Miscari ale punctului material

Miscari ale punctului material

Miscarea poate fi definita ca o modificare in timp a pozitiei unui corp, fata de alte corpuri a caror pozitie o consideram, din punctul nostru de vedere, invariabila. Acest corp, ales arbitrar, fata de care studiem miscarea, se numeste punct de reper sau corpul de referinta, iar corpul care se misca mobil.

Pentru descrierea cantitativa a miscarii, corpului de referinta i se ataseaza un sistem de coordonate - SC, pozitia punctului material fiind astfel complet determinata de coordonatele sale in orice moment in acest sistem de coordonate (carteziene, polare, cilindrice, sferice, etc ). Se alege intotdeauna sistemul de coordonate convenabil astfel incat tratarea teoretica a problemei si formularea legilor sa fie cat mai simple. Corpul de referinta sau reperul, sistemul de coordonate pentru determinarea pozitiei mobilului fata de reper si un ceasornic, care sa masoare timpul reprezinta sistemul de referinta (referentialul) - SR. Astfel, folosind un SR, putem caracteriza un eveniment prin trei coordonate spatiale x, y, z (care determina pozitia punctului din spatiu unde se petrece evenimentul ) si o coordonata temporala t (indicata de ceasornic in acel punct).

Pozitia unui punct material P, este precizata in mod convenabil printr-un vector de pozitie r (fig.2.1.) ce uneste originea O a SC cu punctul material considerat, () si ale carui proiectii pe cele trei axe ale unui sistem de coordonate cartezian sunt: x = xi, y = yj, z = zk

r = x+ y+ z

r = xi+ yj+ zk

Fig. 2.1.

Pe masura ce punctul material se misca de-a lungul unei traiectorii din spatiu, proiectiile lui se misca in lungul celor trei axe. Miscarea reala poate fi reconstituita din miscarile acestor trei proiectii, astfel ca vom incepe prin a trata miscarea unui punct material in lungul unei drepte, sau miscarea rectilinie.

1. Miscarea rectilinie a unui punct material

1.1. Deplasarea, viteza, acceleratia

Cea mai simpla miscare a unui punct material este miscarea lui pe o linie dreapta adica miscarea unidimensionala sau rectilinie.

Sa consideram un automobil care se deplaseaza pe o autostrada in linie dreapta (fig.2.2.a). Avem deci un punct material P, care se misca in lungul axei Ox ca in figura 2.3.(a) , Curba din figura 2.3.(b) este graficul coordonatei sale x, reprezentata ca functie de timpul t.

originalul ↔ modelul material

↔

(a) (b)

Fig. 2.2. Automobil ce se deplaseaza pe o autostrada rectilinie:

modelul figural

y

→

P(t₁) Δx P'(t₂) x₁ x₂

x (a)

(b)

Fig. 2.3. Punct material P, in miscare de-a lungul axei Ox

Modelul simbolic- marimi fizice, legi fizice

Miscarea unui punct material pe o dreapta se considera cunoscuta daca se stie cum se desfasoara fenomenul, adica se cunoaste in fiecare moment de timp t pozitia sau coordonata punctului material x (drumul parcurs, s), viteza v si acceleratia, a.

A stabili legile miscarii unui punct material inseamna a gasi o legatura intre aceste marimi fizice pe de o parte si timp pe de alta parte.

x₁ - coordonata punctului material la momentul t₁

x₂ - coordonata punctului material la momentul t₂

Δx x₂ -x₁

Deplasarea punctului material este definita prin vectorul Δx ( fig.2.3.b) , ce desemneaza variatia coordonatei punctului material in intervalul de timp Δt = t₂ - t₁ . Pentru acest interval de timp viteza medie a punctului material este :

Δx (1.1)

v_m ──

Δt

Viteza punctului material este o marime fizica care exprima variatia in timp a coordonatei.

Viteza medie a punctului material depinde de intervalul de timp pentru care a fost calculata.

Relatia (1.1) poate fi scrisa :

x₂ - x₁ v_m (t₂-t₁)

Ea poate fi simplificata in functie de datele problemei si se pot adapta notatiile:

- putem lua momentul initial t₁=0 si pozitia initiala x₀, iar x coordonata punctului la momentul t, relatia va deveni:

x = x₀ + v_m t

- daca punctul material este in origine la momentul initial t₁=0, relatia va deveni mult simplificata:

x = v_m t

Iata un model simbolic, pentru miscarea rectilinie a unui punct material care permite elevilor sa rezolve diferite tipuri de probleme de la cele mai simple pana la cele mai complexe, odata ce au inteles aceste reprezentari,aceste simboluri abstracte ale realitat

Viteza instantanee este viteza punctului material la un moment oarecare de timp sau intr-un punct al traiectoriei, D (vezi fig.1.4.).

Sa presupunem ca dorim sa aflam viteza instantanee a punctului material din figura 1.5. in punctul D(x_D,t_D). Vom considera ca punctul material strabate un drum Δx_i (fig. 1.5.) foarte mic, din imediata vecinatatea punctului D, interval pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu viteza constanta :

v = Δx_i /Δt_i

unde x_i = x_i+1 - x_i este deplasarea punctului material in vecinatatea lui D in intervalul de timp t_i = t_i+1 - t_i , cu viteza constanta.

Deci, in general, pentru a gasi viteza punctului material la un moment oarecare de timp t, se considera o deplasare foarte mica Δx (deplasare infinitezimala sau elementara) si un interval de timp corespunzator Δt (timp infinitezimal), iar viteza instantanee se va calcula matematic:

Δx dx

v = lim =

^Δt→0 Δt dt

Relatia (1.3), numita si relatia de definitie a vitezei, ne arata ca viteza este egala cu derivata de ordinul intai a coordonatei spatiului in raport cu timpul. Problema determinarii vitezei momentane a fost rezolvata de catre Newton, si a condus in matematica la aparitia calculului diferential. Newton a dat derivatei numele de fluxiune.

Din relatia (1.3) putem obtine:

dx v dt

In general , viteza unui mobil este o marime care depinde de timp, adica

v = f(t) sau v = v(t),

deci pentru descrierea miscarii va trebui sa cunoastem dependenta de timp a vitezei

punctului material. In practica, viteza se determina cu ajutorul unui dispozitiv numit vitezometru

Legatura dintre spatiul parcurs si viteza se poate face prin metoda calculului integral. Sa presupunem ca fiind cunoscuta variatia in timp a vitezei punctului material, si vrem sa gasim din aceasta dependenta in timp a coordonatei. Sa reprezentam grafic variatia in timp a vitezei punctului material (fig. 1.6.)

v

v_i

O t₁ Δt_i t₂ t

Fig. 2.4. Deplasarea este egala cu aria suprafetei aflate sub graficul vitezei in functie de timp

Descompunem intervalul de timp Δt=t₂-t₁ in intervale de timp foarte mici Δt₁, Δt₂, , intervale pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu viteza constanta v₁, v₂, . . Pentru drumurile parcurse in intervalele respective de timp avem

Δx₁ = v₁Δt₁, Δx₂ = v₂Δt₂, . . . , (1.5)

ceea ce grafic corespunde ariilor dreptunghiurilor hasurate (fig. 1.3). Suma ariilor acestor dreptunghiuri situate intre t₁ si t₂ este

x₂ - x₁ = Δx₁ + Δx₂ + . . .

sau _n

x₂ - x₁ = ∑ Δx_i ,

ⁱ⁼¹

conform relatiei (1.5), avem

_n

Δx = x₂ - x₁ = ∑ v_iΔt_i ,

ⁱ⁼¹

Acest calcul devine cu atat mai precis, cu cat marimea intervalelor Δt_i va fi mai mica, adica:

_n

Δx = lim ∑ v_iΔt_i ,

^{Δti→0 i=1}

Sau:

_t2

Δx = ∫ v(t)d t ,

^t1

Deplasarea intr-un interval oarecare de timp este deci egala cu aria suprafetei cuprinse intre graficul vitezei ca functie de timp, axa timpului si cele doua drepte verticale duse la inceputul si sfarsitul intervalului de timp.

Este oare fara importanta sa stim cum s-au facut primii pasi ai modelarii in fizica si nu numai? Dezvoltarea Analizei matematice poate fi despartita de cea a Mecanicii, a Fizicii? A fost Newton un simplu meserias?

Raspunsul la intrebari este nu. S-a vazut clar din cele prezentate mai sus ca Newton a dovedit ca este un mare geniu, folosind modelarea grafica a spatiului el a reusit sa inventeze ceea ce numim astazi calculul integral si sa-l dezvolte.

In miscarea neuniforma viteza corpului variaza, fiind o functie de timp. Pentru a indica rapiditatea variatiei in timp a vitezei unui punct material se introduce notiunea de acceleratie.

In figura 2.5. (a) este reprezentat un punct material care se misca in lungul axei ox, a carui viteza variaza in intervalul de timp Δt = t₂ - t₁ , iar in figura 2.5. (b) este reprezentat un grafic al vitezei instantanee, v, a punctului material in functie de timp.

y      v

v₂

Δv=v₂-v₁

P(t₁) D P'(t₂) v₁ A Δt= t₂ -t₁ C

O v₁ v₂ x t₁ t₂ t

(a) (b)

Fig. 2.5. Punctul material P in miscare pe axa Ox , modelul figural

Aceleratia medie este o marime fizica egala cu raportul dintre variatia vitezei punctului material si intervalul de timp in care a avut loc aceasta variatie.

Δv v₂ - v₁

a_m

Δt t₂ - t₁

Acceleratia medie a punctului material depinde de intervalul de timp pentru care a fost calculata.

In figura 1.7.(b) acceleratia medie poate fi reprezentata prin panta AB (modelare figurala), adica prin raportul marimilor segmentelor CB (care reprezinta variatia vitezei punctului material, adica Δv) si AC (care reprezinta durata miscarii, adica Δt).

v

v₂ B

v_i+1

D

v_i D

v₁ A

O t₁ t_i t_i+1 t₂ t

Fig. 2.6.

Accelertia instantanee este acceleratia punctului material la un moment oarecare de timp sau intr-un punct D al traiectoriei.

Sa presupunem ca dorim sa aflam acceleratia instantanee a punctului material din figura 1.8. in punctul D(x_D,t_D). Vom considera ca in imediata vecinatate a punctului D, corpului ii variaza viteza Δv_i (figura 1.8.) intr-un interval de timp Δt_i foarte mic, interval pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu acceleratie constanta :

a = Δv_i /Δt_i

Deci, in general, pentru a gasi acceleratia punctului material la un moment oarecare de timp t, se considera ca viteza corpului variaza cu o cantitate foarte mica Δv si un interval de timp corespunzator Δt (timp infinitezimal), iar acceleratia instantanee se va calcula matematic:

Δv dv

a = lim =

^Δt→0 Δt dt

Relatia (1.7), numita si relatia de definitie a acceleratiei, ne arata ca acceleratia este egala cu derivata vitezei in raport cu timpul.

Din relatia (1.7) putem obtine:

dv = a dt (1.8)

Tinand seama de (1.3), relatia (1.7) devine :

a = d/dt ( dx/dt ) = d²x/dt²

Acceleratia este deci derivata de ordinul doi a coordonatei spatiului in raport cu timpul.

Ca si viteza , acceleratia unui mobil este o marime fizica dependenta de timp, adica      a= f(t) sau a = a(t),

deci pentru descrierea miscarii va trebui sa cunoastem dependenta in timp a acceleratiei punctului material.

Legatura dintre viteza si acceleratie se poate face prin metoda calculului integral. Sa presupunem ca fiind cunoscuta variatia in timp a acceleratiei punctului material, si vrem sa gasim din aceasta dependenta de timp a vitezei. Reprezentam grafic variatia in timp a acceleratiei punctului material .

a Δv_i

a_i

O t₁ Δt_i t₂ t

Fig. 2.7. Variatia vitezei este egala cu aria suprafetei aflate sub graficul

acceleratiei in functie de timp.

Descompunem intervalul de timp Δt=t₂-t₁ in intervale de timp foarte mici Δt₁, Δt₂, , intervale pe care, intr-o buna aproximatie, se poate considera o miscare rectilinie cu acceleratie constanta a₁, a₂, .. In intervalele respective de timp avem

Δv₁ = a₁Δt₁, Δv₂ = a₂Δt₂, . . . , (1.9)

ceea ce grafic corespunde ariilor dreptunghiurilor hasurate (fig. 1.7). Suma ariilor acestor dreptunghiuri situate intre t₁ si t₂ este

v₂ - v₁ = Δv₁ + Δv₂ + . . .

sau

_n

v₂ - v₁ = ∑ Δv_i ,

ⁱ⁼¹

conform relatiei (1.9) , avem:

_n

Δv = v₂ - v₁ = ∑ a_iΔt_i ,

ⁱ⁼¹

Acest calcul devine cu atat mai precis, cu cat marimea intervalelor Δt_i va fi mai mica, adica:

_n

Δv = lim ∑ a_iΔt_i ,

^{Δti→0 i=1}

Adica, t₂

Δv = ∫ a(t) d t ,

t₁

Variatia vitezei intr-un interval oarecare de timp este deci egala cu aria suprafetei cuprinse intre graficul acceleratiei ca functie de timp si axa timpului, marginita de doua drepte verticale duse la inceputul si sfarsitul intervalului de timp.

Urmarind cele prezentate mai sus, ca in cazul modelarii grafice a spatiului, Newton a aplicat aceeasi metoda pentru calculul variatiei vitezei unui punct material. Demonstrand astfel ca modelarea grafica nu ne arata doar evolutia unui fenomen, ci poate fi o metoda de intelegere a calculului diferential si integral. Cu alte cuvinte am putea spune ca aceasta abstractizare a fenomenului prin scrierea unor relatii sau legi adica utilizand modele simbolice, poate fi tradusa cu ajutorul graficelor care sunt modele figurale.

2. Miscarea curbilinie plana a punctului material

In cazul in care traiectoria descrisa de mobil este o linie curba situata intr-un plan spunem ca miscarea este curbilinie plana. (fig. 2.5.).

Miscarea curbilinie plana se poate studia alegand un sistem de coordonate rectangular sau polare plane, si descompunem miscarea respectiva in doua miscari componente simple ale pozitiei punctului material pe axele de coordonate.

Viteza are directia data de tangenta la traiectorie in punctul in care se gaseste mobilul, fiind continuta in planul miscar

Intr-o astfel de miscare chiar daca viteza este constanta ca marime, faptul ca ea isi modifica directia duce la aparitia acceleratiei, iar in cele ce urmeaza vom arata ca vectorul acceleratie este intotdeauna orientat in partea concava a traiectoriei.

V

A

Y

v_y v

A

v_x X

Marimea vitezei in punctul A este :

(a) (b)

Fig. 2.5.

In fiecare punct al traiectoriei viteza este cunoscuta daca se cunosc componentele ei v_x si v_y (fig. 2.5.b), acestea putandu-se determina din dependenta de timp a coordonatelor punctului.

Δv

a _t Δv_n Δv_t

v_t v₂

P₂ a

v_n v₁

a _n P₁

R

O

Fig. 2.6. Reprezentarea vectorului v = v₂ - v₁, respectiv descompunerea acestui vector pe o directie tangenta la traiectorie in punctul P₂ , Δv_t, respectiv pe o directie ce coincide cu raza OP₂, Δv_n : Δv = Δv_t + Δv_n ; reprezentarea vectorului a = a _t + a _n

Conform definitiei, acceleratia :

v

a = lim

^Δt→0 Δt

unde Δv = v₂ - v₁ este variatia vitezei mobilului cand acesta parcurge pe curba spatiul P₁P₂ (fig 2.6.). Daca variatia vitezei mobilului Δv este descompusa pe o directie tangenta la traiectorie in punctul P₂ , Δv_t, respectiv pe o directie ce coincide cu raza OP₂, Δv_n, atunci Δv = Δv_t + Δv_n , iar relatia devine:

v_t + Δv_n Δv_t Δv_n

a = lim = lim + lim

^Δt→0 Δt ^Δt→0 Δt ^Δt→0 Δt

Adica

a = a _t + a _n

v_n

a _n = lim

^Δt→0 Δt

Prin urmare la limita, a _n, are aceeasi directie si sens cu Δv_n, este normala pe directia vitezei, avand sensul spre centrul de curbura O al traiectoriei in punctul considerat (fig 2.6.). Din acest motiv a _n se numeste acceleratie normala sau accelaratie centripeta. O astfel de acceleratie apare in orice miscare in care directia vitezei se modifica in timp, chiar daca modulul vitezei este constant.

v_t

a _t = lim

^Δt→0 Δt

Astfel la limita, a _t, are aceeasi directie si sens cu Δv_t, si se numeste acceleratie tangentiala. O astfel de acceleratie este nula daca marimea vitezei este constanta (de exemplu miscarea circulara uniforma, vezi cap. I.3.3.).

Din cele prezentate mai sus , se constata ca in miscarea curbilinie viteza are directia data de tangenta la traiectorie, avand sensul miscarii, iar acceleratia totala este intotdeauna orientata in partea concava a traiectoriei. Aceasta din urma poate fi descompusa in doua componente: acceleratia normala sau centripeta a _n (a _cp), ce caracterizeaza variatia vitezei ca directie, si acceleratia tangentiala, a_t, ce ca-racterizeaza variatia vitezei ca marime. Iar din punct de vedere al modului prin care miscarea curbilinie a fost rezolvata, putem concluziona ca fara modelul vectorial (reprezentarea prin vectori, compunerea, scaderea vectorilor si descompunerea unui vector etc.) si descompunerea miscarii curbilinii in miscari simple aceste probleme nu ar putea fi solutionate.

I.3.3. Paralela intre miscarea rectilinie si miscarea circulara

Cel mai simplu si cel mai intalnit tip de miscare curbilinie plana este

miscarea circulara, adica traiectoria mobilului este un cerc.

Pentru o mai buna intelegere, in tratarea miscarii circulare, un bun profesor de fizica ar apela la capitolele studiate anterior, realizand o serie de analogii care sa-l ajute in predare. O astfel de analogie intre miscarea rectilinie si miscarea circulara ar facilita mult predarea marimilor si legilor ce guverneaza miscarea circulara, oferind elevilor o imagine unitara asupra modului de abordare a miscarilor in fizica.

In cele ce urmeaza am folosit modelarea prin analogie, plecand de la ideea ca fiecarei marimi fizice caracteristice miscarii rectilinii ii corespunde cate o marime fizica caracteristica miscarii circulare si deci o lege fizica analoga.

	MISCAREA RECTILINIE	MISCAREA CIRCULARA
TRAIECTORIA	x0 x O      A B X - este o linie dreapta	B A - este un cerc
MAArectilinieie dreapta care saRIMI FIZICE	pozitia punctului material la un moment dat
	coordonata x	unghiul α
	deplasarea
	Liniara: Δx = x - x0	unghiulara: Δα = α - α0
	viteza
	Liniara: v = dx/dt	unghiulara: ω = dα/dt
	acceleratia
	liniara: a = dv/dt	unghiulara: γ = dω/dt
LEGI FIZICE ALE MISCARII	UNIFORMA
	- mobilul strabate distante egale in intervale de timp egale. a = 0, v = const.	- mobilul strabate arce egale in intervale de timp egale. = 0, ω = const.
	x = x0 - vt	t
	UNIFORM VARIATA
	- viteza variaza in cantitati egale in intervale de timp egale. a = const.	- viteza ungiulara variaza in cantitati egale in intervale de timp egale. = const.
	x = x0 + v0t + at2/2	α = α0 + ω0 t + γt2/2
	v = v0 + at	ω = ω0 + γt
	v2 = v02 + 2a(x-x0)

Intre marimile liniare s (drumul parcurs), v si a_t din miscarea circulara si marimile unghiulare α, ω si γ exista relatiile:

ŝ = α R

v = ω R → v = ω x R

a_n = ω²R → a_n = -ω²R

a_t = γ R

ω

γ

v