Teorema momentului cinetic

Teorema momentului cinetic

1. Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale si al unui solid rigid. Teorema lui Koenig pentru moment cinetic.

Momentul cinetic al unui punct material de masa m, care se misca cu viteza , calculat in raport cu un punct fix O, este momentul vectorului impuls al punctului calculat in raport cu punctul O:

(15)

Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale de mase , si viteze , in raport cu un punct fix O, se obtine cu relatia:

(16)

Momentul cinetic al unui solid rigid se defineste prin relatia:

(17)

unde integrala se extinde pe intreg domeniul (D) ocupat de rigid.

Teorema lui Koenig pentru moment cinetic (enunt): Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale sau al unui rigid in raport cu un punct fix este egal cu suma dintre momentul cinetic in raport cu al centrului de masa in care se presupune concentrata toata masa sistemului (rigidului) si momentul cinetic al sistemului (rigidului) in miscarea sa relativa in raport cu centrul de masa:

(18)

Demonstratie: Se considera sistemul de puncte materiale , de mase . El este raportat la sistemul cartezian si la un sistem cartezian cu originea in centrul de masa si axele paralele cu ale sistemului (figura T 2). Intre vectorii de pozitie ai punctului fata de cele doua repere exista relatia:

Prin derivare in raport cu timpul, din (19) se obtine:

Din (16), (19) si (20) gasim ca:

Insa:

,

S-a tinut cont de faptul ca este momentul static polar fata de centrul de masa. El este nul deoarece (vectorul de pozitie al punctului C fata de reperul ).

Din (20) si (21) gasim acum (18).

2. Expresii ale momentului cinetic in diferite miscari particulare ale rigidului

2.1. Miscarea de translatie

In miscarea de translatie vitezele tuturor punctelor rigidului la un moment dat sunt egale intre ele si egale cu viteza centrului de masa. Neexistand miscare relativa fata de centrul de masa, avem:

(22)

Momentul cinetic al rigidului in raport cu punctul , in miscarea de translatie, se obtine ca si cum intreaga masa a rigidului ar fi concentrata in centrul de masa si s-ar deplasa cu viteza acestuia.

2.2. Miscarea de rotatie

In miscarea de rotatie viteza unui punct se obtine cu relatia . Vom considera cazul general in care axa de rotatie are o directie oarecare fata de un triedru mobil solidar cu rigidul. Vectorul viteza unghiulara si vectorul de pozitie sunt dati prin:

Avem succesiv:

Proiectia a momentului cinetic pe va fi:

.

Procedand similar pe directiile si obtinem urmatoarele proiectii ale momentului cinetic in miscarea de rotatie:

,

(23)

Cazuri particulare:

Daca axa coincide cu axa de rotatie, atunci . Proiectiile momentului cinetic devin:

(24)

Daca axa coincide cu axa de rotatie iar rigidul este corp de revolutie , atunci momentul cinetic are directia axei de rotatie:

(25)

2.3. Miscarea rigidului cu punct fix

In miscarea rigidului cu punct fix (miscarea sferica) viteza unui punct arbitrar are aceiasi forma cu cea din miscarea de rotatie astfel incat expresiile (23) ale proiectiilor momentului cinetic raman valabile. Vectorul nu mai pastreaza insa suportul fix.

Daca axele reperului mobil Oxyz se aleg astfel incat sa coincida cu axele principale de inertie in raport cu punctul fix O, atunci:

iar

(26)

si sunt momentele de inertie principale in raport cu .

2.4. Miscarea elicoidala si miscarea plan-paralela

Deoarece in aceste miscari particulare distributia de viteze se obtine prin insumarea vectoriala a doua distributii de viteze, una corespunzatoare unei miscari de translatie si cealalta unei miscari de rotatie, momentul cinetic in raport cu originea reperului fix se obtine analog:

(27)

3. Teorema momentului cinetic in miscarea unui sistem de puncte materiale sau a unui rigid in raport cu un reper fix

Teorema momentului cinetic (enunt) : Derivata in raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale (rigid) calculat in raport cu un punct fix este egala cu suma momentelor fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului (rigidului), momente calculate in raport cu acelasi punct fix:

(28)

Demonstratie: Se considera sistemul de puncte materiale , studiat in paragraful 1.2. Se inmultesc vectorial la stanga relatiile (7) cu , si se aduna relatiile astfel obtinute:

In baza celei de-a doua relatii (6) suma dubla din (29) este nula. Prima suma din membrul drept reprezinta chiar momentul rezultant al fortelor exterioare calculat in raport cu . In plus,

.

suma a doua fiind nula .

In proiectii pe axele reperului cartezian fix relatia (28) se scrie:

, , (30)

4. Teorema momentului cinetic in miscarea unui sistem de puncte materiale sau a unui rigid in jurul centrului de masa

Enunt: Derivata in raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale (rigid), corespunzator miscarii acestuia in jurul centrului de masa, este egala cu momentul rezultant in raport cu centrul de masa al fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului:

(31)

Demonstratie: Se utilizeaza relatiile (18), (19) si (28).

.

S-a folosit faptul ca (teorema miscarii centrului de masa).

5. Teorema conservarii momentului cinetic

Teorema conservarii momentului cinetic (enunt): Daca in timpul miscarii sistemul de puncte materiale (rigidul) este izolat sau daca momentul rezultant al fortelor exterioare in raport cu este nul, atunci momentul cinetic al sistemului (rigidului) in raport cu punctul se conserva.

Demonstratie: Deoarece , din (28) se obtine ca , adica

Observatie: Daca numai una din proiectiile momentului rezultant al fortelor exterioare este nula, atunci momentul cinetic se conserva numai in raport cu axa respectiva. Astfel:

= constant.