SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI

SISTEME DE COMUNICATII PENTRU TRANSPORTURI

Lucrarea de laborator

Analiza Fourier a semnalelor aperiodice

1. Obiectivul lucrarii

In aceasta lucrare se studiaza analiza semnalelor aperiodice utilizand transformarea integrala Fourier.

2. Introducere teoretica

2.1. Transformarea integrala Fourier

La semnale aperiodice, se aplica transformarea Fourier. Fie un semnal aperiodic. Transformata sa Fourier este o functie de variabila f. Daca t semnifica timp, atunci f semnifica frecventa. Prin definitie,

Transformata Fourier inversa este data de

Daca este un semnal real, functia satisface simetria Hermite:

Cele mai importante proprietati ale transformarii integrale Fourier sunt urmatoarele:

1. Liniaritate: Transformata Fourier a combinatiei liniare a doua sau mai multe semnale este combinatia liniara a transformatelor Fourier corespunzatoare:

2. Dualitate: Daca atunci

3. Deplasare in domeniul timp: O deplasare in domeniul timp are drept rezultat o deplasare de faza in domeniul frecventa. Daca atunci

4. Scalare: O dilatare in domeniul timp are drept rezultat o contractie in domeniul frecventa si vice versa. Daca atunci

5. Modulatie: Inmultirea cu o exponentiala in domeniul timp corespunde unei deplasari a frecventei in domeniul frecventa:

6. Derivare: Derivarea in domeniul timp corespunde inmultirii cu in domeniul frecventa. Daca atunci

7. Convolutie: Convolutia in domeniul timp este echivalenta cu inmultirea in domeniul frecventa si vice versa. Daca si atunci

8. Relatia lui Parseval: Daca si atunci

9. Relatia lui Rayleigh

Prin definitie, functia signum este

Notam cu semnalul impuls Dirac. Fie un semnal periodic de perioada si coeficienti ai seriei Fourier notati cu :

Transformata Fourier a lui se obtine prin:

Asadar, transformata Fourier a unui semnal periodic consta din impulsuri in multipli ai frecventei fundamentale a semnalului original, adica, in armonicile acestuia.

Definim semnalul trunchiat astfel:

Putem exprima coeficientii seriei Fourier in functie de transformata Fourier a semnalului trunchiat astfel:

Transformata Fourier a unui semnal se numeste spectrul semnalului. In general, spectrul unui semnal este o functie complexa . De aceea, de obicei, pentru a reprezenta grafic spectrul, realizam doua grafice: spectrul de amplitudine si spectrul de faza

2.2. Teorema esantionarii

Teorema esantionarii formeaza baza pentru relatia dintre semnalele in timp continuu si semnalele in timp discret. Ea spune ca un semnal de banda limitata - adica, un semnal a carui transformata Fourier are valori neglijabile pentru pentru un B oarecare - poate fi descris complet in functie de valorile esantioanelor sale luate la intervale daca Daca esantionarea se face la intervale , valoare denumita interval Nyquist (sau cadenta Nyquist), semnalul poate fi reconstruit din valorile esantioanelor sale astfel:

Forma de unda esantionata se defineste prin expresia

Aceasta are transformata Fourier data de

pentru orice f

In cazul particular in care |f| < B,    avem ca

De aceea, trecand semnalul esantionat printr-un filtru trece jos cu largime de banda de B si un castig de in banda de trecere, putem reproduce semnalul original.

Transformata Fourier discreta (TFD) a sirului in timp discret x[n] este prin definitie

Comparand ecuatiile (22) si (23), conchidem ca

pentru

ceea ce ne da relatia dintre transformata Fourier a unui semnal analogic si transformata Fourier discreta a semnalului esantionat corespunzator.

Calculul numeric al transformatei Fourier discrete se face cu ajutorul unui algoritm denumit transformata Fourier rapida (TFR). In acest algoritm, semnalul este reprezentat printr-un sir de N esantioane ale semnalului luate la intervale egale cu . Rezultatul este un sir de N esantioane ale lui din intervalul de frecventa , unde este frecventa Nyquist. Valoarea a diferentei dintre frecventele a doua esantioane succesive ne da rezolutia de frecventa a transformatei Fourier ce rezulta astfel. Algoritmul TFR este eficient in ce priveste calculul daca lungimea sirului de intrare, N, este o putere a lui doi. Daca nu este o putere a lui doi, putem adauga zerouri atat cat este necesar pentru a realiza aceasta conditie. Deoarece algoritmul TFR ne da TFD a semnalului esantionat, pentru a obtine transformata Fourier a semnalului analogic, trebuie sa folosim ecuatia (24). Aceasta inseamna ca, dupa ce calculam TFR, trebuie sa o inmultim cu sau, echivalent cu aceasta, sa o impartim la pentru a obtine transformata Fourier a semnalului analogic original. Functia MATLAB fftseq.m, data mai jos, accepta drept intrare un sir de timp m, intervalul de esantionare si rezolutia de frecventa df ceruta si returneaza un sir a carui lungime este o putere a lui 2, TFR a acestui sir M si rezolutia de frecventa ce rezulta.

function[M,m,df]=fftseq(m,ts,df)

[M,m,df]=fftseq(m,ts,df)

[M,m,df]=fftseq(m,ts)

%FFTSEQ    genereaza M, TFR a sirului m.

Sirul este completat cu zerouri pentru a satisface rezolutia de

frecventa ceruta df. Intervalul de esantionare este ts. Iesirea

df este rezolutia de frecventa finala. Iesirea m este versiunea

completata cu zerouri a intrarii m. M este TFR.

fs=1/ts;

if nargin == 2

n1=0;

else

n1=fs/df;

end

n2=length(m);

n=2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2)));

M=fft(m,n);

M=[m,zeros(1,n-n2)];

Df=fs/n;

2.3. Analiza in domeniul frecventa a sistemelor liniare invariabile in timp (LIT)

Iesirea unui sistem LIT cu raspuns la impuls daca semnalul de intrare este este data de integrala de convolutie

.

Aplicand teorema convolutiei, obtinem

unde

este functia de transfer a sistemului. Ecuatia (20) se poate scrie si in forma

Ecuatiile (22) arata relatia dintre spectrele de amplitudine si de faza ale intrarii si iesirii.

3. Probleme rezolvate cu MATLAB

Problema

Transformatele Fourier

Sa se reprezinte grafic spectrele de amplitudine si de faza ale semnalelor si aratate in figura 1.

Figura 1. Semnalele si .

Rezolvare

Cele doua semnale sunt similare, ele diferind printr-o deplasare in timp. De aceea, ne asteptam ca ele sa aiba acelasi spectru de amplitudine. Acesta este reprezentat grafic in figura 2.

Figura 2. Spectrul de amplitudine comun al semnalelor si .

Spectrele de faza, reprezentate in acelasi sistem de coordonate, sunt aratate in figura 3.

Figura 3. Spectrele de faza ale semnalelor si .

Programul MATLAB pentru aceasta problema este dat mai jos.

% program MATLAB pentru Problema 1.

df=0.01;

fs=10;

ts=1/fs;

t=[-5:ts:5];

x1=zeros(size(t));

x1(41:51)=t(41:51)+1;

x1(52:61)=ones(size(x1(52:61)));

x2=zeros(size(t));

x2(51:71)=x1(41:61);

[X1,x11,df1]=fftseq(x1,ts,df);

[X2,x21,df2]=fftseq(x2,ts,df);

X11=X1/fs;

X21=X2/fs;

f=[0:df1:df1*(length(x11)-1)]-fs/2;

plot(f,fftshift(abs(X11)));

figure;

plot(f(500:525),fftshift(angle(X11(500:525))),f(500:525),fftshift(angle(X21(500:525))),'--');

Problema

Deductia analitica si numerica a transformatei Fourier

Fie semnalul aratat in figura 4 si descris astfel:

Figura 4. Semnalul .

1. Sa se determine transformata Fourier a lui analitic si sa se reprezinte grafic spectrul lui .

2. Utilizand MATLAB, sa se determine transformata fourier numeric si sa se reprezinte grafic rezultatul.

Rezolvare:

1. Semnalul se poate scrie

.

De aceea,

.

Am utilizat liniaritatea, scalarea si faptul ca transformata fourier a lui este Evident, transformata Fourier este reala. Spectrul de amplitu-dine este aratat in figura 5.

Figura 5. Spectrul de amplitudine al lui dedus analitic.

2. Pentru a determina transformata Fourier utilizand MATLAB, estimam mai intai aproximativ largimea de banda a semnalului. Deoarece semnalul este relativ neted, largimea sa de banda este proportionala cu inversul duratei de timp a semnalului. Durata de timp a semnalului este egala cu 4. Pentru a fi siguri, luam largimea de banda de 10 ori mai mare decat inversul duratei de timp:

.

De aceea, frecventa Nyquist este dublul largimii de banda, adica 5. Prin urmare, intervalul de esantionare este Consideram semnalul pe intervalul [-4, 4] si il esantionam la intervale Utilizam apoi un program MATLAB simplu ce foloseste functia fftseq.m pentru a deduce TFR numeric. Am ales rezolutia de frecventa ceruta egala cu 0,01 Hz, astfel incat rezolutia de frecventa rezultata returnata de fftseq.m este 0,0098 Hz, care satisface cerintele problemei. Vectorul de semnal x, care are lungimea de 41, este completat cu zerouri pana la o lungime de 256 pentru a satisface cerinta de rezolutie de frecventa si de a face o putere a lui 2 pentru eficienta calculului. O reprezentare grafica a spectrului de amplitudine al transformatei Fourier este data in figura 6.

Figura 6. Spectrul de amplitudine al lui dedus numeric.

Programul MATLAB pentru Problema 2 este dat mai jos.

% Programul MATLAB pentru Problema 2.

echo on

ts=0.2;    % stabileste parametrii

fs=1/ts;

df=0.01;

x=[zeros(1,10),[0:0.2:1],ones(1,9),[1:-0.2:0],zeros(1,10)];

[X,x,df1]=fftseq(x,ts,df);    % deduce TFR

X1=X/fs;    % scalare

f=[0:df1:df1*(length(x)-1)]-fs/2;    % vector frecventa pentru TFR

f1=[-2.5:0.001:2.5];    % vector frecventa pentru metoda

analitica

y=4*(sinc(2*f1)).^2-(sinc(f1)).^2;    % transformata Fourier exacta

pause % apasa orice tasta pentru a vedea o reprezentare grafica a transformatei

Fourier deduse analitic.

clf

subplot(2,1,1);

plot(f1,abs(y));

xlabel('Frecventa');

title('Spectrul de amplitudine al lui x(t) dedus analitic');

pause    % apasa o tasta pentru a vedea o reprezentare grafica a transformatei

Fourier deduse numeric.

subplot(2,1,2);

plot(f,fftshift(abs(X1)));

xlabel('Frecventa');

title('Spectrul de amplitudine al lui x(t) dedus numeric');

Problema

Analiza unui sistem LIT in domeniul frecventa

Semnalul reprezentat grafic in figura 7 consta in cateva segmente de dreapta si un segment sinusoidal.

1. Sa se determine TFR a acestui semnal si sa se reprezinte grafic.

2. Daca se trece semnalul printr-un filtru trece jos ideal cu largimea de banda de 1,5 Hz, sa se gaseasca iesirea filtrului si sa se reprezinte grafic.

3. Daca se trece semnalul printr-un filtru al carui raspuns la impuls este dat de

.

sa se reprezinte grafic iesirea filtrului.

Figura 7. Semnalul .

Rezolvare:

Deducem mai intai o expresie pentru partea sinusoidala a semnalului. Aceasta este o sinusoida a carei semiperioada este egala cu 2. De aceea, ea are o frecventa de Hz. Semnalul are o amplitudine de 2 si este ridicat cu 2, astfel incat expresia sa generala este =

Valoarea fazei θ se deduce folosind conditia de frontiera

de unde θ = 2. De aceea, semnalul se poate scrie

Avand o descriere completa a semnalului, putem proceda la rezolvare.

1. Largimea de banda a semnalului a fost aleasa egala cu 5 Hz. Rezolutia de frecventa ceruta este de 0,01 Hz. Reprezentarea grafica a spectrului de amplitudine al semnalului este data in figura 8.

Figura 8. Spectrul de amplitudine al semnalului.

2. Frecventa de esantionare este = 5 Hz. Fiindca largimea de banda a filtrului trece jos este 1,5 Hz, functia sa de transfer este data de

Aceasta se inmulteste cu pentru a genera , transformata Fourier a iesirii. Utilizand aceasta functie de transfer, obtinem iesirea aratata in figura 9.

Figura 9. Iesirea filtrului trece jos.

3. Obtinem iesirea filtrului printr-o simpla convolutie. Rezultatul este aratat in figura 10.

Programul MATLAB pentru aceasta problema este dat mai jos.

% Programul MATLAB pentru Problema 3.

echo on

df=0.01;    % rezolutia de frecventa

fs=5; % frecventa de esantionare

ts=1/fs;    % intervalul de esantionare

t=[-5:ts:5];    % vectorul timp

x=zeros(1,length(t));    % initializarea semnalului de intrare

x(16:26)=t(16:26)+2;

x(27:31)=2*ones(1,5);

x(32:41)=2+2*cos(0.5*pi*t(32:41));

x(42:46)=2*ones(1,5);

% Partea I

[X,x1,df1]=fftseq(x,ts,df);    % spectrul intrarii

f=[0:df1:df1*(length(x1)-1)]-fs/2;    % vectorul frecventa

X1=X/fs;    % scalare

% Partea a II-a

% functia de transfer a filtrului

H=[ones(1,ceil(1.5/df1)),zeros(1,length(X)-2*ceil(1.5/df1)),ones(1,ceil(1.5/df1))];

Y=X.*H;    % spectrul iesirii

y1=ifft(Y);    % iesirea filtrului

% Partea a III-a

% raspunsul la impuls al sistemului LIT

h=[zeros(1,ceil(5/ts)),t(ceil(5/ts)+1:ceil(6/ts)),ones(1,ceil(7/ts)-ceil(6/ts)),zeros(1,51-ceil(7/ts))];

y2=conv(h,x);    % iesirea sistemului LIT

pause % apasa orice tasta pentru a vedea spectrul intrarii.

plot(f,fftshift(abs(X1)));

pause % apasa orice tasta pentru a vedea iesirea filtrului trece jos

plot(t,abs(y1(1:length(t))));

pause % apasa orice tasta pentru a vedea iesirea sistemului LIT

plot([-10:ts:10],y2);

Figura 10. Iesirea sistemului LIT.