Siruri de variabile aleatoare. Legea numerilor mari - Teoreme limita

Siruri de variabile aleatoare. Legea numerilor mari.

Teoreme limita.

Teorema 5.1. (Inegalitatea lui Cebisev). Daca variabila aleatoare X are valoare medie si dispersie, atunci pentru orice are loc inegalitatea

care este echivalenta cu

Demonstratie. Vom considera cazul cand variabila aleatoare X este de tip continuu, adica are densitatea de probabilitate . In cazul discret, demonstratia urmeaza aceeasi cale.

De asemenea, ne ocupam numai de a doua forma a inegalitatii.

Din proprietatile densitatii de probabilitate avem ca

Deoarece avem ca prin urmare, putem face urmatoarele majorari:

Retinand extremitatile acestuii sir de relatii avem ca

adica a doua forma a inegalitatii lui Cebisev.

Din aceasta forma a inegalitatii se obtine cealalta, daca se foloseste probablitatea evenimentului contrar, adica

Observatia 5.2. Daca in inegalitatea lui Cebisev se ia unde atunci aceasta devine

Astfel, pentru se obtine

ceea ce inseamna ca probabilitatea ca valorile lui X sa se abata de la valoarea medie

mai putin de trei ori abaterea standard este nai mare decat

Definitia 5.3. Spunem ca sirul de variabile aleatoare converge in probabilitate la variabila aleatoare X, si vom nota daca pentru orice avem ca

Definitia 5.4. Spunem ca sirul de variabile aleatoare converge in medie de ordin k la variabila aleatoare X, si vom nota daca

Observatia 5.5. In cazul particular avem ceea ce numim convergenta in medie patratica. Asadar, aceasta are loc daca

Definitia 5.6. Spunem ca sirul de variabile aleatoare converge in repartitie la variabila aleatoare X, si vom nota daca avem ca unde si F sunt respectiv functiile de repartitie ale variabilelor aleatoare si X, iar limita considerata exista pentru orice punct de continuitate al functiei F.

Observatia 5.7. Se arata ca daca atunci care la randul sau implica

De asemenea, avem ca daca pentru , atunci

Definitia 5.8. Spunem ca sirul de varibile aleatoare urmeaza legea (slaba) a numerelor mari, daca pentru orice avem ca

adica

Teorema 5.9. (Markov). Daca sirul de variabile aleatoare verifica conditia (lui Markov)

atunci aceasta urmeaza legea numerelor mari, adica

oricare ar fi

Demonstratie. Se utilizeaza inegalitatea lui Cebisev pentru variabila aleatoare

anume

Trecand la imita in dubla inegalitate, astfel obtinuta, si avand in vedere conditia lui Markov, rezulta ca

Teorema 5.10. (Cebisev). Fie sirul de variabile aleatoare independente doua cate doua si care au dispersiile egal marginite, adica (L finit), atunci sirul urmeaza legea numerelor mari, adica

oricare ar fi

Demonstratie. Deoarece variabilele aleatoare sunt independente doua cate doua si au dispersiile egal marginite, se obtine ca

Daca se retin extremitatile acestui sir de relatii si se trece la limita, rezulta ca

deci conditia lui Markov este indeplinita. Aplicind teorema lui Markov se obtine afirmatia din teorema lui Cebisev.

Observatia 5.11. Daca in teorema lui Cebisev, variabilele aleatoare au aceeasi valoare medie, adica atunci avem

adica Prin urmare, media aritmetica a primelor n variabile aleatoare din sirul considerat isi pierde caracterul aleator, pentru .

Teorema 5.12. (Poisson). Daca intr-un sir de repetari independente ale unui experiment, probabilitatea de aparitie a evenimentului fixat A, la repetarea de rang n, este atunci

m fiind numarul aparitiilor evenimentului A in primele n repetari ale experimentului.

Demonstratie. Fie variabila aleatoare care ne indica aparitia evenimentului A la repetarea de rang k a experimentului. Atunci, variabila aleatoare va avea distributia

Variabilele aleatoare, astfel introduse, sunt independente si au dispersiile egal marginite, anume Folosind teorema lui Cebisev si avand in vedere ca

obtinem rezultatul din enuntul teoremei.

Teorema 5.13. (Bernoulli). Daca intr-un sir de repetari independente ale unui experiment, probabilitatea de aparitie a evenimentului fixat A, la fiecare repetare este

atunci

unde m este numarul aparitiilor evenimentului A in primele n repetari ale experimentului.

Demonstratie. Conditiile sunt aceleasi cu cele din teorema lui Poisson cu

. Prin urmare, folosind teorema lui Poisson, se obtine rezultatul dorit.

Teorema 5.14. (Leapunov). Fie sirul de variabile aleatoare independente pentru care exista momentele centrate de ordinul trei si care satisfac conditia (Leapunov)

si fie

atunci sirul de variabile aleatoare converge in repartitie la o variabila aleatoare ce urmeaza legea normala , adica

fiind functia de repartitie a variabilei aleatoare .

Observatia 5.15. Problema determinǎrii legii de probabilitate a variabilei aleatoare , definitǎ mai sus, cand , poartǎ denumirea de problemǎ limitǎ, iar teorema care rezolvǎ o problemǎ limitǎ se numeste teoremǎ limitǎ.

Dacǎ legea de probabilitate limitǎ este normalǎ, atunci avem o teoremǎ limitǎ centralǎ.

Prin urmare, teorema lui Leapunov este o teoremǎ limitǎ centralǎ si aratǎ rolul important pe care il are legea normalǎ, ceea ce se va vedea si mai departe, in statistica matematic

Corolarul 5.16. Fie sirul de variabile aleatoare independente si identic repartizate adicǎ au aceeasi lege de probabilitate, si fie si pentru orice , atunci sirul variabilelor aleatoare unde

converge in repartitie la o variabilǎ aleatoare ce urmeazǎ legea normalǎ adicǎ

fiind functia de repartitie a variabilei aleatoare .

Demonstratie. Vericǎm dacǎ este indeplinitǎ conditia din teorema lui Leapunov. Pentru aceasta avem c

Fiind indeplinitǎ conditia lui Leapunov, avem cǎ

adicǎ

urmeazǎ legea normalǎ , cand , ceea ce trebuie arǎtat.

Teorema 5.17. (Moivre-Laplace). Dacǎ variabila aleatoare X urmeazǎ legea binomialǎ, adicǎ are distributia

atunci, pentru avem c

adicǎ

Demonstratie. Dacǎ se considerǎ variabiale aleatoare independente, cu aceeasi distributie

atunci

Pe de altǎ parte, avem cǎ si folosind rezultatul corolarului precedent, se obtine cǎ

urmeazǎ legea normalǎ pentru . Prin urmare, se obtine cǎ

Folosind acest rezultat, se poate scrie succesiv

Observatia 5.18. Deoarece se obisnuieste ca formulele din teorema lui Moivre-Laplace sǎ se scrie

respectiv

Observatia 5.19. Folosind functia lui Laplace,

tabelatǎ in Anexa I, avem cǎ

Observatia 5.20. Deoarece functia lui Laplace este functie imparǎ, adicǎ aceasta trebuie tabelatǎ numai pentru argumente pozitive. Asadar, vom avea

Aplicatia 5.21. Dacǎ se doreste calculul urmǎtoarei probabilitǎti aceasta se obtine din faptul cǎ

Astfel, rezultǎ cǎ

Exemplul 5.22. Probabilitatea ca o unitate hoteliera sa fie ocupata in mod acceptabil intr-o zi este . Vrem sa calculam probabilitatea ca unitatea respectiva sa fie ocupata acceptabil intr-o luna de 30 de zile, un numar de zile cuprins intre 10 si 25.

Daca notam prin k numarul de zile cand unitatea este ocupata acceptabil, avem de calculat probabilitatea Deoarece si

avem ca

Din Anexa I se extrag valorile si deci putem scrie ca

.

Observatia 5.23. (Regula celor trei ). Daca in formula Moivre-Laplace se considera atunci

Prin urmare, rezulta ca . Deoarece, abaterea medie patratica a variabilei aleatoare X ce urmeaza legea binomiala este avem regula urmatoare cunoscuta sub denumirea de regula celor trei : probabilitatea ca frecventa absoluta k sa se abata de la valoarea medie mai putin de trei ori abaterea medie patratica este mai mare decat .

Aplicatia 5.24. Daca variabila aleatoare X urmeaza legea hipergeometrica, adica are distributia

atunci pentru si n suficint de mari se obtine

unde . Acest rezultat se bazeaza pe Observatia 3.12.