Propozitie, predicat, cuantificatori

Propozitie, predicat, cuantificatori

In calculul propozitional se studiazǎ propozitiile din punctul de vedere al adevǎrului sau falsitǎtii lor, neluandu-le in considerare continutul lor. Vom nota propozitiile prin literele p, q, r, ,etc.

Exemplu: Sa consideram propozitia

p: "Daca George este om atunci George este muritor"

Daca q reprezinta propozitia "George este om" iar r reprezinta propozitia "George este muritor" atunci, in contextul limbajului calculului propozitional, propozitia p devine: p : q g r unde semnul g este semnul de implicatie logica. p exprima anumite caracteristici ale unei anumite persoane particulare, respectiv George. Cum putem insa exprima proprietati similare ale altor persoane, cum ar fi Socrate sau Petre? O solutie ar fi sa introducem tot atatea simboluri propozitionale diferite cati oameni exista! Dar acest lucru este imposibil in practica si el poate fii rezovat prin introducerea notiunii de predicat si a cuantificatorilor.

Daca consideram propozitia p si daca presupunem ca x este o variabila care ia valori in multimea numelor de persoane, de exemplu:

x = George sau x = Ion sau x = .

si daca "Om" si "Muritor" sunt simboluri ce reprezinta proprietati, atunci putem reprezenta relatia generala intre aceste proprietati prin:

p : Om(x) g Muritor(x)

Astfel de reprezentari, cum ar fi "Om(x)" sau "Muritor(x)", care exprima relatii generale sub forma de proprietati, se numesc predicate. O formula, de exemplu p de mai sus, este o reprezentare care contine predicate legate prin conectori logici.

Substitutia variabilei x cu constanta "George" transforma p in formula:

p : Om(George) g Muritor(George)

Predicatele pot contine mai multe variabile, exprimand astfel nu numai proprietati, dar si relatii intre mai multe obiecte. De exemplu, daca variabilele x si y iau valori in multimea numerelor intregi si daca introducem predicatul I, "mai_mare", putem exprima una dintre relatiile fundamentale intre intregi:

I(x,y) : mai_mare(x, y)

care este interpretata drept "x este mai mare decat y". Daca in expresia de mai sus inlocuim x cu 5 si y cu 3, avem evident o versiune particulara a lui I:

I(5, 3) : mai_mare(5, 3)

care este adevarata pentru respectivele numere intregi.

Introducerea variabilelor rezulta in schimbarea validitatii unei formule. Sa consideram, de exemplu, formula:

Q(x, y) : zbor_X(x, y)

care este interpretata ca: Exista un zbor al companiei X intre orasele x si y.

Validitatea formulei este numai partiala, deoarece poate sa nu existe un zbor al companiei X intre New York si Bucuresti, de exemplu. In schimb, formula:

P(x) : Om(x) Muritor(x)

are o validitate universala, deoarece se indeplineste pentru orice variabila x.

Validitatea generala sau partiala este reprezentata prin doua simboluri speciale numite "cuantificatori"; avem astfel un cuantificator universal si un cuantificator existential, notati prin " " si, respectiv " Astfel, formula initiala P devine:

P(x) : ( x)(Om(x) Muritor(x))

si Q devine:

Q(x, y) : ( (x, y)) zbor_X(x, y).