ELEMENTE DE TEORIA ERORILOR - Numere aproximative. Erori

ELEMENTE DE TEORIA ERORILOR

1.1 Numere aproximative. Erori

a) Sursele si clasificarea erorilor. In rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - in general - trei feluri de erori:

Erori inerente (initiale). Aceste erori provin din: simplificarea modelului fizic pentru a putea fi descris printr-un model matematic; masuratori initiale; calcule anterioare; datele problemei;

Erori de metoda (de trunchiere) care se datoreaza preciziei insuficiente a metodei folosite. Majoritatea metodelor necesita un numar mare de operatii aritmetice (adesea un numar infinit!) pentru a ajunge la solutia exacta a problemei. Acest fapt necesita trunchieri (renuntarea la o multime - eventual infinita - de operatii) si aproximatii;

Erori de rotunjire (de calcul) care apar in datele de intrare, in calculele pe parcurs si in datele de iesire. Astfel, datele de start nu pot fi numere cu o infinitate de cifre deoarece nu putem opera cu acestea. Se inlatura multe cifre - eventual o infinitate - rotunjind numerele date, prin retinerea unui numar finit de cifre. Pe parcursul calculelor numarul cifrelor creste si se impune de asemenea rotunjirea. Chiar rezultatul final se rotunjeste retinandu - se un numar de cifre corespunzator preciziei dorite.

Eroarea totala se compune din cele trei erori:

Eroarea totala = erori inerente + erori de metoda + erori de rotunjire.

Pentru o anumita metoda numerica de rezolvare a unei probleme, eroarea inerenta si eroarea metodei constituie eroarea ireductibila care nu poate fi influentata de exactitatea efectuarii calculelor.

Exemplul 1.1.1 Sa se calculeze volumul corpului format dintr-un cilindru circular drept si un con circular drept cu inaltimi egale si avand baza comuna, unghiul sectiunii axiale de la varful conului fiind 2u, iar generatoarea a.

Solutie.

Fie h inaltimea cilindrului, egala cu a conului si fie R=OB raza bazei conului si a cilindrului. Din triunghiul dreptunghic AOB ( AB =a, OA=h, OB=R) deducem R=a sin u, h=a cos u (cum se vede din figura1.1.1).Avem

V=V_corp=V_cil.+V_con=

Asadar, valoare volumului cautat este:

.

Fig.1.1.1

Consideram datele initiale a si u ca rezultat al unei masurari. Fie si rezultatele masurarii, a si u. Valoarea volumului cu aceste date se scrie

Eroare inerenta este .

Pentru calculul valorilor functiilor trigonometrice folosim sumele partiale ale seriilor de puteri corespunzatoare si obtinem

iar eroarea metodei este

Efectuand calculele prin rotunjiri si inlocuind numarul irational p printr-unul rational, rezulta pentru volum valoarea . Eroarea de calcul este .

Eroarea totala va fi: .

b) Numere aproximative. Fie multimea numerelor reale

R

unde q este baza sistemului de numeratie, a_i cifrele cu 0 a_i q-1, qIN,q 2, iar m si n sunt numere intregi, m 1, care ne arata ordinul de marime al numerelor din R. Se stie ca orice numar real se poate scrie sub forma unui numar cu o infinitate de cifre. Practic nu se poate lucra cu astfel de numere. Reducem numarul de cifre si inlocuim multimea R prin:=, R, unde este o multime de numere reale cu m cifre.

Practic pentru a trece de la R la , procedam astfel:

Fie multimea de numere reale

m

Notam h= a_m+1+a_m+2q^-1+a_m+3q^-2+

Daca , multimii m R facem sa-i corespunda multimea

si spunem ca numerele din aproximeaza numerele corespunzatoare din m prin lipsa (numere obtinute prin inlaturarea cifrelor care urmeaza dupa a_m). Daca multimii R facem sa-i corespunda multimea

si spunem ca numerele din aproximeaza numerele din m prin adaos (exces). Se observa ca numerele din s-au obtinut din numerele corespunzatoare din prin inlaturarea cifrelor care urmeaza dupa cifra a_m si adunarea unitatii la cifra a_m .

In cazul =q se foloseste aproximarea prin lipsa sau exces, in functie de caracterul constructiv al calculatorului.

In concluzie, multimea pe care se efectueaza calculele este . Numerele din prin care inlocuim numerele corespunzatoare din R se numesc numere aproximative. Prin inlocuirea lui R cu se face o eroare de calcul ( de rotunjire ). Din cele spuse mai inainte rezulta ca eroarea de rotunjire pentru obtinerea unui numar aproximativ nu depaseste din unitatea ordinului ultimei cifre retinute a_m (a_m0).

Un numar aproximativ real si pozitiv scris in baza 10 are forma

a=a₁10ⁿ+ a₂10^n-1+ a₃10^n-2++a_m10^n-m+1,

unde 0a_i9, , nZ, a_i fiind cifrele numarului a in sistemul zecimal. Cifrele (semnele) unui numar aproximativ a care se iau in considerare in calcul, se numesc cifre semnificative.

Definitia 1.1.1. Se numesc cifre semnificative ale unui numar aproximativ a, cifrele nenule precum si cele nule care sunt situate intre cifre nenule sau care indica ordinele pastrate in calcule (ordinele semnificative).

Exemplul1.1.2. La numarul a=5^-3+0^-4+0^-5+3^-6+0^-7=0,005003000 cifrele semnificative sunt subliniate. Primele trei cifre sunt nesemnificative, ele indicand doar pozitia virgulei; ultimele doua cifre nu sunt semnificative deoarece a contine cifre pana la ordinul de marime 10^-7.

c) Erori.

Notam cu a numarul aproximativ din a numarului exact A din R. Se mai spune ca a reprezinta valoarea aproximativa a numarului exact A si se noteaza aA.

Daca : a<A spunem ca a este o aproximare prin lipsa a lui A;

a>A spunem ca a este o aproximare prin exces a lui A.

Definitia 1.1.2. Daca a este o valoare aproximativa a numarului A , diferenta =A-a se numeste eroare a numarului aproximativ a, iar se numeste eroare absoluta a numarului aproximativ a.

Cu definitia modulului, putem scrie A-a=, A=a.

In calculul erorii intalnim unul din cazurile :

Cazul 1. Se cunosc valorile a si A. Eroarea se calculeaza direct, =A-a.

Cazul 2. Se cunoaste numai aproximatia a (nu se cunoaste valoarea exacta A). In acest caz, eroarea nu se poate calcula. Presupunem ca pentru A cunoastem un minorant m si un majorant M, m<A<M. Cum aA, putem admite ca m<a<M. Prin adunarea membru cu membru a dublelor inegalitati m<A<M, -M<-a<-m, se obtine

-(M-m)<A-a<M-m, adica <M-m sau <M-m.

Definitia 1.1.3. Orice numar din intervalul G=[, M-m) se numeste eroare absoluta la limita a numarului aproximativ a.

Din aceasta definitie rezulta ca , de fapt =inf G. Se observa de asemenea ca orice numar mai mare decat o eroare absoluta la limita a unui numar a se poate numi si el eroare absoluta la limita a acelui numar. Ne intereseaza practic o valoare cat mai mica pentru .

Exemplul 1.1.3. Fie A=e. Stim ca 2,71<e<2,72, m=2,71, M=2,72. Daca ae=A, avem <M-m=2,72-2,71=0,01. Cu cele spuse mai inainte, putem lua =0,01. Daca tinem seama de 2,718<e<2,72, avem <2,72-2,718=0,002, obtinem o estimare mai buna =0,002 a erorii absolute la limita .

Definitia 1.1.4. Se numeste eroare relativa a numarului aproximativ a, raportul dintre eroarea absoluta si modulul numarului A

= sau = ( cand nu se cunoaste A) (1.1.1)

de unde = sau = ( cand nu se cunoaste A) . (1.1.1^I

Definitia 1.1.5. Se numeste eroare relativa la limita a unui numar aproximativ a, un numar oarecare cu proprietatea

. (1.1.2)

Din (1.1.1) si (1.1.2) rezulta adica , de unde

= , = . (1.1.3)

Cum aA, in locul egalitatilor (1.1.3), cand A este necunoscut, putem folosi egalitatile aproximative

= , = . (1.1.3^I

In anumite conditii putem inlocui (1.1.3^I) cu evaluari mai bune. Astfel, daca aA, A>0 (evident si a>0), iar <a, atunci

==,

unde majorarea s-a realizat prin si a -Aa+ , astfel ca

= . (1.1.4)

In aceleasi ipoteze (A>0, a>0, <a) putem scrie

= A (a+) = ,

iar din egalitatea (a+) = rezulta prin calcul

= . (1.1.5)

Formula (1.1.4) ne da eroarea relativa la limita a numarului aproximativ a cand cunoastem eroarea absoluta la limita si numarul a. Formula (1.1.5) ne da eroarea absoluta la limita in functie de a si .

Observatia 1.1.1 Eroarea relativa caracterizeaza mai bine precizia calculelor, masuratorilor, dupa cum se vede din exemplul urmator.

Exemplul 1.1.4 La masurarea a doua tije s-au obtinut lungimile aproximative t₁=142,7 cm, t₂=14,5 cm cu erorile absolute la limita = =0,1 cm.

Valorile exacte ale lungimilor celor doua tije sunt T₁=142,7 cm 0,1cm , T₂=14,5 cm 0,1cm. Cu formula (1.1.4)obtinem :

; ;

Din faptul ca cele doua erori absolute la limita sunt egale s-ar putea trage concluzia ca cele doua masuratori au aceeasi precizie. Falsitatea acestei afirmatii rezulta din faptul ca erorile relative la limita sunt diferite; de aici se vede ca masurarea primei tije are precizie mai mare.

Definitia 1.1.6 Se spune ca numarul aproximativ

a = a₁ 10ⁿ+ a₂ 10^n-1+ a₃ 10^n-2++a_m 10^n-m+1

are m cifre exacte (a₁, a₂, , a_m) daca

10^n-m+1 . (1.1.6)

Exemplul 1.1.5. Fie numarul exact A=257,876. Numarul aproximativ A=257,88 are cinci cifre exacte deoarece === 0,004 <10^2-5+1 ==0,005, unde n=2, m=5 si s-a aplicat (1.1.6). Se observa ca numarul a, care este o aproximare a lui A la cinci cifre exacte, s-a obtinut prin rotunjire, a cincea cifra retinuta a fost marita cu unitatea intrucat cifra inlaturata a fost 6>10 ( rotunjire prin adaos).

Observatia 1.1.2. Numarul a care verifica (1.1.6) se spune ca aproximeaza numarul exact A cu m cifre exacte in sens strict . In continuare vom folosi aceasta definitie pentru numarul de cifre exacte, subintelegand " in sens strict " fara a mentiona acest lucru.

In unele cazuri este comod sa spunem ca numarul a este o aproximare cu m cifre exacte in sens larg (slab) a numarului A daca se verifica

1 10^n-m+1    (1.1.7)

(eroarea absoluta nu depaseste unitatea rangului celei de a "m"-a cifra semnificativa).

Astfel, numarul a=52,67 este o aproximare la patru cifre exacte in sens larg a numarului A=52,6775, deoarece ===0,0075<10^1-4+1=10^-2=0,01. Se vede ca a=52,67 s-a obtinut din A prin inlaturarea cifrelor care urmeaza dupa cifra a patra.

Numarul a=52,68 este o aproximare cu patru cifre exacte in sens srict a numarului A=52,6775, deoarece ==0,0025< 10^1-4+1=0,005, (n=1, m=4). In acest caz a este o rotunjire (la 4 cifre exacte) prin adaos a lui A.

Teorema 1.1.1. Daca un numar aproximativ pozitiv

a=a₁ 10ⁿ + a₂ 10^n-1+ a₃ 10^n-2++ a_m 10^n-m+1

are m cifre exacte (in sens strict) atunci eroarea sa relativa verifica

10^1-m,    (1.1.8)

unde 1a₁9, a₁ fiind prima cifra semnificativa a numarului a, m1.

Demonstratie Intrucat, prin ipoteza, a are m cifre exacte, se verifica (1.1.6) adica

= 10^n-m+1

de unde, - 10^n-m+1 A-a 10^n-m+1 sau A-a - 10^n-m+1

Asadar,

A a- 10^n-m+1 >a₁ 10ⁿ - 10^n-m+1 =(2a₁-10^1-m) =(a₁+a₁-10^1-m) a₁, deoarece a₁-10^1-m0.

Tinand seama de (1.1.1) precum si de 10^n-m+1, =A a₁,

se obtine

== 10^1-m

si (1.1.8) este dovedita.

Observatia 1.1.3 Cum membrul drept al inegalitatii (1.1.8) este mai mare decat d_a putem lua:

(1.1.9)

se arata ca

(1.1.10)

Intr-adevar, pentru , termenul 10^1-m din inegalitatea obtinuta in demonstratia teoremei 1.1.1

se poate neglija astfel ca

Apoi,

Observatia 1.1.4 In inegalitatile (1.1.6) si (1.1.8) si pot fi inlocuite cu si daca numai acestea sunt cunoscute.

Exemplul 1.1.6 Sa aflam numarul de cifre exacte pentru a=32,3856 stiind ca .

Cu definitia 1.1.6, avem n=1, m necunoscut

()

intrucat numarul a are 4 cifre exacte putem scrie a=32,39.

Stiind ca m=4 aratam ca se verifica (1.1.8). Intr-adevar luand

(A necunoscut)

obtinem inegalitatea

.

1.2 Operatii cu numere aproximative

a) Eroarea unei sume

Teorema1.2.1 Eroarea absoluta a unei sume algebrice de numere aproximative nu depaseste suma erorilor absolute ale acestor numere.

Demonstratie Fie X_i valorile exacte, x_i numerele aproximative si erorile absolute, . Notand si tinand seama ca avem

care se scrie sub forma

sau

de unde cu , rezulta

(1.2.1)

si teorema este demonstrata.

Cum din (1.2.1) rezulta

(1.2.2)

Egalitatea (1.2.2) ne spune ca eroarea absoluta la limita a sumei algebrice de numere aproximative este egala cu suma erorilor absolute la limita ale acestor numere.

Teorema 1.2.2 Daca termenii unei sume de numere aproximative au acelasi semn, atunci eroarea relativa la limita a sumei nu depaseste eroarea relativa la limita maxima a termenilor ei.

Demonstratie Cu notatiile din teorema 1.2.1, tinand seama ca X_i, , au acelasi semn, iar putem scrie succesiv, folosind si (1.2.2),

astfel ca

. (1.2.3)

Observatia 1.2.1 Din (1.2.2) rezulta ca eroarea absoluta la limita a sumei nu poate fi sensibil inferioara erorii absolute la limita a termenului cu eroarea absoluta la limita maxima. Din aceasta cauza ceilalti termeni (cu eroarea absoluta la limita mai mica) nu aduc o contributie esentiala la precizia sumei. De aceea, pentru adunarea unor numere cu erori absolute diferite: se lasa neschimbate numerele cu eroarea absoluta maxima; se rotunjesc celelalte numere pastrand 1-2 cifre in plus fata de primele; se insumeaza numerele obtinute si apoi se rotunjeste rezultatul la numarul de cifre ale numarului cu eroarea absoluta la limita maxima.

Exemplul 1.2.1 Sa se afle suma numerelor aproximative 256,4; 32,34; 0,084; - 0,0676; 0,00068 stiind ca cifrele lor sunt exacte.

Solutie. Numerele date avand cifrele exacte s-au obtinut prin rotunjire astfel ca eroarea absoluta la limita este, pentru fiecare numar, jumatate din unitatea ordinului de marime a ultimei cifre pastrate. Astfel, pentru primul numar, ultima cifra 4 are ordinul de marime 10^-1.

Eroarea absoluta la limita a primului numar este . Procedand analog erorile absolute la limita ale numerelor de insumat sunt: 0,05; 0,005; 0,0005;0,00005;0,000005. Suma erorilor absolute la limita este D =0,055555=0,0556. Rotunjim numerele pastrand o cifra zecimala in plus in raport cu primul numar, care are eroarea absoluta la limita maxima si insumam numerele obtinute

s=256,4+32,34+0,08-0,07+0,00=288,75.

Putem scrie s=288,7, eliminand cifra retinuta in plus fata de primul termen. La rotunjirea termenilor sumei s-a facut eroarea absoluta . Eroarea de rotunjire la rezultatul final este D =0,05. Astfel eroarea totala este D D D D =0,0556+0,0023+0,05=0,1079 sau . Atunci , adica . De fapt S=288,75708, adica . (In calculul lui D s-a scris cu plus ce s-a omis de la termenul respectiv - rotunjire prin lipsa - si cu minus ce s-a adaugat la termenul respectiv - rotunjire prin adaos -).

b) Eroarea unui produs

Teorema1.2.3 Eroarea relativa a unui produs de numere aproximative diferite de zero nu depaseste suma erorilor relative ale acestor numere.

Demonstratie Fie p=x₁ x_2. x_n produsul a n numere aproximative nenule. Cum produsul poate avea semnul + sau - putem presupune ca toate numerele sunt pozitive. Atunci lnp=lnx₁+lnx₂+.+lnx_n. Eroarea . Asadar putem scrie egalitatea aproximativa:

(1.2.4)

Cu (1.2.4) avem , iar. Cu acestea, egalitatea dlnp=dlnx₁+ dlnx₂+.+dlnx_n se scrie

si cu relatia (1.1.1) obtinem in final

. (1.2.5)

Dar astfel ca . Asadar,

(1.2.6)

Egalitatea (1.2.6) ne spune ca eroarea relativa la limita a produsului este egala cu suma erorilor relative la limita a factorilor.

Observatia 1.2.2 Daca se inmulteste un numar aproximativ x cu un numar exact k, eroarea relativa la limita a produsului nu se schimba, in timp ce eroarea absoluta la limita este de ori mai mare.

Intr-adevar, daca p=kx atunci cu (1.2.6) avem deoarece , k fiind numar exact. Pe de alta parte

Observatia 1.2.3 Din (1.2.6) se vede ca eroarea relativa la limita a produsului nu poate fi semnificativ mai mica decat eroarea relativa la limita a factorului cu cea mai mica precizie. De aceea, la efectuarea unui produs: rotunjim factorii, lasandu-le 1-2 cifre in plus fata de factorul cu cea mai mica precizie; dupa inmultire pastram atatea cifre semnificative cate cifre exacte are factorul mai putin precis.

Pentru a calcula numarul de cifre exacte al unui produs de n factori (n 10) p=x₁x₂.x_n, vom presupune ca fiecare factor are cel putin m cifre exacte (m 2). Fie a₁,a₂,.a_n primele cifre semnificative a scrierii in baza 10 a celor n factori.

Factorii produsului se scriu:

(1.2.7)

Cu formula (1.1.10) putem scrie

. (1.2.8)

Scriem produsul sub forma Folosind (1.2.6) si apoi (1.2.8) obtinem:

(1.2.9)

unde am facut majorarea

(valoarea lui 10 este atinsa numai pentru a_i=1, n (1.2.10)

Apoi,

unde am facut majorarile a 10 si (1.2.9). Asadar,

(1.2.11)

Ultima inegalitate si (1.1.6) ne spune ca, chiar in cazul extrem (a_i=1, , n=10), produsul are m-2 cifre exacte.

c) Eroarea unui cat

Teorema 1.2.4 Eroarea relativa a unui cat nu depaseste suma erorilor relative ale dempartitului si impartitorului.

Demonstratie Fie catul , x₁, x₂ numere aproximative pozitive. Avem lnq=lnx₁-lnx₂ , respectiv

dlnq= dlnx₁-dlnx₂. Folosind (1.2.4) avem egalitatea de unde, cu proprietatea modulului obtinem inegalitatea

,

care cu (1.1.1) se scrie

(1.2.12)

Cum din (1.2.12) deducem si astfel obtinem egalitatea

(1.2.13)

care ne arata ca eroarea relativa la limita a catului este egala cu suma erorilor relative la limita ale dempartitului si impartitorului.

Fie x₁ si x₂ doua numere aproximative pozitive, avand fiecare cel putin m cifre exacte (m 2) si fie a₁ si a₂ primele lor cifre semnificative, iar . Cu (1.1.10) si (1.2.13) putem scrie

unde . (1.2.14)

Apoi (1.1.3^I) pentru ne da, cu majorarile si (1.2.14),

(1.2.15)

Daca:

1⁰ a₁ 2 si a₂ , avem , de unde cu (1.1.6) rezulta ca q are cel putin m-1 cifre exacte;

2⁰ a₁=1 sau a₂=1, avem si majorarea , iar , de unde cu (1.1.6) rezulta ca q are cel putin m-2 cifre exacte.

d) Eroarea unei puteri

Fie u=x^m, x>0, x 1, mIN, m 2. Logaritmand lnu=mlnx si luand dlnu=mdlnx cu relatia (1.2.4) avem

, respectiv (1.2.16) Asadar, eroarea relativa (la limita) a puterii a 'm'-a a unui numar aproximativ x este de m ori mai mare decat eroarea relativa (la limita) a numarului x.

e) Eroarea unui radical.

Fie , x>0, x 1, mIN, m 2ko. Prin ridicarea la puterea m obtinem x=u^m si cu (1.2.16) avem de unde

, respectiv, . (1.2.17)

Asadar, eroarea relativa (la limita) a radacinii de ordinul m a numarului aproximativ x este de m ori mai mica decat eroarea relativa (la limita) a numarului x.

Observatia 1.2.4 Proprietatile privind erorile produsului, catului, puterii, radicalului s-au dedus pentru erorile relative. Evident, erorile absolute corespunzatoare se calculeaza cu formulele (1.1.1^{I I}) sau (1.1.5).

Exemplul 1.2.2 Se dau numerele aproximative x₁=12,3 si x₂=1,2564 avand toate cifrele exacte. Sa se calculeze p= x₁ x₂ si si sa se precizeze numarul de cifre exacte ale numerelor p si q.

Solutie. Numerele date avand toate cifrele exacte, erorile absolute la limita au valori egale cu jumatate din unitatea ordinului de marime al ultimei cifre:

. Erorile relative la limita ale celor doua numere sunt (vezi(1.1.3^I

Cu formulele (1.2.6) si (1.2.13) avem .

Pentru calculul produsului p tinem seama de observatia 1.2.3 in baza careia x₁ ramane neschimbat (are precizia mai mica), iar pe x₂ il rotunjim la 4 cifre, x₂=1,256. Avem p=15,448 si retinem numarul de cifre al lui x₁, p=15,4. Avem . Utilizam acum definitia 1.1.6:

Asadar, p are m=2 cifre exacte, cifrele 1 si 5. A treia cifra este nesigura. In baza aceleiasi observatii produsul trebuie sa aiba cel putin o cifra exacta ( cu doua cifre mai putin decat numarul x₁).

Pentru q obtinem valoarea 9,79 dar este posibil ca q sa aiba doar o cifra exacta deoarece ambele numere x₁ si x₂ au prima cifra semnificativa egala cu 1 (vezi finele partii c) a acestui paragraf). Pentru a preciza numarul de cifre exacte pentru q, calculam si aplicam definitia 1.1.6:

.

Deci q are primele doua cifre exacte, a treia cifra nefiind sigura.

1.3 Formula generala a erorii

a) Problema directa a teoriei erorilor.

Calculul erorii se poate ingloba in problema determinarii erorii unei functii diferentiabile reale de mai multe variabile reale, cand se cunosc erorile acestor variabile.

Fie functia f:D R, D Rⁿ, diferentiabila pe D. Se presupun cunoscute erorile ale variabilelor independente x_i deci si erorile absolute ale acestora.

Eroarea absoluta a functiei f in punctul (x₁,x₂, .x_n) este

adica

. (1.3.1)

Membrul drept al inegalitatii (1.3.1) se majoreaza prin inlocuirea lui prin si notand aceasta majorare cu obtinem eroarea absoluta la limita a functiei f

. (1.3.2) Impartind ambii membri ai inegalitatii (1.3.1) prin avem

,

astfel ca eroarea relativa a functiei f verifica

, (1.3.3)

iar eroarea relativa la limita a functiei f este data de egalitatea

. (1.3.4)

Relatiile (1.3.1)-(1.3.4) rezolva problema directa a teoriei erorilor care consta in 'determinarea erorii absolute sau relative (la limita) intr-un punct al unei functii reale de mai multe variabile reale cand se cunosc erorile absolute (la limita) ale variabilelor independente ale functiei in acel punct'.

Observatia 1.3.1. Cu formula erorii (1.3.1) putem evalua eroarea unei sume algebrice de numere aproximative. Notand f=f(x₁,x₂,.,x_n)= x₁+x₂₊.+x_n obtinem

ceea ce stiam din 1.2 ca eroarea absoluta a unei sume de numere aproximative este majorata de suma erorilor absolute ale acelor numere.

Observatia 1.3.2 Pentru a deduce proprietatea privind eroarea relativa a unui produs de n numere aproximative strict pozitive x_i, , consideram functia f=f(x₁,x₂,.,x_n)= x₁x₂. x_i.x_n, logaritmam lnf= lnx₁+lnx₂₊.+lnx_I+. lnx_n si aplicam (1.3.3)

.

Am obtinut astfel rezultatul cunoscut 'eroarea relativa a produsului este majorata de suma erorilor relative ale factorilor produsului'.

b) Problema inversa a teoriei erorilor.

Aceasta problema se enunta astfel: sa se afle erorile absolute admisibile (adica la limita) ale variabilelor

independente ale unei functii reale astfel incat eroarea absoluta la limita a acelei functii intr-un punct dat sa nu depaseasca o valoare data.

Din punct de vedere matematic aceasta problema este nedeterminata deoarece eroarea absoluta la limita data se poate obtine folosind o multime de combinatii privind valorile erorilor absolute la limita . Rezulta ca problema pusa se poate rezolva numai daca se impun conditii suplimentare. Mai des intalnite sunt urmatoarele conditii suplimentare:

1⁰ Principiul egalitatii efectelor, prin care se presupune ca cele n diferentiale partiale au aceeasi contributie la formarea erorii absolute la limita, adica

. (1.3.5)

Folosind (1.3.2) avem

,

de unde

f=f(x₁,x₂,.,x_n). (1.3.6)

2⁰ Erorile absolute la limita ale variabilelor x_i au aceeasi valoare

. (1.3.7)

Cu aceste conditii suplimentare egalitatea (1.3.2) ne da

unde

. (1.3.8)

3⁰ Erorile relative la limita ale variabilelor x_i au toate aceeasi valoare

(1.3.9)

Folosind formula de calcul (1.1.3^I) a erorii relative la limita, egalitatile (1.3.9) se scriu

.

Cu formula (1.3.2) obtinem:

si

. (1.3.10)

Exemplul 1.3.1 Sa se afle eroarea absoluta la limita si eroarea relativa la limita precum si numarul de cifre exacte pentru , stiind ca x₁=1,04; x₂=0,9807; x₃=1,324056 au toate cifrele exacte.

Solutie Intrucat x_i, au toate cifrele exacte, erorile absolute la limita sunt:

Aplicam formula (1.3.2) pentru calculul lui :

(1.3.11)

Gasim

Inlocuind in (1.3.11) si efectuand calculele gasim . Cu formula (1.1.3^I) avem

Pentru a preciza numarul de cifre exacte pentru f(x₁,x₂,x₃)=1,893750609 folosim definitia 1.1.6:

Exemplul 1.3.2 Sa se afle erorile absolute la limita ale variabilelor independente care fac posibil calculul valorii functiei cu patru cifre semnificative exacte, daca x₁=0,9542; x₂=1,24506; x₃=-0,873049 sunt numere aproximative cu toate cifrele exacte.

Solutie Avem

Apoi,

.

Pentru calculul valorilor folosim principiul egalitatii efectelor. Atunci, cu formula (1.3.6) pentru n=3 si , gasim

.

Determinam acum numarul de cifre (semnificative) exacte pentru x_i astfel incat sa obtinem f cu 4 cifre exacte. Folosim in acest scop definitia 1.1.6:

_.

Asadar, luam x₁=0,954; x₂=1,245; x₁= -0,8730 si obtinem :

cu 4 cifre exacte.