in N, de la inaltimea Z₀ la o inaltime mai mica Z₁.

Greutatea volumului de fluid este forta corespunzatoare acceleratiei terestre, egala cu produsul dintre masa m si acceleratia gravitatii g:

F = G = mg      (21)

Lucrul mecanic L₁ efectuat de greutatea G a volumului de fluid, atunci cand acesta se deplaseaza de la inaltimea Z₀ la inaltimea Z₁, este egal cu produsul dintre forta G si distanta pe care aceasta se deplaseaza:

L₁ = G (Z₀ - Z₁) (22)

sau inlocuind pe G cu mg si desfacand paranteza:

L₁ = mgZ₀ - mgZ₁ (23)

Expresia (23) exprima de fapt variatia energiei potentiale a volumului de fluid cu masa m, atunci cand el isi schimba pozitia fata de planul de referinta, deplasandu-se din ABA`B` in BCB`C`.

Lucrul mecanic al presiunilor se compune din lucrul mecanic al presiunii p₀ care exercita normal pe suprafata AB si cel al presiunii p₁ ce se exercita pe suprafata CD.

Forta exercitata de presiunea p₀ pe suprafata ∆A₀ este P₀ = p₀ ∙ ∆A₀. Lucrul mecanic L₂` efectuat de aceasta forta, atunci cand AB se deplaseaza in A`B` pe distanta MM` = v₀ ∆t va fi

L₂` = P ∙ v₀ ∙ ∆t = p₀ ∙ ∆A₀ ∙ v₀ ∆t (24)

Dar ∆A₀ ∙ v₀ ∆t reprezinta volumul ABA`B, ocupat de fluid, de greutate G = mg. Impartind aceasta greutate la greutatea volumetrica (greutatea specifica) a fluidului se obtine expresia volumului ABA`B`, in functie de masa si densitatea fluidului:

∆A₀ ∙ v₀ ∆t = G/γ = mg/γ

Inlocuind aceast valoare in expresia (24) vom avea:

L₂` = p₀ ∙ ∆A₀ ∙ v₀ ∙ ∆t = p₀ mg/γ (25)

In mod similar rezulta ca lucrul mecanic L`<sub>2</sub>` efectuat de forta exercitata de presiunea p₁ pe sectiunea ΔA₁, cand CD se deplaseaza in C`D` pe distanta MN` = v₁. Δt, va fi egal cu:

L₂`` = - p₁ ∙ ΔA₁ ∙ v₁ Δt = - p₁ mg/γ (26)

Semnul minus a fost plasat inaintea acestei valori din cauze sensului presiunii p₁.

Lucrul mecanic al presiunilor va fi deci:

L₂ = L`₂ + L``₂ = p₀ mg/γ - p₁ mg/γ (27)

Ecuatia lui Bernoulli. Conform principiului echivalentei dintre variatia energiei cinetice cu lucrul mecanic consumat, neluand in considerare lucrul mecanic datorat rezistentelor hidrodinamice (fluidul fiind perfect), se obtine:

mgZ₀ - mgZ₁ + p₀ mg/γ - p₁ mg/γ = mv₁ - m v₀ (28)

sau grupand termenii:

mgZ₀ + p₀ mg/γ + mv₀ = mgZ₁ + p₁ mg/γ + mv₁ si impartindu-I cu greutatea particulei mg:

Z₀ + p₀/γ + v₀/2g = Z₁ + p₁/γ + v₁/2g (29)

Sectiunile AB si CD carora le corespund inaltimile Z₀ si Z₁, vitezele v₀ si v₁, presiunile p₀ si p₁ fiind oarecare, egalitatea va persista, oricare ar fi amplasamentul sectiunilor. In acest caz se poate scrie:

Z₀ + p₀/γ + v₀²/g = Z₁ + p₁/γ + v₁/2g = const.

sau sub forma generala:

Z + p/γ + v/2g = const.

Ecuatia (30) reprezinta expresia matematica a teoremei lui Bernoulli. Ea are o interpretare geometrica si totodata una energetica.

Cantitatea Z₀ reprezinta inaltimea (cota) la care se afla particula de fluid deaspra planului de referinta, cantitatea p/γ este inaltimea reprezentativa a presiunii statice in sectiunea respectiva, iar cantitatea v/2g inaltimea cinetica (inaltimea corespunzatoare vitezei v).

Teorema lui Bernoulli poate fi enuntata pe baza formulei (30) astfel: suma dintre inaltimea reprezentativa a presiunii intr-o sectiune transversala normala a firului de curent, inaltimea cinetica in aceasta sectiune si inaltimea centrului acestei sectiuni deasupra planului orizontal fix de referinta este constanta de-a lungul firului de curent.

Daca se inmulteste ecuatia (30) cu greutatea particulei fluide, adica cu mg, care dupa cum se stie reprezinta o forta, atunci fiecare din cei trei termeni ai ecuatiei lui Bernoulli va reprezenta o energie si anume:

Z (mg) - energia potentiala de pozitie a particulei cu masa m situata la inaltimea (cota) Z fata de planul de referinta;

p (mg) - energia potentiala a particulei, corespunzatoare inaltimii reprezentative a presiunii statice in sectiunea respectiva;

v/2g (mg) - energia cinetica (de miscare) a particulei.

Asadar, ecuatia lui Bernoulli reprezinta un bilant al energiei mecanice totale, care se mentine constanta de-a lungul firului de curent atat timp cat nu intervine consum de energie prin rezistente sau transfer de caldura.

Teorema lui Bernoulli in forma de mai sus a fost stabilita pentru fluide perfecte (lipsite de vascozitate), fara a se lua in considerare pierderile de energie datorita frecarilor. Pentru fluidele reale se introduce in relatia (30) inca un termen.

12. Linie de energie. Linie piezometrica

Termenii care figureaza in ecuatia lui Bernoulli pot fi reprezentati grafic (fig. 26).

Fig. 26. Reprezentarea grafica a termenilor din ecuatia lui Bernoulli.

Pe baza cotelor de amplasare fata de planul fix (linia de referinta) se traseaza o linie, care reprezinta axa firului de curent. In fiecare punct al firului de curent, se duce o linie verticala. Pe aceasta verticala, deasupra liniei ce reprezinta axa firului de curent, se fixeaza inaltimea p/γ (inaltimea corespunzatoare presiunii care se exercita in fiecare sectiune) si deasupra ei inaltimea v/2g (inaltimea cinetica corespunzatoare vitezei de deplasare a fluidului). Extremitatile superioare se vor gasi la acelasi nivel, formand o linie orizontala numita linie de energie sau plan de sarcina.

Distanta H dintre linia de energie si linia planului de referinta este egala cu constanta exprimata de ecuatia lui Bernoulli si poarta denumirea de sarcina hidrodinamica (inaltime hidrodinamica):

H = Z + p/γ + v/2g (31)

Sarcina hidrodinamica (inaltimea hidrodinamica) reprezinta energia particulei fluide raportata la greutatea ei si are ca unitate de masura metrul.

Ea este compusa din sarcina piezometrica (cota piezometrica) H_p si sarcina cinetica (inaltimea cinetica) H_c

H = H_p + H_c (32)

Sarcina piezometrica (cota piezometrica) reprezinta energia potentiala a particulei raportata la greutatea ei:

H_p = Z + p/γ (33)

Aceasta sarcina reprezinta inaltimea nivelului piezometric deasupra planului de referinta. Curba reprezentativa a cotelor piezometrice in lungul firului de curent poarta denumirea de linie piezometrica.

Sarcina cinetica (inaltimea cinetica) reprezinta energia cinetica a particulei raportata la greutatea ei:

H_c = v/2g (34)

Planul de referinta este in general acela al nivelului marii sau un alt plan luat conventional.

Pentru exemplificare se considera o conducta alimentata cu un lichid perfect dintr-un rezervor cu nivel constant situat la inaltimea H fata de linia de referinta.

Fig. 27. Conducta alimentata cu lichid perfect dintr-un rezervor cu nivel constant.

Aplicand ecuatia lui Bernoulli firului de curent, situat in axa conductei, se obtine reprezentarea grafica din figura 27.

Linia de energie (planul de sarcina) este situata la nivelul suprafetei libere a lichidului din rezervor.

Daca la conducta BC, in care se afla in miscare fluidul ideal, se ataseaza un tub vertical deschis la capete, numit tub piezometric, nivelul lichidului se va ridica numai pana la inaltimea p/γ.

Marimea v/2g ramasa libera in tub, este inaltimea pe care lichidul o va atinge in virtutea vitezei sale, daca curentul se va opri brusc prin inchiderea sectiunii conductei respective in punctul C.

In cazul incetarii miscarii, debitul in conducta fiind zero, lichidul se va urca in tubul piezometric pana la nivelul suprafetei libere din rezervor, conductele constituind cu rezervoul un sistem de vase comunicante.