T.P.M.G

Fiind data reteaua de nivelment geometric din figura, in care cunoastem lungimile tronsoanelor si diferentele de nivel Δh, sa se calculeze:

¨     Diferentele de nivel compensate

¨     Valorile cele mai probabile ale cotelor 1,2,3,4 si precizia prin 2 metode :

metoda Mittermeyer

metoda Factorizarii

1 4

2 3

Metoda Mittermeyer

Sistemul ecuatiilor de corectie este:

V_1-2 = H₂ - H₁- Δh

V_2-3 = H₃ - H₂ - Δh

V_3-4 = H₄ - H₃ - Δh

V_4-1 = H₁ - H₄ - Δh

V_1-3 = H₃ - H₁ - Δh

V_2-4 = H₄ - H₂ - Δh

V = A*X + L unde X = - N * (NN) * A^T * P * L

N = A^T * P * A

A =

P =    L =

N = A^T * P* A =

Det N = -8,65*10^-17

N*N =

N₁ =

N =

NN =

Verificare :

N₁ N =

N * (NN) =

X = - N * (NN) * A^T * P * L =

H₁ = 0,5049 m

H₂ = -2,3502 m

H₃ = 2,004 m

H₄ = 0,1587 m

Calculul corectiilor

V = A * X + L

A * X = L =

V =

Calculul diferentelor de nivel compensate

Δh = Δh + V_ij

Δh = Δh + V_1-2 = -2,855m

Δh = Δh + V_2-3 = 4,354 m

Δh = Δh + V_3-4 = -2,163m

Δh = Δh + V_4-1 = 0,663m

Δh = Δh + V_1-3 = 1,499m

Δh = Δh + V_2-4 = 2,192m

Verificare pe traseul 1-2-3-4-1

H₁ = 0,5049 m

H₂ = H₁ + Δh= -2,350 m

H₃ = H₂ + Δh = 2,004 m

H₄ = H₃ + Δh = -0,159 m

H₁ = H₄ + Δh = 0,504 m

Calculul preciziilor

a)     Eroarea medie patratica a unitatii de pondere

σ₀ =

V^T*P*V = 0,00112507 σ₀ = 0,019 m/km

n-h+d = 3

b)     Eroarea medie patratica a parametrilor

σ_xi     = σ₀ *

unde Qxx = N*(NN)*N* (NN)*N

N*(NN) =

N*(NN)* N*(NN)=

Qxx =N*(NN)*N*(NN)*N=

σ_x1     = σ₀ * = σ_H1 = 0,0207 m

σ_x2     = σ₀ * = σ_H2 = 0,0017 m

σ_x3     = σ₀ * = σ_H3 = 0,0144 m

σ_x4     = σ₀ * = σ_H4 = 0,0156 m

Metoda Factorizarii

Sistemul ecuatiilor de corectie este:

V_1-2 = H₂ -H₁- Δh

V_2-3 = H₃ - H₂ - Δh

V_3-4 = H₄ - H₃ - Δh

V_4-1 = H₁ - H₄ - Δh

V_1-3 = H₃ - H₁ - Δh

V_2-4 = H₄ - H₂ - Δh

V = A₁*X₁ +A₂*X₂ +L ; A₁ = A₂ = X₁ = X₂ =

L =

X₁ = X- M* X₂

X₁ = - ( A*P₁*A₁)* A*P₁*L

M = ( A*P₁*A₁)* A*P₁*A₂

X₂ = ( M^T*M + I )*M^T* X₁

Calculul lui X₁

A*P₁ =

N = A*P₁* A₁ =

N^-1 =

Verificare N * N^-1     = I

N * N^-1 =

(A*P₁* A₁)^-1 * A*P₁ =

X₁= N^-1 * A*P₁*L =

M = N^-1 * A*P₁*A₂ =

Calculul lui X₂

X₂ = (M^T*M + I )*M^T*X₁

M^T*M = 3

(M^T*M + I )*M^T =

X₂ = -0,1587    H₄ = -0,158 m

Calculul lui X₁

X₁ = X- M* X₂

X₁    =

M*X₂ =

H₁ = 0,504 m

H₂ = -2,350 m

H₃ = 2,004 m

Calculul corectiilor

V = A₁*X₁ + A₂*X₂ + L

A₁*X₁ = A₂*X₂ = L =

V =

Calculul diferentelor de nivel compensate

Δh = Δh + V_ij

Δh = Δh + V_1-2 = -2,855m

Δh = Δh + V_2-3 = 4,354 m

Δh = Δh + V_3-4 = -2,163m

Δh = Δh + V_4-1 = 0,663m

Δh = Δh + V_1-3 = 1,499m

Δh = Δh + V_2-4 = 2,192m

Verificare pe traseul 1-2-3-4-1

H₁ = 0,5049 m

H₂ = H₁ + Δh= -2,350 m

H₃ = H₂ + Δh = 2,004 m

H₄ = H₃ + Δh = -0,159 m

H₁ = H₄ + Δh = 0,504 m

Calculul preciziilor

c)     Eroarea medie patratica a unitatii de pondere

σ₀ =

V^T * P =

V^T*P*V = 0,00112507   

n-h+d = 3

σ₀ = 0,019 m/km

d)     Eroarea medie patratica a parametrilor

D( X₂ ) = * D(X1)^T

* D(X₁) = ()

D(X₂) =0,0001603

σ_H4 = = 0,015 m

D(X₁) = D( X₁) + D(M*X₂)

M*D(X₂) =

M*D(X₂)*M^T = 0,000245

D(X₁) =

σ_H1 = 0,0266 m

σ_H2 = 0,0025 m

σ_H3 = 0,0161 m