CONICE I

1. Conice pe ecuatia generala. Conice pe ecuatii reduse

2. Invarianti ortogonali. Centrul unei conice

3. Reducerea la forma canonica a conicelor cu centru (d 0)

1. Conice pe ecuatia generala. Conice pe ecuatii reduse

Am vazut in Cursul 2 ca dreapta in plan este o curba algebrica de ordinul intai.

Definitie. Locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul k al distantelor la o dreapta fixa (directoare) si un punct fix numit focar este constant se numeste conica.

Daca k < 1 conica este de tip elipsa, daca k = 1 este de tip parabola, iar daca k > 1 conica este de tip hiperbola.

Fie un sistem de axe ortogonale xOy, M(x,y) un punct de pe conica G D : ax + by + c = 0 dreapta fixa (directoarea), F(x₀, y₀) punctul fix (focarul) si d distanta de la M la D.

Tinand seama de faptul ca distanta de la M(x, y) la dreapta d : ax + by + c =0 este egala cu T

Daca notam cu:

a₁₁ = a² + b² - k²a²

a₁₂ = abk²

a₂₂ = a² + b² - k²b²

a₁₃ = -a₂x₀ - b²x₀ - ack²

a₂₃ = -a₂y₀ - b²y₀ - bck²

a₃₃ = ,

atunci ecuatia conicei G este:

.

Conice pe ecuatii reduse

Cercul este locul geometric al punctelor egal departate de un punct fix numit centru
C(a, b); r = raza cercului.

Fie un punct M(x, y) I C , atunci:

este ecuatia centrului de centru C(a, b) si de raza r.

Observatie. Orice ecuatie de forma x² + y² + 2mx + 2ny +p = 0 reprezinta un cerc.

Intr-adevar, ecuatia se mai poate scrie:

Rezulta ca centrul cercului este C(-m, -n) si raza , daca

Conform unei definitii echivalente elipsa este locul geometric al punctelor cu proprietatea ca suma distantelor la doua puncte fixe numite focare este constanta.

Propozitie. Intr-un reper convenabil ales ecuatia elipsei este

Fie punctele F(C, 0), F'(-C, 0) si M(x, y).

Conform definiției elipsei avem :, adica

sau

sau

T

T

Ridicand la patrat obținem:, adica:

.

Notand a² - c² = b²,

obținem b²x² + a²y² - a²b² =0 T .

Graficul se obtine reprezentand functiile .

(0,-b)

Elipsa de ecuație este elipsa imaginara.

De asemenea, intr-o definitie echivalenta hiperbola este locul geometric al punctelor cu proprietatea ca modulul diferentei distantelor la doua puncte fixe numite focare este constant.

Propozitie. Intr-un reper convenabil ales ecuatia hiperbolei are forma:

, cu relația: a² + b² = c².

Ecuația hiperbolei se mai poate scrie:

Obținem asimptotele : .

Parabola este locul geometric al punctelor cu proprietatea ca distanta la un punct fix numit focar coincide cu distanta la o dreapta fixa numita directoare.

Intr-un reper convenabil ales ecuatia este

Transcriind avem:

,

T T y² = 2px.

2. Invarianti ortogonali. Centrul unei conice.

Definitia 1. O expresie E(x, y) se numeste invariant ortogonal daca ramane neschimbata in urma unei transformari ortogonale.

Propozitie. Fie conica , data de relatia (1).

Notam:

I = a₁₁ + a₂₂,

Atunci I, d D sunt invarianti ortogonali (la rotații si translații).

Demonstratie:

Fie forma patratica f(x, y) = a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² si fie matricea sa in raport cu baza

Fie T : V₂ → V₂ o transformare ortogonala. Fie matricea asociata lui f in raport cu baza

Avem:

, adica ;

, adica .

Cum p_A = p_A' (polinomul caracteristic este invariant la schimbarea bazei), rezulta ca I = I', d d

De asemenea se poate arata ca D este invariant la rotații. In plus, se poate arata ca I, d si D sunt invarianți la translații.

Definitia 2. Punctul M₀(x₀, y₀) se numeste centru de simetrie al unei conice daca orice dreapta care trece prin M₀ intersecteaza conica in 2 puncte simetrice (fata de M₀).

Daca un punct este pe conica si simetricul lui fata de centru este tot pe conica.

Propozitia 2. Fie f(x, y) = 0 conica data de relatia (1). Originea O(0, 0) este centru de simetrie a = a₂₃ = 0.

Demonstratie:

M I conicei T x, y I

M I conicei T x, y I

Atunci f(x, y) - f(-x, -y) = 4a₁₃x + 4a₂₃y = 0, x, y T a₁₃ = 0, a₂₃ = 0.

Propozitia 2. Fie conica f(x, y) = 0, data de relatia (1). Atunci C(x₀, y₀) centru de simetrie d 0, deci adica

Facem translatia:

,

adica .

Daca f(x, y) = 0, sa calculam f(x', y').

Scriem formula Taylor pentru f(x, y) in C(x₀, y₀) (f este polinomiala, deci indefinit derivabila):

.

Dar f(x, y) = a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₃₃y + a₃₃ T

,

,

,

,

.

Atunci:

Conform propozitiei 2, intrucat x' = 0, y' = 0 este centru de simetrie

T T . (*)

Sunt doua cazuri:

sistemul (*) are solutie unica.

d = 0, atunci avem fie:   

. rang = rang, deci atunci avem un sistem compatibil nedeterminat (conica are o infinitate de centre), fie:

. rang rang si atunci avem un sistem incompatibil (conica nu are centru de simetrie).

3. Reducerea la forma canonica a conicelor cu
centru (d 0)

Definitia 1. Fie conica f(x, y) = 0, data de relatia (1), cu centrul d 0. Conica este redusa la forma sa canonica daca exista un reper cartezian in care conica are forma:

l X l Y l (2)

cu l_i I , .

Teorema 1 (Reducerea la forma canonica a conicelor cu centru). Fie conica f(x, y) = 0, data de relatia (1), cu centrul in punctul C. Atunci daca a₁₂ 0, exista o schimbare ortogonala de coordonate in plan, constand dintr-o rotație si translație, in urma careia conica are forma canonica:

,

unde l₁ si l₂ sunt radainile ecuatiei:

l² - Il + d = 0 (3)

iar I, d, D sunt invariantii conicei. Cand radacinile sunt distincte, ele se aleg astfel incat:

(l₁ - l₂)a₁₂ > 0.

Demonstratie: In centrul C(x₀, y₀) al conicei efectuam o translatie a axelor de coordonate:

(vezi fig. 12.1)

iar .

Fig. 12.1

Intrucat C(x₀, y₀) este centrul conicei, conform Propozitiei 1, Cursul 11, paragraful 2, obtinem:

.

Pe de alta parte,

Rezulta:

.

Deci (x₀, y₀) verifica sistemul:

.

Conform teoremei lui Rouch, intrucat acest sistem este compatibil rezulta ca determinantul sau caracteristic este nul:

.

Acum scopul nostru este de a anula coeficientul lui x'y'. Fie aplicatia liniara T : V₂ → V₂ a carei matrice asociata in baza este:

matricea fiind simetrica, rezulta ca T este autoadjunct si deci exista o baza ortonormata in spatiul euclidian V₂, formata din vectorii proprii ai lui T, deci

si ,

unde l₁ si l₂ sunt valorile proprii reale ai lui T, radacinile ecuatiei caracteristice:

.

Fie forma patratica definita prin :

.

Sa gasim acum un sistem de coordonate Cx'y' in care sa eliminam termenul x'y' in vederea onținerii formei canonice f₁(X, Y) = l₁X² + l₂Y²,

unde , iar l₁, l₂ sunt radacinile ecuatiei caracteristice.

Baza ortonormata este obtinuta din baza canonica printr-o rotatie de unghi
in jurul lui C astfel:

adica:

sau

Adunand ecuatiile de mai sus obținem: (l l )sinq cosq = a₁₂ T l l )a₁₂ > 0 pentru l l , intrucat