STUDIUL PENDULULUI MATEMATIC. DETERMINAREA ACCELERATEI GRAVITATIONALE

STUDIUL PENDULULUI      MATEMATIC. DETERMINAREA ACCELERATEI GRAVITATIONALE

1.Materiale necesare

suport

fir inextensibil de cca. 80 cm lungime

corp de volum mic

cronometru

rigla gradata

2 .Teoria metodei (Consideratii teoretice)

Pendulul matematic care efectueaza oscilatii de mica amplitudine (<6˚) executa o miscare oscilatorie liniar armonica.

Desi traiectoria punctului material de masa m atasat de firul de lungime l este un arc de cerc , ea poate fi considerata aproximativ liniara, unghiul fiind mic si arcul confundandu-se cu coarda.

)

Conform principiului fundamental al dinamicii aplicat corpului ;

+ + = (1)

( acceleratia tangentiala pe directia .)

Proiectata pe axele si , ecuatia (1) devine :

In ecuatia (2) Gx = g sin ) = mg sin , in aproximatia unghiurolor mici sin exprimat in radiani si egal cu x/l

De aici a ≈ - x      (2  ), relatie care ne demonstreaza caracterul armonic al miscarii oscilatorii a pendulului , acceleratia proportionala cu elongatia si de sens contrar acesteia. Definim pulsatia acestei milcari (4) si deducem expresia perioadei acesteia (5) .

Din relatia (5) putem calcula si valoarea acceleratei gravitationale , daca se cunostem perioada T si lungimea l a firului.

Descrierea metodei

Se masoara perioada micilor oscilatii ale pendului pentru diferite lungimi ale acestuia. Se traverseaza graficul T= f ( ) si se calculeaza acceleratia gravitationala din panta dreptei.

Acceleratia gravitationala se poate calcula si utilizand metoda celor mai mici patrate. Efectuand masurarea unei marimi fizice y pentru diferite valori ale marimii fizice x, de care z depinde, obtinem perechile de valori experimentale :

(6)

Pe baza acestora se incearca reprezentarea dependentei marimii z de marimea x. Fie dependenta propusa liniara : y= ax+b (7) , coeficientii a si b pot fi determinati prin metoda celor mai mici patrate. In conformitate cu metoda celor mai mici patrate, dreapta cautata este cea caracterizata printr-un minium al sumei patratelor abaterilor de la ea ale tuturor punctelor din grafic. Vom admite ca acete abateri se masoara paralel cu axa y, ceea ce echivaleaza cu a admite ca masurile lui sunt exacte sau dau erori neglijabile fata de erorile ce afecteaza valorile individuale . Daca y reprezinta valorile definite de ecuatia obtinuta prin metoda celor mai mici patrate, y= ax+b, iar valorile observate, vom cauta sa luam pe a si b astfel ca suma

sau ceea ce este tot una cu :

sa fie minima. Daca n reprezinta numarul de puncte observate, presupunand ca toate sunt determinate cu aceeasi precizie, rezulta :

din care obtinem sistemul de ecuatii cu necunoscutele a si b:

(10)

b (11)

Din aceste ecuatii obtinem coeficientii dreptei (7)

a = (12)

b = (13)

Procedam apoi la tabelarea valorilor date ale lui si , pentru a obtine sumele care intervin in expresiile lui a si b si in fine le inlocuim in ecuatia dreptei.

3. Mod de lucru

Se masoara lungimea firului de care este atarnat corpului, de la punctul de suspensie pana la centrul de greutate al corpului. S e pune pendulul in oscilatie, departandu-l cu un unghi mic de la pozitia de echilibru si lasandu-l sa oscileze liber. Se masoara timpul t in care corpul efectueaza un numar de N oscilatii (20-50 cel putin). Se calculeaza perioada T=t/N acestor oscilatii. Se repeta masuratoarea de cel putin trei ori si se ia media valorilor obtinute. Se reia experimental pentru alte lungimi ale firului si se inregistreaza datele experimentale intr-un table.

Calculand pentru fiecare lungime a pendulului acceleratia g si facand in final media valorilor obtinute. Se traseaza graficul T=f( ) si se determina panta m=tg a dreptei obtinute. Se egaleaza cu 2, panta teoretica din relatia (5) si se calculeaza de aici g=4

Se compara rezultatul cu g aflat anterior. Cu datele din tabel se construieste tabelul sumelor pentru aplicarea metodei celor mai mici patrate.

Se calculeaza "a", panta dreptei din ecuatia (7) si se determina de aici g. Evident , b=0. Se compara rezultatele obtinute prin cele trei metode si se trag concluzii asupra oportunitatii folosirii uneia sau alteia.