INTRODUCERE IN SISTEMELE DE PRELUCRARE NUMERICA

INTRODUCERE

IN SISTEMELE DE PRELUCRARE NUMERICA

Obiectivele acestui capitol sunt

un scurt istoric al evolutiei sistemelor de calcul numerice;

studiul sistemelor de numeratii, al codurilor numerice si alfanumerice;

o prezentarea generala a suportului binar al electronicii numerice;

organizarea interna si functionarea unui microcalculator;

asemanarea si diferenta dintre microprocesor si microcontroler;

schema bloc a unui microcontroler

domeniile de utilizare ale microcontrolerelor;

evolutia pietei de microcontrolere

Scurt istoric

In acest paragraf sunt punctate succint principalele evenimente care au marcat aparitia si evolutia calculatorului (sau computer - in limba engleza desemnand calcule sau lucru cu numere), in general si a microcontrolerelor in particular.

1.1.1 Care a fost preistoria calculatorului ?

Istoria timpurie a calculatoarelor poate fi considerata incepand cu Charles Babbage, un inventator britanic, autorul masinii analitice in anul 1830. Ideea teoretica descria principii asemanatoare cu ceea ce fac si calculatoarele din ziua de astazi dar, dezvoltarea tehnologica din secolul trecut nu a permis realizarea practica a masinii.

O idee mai practica a avut-o americanul Hermann Hollerith care a patentat o masina de calculat in anul 1889. Masina lui Hollerith lucra cu cartele perforate si a fost utilizata ani de zile in scopuri statistice. Compania lui Hollerith, denumita Tabulating Machine Company a fost absorbita in anul 1924 de alta firma, formand impreuna vestita International Business Machines Corporation

Un pas esential in progresul calculatoarelor l-a constituit introducerea algebrei booleene, o algebra care lucreaza numai cu doua cifre 0 si 1. Algebra dezvoltata de Boole a permis implementarea ulterioara a calculatoarelor electronice, sisteme uriase care contineau milioane de mici comutatoare care nu puteau avea decat doua stari: deschis (asociat de regula cifrei 0) si inchis (1). Comutatoarele sunt cunoscute astazi sub denumirea de biti. In calculatoarele moderne, grupul de 8 biti este un bloc fundamental si are numele de octet (in limba engleza byte si prescurtat B).

In Marea Britanie Alan Turing a pus bazele logicii simbolice in anul 1937 (articolul On Computable Number), printr-o analiza comparata cu activitatea mentala umana. De asemenea, el a fost primul care a introdus conceptul algoritm, o metoda de prelucrare a datelor stabilita de un operator uman, precum si automatul capabil sa execute instructiunile algoritmului.

Al doilea razboi mondial a constituit un stimul puternic pentru dezvoltarea tehnicii de calcul. In Statele Unite, Mark Aiken a realizat MARK 1, un calculator format din 3304 comutatoare. Destinatia sa era, din pacate, strict militara: tabele de tragere pentru artilerie. Dezvoltarea teoretica adusa de Turing, a permis unei echipe britanice realizarea unei masini automate bazate pe comutatoare cu tuburi electronice, masina folosita pentru descifrarea mesajelor Enigma ale marinei militare germane.

1.1.2 Care a fost primul calculator electronic ?

Din punct de vedere istoric, primul calculator electronic universal din lume poate fi considerat ENIAC. Acesta a fost realizat de Statele Unite, continea 17 468 tuburi electronice ocupand o suprafata de 450 m Din punct de vedere al puterii de calcul al calculatoarelor actuale, ENIAC era mai putin performant decat un calculator de buzunar [1].

1.1.3 Care a fost salturile tehnologice majore in domeniul calculatorului electronic

Un prim salt tehnologic extraordinar a fost realizat de Bell Laboratories prin inventia tranzistorului, dispozitivul minune: mai rapid, mai mic si mai ieftin decat tubul electronic.

Progresele microelectronicii au permis realizarea, in anul 1958, de catre firma Texas Instruments, a primului circuit integrat, o reuniune de tranzistoare, diode, rezistente si condensatoare. Avantul tehnologic al microelectronicii, a facut posibila realizarea primelor calculatoare universale initial cu tranzistoare (generatia a II-a), ulterior cu circuite integrate (generatia a III-a).

Este anul 1969, si o echipa de ingineri japonezi de la compania BUSICOM sosesc in Statele Unite cu cererea ca unele circuite integrate pentru calculatoare sa fie facute folosind proiectele lor. Propunerea a fost facuta catre INTEL, iar Marcian Hoff a fost desemnat responsabil cu acest proiect. Pentru ca el era cel ce avea experienta in lucrul cu un calculator (PC) PDP8, i-a venit ideia sa sugereze o solutie diferita fundamental in locul constructiei propuse. Aceasta solutie presupunea ca functionarea circuitului integrat este determinata de un program memorat in el. Aceasta a insemnat ca configuratia ar fi fost mult mai simpla, dar aceasta ar fi cerut  mult mai multa memorie decat ar fi cerut proiectul propus de inginerii japonezi. Dupa un timp, cu toate ca inginerii japonezi au incercat sa caute o solutie mai simpla, ideea lui Marcian a castigat, si a luat nastere primul microprocesor.

1.1.4 Care a fost evolutia microprocesorului

In transformarea unei idei intr-un produs finit, Frederico Faggin a fost de un ajutor major pentru INTEL. El s-a transferat la INTEL, si doar in 9 luni a reusit sa scoata un produs din prima sa conceptie. INTEL a obtinut drepturile de a vinde acest bloc integral in 1971. In primul rand ei au cumparat licenta de la compania BUSICOM care nu au avut idee de ce comoara avusesera. In timpul acelui an a aparut pe piata un microprocesor numit 4004. Acela a fost primul microprocesor de 4 biti cu viteza 6000 operatii pe secunda. Nu mult dupa aceea, compania americana CTC a cerut de la INTEL si de la Texas Instruments sa faca un microprocesor pe 8 biti pentru folosinta in terminale. Cu toate ca CTC a renuntat la aceasta idee pana la sfarsit, INTEL si Texas Instruments au continuat sa lucreze la microprocesor si in aprilie 1972 a aparut pe piata primul microprocesor de 8 biti sub numele de 8008. Putea sa adreseze 16Kb de memorie si avea 45 de instructiuni si viteza de 300.000 de operatii pe secunda. Acel microprocesor a fost predecesorul tuturor microprocesoarelor de astazi. INTEL au continuat dezvoltarile lor pana in aprilie 1974 si au lansat pe piata microprocesorul de 8 biti sub numele de 8080 ce putea adresa 64Kb de memorie si avea 75 de instructiuni, iar pretul incepuse de la 360$.

Intr-o alta companie americana Motorola, si-au dat seama repede ce se intampla, asa ca au lansat pe piata un microprocesor de 8 biti 6800. Constructor sef era Chuck Peddle si pe langa microprocesorul  propriu-zis, Motorola a fost prima companie care sa faca alte periferice ca 6820 si 6850. La acel timp multe companii au recunoscut marea importanta a microprocesoarelor si au inceput propriile lor dezvoltari. Chuck Peddle paraseste Motorola pentru a se muta la MOS Technology si continua sa lucreze intensiv la dezvoltarea microprocesoarelor.

Pana la sfarsitul anului 1976, pe piata se gaseau deja 40 de tipuri diferite de microprocesoare pe 8 biti. Situatia a dus la dezvoltarea unor circuite periferice si de suport specifice pentru fiecare firma, multe dintre ele fiind gandite chiar inainte de lansarea microprocesorului .

In anul 1974 aparea primul procesor de 16 biti PACE (Processing and Control Circuit), urmat imediat de mai cunoscutele Intel 8086, Motorola 68000 sau Zilog Z8000. Utilizarea acestor procesoare in microcalculatoarele dezvoltate de Apple sau IBM au obligat la trecerea in faza urmatoare: microprocesoarele de 32 de biti (familia Intel iAPX432 - I 80x86 sau Motorola M 680x0). Limitarile tehnologice au impus o limita in dezvoltarea unor alte procesoare, preferandu-se o reorganizare a logicii procesului: in loc de a dezvolta procesoare complexe, cu mii de instructiuni s-a simplificat la maxim structura interna a circuitului, reducand drastic setul de instructiuni. Avantajul este evident: in locul unui procesor cu multe instructiuni (CISC - Complex Instruction Set Computing) la care se consuma mult timp pentru fiecare instructiune, un procesor cu putine instructiuni (RISC - Reduced Instruction Set Computing) va executa extrem de rapid orice instructiune. Simplificarea structurii interne prin micsorarea decodificatorului de instructiuni, a permis integrarea unor module noi, cum ar fi procesoarele de virgula mobila, cresterea vitezei de executie si, nu in ultimul rand, marirea magistralelor interne sau externe pana la 128 de biti. Realizari deosebite in domeniul procesoarelor RISC constituie familiile SPARC (Sun Microsystems), PowerPC (Motorola), MIPS (Silicon Graphics), Alpha (fost Digital Equipment Corporation, actualmente proprietatea Compaq) etc.

Dominarea procesoarelor RISC este contrazisa de o singura exceptie CISC notabila: familia Intel Pentium. Procesoarele RISC au permis realizarea unui mainframe impresionant: calculatorul Cray 3D, realizat de firma Cray Research in anul 1991 are in compunere 256 procesoare RISC de 64 biti, o frecventa a ceasului de 300 MHz si un hard-disk de 430 TB (430 000 000 MB).

Evolutia a continuat rapid, si la ora actuala vorbim de microprocesoare.. o fraza, doua.   

1.1.5 Cand s-a realizat primul microcontrler si care a fost evolutia sa

Integrarea in acelasi chip a circuitelor periferice a condus la realizarea microcalculatorului pe o singura structura - microcontrolerul.

Primul microcontroler, Intel 8048, (realizat in ) avea urmatoarea structura: unitate centrala, memorii RAM si ROM, circuite de intrare-iesire. Nici acest circuit nu a avut un mare succes. Abia in anul 1981, o data cu noul model IBM PC, microcontrolerul 8048 si-a dovedit versatilitatea, fiind folosit pentru controlul tastaturii acestor tipuri de calculatoare. Succesul deosebit al acestui microcontroler a condus la dezvoltarea continua a acestor dispozitive: au inceput sa fie integrate periferice pentru comanda unor dispozitive de afisare, convertoare analog/numerice (ADC) si numeric/analogice (DAC), numaratoare etc.

Unul din cele mai utilizate microcontrolere de 8 biti a fost Intel 8051, bazat pe o structura de 8048 la care se adaugau si o interfata seriala asincrona, doua numaratoare de 16 biti, avand de asemenea, capabilitati sporite pentru memorii. Avand exemplul firmei Intel, majoritatea celorlalti producatori au inceput sa produca circuite asemanatoare, unele dintre ele fiind nevoite sa cumpere licenta de productie.

In anul 1991 Philips a achizitionat licenta, deja anticului 8051, producand seria de microcontrolere 8xC552. Acestea aveau un nucleu 8051, la care se mai adauga un convertor analog/numeric cu 16 intrari, un numarator suplimentar cu registre de captura si comparare, un numarator pentru initializare (watchdog), doua iesiri de impulsuri modulate in durata, o interfata seriala sincrona pentru standardul I² C.

Controlerele au urmat indeaproape evolutia procesoarelor: concomitent cu circuitele pe 16 biti au aparut controlere similare (de exemplu Intel 80186); filozofia RISC a fost implementata si in universul controlerelor prin circuitele Siemens 80C16x sau Motorola 68332.

In incheiere, trebuie amintit de circuitele DSP (Digital Signal Processor sunt o sinteza a procesoarelor standard si a controlerelor. Aceste circuite, special proiectate pentru prelucrarea semnalelor in timp real, beneficiaza de o unitate de calcul in virgula fixa si flotanta extrem de performanta, au integrate circuitele principale de interfata (memorii, convertoare analog/numerice si numeric/analogice ultrarapide, comunicatii seriale sincrone si asincrone, numaratoare etc.), fiind capabile, de exemplu, sa efectueze calculul pentru o transformata Fourier rapida in 1024 de puncte in mai puti de 1 s. Astfel, ultima creatie a firmei Advanced Micro Device, procesorul Athlon, are un nucleu DSP care executa instructiuni specifice pentru: modem, Dolby stereo, fisiere MP3 si software ADSL [2].

1.2 Sisteme de numeratie

A fost dificil pentru oameni sa accepte faptul ca unele lucruri difera de ei si de modul lor de gandire. Acesta este probabil unul din motivele pentru care sistemele numerice care difera de cele zecimale sunt inca greu de inteles. Totusi, fie ca le vrem ori nu, realitatea este diferita. Sistemul numeric zecimal pe care oamenii il folosesc in viata de fiecare zi este de departe in urma sistemului binar folosit de milioane de calculatoare in lumea intreaga.

Prin sistem de numeratie se intelege totalitatea regulilor de reprezentare cu ajutorul simbolurilor denumite cifre. Sistemele de numeratie pot fi pozitionale si nepozitionale. Un exemplu de sistem pozitional este sistemul zecimal (ex. 125), iar de sistem de numeratie nepozitional sistemul roman (ex. XXL).

Intr-un sisem pozitional de baza B un numar N cu parte intreaga si parte fractionara, separate prin punct (virgula) se scrie sub urmatoarea forma:

N = b_n-1 b_n-2. b_i ..b₁b₀ , b_-1 b_-2.. b_-i . b_-(m-1) b_{-m ,} (1.1)

Simbolurile b_i sunt coeficienti cu care se inmultesc puterile Bⁱ ale bazei in dezvoltarea polinomiala a numarului pentru obtinerea valorii sale (exprimate in zecimal).

N = b_n-1B^n-1 + b_n-2B^n-2 .+ b_iBⁱ +..+b₀B⁰ + b_-1B^-1 +b_-2B^-2. + b_-mB^-m    (1.2 )

Fiecare sistem numeric se bazeaza pe o fundatie. La un sistem numeric zecimal, baza este 10, la binar 2, si la sistemul hexazecimal 16. Valoarea fiecarui zecimal este determinata de pozitia lui in relatie cu intreg numarul reprezentat in sistemul numeric dat. Suma valorilor fiecarui zecimal da valoarea intregului numar.

OBS: Pentru microcontrolere si microprocesoare sunt interesante, in special, sistemele de numeratie binar si hexazecimal. Chiar daca un sistem numeric zecimal este un subiect cu care suntem bine familiarizati, il vom discuta aici din cauza legaturii sale cu alte sisteme numerice.

Sistemul zecimal

Sistemul de numeratie zecimal este definit de baza lui 10 si de spatiul zecimal care este numarat de la dreapta la stanga, si consta din numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Aceasta inseamna ca numarul din capatul din stanga  a sumei totale este multiplicat cu 1, urmatorul cu 10, urmatorul cu 100, etc. (vezi figura 1.5)   

OBS: Se pare ca intre sistemul zecimal si numarul degetelor de la cele doua maini ar putea fi o legatura !

Sistemul binar

Sistemele numerice binare difera in multe aspecte de sistemul zecimal pe care il folosim in viata de zi cu zi. Baza lui numerica este 2, si fiecare numar poate avea doar doua valori, '1' sau '0'. Sistemul numeric binar este folosit in calculatoare si microcon-trolere pentru ca este de departe mai potrivit pentru procesare decat un sistem zecimal. Uzual, numarul binar consta din 8, 16, sau 32, de unu-uri si zero-uri, ca de exemplu

un numar binar cu 8 digiti, denumit byte sau octet.

Conversia binar-zecimal

Ceea ce ne ramane este sa ne acomodam cu logica care este folosita la sistemul numeric binar, sau cu cum sa obtinem o valoare numerica dintr-o serie de zero-uri si unu-uri intr-un fel in care sa-l intelegem, bineinteles. Aceasta procedura se numeste conversia dintr-un numar binar intr-unul zecimal.

Dupa cum puteti vedea, convertirea unui numar binar intr-unul zecimal se face prin calcularea expresiei din partea stanga (figura 1.6). Depinzand de pozitie intr-un numar binar, cifrele poarta diferite valori care sunt multiplicate cu ele insele, si prin adunarea lor obtinem un numar zecimal pe care il putem intelege.

Conversia zecimal - binar

A. Conversie zecimal-binara a unui numar intreg

Algoritmul de conversie zecimal-binara, N₁₀ -> N₂ sau D(decimal) -> B(binar) pentru un numar intreg se deduce pornind de la expresia (1.2 ) scrisa sub forma :

N = b_n-1 .2^n-1 + b_n-2.2^n-2 + b₃ .2³ + b₂ .2² + b₁ .2¹ + b₀ .2⁰ (1.3)

Prin impartiri succesive cu 2 se obtine:

N = 2.( b_n-1 .2^n-2 + b_n-2.2^n-3 + b₃ .2² + b₂ .2¹ + b₁ ) + b₀ (rest)

_________________ N₁ _____ _______ ______ _______

N₁ = 2. (b_n-1 .2^n-3 + b_n-2.2^n-4 + b₃ .2¹ + b₂ ) + b₁ (rest)

_______________ N₂__________________

N_k = 2(b_n-1 .2^n-k-2 + b_n-k-1. ) + b_k (rest)

S-au obtinut astfel resturile care sunt tocmai bitii numarului N exprimat in binar.

Exemplul 1.1 : 93D = ? B pe 8 biti;

---------- 0 ( 2¹ )

---------- 1 ( 2³ )

2 = 2. 1 + 0 ----------- 0 ( 2⁵ )

1 = 2. 0 + 1 ----------- 1 ( 2⁶ )

0 = 2. 0 +0 --------- 0 ( 2⁷ )

deci: 93D = 01011101B ; N = 0.2⁷ + 1.2⁶ +0.2⁵ +1.2⁴ +1.2³ +1.2² +0.2¹ + 1.

B. Conversia zecimal - binara a unui numar fractionar (subunitar)

Algoritmul de conversie zecimal-binara pentru un numar fractional se deduce pornind de la relatia (1.2) scrisa sub forma:

N = b_-1.2^-1 + b_-2.2^-2 + b_-3.2^-3 + .+b_-(m-1).2^-(m-1) + b_-m.2^-m (1.4)

Prin inmultiri succesive cu 2 se obtine:

N x 2 = b_-1 + b_-2.2^-1 + b_-3.2^-2 + .+b_-(m-1).2^-(m-2) + b_-m.2^-m+1

___________ N₂ _____ _______ ______ ______

N₂ x 2 = b_-2 + b_-3.2^-1 + .+b_-(m-1).2^-(m-3) + b_-m.2^-m+2

____________ N₃ _____________

.

N_k x 2 = b _-k + b_-k-1 + b_-m.2^-(m+k)

____ N_k __

Se obtin parti intregi (zero sau unu) care sunt tocmai biti numarului N exprimat in binar (inmultirea se opreste cand partea fractionala devine zero sau cand se considera satisfacator un numar de cifre binare pentru precizia stabilita).

Exemplul 1.2: 0, 625 D = ? B

0,625 x 2 = 1 + 0,250 ------ b_-1 = 1

0,250 x 2 = 0 + 0,500 ------- b_-2 = 0

0,500 x 2 = 1 + 0,0 --------- b_-3 = 1

0,000 x 2 = 0 + 0,0 --------- b_-4 = 0

deci: 0,625 D = 0.1010 B

Pentru conversia zecimal-binara a unui numar ce prezinta atat parte intreaga cat si parte fractionala se combina cei doi algoritmi. Astfel : N = 93,625D = 01011101.1010 B

N= 0.2⁷ + 1.2⁶ +0.2⁵ +1.2⁴ +1.2³ +1.2² +0.2¹ + 1.2⁰ +1.2^-1 + 0.2^-2 +1.2^-3

Sistemul de numeratie hexazecimal

Sistemul numeratie hexazecimal are numarul 16 ca baza a sa. Pentu ca baza unui sistem numeric este 16, sunt 16 cifre care se pot gasi intr-un numar hexazecimal. Aceste cifre sunt '0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F'. Literele A, B, C, D, E si F nu sunt altceva decat valorile 10, 11, 12, 13, 14 si 15. Ele s-au introdus ca un inlocuitor pentru a face scrierea mai usoara. Ca si la sistemul binar, aici de asemenea, putem determina cu aceeasi formula care este cel  mai mare numar zecimal pe care il putem reprezenta cu un numar specific de cifre hexazecimale. Exemplu: 16² - 1 = 256 -1 = 255 este cel mai mare numar cu doua cifre in hexazecimal (FF).

Uzual, numarul hexazecimal este scris cu un semn 'h' dupa sau '0x' inanitea lui, pentru a evidentia sistemul numeric. Astfel, numarul A37E ar fi scris mult mai corect ca A37Eh sau 0xA37E

Conversia hexazecimal-binar

Pentru a transla un numar hexazecimal intr-un  sistem numeric binar nu este necesar de a face nici un calcul ci simpla schimbare de cifre hexazecimale cu cifre binare. Pentru ca valoarea maxima a numarului hexazecimal este 15, aceasta inseamna ca este suficient sa se foloseasca 4 cifre binare pentru o cifra hexazecimala (vezi tabelul 1.1).

Tabelul 1.1

Exemplul 1.3 : 0xE41 = 111001000001

Conversia binar- hexazecimal

Pentru obtine reprezentarea hexazecimala a unui numar binar se p0rneste de la dreapta la stanga numarului binar, se grupeaza cate 4 biti si se inlocuesc cu echivalentul lor hexazecimal.

Exemplul 1.4:

1010001101111110= 1010001101111110₂ = A37E₁₆

Conversia hexazecimal-zecimal

Pentru acest tip de conversie exista doua metode. Prima este ilustrata in figura 1.8 si este bazata pe relatia (1.2) in care fiecare cifra a numarului se inmulteste cu numarul 16 la puterea data de pozitia sa in sirul numarului in hexazecimal. A doua metoda consta in conversia hexa-binar urmata de conversia binar-zecimal bazata tot pe relatia (1.2).

Conversia zecimal-hexazecimal

Se pot utiliza doua metodea:

se converteste din zecimal in binar si apoi in hexazecimal

Exemplul: 1.5

89₁₀ = 1011001₂ si apoi 01011001= 59₁₆.

se realizeaza conversia directa din zecimal in hexazecimal utilizand impartirea repetatala 16 si apoi se iau resturile in ordine inversa.

Exemplul 1.6: Sa se converteasca in hexazecimal numarul 41854₁₀

2325 = 16 x 145 + 5 rest = LSB

145 = 16 x 9 + 1 rest

9 = 16 x 0 + 9 rest = MSB

deci: 2325₁₀ =915₁₆

Adunarea si scaderea in hexazecimal se face intr-o maniera similara ca in zecimal.

Exemplul 1.7: 3A2B + primul numar

A9C1 al doilea numar

----- ----- ----------

E3EC rezultat

Se aduna cifrele de la stanga la dreapta. Daca suma dintre doua este peste 16, se retine valoarea care depaseste si se aduna 1 la suma cifrelor din pozitia urmatoare. Verificand, algoritmi prezentati obtinem in zecimal, 14891 ca prim numar, si al doilea este 43457. Suma lor este  58348, care este numarul  E3ECh cand este transferat in sistemul numeric zecimal.

La scadere daca numarul pe care il scadem este mai mare, imprumutam din urmatorul loc al valorii mai mari.

Exemplu 1.8: 2D46 - primul numar

1752 al doilea numar

----- ----- --------- ----- ------

15F4 rezultat

Verificand rezultatul, obtinem valorile 11590 pentru prmul numar si 5970 pentru al doilea, cand diferenta lor este 5620, ceea ce coresponde numarului 15F4h dupa transferul intr-un sistem numeric zecimal

1.3 Coduri numerice

Prin codificare se realizeza o schimbare aformei de exprimare a informatiei, altfel spus o translatare de limbaj. Exista doua tipuri de coduri: numerice si alfanumerice.

Prin intermediul cuvintelor binare se pot codifica numere din sistemul de numeratie binar, octal, zecimal, hexazecimal etc., rezultand respectiv coduri binare, octal-binare, zecimal-binare, hexazecimal binare etc.

Coduri numerice binare - NB

NB.1- Reprezentarea numerelor intregi fara semn.

Corespondenta intre un numar in sistemul binar si un cuvant (de cod) in binar poate fi chiar identitatea, adica cuvantul de cod este chiar numarul respectiv asa cum se prezinta in figura 1.9a.

					a)

Un cuvant de un octet poate reprezenta numere intre 0 si 255, deci o marime fizica exprimata printr-un cuvant de 8 biti poate fi masurata cu o rezolutie de 1/256. In cazul cand aceasta rezolutie nu este satisfacatoare pentru marimea respectiva (se exprima printr-un numar mai mare de 256) cuvantul care reprezinta in microcontroler va fi format din doi, trei sau mai multi octeti alaturati. Un numar zecimal N poate fi exprimat in binar printr-un numar de biti egal cu din log₂ N .

NB.2 - Reprezentarea numerelor fractionare fara semn

La fel ca si numerele intregi, numerele fractionare binare pot fi reprezentate printr-un cuvant binar ( figura 1.9b). Punctul (virgula) nu se reprezinta fizic (in registru sau locatie de memorie), dar programatorul trebuie sa stie intre care biti ai cuvantuluieste localizat.Uneori, fiecare numar binar de n biti ,avand valoarea zecimala 2ⁿ-1 (exemplu, n = 8; N=255) este inmultit (scalat) cu 2^-n , deci se reduce la un numar subunitar, punctul (virgula) se considera ca fiind localizat in fata bitului cel mai semnificativ.Valoarea maxima se reduce prin urmare la 1-2^-n, intervalul maxim de reprezentare in microcontroler fiind intre 0 si 1-2^-n.

NB.3 Reprezentarea numerelor cu semn

Pentru reprezentarea unui numar binar N intreg, cu semn, de n-1 biti,

N= b_n-2 b_n-3 b_n-4 b₂ b₁ b₀ (1.5)

cu valoare absoluta N= in tehica microprocesoarelor si microcontrolerelor este necesar un registru sau o locatie de memorie cu capacitatea de n biti. Bitul b_n-1 cel mai semnificativ (MSB) al registrului adaugat la cei n-1 biti va reprezenta semnul numarului : b_n-1=1 pentru minus, b_n-1=0 pentru plus. Exista trei forme (mai uzuale) de reprezentare anumerelor binare cu semn:

in marime si semn;

in complement fata de 1;

in complement fata de 2.

a) Reprezentarea numerelor binare (cu semn) in marime si semn.

In aceasta reprezentare bitul b_n-1=1 pentru minus, b_n-1=0 pentru plus, restul bitilor b_n-2 b_n-3 b_n-4 b₂ b₁ b₀ reprezentand numarul in valoare absoluta. Valoarea in zecimal a numarului se poate situa in intervalul:

-(2^n-1-1) < N < (2^n-1-1) (1.6)

Din relatia (1.6 ) se deduce ca un cuvant standard de un byte poate exprima numere in domeniu -127 +127.

Exemplul 1.9 :

N₁ = 01111101B = +125D

N₂ = 11111101 B = -125D

Un numar N cu semn, de lungime n-1 biti, poate fi reprezentat si scalat, adica impirtit cu 2^n-1 obtinandu-se conform relatiei (1.4 ) domeniul de existenta al numarului:

(1.7)

Pentru numarul scalat se considera ca punctul (virgula) este situat totdeauna dupa bitul de semn, MSB.

b) Reprezentarea numerelor binare (cu semn) in complement fata de 1

Fie numarul N cu lungimea de n-1 biti :

N= b_n-2 b_n-3 b_n-4 b₂ b₁ b₀ (1.8 )

Negatul acestui numar N (sau complement fata de 1) se obtine prin complementarea fiecarui bit.

Exemplul 1.10 N = 01111101 B = +125D

= 10000010 B = -125D

a)

Adunand cele doua numere se obtine:

N + = 11111111 B ( 1.9 )

Codurile de n biti pentru numerele intregi pozitive N ≤ 2^n-1 - 1 se obtin, la fel ca la reprezentarea prin marime si semn, adica este chiar numarul de n-1 biti la care se adauga in pozitia cea mai semnificativa b_n-1 = 0. Codurile pentru numerele negative de n-1 biti N ≥-(2^n-1-1) se obtine prin complementarea fiecarui bit b_i = , iar in pozitia cea mai semnificativa se adauga bitul b_n-1 = 1.

Obs Zero are doua reprezentari : 00000000 si 11111111

c) Reprezentarea numerelor binare (cu semn) in complement fata de doi.

Codificarea numerelor binare cu semn in complement fata de doi este foarte utilizata, in tehnica microprocesoarelor si microcontrolerelor deoarece simplifica efectuarea operatiilor armetice.

Din relatia ( 1.9 ) se obtine:

N + +1 =10000000 = 2ⁿ (1.10)

sau :

2ⁿ - N = +1, (1.11)

in care 2ⁿ - N este complementul lui N fata de doi.

Se convine a se exprima numarul negativ -N nu prin valoarea sa reala ci prin complementul lui fata de 2ⁿ si se scrie sub forma (-N):

(-N) = 2ⁿ - N = +1 (1.12)

Un numar pozitiv N de n-1 biti se codifica in complement fata de doi identic ca in complement fata de unu sau ca in marime si semn, adica sub forma unui cuvant de n biti cu cel mi semnificativ b_n-1= 0, iar numarul n-1 sunt exact bitii numarului, N.

Un numar negatv -N de n-1 biti se codifica in complement fata de doi astfel : se codifica in complement fata de 1 si se adauga 1 la bitul cel mai putin semnificativ (vezi relatia 1.10 ). Bitul de semn este b_n-1 =1, deci cu bitul de semn, cuvantul de cod complement fata de doi are n biti..

Nota: Practic complementul fata de doi al numarului zecimal N (negativ)se obtine in felul urmator:

Se face conversia din zecimal in binar;

Se face complementul fata de unu;

Se aduna 1 la bitul LSB;

Se adauga bitul de semn

Exemplul 1.12: Se considera numarul N= -125 in sistemul zecimal. Sa se reprezinte acest numar in codul complement fata de doi !

1. Conversia zecimal-binar fara bitul de semn (b₇ ); N= -125D .. -111 1101B,
2. Complement fata de 1;    = 000 0010B,
3. Se adauga 1 la bitul cel mai putin semnificativ; +1=000 0011B,
4. Se adauga bitul de semn si se obtine complementul fata de doi al lui N care este 1000 0011

In tabelul 1.2 se prezinta axa numerelor intregi pe intervalul [-128, +127] in cele trei reprezentari.

Toate consideratiile privind codificarea numerelor cu semn s-au facut pentru un numar intreg de n biti. Acestea se pot extinde si asupra numerelor fractionare, dar in acest caz este necesar pentru codificare un cuvant pe n + m biti plus bitul de semn. Numerele fractionare pot fi apoi scalate prin impartire cu 2^n-1, deci punctul (virgula) va fi situat dupa bitul de semn. Toate aceste codificari scalate cu punctul (virgula) dupa bitul de semn se numesc reprezentare in virgula fixa. Exista si reprezentarea in virgula flotanta dar nu face obiectul acestei lucrari.

Tabelul 1.2.

Coduri zecimal-binare -BCD

In aceasta clasa de coduri zecimal-binare, BCD (Binary Coded Decimal ) multimea X a sursei primare de informatie care trebuie codificata este formata din simbolurile cifrelor 0,1,28,9, iar multimea cuvintelor de cod trebuie sa contina cel putin zece cuvite distincte. Cuvintele de cod trebuie sa aiba cel putin patru bitit deoarece 2³ < 10 < 2⁴ =16. Stabilind corespondente intre mulimea cifrelor zecimale si multimea celor 16 cuvinte binare de patru biti se obtin in total posibilitatii de codificare. Din acest mare numar de coduri posibile exista anumite variante mai uzuale care pot fi divizate in coduri ponderate si coduri neponderate.

Un cod ponderat asociaza fiecarei cifre zecimale o tetrada binara, iar ponderea fiecarui bit din tetrada este egala cu valoarea cifrei din denumirea codului. Cifra zecimala codificata se obtine prin suma bitilor din cuvantul de cod, ponderati cu valoarea corespunzatoare din denumirea codului.

Pentru codul ponderat simbolizat prin 8421, in cuvantul din cod, bitul zero are ponderea 1(=2⁰), bitul unu ponderea 2 (= 2¹), bitul doi ponderea 4 (=2²) si bitul trei ponderea 8 (=2³). Deoarece fiecare bit are ponderea numararii in binar si cuvintele de cod chiar numerele succesivein sistemul binar natural, acest cod se mai numeste codul zecimal-binar natural NBCD (Natural-Binary-Coded-Decimal ); in terminologia curenta este denumit (impropiu) doar codul BCD.

Exemplul 1.13: Reprezentarea numarului zecimal 86 in codul NBCD (8421).

Daca numarul zecimal este mai mare de 99, atunci cuvantul de cod necesita mai mult de un bait.

Exemplul 1.14: Numarul 9438 D va avea corespondentul 1001 0100 0011 1000 in codul NBCD

Alte coduri ponderate mai cunoscute sunt: codul 2412 (sau codul Aiken), codul 4221 si codul 7421.

Dintre codurile neponderate cele mai cunoscute sunt:

Codul EXCES 3, care se obtine din cuvantul de cod 8421 al cifrei zecimale respective, la care se adauga 0011, adica 3 in binar.

Codul Gray, care are proprietatea de adiacenta, in sensul ca trecerea de la o cifra zecimala la urmatoarea se face prin modificarea unui singur bit al cuvantului de cod. Acest cod este util pentru marimile care cresc succesiv cum este cazul, spre exemplu, la traductoarele unghiulare de pozitie.

Codul 8421 cu bit de paritate, este un cod detector de erori folosit la transmiterea informatiei in medii puternic influentate de zgomot. In codurile detectoare de erori fiecare cuvant are un numar par sau impar, de exemplu, de biti 1. La emisie se adauga sau nu fiecarui cuvant un bit unu, astfel incat numarul de biti sa fie par sau impar (dupa conventia codului ). La receptie se numara in fiecare cuvant numarul de biti 1 si se determina daca este par sau impar, stiind in felul acesta daca pe calea transmisiei , informatia a fost eronata.

1.4 Coduri alfanumerice

Codurile alfanumerice sunt utilizate pentru introducerea si memorarea unor mesaje, comenzi, texte si elemente cu caracter grafic. In mod uzual se codifica 52 de simboluri pentru literele alfabetului (mari si mici), 10 simboluri pentru cifrele zecimale si circa 28 simboluri pentru caractere speciale si semne de punctuatie. Cu 8 biti se pot codifica un numar de 255 de caractere si simboluri, alegerea se face pe baza unor considerente ce asigura portabilitatea minima de eroare in prelucrarea si transmiterea datelor codificate. Cel mai raspandit cod alfanumeric este ASCII (American Standard Code for Information Interchange). In tabelul 1.3 se prezinta conversia ASCII pentru caracterele utilizate in Europa (Code table 437), in doua variante: pentru afisaje florescente si pentru afisaje de tip LCD (Liquid Cristal Display). Conversia se face pe baza valorii in hexazecimal a simbolului (valoare stabilite in ordinea coloana, linie). De exemplu caracterul A corespunde la 41 hex. sau 65 zecimal. Caracterele speciale sunt codificate cu valori mai mari de cat 7FH . Caracterele codificate cu valori mai mici de 20H (32 zecimal) nu se afiseaza si sunt in general destinate unor comenzi (LF-sfarsit de linie, CR- linie noua, etc.) [ ]

Tabel 1.3

Cifrele 0..9 au codurile ASCI corespunzatoare 30H,..39H. Prin urmare, pentru aconverti o cifra ASCI in cod zecimal este necesara mascarea semioctetului superior al codului ASCI. In mod similar, pentru ausura conversia din caractere mici in caractere mari, acestea difera doar prin bitul 5 (vezi exemplul anterior pentru caracterele `a` si `A` adica 61H si 41H).

1.5 Notiuni de aitmetica binara

Dupa cum s-a aratat la codificarea informatiei, microprocesorul sau microcontrolerul opereaza (proceseaza) asupra cuvintelor indiferen de sensul semantic al informatiei ce se atribuie aceluiasi cuvant. Sarcina ca intr-o procesare sa participe cuvantul care contine informatia utila revine programatorului deoarece microcontrolerul sau microprocesorul proceseaza cuvantul, indiferent de semantica lui.

a) ADUNAREA numerelor binare intregi fara semn.

Se considera doua numere fara semn A si B reprezentate pe 8 biti, deci in zecimal 0 ≤ A ≤255 si 0 ≤ B ≤255. Prin insumarea acestor numere se poate depasi capacitatea de 8 biti. In aceasta situatie bitul de transfer de la b₇ la b₈ (pentru care nu exista loc in acumulator sau in registrul de lucru al UAL ) se inscrie intr-un bistabil exterior ( care ar putea fi considerat bitul al 9-lea al cuvantului) denumit bit de transport, fanion de transport, simbolizat prin abreviatia CY (CARRY).

Exemplul 1.15: sa se adune numerele A= 45D si B = 57D

Exemplul 1.16: sa se adune numerele A= 173D si B = 185D

Cand se aduna doua numere binare de 8 biti si rezulta bitul de transport CY=1 acesta indica faptul ca rezultatul depaseste capacitatea modulo 256=2⁸ (ex. 358=256 +102). Deci depasirea capacitatii de adunare a numerelor fara semn poate fi determinata prin testarea bitului CY. Evident ca bitul de transport poate fi adunat la urmatorul octet al numarului ce trebuie insumat daca numarul ce trebuie insumat are mai mult de un octet.

b) ADUNAREA numerelor binare intregi cu semn.

Pentru numerele cu semn testarea fanionului de transport CY nu mai da o indicatie asupra depasirii capacitatii. Depasirea capacitatii adica transfer la bitul b₇ (de semn) se face prin testarea bitului de semn si nu CY. Totusi si la aceste numere cu semn sesizarea depasirii se face prin testarea bitului CY, doar pentru octetii mai piutin semnificativi ai sumei in cazul cand cele doua cuvinte care se aduna reprezinta numere mai lungi de un octet, iar corectitudinea adunarii se face prin testarea bitului de semn.

Pentru adunarea a doua numere codificate in complement fata de doi care pot exista in intervalul -128 (cel mai mic numar negativ) si +127 (cel mai mare numar pozitiv) exista urmatorii algoritmi pentru verificarea corectitudinii operatiei de adunare:

b1) Adunarea a doua numere de semne opuse nu va genera niciodata depasirea capacitatii de reprezentare a numerelor in complement fata de doi pe un cuvant de 8 biti.

Exemplul 1.17 : Sa se adune cel mai mare numar pozitiv cu cel mai mare numar negativ (reprezentate in cod complement fata de doi) !

Exemplul 1.18: Sa se adune cel mai mic numar negativ cu cel mai mic numar pozitiv (reprezentate in cod complement fata de doi) !

b2) Adunarea numerelor de acelasi semn poate genera o depasire a capacitatii [-128, +127]. Depasirea capacitatii va duce implicit la schimbarea bitului de semn (b₇).

Deoarece adunarea a doua numere de acelasi semn trebuie sa genereze o suma cu acelasi semn, un test asupra bitului b₇ va indica un rezultat gresit (depasire) daca acest bit este diferit fata de bitii celor doi operanzi.

Exemplul 1.19: Sa se adune cl mai mic numar negativ cu cel mai mare (pe 8biti)

Exemplul 1.20: Sa se adune cel mai mare numar pozitiv cu cel mai mic (pe 8 biti)

c) ADUNAREA a doua numere in cod 8421 (BCD).

Exemplul 1.21: Fie, de exemplu, adunarea urmatoarelor numere; A= 179D si B= 278D.

Convertim cele doua numere din zecimal in cod BCD , fiecare operand ocupand doi baiti;

A= 0000 0001 0011 1001

B =0000 0010 0111 1000

se incepe adunarea cifrelor mai putin semnificative

----------

1 ← 0001 (rezultat gresit)

AC

Deoarece microcontrolerul aduna in binar, adunarea a doua tetrade implica o capacitate pana la modulo 16=2⁴, rezultatul poate fi gresit pentru ca in codul BCD capacitatea unei tetrade este doar 10 (modulo 10). Deci este necesara o ajustare a rezultatului prin adaugarea unei constante egala cu diferenta dintre cele doua baze (modulo), adica 16-10 = 6 sau 0110, valoare denumita ajustare zecimala.

8 1000

---------- ----------

1← 7 1 ← 0001 +

0110 (ajustare zecimala)

-----------

1 ← 0111 (7)

AC

Ajustarea zecimala 0110 trebuie adaugata numai cand suma celor doua numere depaseste valoarea 9, adica un transfer in baza 10. Pentru o adunare corecta a doi operanzi in BCD, rezulta urmatorul algoritm:

se efectuiaza suma A+B+6 si se testeaza rezultatul;

daca A+B+6 ≤15 sau A+B≤9 se ia ca rezultat corect suma A+B;

daca A+B+6≥15 se ia ca rezultat corect suma A+B+6.

In cadrul microprocesoarelor si microcontrolerelor adunarea a doi operanzi in cod BCD se face, in general, cu o instructiune de adunare obisnuita care trebuie urmata, obligatoriu de o instructiune de ajustare zecimala a acumulatorului DAA (Decimal Adjust Accumulator). Daca aceasta nu exista in setul de instructiuni al unui microcontroler, spre exemplu, ea poate fi implementata, insa, prin soft.

SCADEREA cuvintelor binare

Operatia de scadere a doi biti se face in felul urmator: cand se scade 1 din 0 se face un imprumut la bitul de rang superior; cand se scad doua numere cu lungimea de un bait se considera, la fel ca si la adunare, ca exista al 9-lea bit, bitul de transport CY.

a) scaderea numerelor fara semn:

Exemplul 1.22

Exemplul 1.23

In prima scadere scazatorul este mai mic decat descazutul, deci nu avem imprumut citre bitul b₇ (MSB) de la CY, deci bitul de transport este pus pe 0, iar daca descazutul este mai mic decat scazatorul exista imprumut catre bitul b₇ de la CY, deci bitul de transport este pus pe 1.Cand CY=1 diferenta rezulta negativa, dar care nu poate fi reprezentata ca un numar negativ. Deci CY =1 indica o depasire a capacitatii pentru scaderea numerelor fara semn. Desi CY=1 atat la transport (adunare)cat si la imprumut (scadere) aceasta nu inseamna ca imprumutul este identic cu transportul ci dimpotriva ele au semnificatii contrare. Aceasta se poate observa daca se inlocueste scaderea prin adunarea complementului, adica:

A-B = A+ (-B) ; (2.13)

In care (-B) este complementul fata de 2. Operatia de scadere din exemplul 1.22 va fi:

0 1 1 0 1 0 1 0 Scazator

----- ----- ----------

1 0 0 1 0 1 0 1 Complement fata de 1

----- ----- -----------

1 0 0 1 0 1 1 0 + Complement fata de 2

1 1 0 1 0 1 1 0 Descazut

----- ----- ------------

CY 0 1 1 0 1 1 0 0 Diferenta

1 ← 0 0 1 0 1 1 0 Transport

Aici, spre deosebire de scadere (1) in care CY=0, apare un transport CY=1, dar scaderea a fost inlocuita prin adunarea complementului fata de doi.

In cazul scaderii numerelor cu semn reprezentate in complement fata de doi depasirea capacitatii -128, +127 se face prin testarea bitului de semn b₇.

b) Scaderea numerelor cu acelasi semn: Nu va genera niciodata depasire de capacitate, deci rezultatul va fi permanent corect ( bitul de semn al diferentei va fi identic cu bitii de semn ai celor doi operanzi).

Exemplul 1.24:

Exemplul 1.25

c) Scaderea numerelor de semne diferit: Poate genera depasirea capacitatii -128, +127. Se poate determina corectitudinea rezultatului prin testarea bitului de semn rezultat, care trebuie sa fie identic cu al descazutului.

Exemplul 1.2.6

Rezultatul corect este +128 dar apare negativ pentru ca nu poate fi reprezentat pe 8 biti.

Exemplul 1.27

Rezultatul corect este -129, dar apare pozitiv deoarece -129 nu poate fi reprezentat pe 8 biti, deci s-a generat o depasire de capacitate.

In ultimele doua exemple bitul b₇ al diferentei este diferit de bitul b₇ al descazutului ceea ce indica rezultatul incorect.

OBS: Situatia de "depasire" apare atunci cand rezultatul operatiei cu numere cu semn nu poate fi reprezentat pe 8 biti. Aceasta situatie este semnalizata de bitul OV (overflow) care este setat in urmatoarele situatii:

este un transfer de la bitul b₆ la bitul b₇ dar nu este transfer de la bitul b₇ la CY;

este un transfer de la bitul b₇ la CY dar nu este transport de la bitul b₆ la bitul b₇.

Notiuni de logica binara si circuite logice

Toate formele de existenta ale materiei sunt, intrisec, si un suport de reflectare a informatiei. Semnalul electric (tensiune, curent sarcina), optic sau magnetic sunt suporturile cele mai potrivite pentru reprezentarea si procesarea informatiei in cadrul sistemelor tehnice in general si in cazul sistemelor mecatronice in particular. La aceste semnale parametrii amplitudine, faza, frecventa sunt cei care pot aproxima cantitativ informatia. Domeniul de definitie al acestor parametrii, in electronica analogica, este (cel putin teoretic) continuul aritmetic. In electronica digitala (digit - cifra in engleza), acesti parametrii au o determinare aritmomorfica, adica pot lua numai valori discrete. Aceste valori discrete se reduc, pentru majoritatea circuitelor uzuale, la doua nivele considerate prin conventie "1" (unu logic) si "0" (zero logic). In exprimarea curenta referirea la unu logic sau zero logic se face prin cuvantul bit, abreviatie din limba engleza BInary digiT (= cifra binara).

In practica electronica, dintre toate posibilitatile de reprezentare a cifrelor binare cea mai uzuala este prin doua niveluri distincte ale tensiunii, aceasta fiind o consecinta a faptului ca circuitele electronice care au in structura elemente ce prezinta doua stari ( tranzistoare unipolare sau biplare in regim de comutatie) sunt cele mai folosite. Deci, in astfel de circuite, diferentei de potential (fata de masa) intr-un anumit punct S, intr-un anumit moment de timp t, i se poate fixa, prin conventie valoarea binara "0" logic sau "1" logic.

In figura 1.1 se prezinta un montaj cu un trazistor bipolar , cu emitorul la masa. Daca intreupatorul K este deschis tensiunea U_BE este nula iar tranzistorul este blocat. Tensiunea in colectorul tranzistorului V_S este egala cu tensiunea de alimentare E. Nivelul logic in punctul S este 1-logic. Daca se inchide intrerupatorul K, tensiunea U_BE nu mai este nula. Ea depaseste valoarea U_BE0, iar tranzistorul intra in conductia maxima , adica saturatie. Tensiunea V_S este egala cu tensiunea de saturatie, care este foarte mica (poate fi considerata aproximativ egala cu zero ). Nivelul logic in punctul S este 0-logic.

b)

a)

Observatie: De fapt, pentru cele doua niveluri discrete de tensiune (nivel ridicat V_H si nivel coborat V_L ) in practica sunt considerate doua intervale ∆ V_H si ∆ V_L separate printr-o zona de incertitudine sau nedeterminare unde nu se stie daca este 0 sau 1.

Exemplul 1: Pentru familia de circuite integrate TTL (Tranzistor Tranzistor-Logic ) exista urmatoarele valori. V_cc = +5V, ∆ V_H =5V - 2,4V = 2,6V ; ∆ V_L = 0,4V - 0,0V

= 0,4V. Se spune ca semnalele de tensiune sunt valide (date valide) cand au valori situate in intervalele permise ∆ V_H , ∆ V_L .

Exemplul 2: Pentru familia de circuite integrate CMOS (Tranzistor Tranzistor-Logic ) exista urmatoarele valori. V_cc = +5V, ∆ V_H =5V - 2,4V = 2,6V ; ∆ V_L = 0,4V - 0,0V

= 0,4V. Se spune ca semnalele de tensiune sunt valide (date valide) cand au valori situate in intervalele permise ∆ V_H , ∆ V_L .

Algebra booleeana

Vine de la numele matematecianului englez George Boole . Ea este denumita si logica binara pentru ca opereaza pe o multime binara B al carei element generic poate lua doar doua valori (1 si 0):

B =

0 = element nul

1 = element unitate (universal )

pe aceasta multime binara B se definesc trei legi de compozitie (operatori) de baza:

1. complementare logica sau negatia ( se citeste non A, sau A negat );

2. disjunctia logica (suma logica, SAU, OR)

conjunctia logica (produs logic, SI, AND ).

Pe baza logicii binare s-au creat circuitele logice realizate, la inceput, pe cale electrica (prin combinatii de comutatoare cu doua starin inchis sau deshis), pe cale electronica Complementarea logica sau negatia este definita de tabelul de adevar din figura 1.3a (cu simbolul grafic corespunzator), adica marimea de iesire este totdeauna valoarea negata a marimii de intrare. Fizic, acest operator de negatie poate fi realizat de catre un releu, cu contact normal inchis (se reprezinta simbolic doar contactul normal inchis), sau de catre un tranzistor in regim de comutatie (intr-un montaj de amplificator cu saturatie in conexiunea emitor comun, ca in figura 1.1

Tabelele de adevar , simbolurile grafice, cat si implementarea prin contacte pentru disjunctia logica (suma logica, SAU, OR) si conjunctia logica (produs logic, SI, AND) sunt reprezentate in figurile 1.3b si respectiv 1.3c. In figura 1.3d este prezentat simbolul si tabelul de adevar ale functiei SAU-EXCLUSIV, XOR.

a

Y

b)

A

B

A

Y

c)

B

Y

d)

A

B

Functii logice: a) NU (NOT)- negatie, b) SI (AND) -produs , c) SAU(OR) inclusiv-suma, d) SAU (XOR) exclusiv - coincidenta