Permutari, Matrice, Determinanti - probleme

Permutari, Matrice, Determinanti - probleme

Matrici

1) Fie A= B= . Sa se calculeze A+B.

2) Fie A= B= Sa se calculeze

a)     A+B; AB; BA

b)    A²; B²; A²-B²

3) Daca A= M₂(C), atunci a verifica ecuatia:

x² - (a+d)x +(ad-bc)I₂ =0

4) Fie A= M₃(Q). Daca f(x) = x²+3x+I₃, sa se calculeze f(A).

5) Fie A= M₂(Q). Sa se determine toate matricile XM₂(Q) astfel incat AX=XA.

6) Sa se determine x,z,z,u,v,w daca se cunoaste ca avem egalitatea:

2+ 3=

7) Sa se determine matricea X din ecuatia:

3X + = 2+

8) Sa se determine x si y, daca avem:

x+y=

9) Sa se determine valorile lui xR pentru care avem:

=

10) Sa se rezolve ecuatia:

X² =

unde Xeste o matrice patrata de ordinul 2 cu elemente numere reale.

11) Sa se calculeze suma:

12) Daca w este o radacina a ecuatiei x²+x+1=0, sa se caluleze suma:

13) Sa se gaseasca matriea X, in fiecare din cazurile:

a) x =

b) x =

c) x =

d) x =

14) Se considera egalitatea de matrice ² = . Sa se arate ca daca numerele a, b, c d sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele n-m, p-n, q-p au aceeasi proprietate.

15) Sa se afle matricea XM₂(R) daca:

x - x=

15) Fie A= si X=

a) Sa se determine u si v astfel incat AX=XA.

16) Fiind date matricile A= B= A,BM₂(R)

Se cere: a) Sa se calculeze patratul sumei matriceale A+B.

b) Sa se rezolve sistemul in x, y, z, t rezultat din egalitatea matriceala:

A^.B = .

17) Fie G multimea matricilor din M₃(R) de forma:

M_ab =

a) Sa se arate ca oricare ar fi doua matrici din G, M_a1b1 si M_a2b2 produsul lor este tot o matrice din G.

b) Sa se arate ca M_a1b1 ^.M_{a2b2 =} M_a2b2^. M_a1b1.

c) Sa se stabileasca daca IG.

18) Fie A, B, C M₃(R)

A =     B= C=

a)     Sa se calculeze (A+B+C)ⁿ, nN

b)    Sa se gaseasca x, y, z M₃(R) astfel incat:

19) Sa se determine matricea x M₃(N) astfel incat (1 2 4)x =(3 1 2)

20) Sa se rezolve ecuatia X² = stiind ca x_ij =0 pentru i+j = 4 (i,j = 1, 2, 3), x_ij elementele matricei X.

21) Fie matricea X= M₂(R)

a) Sa se arate ca X verifica relatia X²-2xX+ x²I=0.

b) Sa se calculeze Xn si sa se arate ca pentru nr. nN este adevarata :

nXⁿ⁺¹-(n+1)xXⁿ + xⁿ⁺¹I₂ =0

c) Sa se gaseasca x si y, astfel incat X^n.t(Xⁿ) = I_2.

22) a) Se considera matricea . Sa se determine toate matricele X, astfel incat A²X = XA² si sa arate ca nu exista nici o matrice Y astfel incat A²Y- YA² = .

23) Se considera matricea A = . Sa se calculeze Aⁿ, nN si limita fiecarui element al lui Aⁿ pentru n.

24) Fie M multimea matricilor patrate de ordin 2 de forma unde a,bR. Definim functia f: C, f(a+b^.i) = . Sa se arate ca:

a)     f este bijectiva;

b)    oricare ar fi z,z' C au loc egalitatile

f(z+z') = f(z) + f(z')

f(zz') = f(z)f(z')

25) Fie matricea A = astfel incat 0 <1.

a)     Sa se arate ca matricea Aⁿ este de forma .

b)    Sa se demonstreze ca sirurile (an) si (bn) sunt convergente si au limita zero.

26) Sa notam cu M multimea tuturor matricelor de tipul (m,n) in care toate elementele sunt nx+1 sau -1 si astfel incat produsul numerelor din fiecare linie si din fiecare coloana sa fie -1. Sa se calculeze numarul elementelor multimii M.

27) Sa se calculeze suma

28) Fie matricile A= si B= cu ad = bc.

a) Sa se arate ca exista un numar real r, astfel incat pentru orice KN sa avem A^k = r^k-1A.

b) Folosind egalitatea B = I+A. Sa se calculeze Bⁿ, nN

c) Sa se studieze convergenta sirurilor x_n, y_n care verifica egalitatile x₁ =p, y₁=q, = B.

29) Fie M multimea matricilor din M₂(R) de forma:

A=

a) Sa se arate ca oricare ar fi A, AM si A^. A A^. A.

b) Sa se calculeze R daca (A)² = (A) = A_o.

30) Fie matricile A,B M₃(R) unde

A = si B=

a)     Sa se calculeze: Aⁿ; B²ⁿ si B²ⁿ⁺¹

b)    Sa se arate ca Aⁿ+ B²ⁿ + B²ⁿ⁺¹ = 2ⁿ

31) Fie matricea A = . Sa se calculeze Aⁿ, nN

32) Fie matricea A = . Sa se calculeze Aⁿ, nN

33) Fie matricea M M₃(R), M = . Sa se calculeze Mⁿ.

34) Sa se calculeze sistemele matriceale:

a) b)

35) a) b)

36) Sa se rezolve sistemele:

a)

b)

37) Sa se determine matricile X de forma care au proprietatea XA = AX, unde a) A = b) B= .

38) Sa se rezolve in M M₂(R) ecuatiile matriciale:

a)     b)

39) X² = , vezi exercitiul 3.

40) a) x⁴ =     b) x⁴ =

41) Sa se rezolve sistemul stiind ca X este inversabila.

42) Sa se rezolve sistemul

43) Sa se rezolve sistemul

stiind ca X este matrice inversabila.

44) Sa se determine puterea n a matricelor A M₂(R)

a)     A = b) A =

45) Sa se determine puterea n a matricelor A M₂(R)

a)     A = =

b)    =

46) Sa se determine puterea n a matricelor A M₂(R)

a)     A =

47) Sa se determine puterea n a matricelor A M₃(R)

A =

48) Sa se determine puterea n a matricelor A M₃(R)

A =

49) Fie A, B, C A M₃(C) astfel incat A = BC, B = CA, C = AB. Sa se arate ca: A² = B² = C².

50) Fie matricea A cu proprietatea A² = A. Sa se demonstreze relatia:

(2A-I)⁴ = I.

51) Fie in M₂(R) egalitatea matriciala = . Sa se arate ca daca a₁, a₂, a₃, a₄ sunt in progresie aritmetica, atunci b₂ - b₁, b₃ - b₂, b₄ - b₃ sunt tot in progresie aritmetica.

52) Se considera matricea A = . Sa se calculeze Aⁿ si
B = .

53) Fie matricile A =     B = , a,b, c,d R. Sa se demonstreze ca daca A+B = AB atunci AB = BA.

54) Se considera matricea A_a,b = , B= R / determinantul nu depinde de x, Rx R*, = numarul elementelor lui B, C = , (a,b) B, (x,y), Rx R*

55) Fie M = A M₂(R)/ A = , x R, det.A =1,
BM. Daca K = A M₂(R)/ ddet.A 0 si det.(A+det.A*) =0atunci:

I a) B = B^-1; b) B+B* 0, c) det.(B-B*) = 4; d) B^.B* =0, e) B-B* =I.

II a) d =1; b) d=2; c) d=-1; d) d= 3; e) d= -2.

56) Fie M₂(R), A =

Pentru o matrice B M_m(C), mN, m2 fie (B)numarul minorilor nenuli ai lui B.

Atunci

I) (I_2n) = 2²ⁿ - 1; b) (I_2n) = 2²ⁿ; c) (I_2n) = 2²ⁿ + 1; (I_2n) = 2^2n-1; e) (I_2n) =(2n)!

II) a) 0 b) (A) = 4n²; c) (A) (^tA) d) rang A = n+1; e) (A) = C_3n²ⁿ+2n²-1.

57) Fie M = A_y M₃(R) A_y = , yD R. Daca (M_i) este un grup cu elemet neutru E, unde "^." este inmultirea matricelor din M₃(R) si S= A_y M A_y²A₁ = E A / simetricul lui A in grupul (M₁ atunci:

I) a) D=R; b) D=R c) D= R*; d) D=R ; e) A_yM inversabila.

II) a) S ; b) S= ; c) S= ; d) S= ; e) .

58) Fie X= M₂(R) astfel incat X³ = . Daca T=t³ si S= x+y+z+t atunci

I) a) T=1; b) T = ; c) T = ; d) T= 27; e) T= 36.

II) a) S=2; b) S= ; c) S = ; d) S=12; e) S= .

59) Fie inelul (A, +, ^.) unde A= x(a,b,c,d) M₃(R) x(a,b,c,d) = a,b,c,d R. Fie B = (a,b)Z*xZ/ b^.X(a,b,0,1) + aX(a, b, 1, 0) =X(b, a+16, a, b) , C= (b,d) R² / X^-1 (1,b,0,d) ^. X (-1,b,0,d) = X(-1, b², -8, d²)

S = ; T= atunci

I) a) S = -4; b) S =-3; c) S = -2; d) S = -1; e) S =0.

II) a) T = S; b) T = 4 S; c) T = 2S; d) T = -2s; e) T = -S.

60) Fie matricea A = . Sa se calculeze Aⁿ

61) Fie matricea A = . Sa se calculeze

62) Fie A o matrice de tipul (4,3) avand elemente numere naturale. Sa se determine aceasta matrice, astfel incat A = .

63) Sa se determine matricile A M₂(R) astfel incat A²+A+I =0. Sa se arate ca A este inversabila si sa se afle inversa sa.

64) Fie (A,B) matrici de ordinul n2 astfel incat AB =BA. Sa se arate ca:

a) A^kB^l = B^lA^k oricare K,lN

b) (A+B)^m = oricare mN

65) Fie A = . Sa se calculeze (I+A)ⁿ, unde nN

66) Pentru orice matrice A = (a_ij)matricea Tr (A) = , Tr (A) se numeste urma matricei A. Sa se arate ca

1) Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)

2) Tr( A) = Tr(A)

3) Tr(AB) = Tr(BA)

4) Tr(UAU^-1) = TrA

67) Determinati matricele A M₂(R), A = care au proprietatea ca: Aⁿ = oricare ar fi nN n2.

68) Determinati x,yR astfel incat A²+A =aI, unde A = M₂(R)

iar aR. Discutie.

69) Fie = si A = M₃(C). Calculati Aⁿ

70) Fie A,B M₂(R) astfel incat A+B = AB. Aratati ca pentru KN, K2, urmatoarele functii sunt echivalente:

a) A+B+B + . + B^K-1 =0 B) B^k = 0.

71) Fie A M_n(C) o matrice cu proprietatea ca exista KN* astfel incat A^K=0. Demonstrati ca matricea I-A este inversabila.

72) Fie A,B M₂(C) astfel incat A = A² si A+B =I.

a) Demonstrati ca exista KN astfel incat (A-A²)^k = 0

b) Aratati ca o matrice I+AB este inversabila.

73) Reduceti la forma esalon matricile:

a)

b)

74) Determinati numarul liderilor formei esalon pentru diferite valori ale lui R in urmatoarele situatii:

a)daca 2 + =0 atunci avem 3 lideri esalon, altfel 2 lideri.

b)

75) Stabiliti, cu ajutorul transformarilor elementare, daca urmatoarele matrici sunt inversabile si in caz afirmativ calculati inversele.

76) Scrieti ca un produs de matrice elementare de tip I, urmatoarele matrice:

a) , =

=

b)

77) Fie A = M₃(R).

a)     Determinati a astfel incat A sa fie inversabila.

b)    Pentru a=2 determinati A si rezolvati ecuatia AX =

78) Fie A = . Sa se arate ca pentru orice n2, nN* exista matricele x_n, y_n, z_n M₂(R) distincte si nenule astfel incat An = X_nⁿ+ Y_nⁿ+ Z_nⁿ.

79) Fie r, R, r0 si A = Aⁿ =

80) Fie A M_n(R) cu proprietatea ca A^.X = X^.A, pentru orice
X M_n(R). Demonstrati ca exista R astfel incat A = I.

81) Consideram multimea:

M = A = (a_ij)/ a_ij>0 i,j, i,j Aratati ca:

a)     Daca A,BM, atunci A^.X M.

b)    Daca AM, atunci

82) Fie A M_n(R cu proprietatea A² = A. Demonstrati ca (I-A)² = I-A si A(I-A) = (I-A) ^.A.

83) Fie A,B M₂(R) matrice inversabile, iar M = M₄(R). Demonstrati ca matricea M este inversabila si ca M^-1 = .

84) Fie M = N M_n(C) / KN astfel incat N^k =0 multimea matricilor nulpotente. Pentru NM se numeste coeficientul de nulpotenta al matriceiN, cel mai mic numar natural p cu proprietatea N^p =0. Definim e^N = I+N++ .+ daca NM si are coeficientul de nulpotenta p.

Demonstrati ca:

a) + = ^. pentru N₁, N₂ M.

b) e^N este matrice inversabila si (e^N) = e^-N pentru N M.

85) Fie H_k = (t_ij) o matrice de ordinul n definita astfel:

t_ij = unde K este un numar fixat din multimea:

-(n-1), -(n-2), ., -1, 1, 2, ., (n-1) . Demonstrati ca H₁^K = H_K, H_-1^K = H_-K daca 1kn si H₁^K = H_-1^K = 0 pentru Kn.

86) Fie A M_n(C) si ^tA transpusa sa.

a)     Demonstrati ca matricea B= A^{. t}A este o matrice sometrica (B =^{. t}B).

b)    Daca matricea A este inversabila atunci si A^-1 este simetrica.

c)     Daca matricea A este antisimetrica (^tA = -A) si inversabila, atunci si A^-1 este antisimetrica.

87) Demonstrati ca produsul a doua matrice simetrice ese o matrice simetrica daca si numai daca cele doua matrici comuta.

88) Demonstrati ca produsul a doua matrici antisimetrice este o matrice simetrica daca si numai daca cele doua matrici comuta.

89) Demonstrati ca produsul a doua matrici A, B antisimetrice este o matrice antisimetrica daca si numai daca AB = -BA.

90) Fie a, b, c indicii lui f = X³ + X + 1 C[X].

a)            Calculati

b)    Calculati a³ + b³ +c³;

c)     Calculati P =

d)    Sa se arate ca aⁿ + bⁿ +cⁿZ si sa se calculeze a¹⁰ + b¹⁰ +c¹⁰.

91) In M₂(R), I₂ = , A = si submultimea G = X(a)/a R si X(a) = I + aA. a) Sa se calculeze A²; b) Sa se arate I₂ G; c)Sa se demonstreze ca X(a) ^.X(b) = X(a+b+2ab), a, b (R); d) Sa se arate ca daca aatunci X(a) ^.X() = I₂; e) Sa se demonstreze ca tZ X() ^.X().X()X(t)

92) Se considera A = .

a) Sa se calculeze det.A si rang A.

b) Calculati A²; c) Sa se determine B = A + 2²A² + . + 2001²A²⁰⁰¹.

93) Fie A =

a) Calculati A²;

b) Sa se calculeze det.A si rang A.

c) Pentru xC definim B(x) = I + XA+X²A² + . + X²⁰⁰¹A²⁰⁰¹. Calculati B(x);

d) Sa se arate ca B(x) este inversabila pentru X C

94) Fie A = .

a) Calculati A² si A³.

b) Calculati det. Aⁿ, n = 2, 3, 10.

c) Verificati daca A² = 4A - 5I.

d) Aratati ca Aⁿ⁺¹ = 4Aⁿ - 5 A^n-1, n

e) Demonstrati ca Aⁿ I_n, nN

95) In M₂(R) A = si B = .

a)     Sa se arate ca E este inversabila si sa se calculeze A^-1;

b)    Calculati C = ;

c)     Calculati Cⁿ, Bⁿ , n

96) In M₂(R) A = , B = , C = .

a)     Aratati ca AB = BA, ACCA;

b)    Calculati Cⁿ.

97) In M₂(C) se considera submultimea H = / z, w C

a) Sa se verifice IH; b) A,B H ABH; c) Sa se demonstreze ca daca A H si det.A =0 atunci A =0; d) Sa se gaseasca A,B H astfel incat ABBA.

98) In M₂(C) se considera submultimea G = / z, w C

a) Sa se verifice AG atunci rang A <2 A =0.

b) Sa se determine XG astfel incat XAAX unde A = .

c)     Daca AG, A0 atunci exista A^-1 si A^-1G.

99) In M₃(C), A = si functia f: M₃ (C) M₃ (C) f(x)= X³.

a)     Calculati det.A, rang A.

b)    Calculati A² si A³.

c)     Sa se arate ca daca Y M₃ (C) si YA = AY, atunci a, b, c C astfel incat Y = .

d)    Sa se arate ca, daca Z = a, b, c C si det. Z =0 atunci Z³ = O₃.

100) In M₂(R) A = , I₂ = , G = X(a)/ si X(a) = aA + I₂, a R

a)     Sa se verifice I₂G;

b)    Sa se arate ca A² = 3A;

c)     Sa se arate ca X(a) X(b) = X(3ab+a+b) a,b R

d)    Sa se calculeze det.A, rang A;

e)     Sa se determine aR pentru care XX. X X= X(a).

101) Se considera A = B= .

a)     Caclulati AB si BA;

b)    Det.A si rang A;

c)     Verificati daca A² = B² =I;

d)    Exista A^-1? Atunci sa se determine;

e)     Sa se calculeze determinantul lui X = A + A²+ A³. + A²⁰⁰²;

f)      Sa se arate ca (AB)ⁿ I n.

A M₃ (C), A = .

a)     Determinati matricea X M₂ (C) stiind ca X = A² - (a+d)A+(ad-bc)I;

b)    Calculati A²⁰⁰² pentru A = ;

c)     Daca A =0, R atunci =0 sau A=0;

d)    Aratati ca daca K, k3 astfel incat A^k = 0 atunci A² =0;

e) Aratati ca pentru A,B,C M₂ (C) exista egalitatea (AB-BA)²C = C(AB-BA)².

103) Fie X = , Y = (1 1 -1), A = . Pentru a R definim B = aA + I₃.

a)     Calculati A - XY;

b)    Calculati A²;

c)     Sa se arate ca 2B-B² =0;

d)    Sa se arate ca nu exista A^-1;

e)     Sa se demonstreze ca B_n = I+anA.

104) Fie X = , Y= (-1 1 2 -2), A =

a)     Calculati XY-A; b) det.A, rang A; c) Calculati A².

105) Fie numerele reale distincte a, b, c, d, f, g : RR,
f(x) =(x-a)(x-b)(x-c)(x-d), g(x) = x³+x+1 si det. = .

a)     Verificati = (y-z)(z-x)x-y), x,y,zR

b)    Aratati ca = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c);

c)     Verificati daca A = , unde A = ;

d)    Verificati daca f'(a) = (a-b)(a-c)(a-d);

e)     Dezvoltati A dupa ultima linie si aratati ca

+ + + = 1.

106) Fie matricea A = .

a)     verificati A² = 5A;

b)    Aratati ca Aⁿ= 5^n-1A n;

c)     Aratati ca matricea A- A² + A³ -.+(-1)⁹⁹A¹⁰⁰ are toate elementele strict negative.

107) Fie d= a, b, c C

a)     Dezvoltand d aratati ca d= a³ + b³+c³+3abc;

b)    Folosind proprietatile determinantilor aratati d= (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc);

c)     Aratati ca a²+b²+c²-ab-ac-bc= ;

d)    Rezolvati 8^X+27^X+125^X =330^X.

108) In M₂(Z₅), A = .

a)     Calculati det.A;

b)    Calculati A²; A⁴;

c)     Determinati B M₂(Z₅

d)    Calculati A²⁰⁰¹.

109) In M₂ (R), A= si G = X(a)/ a R si X(a) = aA + I₂.

a)     Calculati det.A, rang A, aratati ca IG;

b)    Aratati ca X(a)X(b) = X(a+b+ab) a,b;

c)     Aratati ca X(1)..X(2001) = X(2002!-1).

110) Fie M _2,1(Z) si A= M ₂(Z

Definim f: M _2,1(Z) M _2,1(Z) f(x) = Ax, unde x=

a)     Verificati daca f(x+y) = f(x) + f(y);

b)    f(x) = f(x), Z

c)     Aratati daca det.A0 f injectiva, det.A f bijectiva.

111) Fie A= B= C= aA+bB, a,b R.

a)     Calculati det.A, rang A;

b)    Demonstrati ca rang(aA+bB) = 3ab0;

c)     Aratati ca atunci n N avem Xⁿ = t^n-1X;

d)    Determinati Cⁿ , n N

112) Fie matricea A = , A M ₂(R

i) Sa se determine multimea matricilor M = X/det.X =0, det.(A+X) = 0.

ii) Daca X₁, X₂ M sa se verifice daca suma X₁+X₂ M.

113) Fie matricea A = , A M ₂(R)cu ad, bc, b0, c0. Notam Aⁿ = . Sa se demonstreze ca = = , stiind ca AⁿA = A Aⁿ.

Rang matrici

1) Sa se determine rangul matricei A =

M _4,5(R

2) Fie matricile AM _3,4(R), B M ₃(R

A =     B =

Se cere:

a)     Sa se calculeze rangul matricei A;

b)    Sa se determine , R astfel incat rang A = rang B.

3) Se da matricea AM ₃(R), A = . Se cere:

a)     Sa se determine valorile lui pentru care A este nesingulara.

b)    Pentru = -3 sa se gaseasca inversa matricei A.

4) Sa se rezolve ecuatia matriceala AXB = C unde:

A =     B = C=

5) Sa se calculeze rangul matricelor urmatoare, pentru diferite valori ale lui :

a) ; b)

6) Sa se determine rangul urmatoarelor matrici, prin aducere la forma canonica diagonala, pentru diferite valori ale lui ,,, R

a) b)

7) Se considera matricile:

A =     B =

Sa se afle numerele p si q, astfel incat cele doua matrici sa aiba acelasi rang.

8) Sa se calculeze rangul matricei A = . Discutie dupa .

9) Fie A = B = . Se cere:

a)     Sa se gaseasca rangul matricelor A si B.

b)    Sa se calculeze AB.

c)     Sa se gaseasca rangul matricei AB.

d)    Sa se enunte teorema privind rangul a doua matrice.

10) Fie A() = , R

a)     Sa se gaseasca valorile lui pentru care rang A () <4.

b)    Pentru fiecare din valorile lui gasite mai sus sa se afle rangul lui A().

11) Sa se determine rangul matricei , ,,R

12) Fie matricea A = , m R. Ce rang maxim poate avea matricea A?

13) Fie matricele A = B = .

a)     Se cer ,R astfel incat rang A = 2.

b)    Cu si determinati mai sus si sa se calculeze AB.

14) Sa se calculeze rangurile matricelor

a) b) c)

R

15) Sa se calculeze rangul matricei A = unde m, iar a₁,...., a_m numere diferite intre ele .

16) Sa se afle valorile posibile ale rangului matricei unde a _in si a _mj sunt numere oarecare.

17) Sa se afle valorile lui C pentru care matricea

a) are rangul minim.

18) Sa se afle rangul matricei pentru diferite valori ale lui C

19) Sa se demonstreze ca rangul unei matrice nu se schimba daca:

a)     se transpune matricea;

b)    se inmultesc elementele unei linii sau unei coloane cu un numar nenul;

c)     se permuta intre ele doua linii (coloane);

d)    se adauga la elementele unei linii (coloane) elementele corespunzatoare ale altei linii (coloane) inmultite cu un numar oarecare.

20) Sa se calculeze rangul fiecareia din urmatoarele matrici:

a)     A =b) A=

b)    A = d) A =

e)     A = f)

g) A = h) A =

21) Sa se calculeze in functie de a R rangul matricilor

a) A = b) A =
c) A = d) A =

e) A = f) A =

22) Sa se calculeze in functie de a,b R rangul matricilor:

a)A= b)A= c) A =

d) A= d) A=

f) A =

23) Se considera matricile:

A = B = . Sa se afle numerele p, q R astfel incat cele doua matrice sa aiba acelasi rang.

24) Sa se determine rangul matricei A =

25) Sa se calculeze rangul matricilor pentru diferite valori ale parametrilor:

a) b)

d)    d)

26) a) Cum se poate schimba rangul unei matrici, daca se schimba unul din elementele sale?

b) Cum se poate schimba rangul unei matrici, prin schimbarea elementelor unei linii? Dar prin schimbarea elementelor a K linii?

Matrici inversabile

Sa se afle daca matricile sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

a) b) c)

a R

a) b)

a) b)

c) l C

4) Fie matricile A = si B = . Sa se calculeze: 2A-2B; AB; B^-1; B+ B^-1.

5) Sa se gaseasca matricile adjuncte ale urmatoarelor matrici:

A = B =

6) Sa se verifice daca urmatoarele matrici sunt inversabile si in caz afirmativ sa se calculeze inversele lor:

A = B = C =

7) Fie matricile A= B= Se cere:

a)     Sa se arate ca AB = BA = I;

b)    Sa se calculeze A^-1si B^-1 si sa se justifice rezultatul punctului a).

8) Sa se stabileasca daca urmatoarele matrici sunt inversabile si sa se gaseasca inversele lor:

A = B =

9) Sa se determine valorile parametrului real m, astfel incat matricea

A = sa fie inversabila pentru orice x R.

10) Fie matricea A = M₃ (C). Sa se afle valorile lui l pentru care matricea A este inversabila si sa se calculeze in acest caz A^-1.

11) Fie matricea A = M₃ (R), unde a R

a)     Sa se determine a, astfel incat A sa fie inversabila;

b)    Sa se determine a, astfel incat sa existe B M₃ (R), B 0 cu A^.B = 0.

12) Sa se rezolve ecuatiile matriceale:

a) ^.X ^. = ;

b) ^.X =

13) Sa se rezolve ecuatia matriceala

X ^. =

14) Daca X M₃ (R) sa se rezolve ecuatia matriceala:

X ^. =

15) Sa se rezolve pe cale matriceala:

16) Sa se determine a R, astfel incat urmatoarele matrici sa fie inversabile si sa se afle inversele lor:

a)     A = b) A =

c) A = d) A =

e) A = f) A =

17) Sa se rezolve ecuatiile matriceale:

a)     X ^. =

b)    X ^. =

c)     =

d)     ^.X =

18) Fie A = M₂ (C), astfel incat A³ =0. Sa se demonstreze ca matricea este inversabila.

19) Sa se afle daca matricile urmatoare sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

a) a R .b)

c) d)

20) Sa se afle daca matricile urmatoare, de ordin n, sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

a) b)

c) d)

21) Sa se arate ca pentru o matrice nesingulara A de forma:

A = inversa sa B = A^-1 este de forma

22) Fie A o matrice patratica cu coeficienti complecsi. Sa se demonstreze ca, daca exista k 2 astfel incat A^k=0, atunci matricea I-A este inversabilasi abem: (I-A)^-1 = I+A+.+A^k-1.

23) Fie A o matrice inversabila cu coeficienti complecsi. Sa se demonstreze ca (A^-1)^t = (A^t)^-1.

24) Fie A, B, C matrice astfel incat AB = AC. Sunt oare egale matricele B si C? Dar daca A este o matrice nesingulara?

25) Fie E matricea patratica de ordin n ale carei elemente sunt egale cu 1. Sa se arate ca:

a) E_n² = nE_n

26) Fie A M_n (C) de rang 1. Sa se arate ca:

a)     exista un numar astfel incat A² = aA;

b)    daca a -1 atunci matricea I+A este inversabila si avem:

(I+A) ^-1 = I -

Sa se deduca: inversabila daca si numai daca este nenula si sa se calculeze inversa.

27) Fie A o matrice nesingulara si B = XY, o matrice de rang 1. Sa se demonstreze ca daca matricea A+B este nesingulara, inversa sa este data de: (A+B)^-1 = A^-1B A ^-1, unde a = Y A ^-1X. Presupunand cunoscute matricele A^-1, X, Y, sa se calculeze numarul inmultirilor si impartirilor necesare pentru a trece de la A^-1 la (A+B)^-1.

DETERMINANTI

Sa se calculeze:

a) ; b) .

Fie = Sa se calculeze utilizand:

a) Regula lui Sarrus;

b) Regula triunghiului;

c) dezvoltarea dupa linia a 3-a;

d) dezvoltarea dupa coloana a 2-a;

e) dezvoltarea dupa linia 1-a, dupa ce in prealabil se vor obtine 2 elemente zero;

f) proprietatile determinantilor.

3) Sa se calculeze determinantii:

a) ; b) ; c) ; d) .

4) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

a) ; b) .

5) a) ; b) ; c)

6)

7) Sa se calculeze urmatorul determinant, punand sub formp de produs rezultatul:

=

] 8) Fie h_a, h_b, h_c, lungimile inaltimilor corespunzatoare laturilor de lungime a,b,c ale unui triunghi oarecare ABC. Sa se arate ca:

=

9) Fie determinantul =

a)            Sa se calculeze punand rezultatul sub forma de produs de 3 factori;

b)          Dezvoltand pe prin doua metode diferite sa se gaseasca egalitatea
a³+ b³ c³- 3abc = (a+b+c)( a² + b² + c² +ab-ac-bc).

10) Dandu-se ₁ = ; ₂ .

11) Sa se dezvolte determinantii trigonometrici:

a) ; b) ; c)
d) .

12) Daca A,B,C sunt unghiurile unui triunghi oarecare ABC sa se arate ca urmatorii determinanti au valoarea zero:

a) b) ;

c) .

13) Sa se rezolve urmatorii determinanti:

a) ; b) ; c) ; d) .

14) Sa se rezolve ecuatiile:

a) 0 = ; b) 0 =

15) Fie numerele N_i = scrise in baza 10, i = 1,2,3. Daca cele trei numere sunt divizibile cu 31, atunci si determinantul = este divizibil cu 31. Sa se generalizeze pentru n numere a cate n cifre si pentru un divizor oarecare b Z .

16) Sa se determine a, astfel incat ecuatia = 0 sa admita o radacina dubla numar intreg.

17) Sa se calculeze determinantii:

a) = =0;

b) = -i =0

18) Stiind ca radacinile x₁, x₂, x₃ ale ecuatiei X³ + X² +ax+b =0; a,b R sunt reale, sa se arate ca acestea sunt egale daca si numai daca = 0. Sa se rezolve in acest caz ecuatia data si sa se determine a si b.

19) Sa se calculeze determinantul = , stiind ca x₁, x₂, x₃ sunt radacinile ecuatiei: X³ - X² +5x-2 =0.

20) Cu ce semn va aparea in determinantul de ordinul 5 termenii:

a) a₁₄ a₂₃ a₃₁ a₄₅ a₅₂;

b) a₁₂ a₂₅ a₃₃ a₄₁ a₅₄.

21) In determinantul de ordin 4 se gasesc termenii urmatori?

a) a₁₃ a₂₄ a₃₃ a₄₂;

b)a₁₄ a₂₃ a₃₃ a₄₁.

22) Cu ce semn apare in determinantul de ordinul n, produsul elementelor de pe diagonala principala?

23) Dar de pe diagonala secundara

sgn = (-1).

24) Sa se scrie toti termenii care apar in determinantul de ordin 6 si sunt de forma a₁₅ a₂₄ a_3k3 a₄₁ a_5k5 a₆₂.

25) Folosind numai definitia determinantilor de ordin n sa se calculeze

a) = n!; b) = (-1)n!

26) Fie d = (a_ij)unde a_ij sunt numere complexe. Daca a_ij= oricare i,j atunci d este real.

27) Sa se verifice egalitatile:

a) = 2abc(a-b)(b-c)(c-a)

b) = (a+b+c)³;

c) = (xy+yz+zx)(x-y)(z-x);

d) = (a-1)⁶.

28) Sa se rezolve ecuatia:

29) Sa se rezolve ecuatia: = 0

30) Sa se rezolve ecuatia: = 0

31) Sa se calculeze determinantul de ordin n:

32) Sa se calculeze determinantul stiind ca x₁, x₂, x₃ sunt radacini ale ecuatiei X³ -2X² +2x+17= 0.

33) Sa se calculeze determinantul d = stiind ca x₁, x₂, x_3, x₄ sunt radacini ale ecuatiei X⁴ +pX² +qx + r= 0.

34) Sa se demonstreze prin inductie dupa n: =

35) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

a) ; b) ; c) ;

c)           ; e) ;

f) .

36) Sa se rezolve ecuatiile urmatoare:

a) =0; b) = 0; c) = 0;

d) = 0; e) = 0;

f) = 0; g) = 0; h) = 0; i) = 0; = 0.

37) Fara a dezvolta sa se demonstreze urmatoarele egalitati:

a)           

b)   

c)     = 0; d) = 0; e) = 0; f) = 0; g) = 0

h) = 0; i) = 0

38) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

a) b) ;

c) ; d) .

39) Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati:

a) 0, a, b R

b) 0;

c) 0, a, b, c R

d) 0; e) 0;

f) 0; g) 0 a,b,c,x,y,z R

40) Sa se calculeze determinantul , stiind ca numerele a₁,. sunt:

a)            in progresie aritmetica;

b)          in progresie geometrica.

41) Sa se determine a R astfel incat ecuatia = 0 sa aiba o radacina dubla numar intreg.

42) Sa se calculeze determinantul = , stiind ca x₁, x₂, x₃ sunt radacinile ecuatiei X³ +pX +q = 0.

43) Sa se calculeze urmatorii determinanti de ordin n:

a)

b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

44) Sa se rezolve ecuatia: c = 0, a R

45) Sa se arate ca = 0.

46) Se considera f(x) = , g(x) = , h(x) = .Sa se arate ca oricare ar fi tripletul a,b,c avem: = 0.

47) Sa se arate ca:

= = 1+ x₁ + . + x_n

48) Daca numerele , , . sunt divizibile cu N atunci determinantul este divizibil cu N.

49) Sa se rezolve ecuatia: = 0.

50) Daca p < m atunci = 1.

51) Fie ecuatia algebrica Xⁿ +a₂ X^n-2 + a₃ X^n-3 + . + a_n = 0, a₂ , ., a_n C. Sa se calculeze determinantul .

52) Sa se calculeze determinantul de ordinul n .

53) Sa se arate ca: = (y₂-y₁) ..(y_n-y₁).

54) Sa se arate ca = 0, unde a, b, c sunt lungimile corespunzatoare laturilor unui triunghi, iar h_a, h_b, h_c sunt lungimile inaltimilor corespunzatoare.

55) Fie matricea de ordinul 2: A = .

i) Sa se arate egalitatea: A² - (a+d)A + (ad-bc)I = 0;

ii) daca exista un k2 astfel incat A^k = 0 atunci A² = 0.

56) Fie A = , a_ij R, B = M_n (R). Sa se arate ca, pentru n = 2,3: det.(A+B) det.(A-B) (det.A)² .

57) Sa se calculeze valoarea maxima (respectiv minima) a determinantilor de ordinul 4 ale caror elemente sunt -1 si +1.

58) Sa se calculeze urmatorii determinanti:

i) = ; ii) =

iii) =

iv) =

v) =

vi) =

vii) =

viii) =

ix) =

x) =

59) Fie f un polinom de gradul n cu f R si f ^(k) derivata de ordin K a polinomului f. Sa se demonstreze ca determinantul urmator este independent de x.

=

60) Un determinant de ordinul 3 are elementele de pe diagonala principala egale cu , iar suma elementelor de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana este egala cu 1. Sa se demonstreze ca > 0.