Oscilatii amortizate. oscilatii fortate

1.Oscilatii amortizate

Vom analiza in cele ce urmeaza cum influenteaza rezistenta mediului, oscilatiile unui punct material, presupunand ca forta de frecare este proportionala cu viteza.

Sa consideram un punct material de masa m, asupra caruia actioneaza o forta de tip elastic si forta de frecare . Ca urmare: ma = -ky - cv. Notand , respectiv , ecuatia miscarii este de forma: , sau : (1) , unde: si . Aflarea legii de miscare inseamna gasirea solutiei ecuatiei de mai sus. Vom face substitutia: y = ze^-bt si atunci ecuatia (1) devine : ( 2 ). Notand acum , ecuatia ( 2 ) este de aceeasi forma cu cea a oscilatorului liniar armonic, si deci are solutia de forma Solutia cautata este , unde a si α sunt doua constante care se determina din conditiile initiale. Oscilatiile descrise de relatia (3) se numesc amortizate deoarece prezenta factorului e^-bt, face ca amplitudinea sa scada exponential. Totusi se constata ca momentele la care punctul material, miscandu-se in sensul pozitiv al axei, trece prin pozitia de echilibru se succed la intervale de timp egale , care reprezinta perioada functiei , adica . se numeste perioada oscilatiilor amortizate. Se observa ca , altfel spus prezenta frecarii mareste putin perioada oscilatiilor. Totusi, daca rezistenta este mica (b<<ω), b² se poate neglija fata de ω² si se poate aproxima . In consecinta, o rezistenta redusa nu influenteaza practic perioada oscilatiilor. Se poate arata usor ca intervalul de timp dintre doua momente succesive la care oscilatorul trece prin pozitii de elongatie maxima, miscandu-se la dreapta este de asemenea . Asta inseamna ca daca elongatia maxima y₁ spre dreapta se realizeaza la momentul t₁, urmatoarea y₂ se produce la momentul . Cum din (3) rezulta:

si .

In general . Ca urmare amplitudinea oscilatiilor amortizate scade in progresie geometrica. Ratia acestei progresii, se numeste decrementul amortizarii, iar modulul logaritmului sau natural, este decrementul logaritmic.

Din cele de mai sus rezulta ca o rezistenta mica nu modifica aproape de loc perioada, dar ea duce la o stingere treptata a oscilatiilor, deci o micsorare a amplitudinii de oscilatie.

In cazul in care rezistente mari, cand b>ω, miscarea punctului material nu va mai fi oscilatorie, corpul revenind treptat spre pozitia de echilibru. Legea de miscare in acest caz, daca la momentul initial viteza este orientata in sensul pozitiv al axei Oy, are forma din figura urmatoare.

2. Oscilatii fortate

Fie acum un punct material de masa m, asupra caruia actioneaza o forta de tip elastic , una de frecare si forta , orientata in lungul axei Oy, care variaza periodic in timp dupa legea

Q = Q₀ sin wt.

Vom avea:

Ma = -ky - cv - Q = Q₀ sin wt .

Folosind notatiile de mai inainte si , ecuatia precedenta devine:

Teoria ecuatiilor diferentiale arata ca solutia este de forma y = y₁ + y₂, unde y₁ este solutia ecuatiei fara membrul al doilea, deci a ecuatiei (1), cere este de forma (3), iar y₂ este o solutie particulara a ecuatiei (4) in totalitatea ei. Aceasta solutie se cauta de forma membrului din dreapta, adica

y₂ = Asin(wt - b

unde A si β sunt doua constate care vor fi determinate in continuare. Prin derivare se obtine

respectiv

Inlocuind y₂ si derivatele sale in ecuatia (4), rezulta:

. Cum aceasta egalitate trebuie sa fie verificata pentru orice moment t, coeficientii lui sin(wt - b), si ai lui cos(wt - b)sunt respectiv egali. Prin urmare       si 2bwA = P₀ sin b. Ridi-cand la patrat si adunand, respectiv impartind membru cu membru relatiile anterioare se obtine: (5) si (6). Rezulta ca solutia ecuatiei (4) este de forma:

(7) ,

unde a si α sunt constante care se determina din conditiile initiale, iar A si β sunt cele gasite anterior si nu depind de conditiile initiale.

Aceste oscilatii sunt complexe, ele contin oscilatiile proprii, date de primul termen al ecuatiei (7), si oscilatiile fortate, date de al doilea termen al aceleasi ecuatii. Asa cum am aratat la punctul 1, oscilatiile proprii se amortizeaza si dupa un anumit interval de timp ele pot fi neglijate, iar punctul material va efectua oscilatii date de legea y = A sin(wt - b). Aceste oscilatii se numesc oscilatii fortate Ele sunt oscilatii armonice neamortizate, cu amplitudinea data de (5), de aceiasi frecventa cu cea a fortei externe si defazate in urma acesteia cu unghiul β dat de (6).

Sa analizam acum rezultatele obtinute. Utilizand notatiile:

, si ,

unde λ este raportul frecventelor, h, o marime ce caracterizeaza rezistenta mediului, δ, elongatia statica a punctului material sub actiunea fortei Q₀, (5) si (6) devin:

(8) si (9).

Aceste relatii arata ca A si β depind de doi parametri adimensionali λ si h. Forma acestei dependente este aratata in figura urmatoare, pentru cateva valori ale lui h. Se observa ca modificand raportul frec-ventelor, se pot obtine oscilatii fortate cu diferite amplitudini.

Atunci cand rezistenta mediului este foarte mica (asa se intampla in cazul oscilatiilor care au loc in aer) si λ este mult diferit de 1, se poate aproxima h 0. Ca urmare si b 0 (pentru λ < 1), b (pentru λ > 1)

Sunt interesante trei cazuri particulare:

Daca λ este foarte mic (ω<<ω₀) , si aproximand l 0 se obtine A d si b 0, adica oscilatiile fortate au amplitudinea egala cu deformatia statica δ₀, si sunt in faza cu forta exterioara.

Daca λ este foarte mare (ω>>ω₀) , valoarea amplitudinii devine foarte mica. Acest caz prezinta interes in cazul necesitatii eliminarii oscilatiilor unor aparate de precizie sau a unor constructii. Daca rezistenta este mica, neglijand 2hλ si 1 in raport cu λ², se obtine

In toate cazurile care prezinta un interes practic, h este mult mai mic decat 1. Daca in plus λ este apropiat de 1, amplitudinea oscilatiilor fortate devine maxima. Se spune ca avem de-a face cu fenomenul de rezonanta. (Din relatia (8) se vede ca A = A_max, atunci cand numitorul admite un maxim, iar acesta se obtine pentru λ_rez = 1-2h². Altfel spus rezonanta se obtine cand λ este cu putin mai mic decat 1. Practic insa neglijand h², se poate considera λ_rez = 1). Luand λ = 1, se gaseste ca si . Evident ca pentru valori mici ale lui h, amplitudinea poate atinge valori foarte mari, dar simultan durata regimului tranzitoriu creste. Pentru h = 0, aceasta durata este infinita, iar amplitudinea oscilatiilor creste la nesfarsit.

Din cele de mai sus se vede ca oscilatiile fortate au urmatoarele proprietati:

a) amplitudinea oscilatiilor fortate nu depinde de conditiile initiale;

b) oscilatiile fortate nu se amortizeaza;

c) frecventa oscilatiilor fortate este egala cu cea a fortei exterioare, ea nu depinde de caracteristicile sistemului oscilant;

d) se pot obtine oscilatii de mare amplitudine chiar daca forta externa este mica, in conditiile unei rezistente mici si a unui raport al frecventelor apropiat de unitate (rezonanta);

e) se pot obtine oscilatii fortate de amplitudine oricat de mica, chiar pentru forte externe foarte mari in situatia in care raportul frecventelor este foarte mare.

Bibliografie:

1.N.Barbulescu, Elemente de fizica generala, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1962

2.C.Kittel, W.D.Knight, M.A.Rudermann, Cursul de fizica BERKELEY, vol I, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981

3.S.Targ, lments de mcanique rationnelle, ditions MIR Moscou, 1975