APROXIMAREA FUNCTIILOR PRIN METODA CELOR MAI MICI PATRATE

APROXIMAREA FUNCTIILOR

PRIN METODA CELOR MAI MICI PATRATE

1. INTRODUCERE

In cazul aproximarii functiilor numerice prin polinoame de interpolare, graficul functiei de aproximare trece prin toate punctele impuse. Deoarece valorile numerice , de cele mai multe ori, reprezinta rezultatele unor experiente fizice, aceste valori contin erori inerente. Erorile inerente din datele initiale pot conduce la obtinerea unor functii analitice care nu redau cu fidelitate fenomenul in cauza.

Fie de exemplu un set de valori obtinute experimental, a carui reprezentare grafica (curba punctata) este prezentata in figura 1. Din figura 1, se observa ca punctele A si B nu se supun aceleiasi reguli ca si celelalte puncte. De aceea, functia analitica a carui grafic ar trece prin toate punctele considerate ar conduce la mari variatii ale valorilor derivatei de ordinul intai, valori calculate in nodurile respective. Deoarece astfel de variatii nu sunt caracteristice fenomenelor tehnice, se procedeaza la obtinerea unei functii analitice a carui grafic nu trece obligatoriu prin toate punctele considerate (curba continua din figura 1), dar care urmareste redarea cat mai fidela a tendintei de evolutie a punctelor.

Fig. 1. Ilustrarea unor date obtinute experimental

In continuare, se pune problema determinarii unor functii analitice care sa aproximeze cat mai bine datele culese experimental.

Fie , o formula care stabileste o relatie de legatura intre x si y. Se defineste abaterea (eroarea) ca fiind diferenta dintre valoarea adevarata y (valoarea din tabel) si valoarea aproximativa , adica . Se presupune, de asemenea, ca se cunosc n valori ale functiei tabelate. Pentru determinarea functii analitice de aproximare este necesara estimarea formei acesteia, astfel incat asemanarea dintre graficul functiei analitice si cel al functiei numerice sa fie cat mai mare. Functia analitica poate fi: polinomiala, hiperbolica, exponentiala, geometrica, trigonometrica etc. In figurile 2, ., 7, sunt prezentate cateva dintre functiile intalnite frecvent in toate domeniile de activitate, si anume: functia putere, functia radical, functia exponentiala, functia geometrica, functia hiperbolica si functia trigonometrica.

Coeficientii functiei analitice, , se determina din conditia ca suma patratelor abaterilor () sa fie minima, adica :

(1)

Metoda de determinare a coeficientilor functiei analitice, care foloseste suma patratelor abaterilor, se numeste metoda celor mai mici patrate. Problema in cauza a mai capatat si denumirea de regresie, avandu-se in vedere determinarea functiei analitice ca urmare a cunoasterii valorilor tabelate.

2. Regresia liniara

Se presupun cunoscute valorile tabelate ale unei functii, corespunzatoare nodurilor . Se presupune de asemenea ca valorile tabelate pot fi aproximate cu o functie liniara

(2)

Constantele si trebuie astfel determinate incat suma patratelor abaterilor sa fie minima, adica:

(3)

Pentru ca S sa fie minim, trebuie ca derivatele partiale de ordinul intai ale lui S in raport cu necunoscutele si sa fie egale cu zero, adica:

(4)

Ordonand termenii, se obtine:

(5)

sau

(5')

Dupa rezolvarea sistemului (5') rezulta:

; (6)

Solutia ( ) exista si este unica atata timp cat sunt tabelate doua sau mai multe valori ale lui

Inlocuind solutia ( ) in ecuatia dreptei, se obtine aproximarea liniara prin metoda celor mai mici patrate.

3 Regresia polinomiala

Se presupune ca, dupa examinarea unui sir de date obtinute experimental, s-a ajuns la concluzia ca functia de aproximare poate fi un polinom de gradul in , adica:

(8)

Daca in relatia (8) se face substitutia: , rezulta:

(9)

Determinarea coeficientilor polinomului se face din conditia ca suma patratelor abaterilor, , sa fie minima, adica:

(10)

sa fie minima.

Pentru aceasta, trebuie ca derivatele partiale ale lui S, in raport cu necunoscutele , sa fie egale cu zero, adica:

(11)

Relatiile (11) formeaza un sistem de ecuatii liniare cu tot atatea necunoscute, sistem ce se rezolva printr-o metoda numerica adecvata (v. cap. 6).

4. Regresia hiperbolica

Se presupune ca reprezentarea grafica a functiei data tabelar seamana foarte bine cu o functie hiperbolica. Se pune problema determinarii expresiei analitice a functiei hiperbolice :

(12)

Pentru a folosi expresiile corespunzatoare regresiei liniare, se inverseaza functia hiperbolica, adica:

(13)

In acest caz, suma patratelor abaterilor va fi de forma:

(14)

Punandu-se conditia ca derivatele partiale ale lui in raport cu si sa fie egale cu zero, se obtine:

(15)

de unde rezulta:

(16)