Zgomote in modulatia delta

Sunt trei tipuri de zgomote specifice M.D.:

zgomotul de cuantizare

zgomotul de depasire a pantei

zgomotul de pauza.

1. Calculul zgomotului de depasire de panta Zd.

Deoarece Zd >> Zc la calculul Zd se neglijeaza contributia Zc.

Vom face aceasta determinare luind ca semnal de test semnalul sinusoidal

E_s

D

A

y(t)

kp (k+1)p 2pf_st

2pf_st_A

q x(t)

C F B

q+p

F+p

Pentru un semnal de intrare de forma depasirea este inlaturata daca

In cazul neindeplinirii conditiei de urmarire incepe depasirea de panta (exemplu pct.A).

Panta semnalului x in pct. A este:

cu conditia k=par

In acest punct cele doua pante sunt egale : .

Pe tot timpul depasirii de panta valoarea medie a semnalului y(t) este o dreapta (dreapta intre Asi B).

Scriu ecuatia unei drepte care trece printr-un punct de coordonate cunoscute si de panta data y(t) - y(t_A) = -x(t-t_a)

deci y(t)=-x(t-t_A)+E_scosF

Din egalitatea rezulta: , deci

Similar pentru dreapta CD se obtine relatia:

In consecinta, cand coderul este in depasire indiferent de sensul depasirii avem relatia:

cu conditia , k=0,1,2,3,..

Depasirea devine totala cand , adica cele doua puncte B si C se suprapun;

In acest caz semnalul y(t) este un semnal triunghiular cu periodicitatea semnalului de intrare

Daca pentru o portiune a perioadei smnalului x(t), atunci y(t) se compune din segmente de dreapta racordate cu segmente de sinusoida.

Daca depasirea de panta este mare, eroarea, deci si zgomotul de depasire de panta este mare, acesta se intersecteaza in timp cu semnalul spre deosebire de z_c care nu produce acest efect.

Variatia liniara a semnalului y(t) intre punctele A-B si C-D a aparut datorita presupunerii ca integratorul este ideal. In realitate integratorul este un circuit RC iar semnalul y(t) pe timpul depasirii de panta are valoare medie cu variatie exponentiala, de aici si denumirea de MDE. Constanta de timp a circuitului RC este T₁=RC si este >>T_e.

In cazul acestui integrator cu pierderi cunoscand parametrii succesiunii de impulsuri rezulta:

, unde V₀=tensiunea initiala pe capacitate. Panta initiala a semnalului este:

deci

, care arata variatia tensiunii pe capacitate in functie de tensiunea initiala V₀ si panta initiala g₀.

In mod similar ca la varianta liniara a semnalului y(t), si la variatia exponentiala se poate exprima relatia lui y(t)

, cu conditia:

Cand coderul este depasit total, si daca , atunci raportul pantelor celor doua semnale, se demonstreaza

Comparandu-se raportul pantelor semnalelor de la variatia liniara cu acelasi raport de la variatia exponentiala si constatand ca au aceleasi valori, deoarece T₁=RC>>T_e ceea ce justifica aproximarea care se face curent in practica ca integratorul RC sa se apropie de un integrator perfect dar puterea semnalului de eroare este mai mare la varianta exponentiala.

2. Canalul zgomotului de pauza

Daca procesul de codare delta este simetric, in timpul pauzei, x(t)=0, semnalul L(t) are modelul 101010 cu frecventa fundamentala f_e/2 rejectata la decoder de FTJ, deoarece f_e>>f₂=f_t.

In practica acest proces nu este simetric si in modelul de pauza pot aparea mai multe simboluri consecutive de acelasi tip11100010010

Asimetria care genereaza asemenea modele de pauza provine din procesul cuantizarii, desi acelasi proces se poate genera daca cuantizorul este simetric dar integratorul nu este ideal.

Consideram caracteristica cuantizorului asimetric:

V

V-aV

-V

-(V-aV)

y(t)

n

6m

4m

n-m

2m

-(n+m)

0 t

n-m -b

-2m -(n+m)

-4m

-6sm

1 0 1 0 1 0 1 1

aV=m

In desen J=6m

Nota:

Deoarece N₁=3, din desen se vede ca 6m=2mN₁ si rezulta ca y(t)=-2mN₁.

Nesimetria caracteristicii cuantizatorului determina ca semnalul L(t) sa fie format din impulsuri cu marimea (V-aV)t cand e(t)>0 sau -(V+aV)t cand e(t)<0. V>>aV

Treptele de la iesirea integratorului suntsi respectiv . S-a ales n=6m; aV=m.

Presupunem ca la t=0; y(t)=E₀=n-m atunci dupa al 3-lea impuls negativ vor trebui generate doua impulsuri pozitive, consecutive, care perturba modelul de pauza.

Deci dupa N₁ impulsuri, y(t)=-2mN₁ si impulsul pozitiv urmator face ca y(t) sa creasca de la -2mN₁ la -2mN₁+(n-m)=-b, acum se produce al doilea impuls poyitiv consecutiv.

Valoarea lui b depinde de marimea asimetricii.

Daca b este numar rational intreg sau fractional, pozitiv sau negativ, semnalul y(t) este periodic cu frecventa fundamentala determinata de (n-m)/(2m) si de frecventa de tact f_e.

In figura de mai jos sunt prezentate doua forme caracteristice ale semnalului din care se observa ca y(t) poate fi considerat ca suma a doua semnale:

unul dinte de fierastrau cu frecventa f_y

si

semnalul de panta ideal cu f_p=f_e/2

Cateva tipuri de semnale caracteristice:

1/f_y

t

1/f_y

Zgomotul de pauza este tocmai semnalul in dinte de fierastrau care are fundamentala:

,

unde l=numarul varfurilor pozitive intr-o perioada a semnalului de iesire.

In general Z_p se poate reduce prin plasarea unui circuit ca in figura de mai jos, intre iesirea lui L(t) si intrarea integratorului, ceea ce determina ca marimea impulsului + si - aplicat la integrator sa fie identic.

LVC

L(t)

la integrator

unde LVC = limitatorul variatiilor de curent

3. Zgomotul de cuantizare

3.1. Modele de calcul

Calculul functiei de densitate spectrala a ereorii in m.d.s.i. este dificil din cauza buclei de reactie . Acest calcul se poate simplifica daca m.d.s.i. este reprezentat exact de un model in bucla deschisa .

Pentru cazul cand coderul nu este depasit exista doua modele de reprezentare .

modelul de modulatie discreta a fazei impulsurilor

modelul in scara infinita

3.2. Modelul de modulatie discreta a fazei impulsurilor

FIGURA 7.11-modulatia discreta a fazei impulsurilor

Semnalul analogic x(t) moduleaza o purtatoare sinusoidala cu frecventa fe/2 ; f_e = frecventa de esantionare de la m.d.s.i.Deviatia maxima a frecventei purtatoare este de la 0 la f_e .

Pentru a constata daca modelul este identic cu cel al m.d.s.i. , vom analiza comportarea schemei cu si fara semnal .

FIGURA 7.12-analiza semnalului

Cand x(t) = 0

se observa ca :

L_M (t) = L(t) pentru m.d.s.i.

Deci semnalul de pauza al modelului coincide cu semnalul de pauza al m.d.s.i.

Cand , la iesirea modulatorului se obtine

, in care valoarea instantanee a unghiului de faza este proportionala liniar cu semnalul de intrare adica

K_d constanta pentru modulator .

Daca frecventa modulatoare a lui m(t) este f_i , adica

prin derivare va rezulta

Pentru a nu se produce supramodulatie nu trebuie sa depaseasca valoarea .

Deci ; ;

Deci relatia lui m(t) devine :

Notam cu R numarul de rotatii complete , pozitive de faza a lui m(t) ;

si notam cu excesul de faza ;

Atunci pentru un moment t faza semnalului m(t) se poate pune sub forma :

Atunci prima trecere pozitiva prin zero apare cand faza lui , adica cand si , iar urmatoarele cand si

Adica cand faza lui m(t) este : ; ; ; .

Presupunem ca la un moment t au aparut N perioade de esaantionare , adica ; atunci relatia de mai sus devine :

*

M.D.S.I. are un model de repaus simetric .101010.,adica , care poate fi conditie initiala pentru N=1 si

Atunci dupa timpul t=N/f_e vom avea :

iar N = N_p+N_n , N_p=impulsul pozitiv , N_n=impulsul negativ

In model pentru fiecare rotatie a unghiului de faza R apare un impuls pozitiv , adica R=N_p deoarece nu avem D.P. ,deci relatia * devine

sau

deci

In aceasta relatie se observa aparitia erorii intre semnalul de la in-

trare si cel de la iesire :

Cand

Aceasta eroare arata ca iesirea y_M(t) , a modelului difera de intrarea x(t) printr-un modul care nu depaseste marimea a treptei de cuantizare . Deci modelul este identic cu M.D.S.I.

3.3. Modelul in scara infinita (m.s.i.)

Este un model mai simplu ca cel anterior , precis si general . Modelul in scara infinita se bazeaza pe observatia ca semnalul de reactie y(t) din decoderul local al m.d.s.i. se poate obtine din 2 functii in scara infinita cu trepte uniforme de marime si durata , una pentru momentele pare de esantionare y_p(t) si una pentru momentele impare de esantionare

Y_i(t) , decalate in ambele coordonate cu

FIGURA 7.13-modelul in scara infinita

Rezulta ca schema m.s.i. este formata din :

2 cuantizori Q_i si Q_p care formeaza cele 2 functii in scara y_i(t) , respectiv y_p(t)

2 comutatoare de esantionare S_i si S_p pentru esantionarea la momente impare si pare de timp cu frecventa f_e/2 ;

furnizand si respective ;

1 dispozitiv de sumare care formeaza functia :

cu frecventa f_e

1 circuit de extrapolare de ordinul zero care pastreaza fiecare impuls pe durata 1/f_e

FIGURA 7.14-schema m.s.i.

In acest fel semnalul y(t) de la m.s.i. este identic cu y(t)de la m.d.s.i.

Vom face analiza teoretica a zgomotului de cuantizare prin metoda spectrului normal, care are avantajul ca rezultatele se interpreteaza grafic usor. Aceasta determinare se face pentru MDSI in urmatoarele ipoteze:

modelul de analiza este cel in scara infinita

coderul nu intra in depasire de panta

semnalul de intrare il constituie zgomotul alb banda limitata.

Pentru a ne asigura ca nu se produce depasirea de panta se pune conditia ca valoarea medie patratica a pantei semnalului de intrare sa fie cel mult egala cu ¼ din panta semnalului y(t).

Se stie conditia generala de la MDSI ca :

.

Daca x(t) este semnal gaussian cu banda limitata intre 0 si f₂ Hz si are valoarea medie pataratica σ², atunci valoarea medie patratica a acestui semnal este:

,

unde este functia de densitate spectrala iar (2πf)² reprezinta functia de transfere in putere a diferentiatorului.

Daca , rezulta ca :

.

Daca banda semnalului este limitata de f₁ si f₂,

,

iar dupa conditia rezulta:

_.

Cu precizarile de mai sus se poate opera cu modelul in scara infinita.

Algoritmul pentru determinarea Z_c are trei etape:

determinarea functiei de autocorelatie la iesirea modelului cu ajutorul spectrului normal

aplicarea transformatei Fourier functiei de autocorelatie pentru a se obtine functia de densitate spectrala

descompunerea functiei de densitate spectrala in componente semnificative si interpretarea acestora.

3.4. Calculul zgomotului de cuantizare cu modelul in scara infinita

Prezentarea metodei spectrului normal

Se aplica la calcularea spectrului distorsiunilor in sistemele neliniare (MIC si MD). Ofera o analiza profunda a sistemului analizat .

Se stie ca modelul in scara infinita are 2 elemente neliniare Q_p si Q_i.

Initial vom considera un element neliniar caruia ii aplicam semnal Gaussian cu medie nula, adica semnal normal, care este caracterizat de urmatoarele propritati statistice:

f(x) - densitate de probabilitate a amplitudinilor (Gaussiana);

valoarea mediei = 0;

σ² - dispersia;

ρ_x(τ) - coeficientul de autocorelatie;

Φ_x(f) - densitatea spectrala normata:

R_x(τ)=σ²ρ_x(τ) - functia de autocorelatie;

S_x(f)=σ²Φ_x(f) - densitatea spectrala.

Daca consideram un element neliniar cu caracteristica de mai jos:

Semnalul de la iesire se poate pune sub forma:

unde H_n sunt functii de baza de tipul polinoamelor Hermite iar τ_n coeficientii lor.

Relatia de mai sus este valabila daca H_n sunt functii exponentiale reciproc ortogonale. Mai cunoscute sunt 3 functii de baza: functiile Hermite, Rademacher si Walsh.

Pentru simplificarea notatiilor vom nota , deci

.

Deoarece functiile de baza H_n(x) sunt ortogonale pe un interval de timp dat se poate evoca proprietatea de finalitate a coeficientilor; adica se pune in evidenta faptul ca suma converge rapid, iar limita nu trebuie dusa la ∞ ci la N, peste care contributia celorlalti termeni (n>N) este nesemnificativa. Deci vom avea:

Polinoamele Hermite se definesc astfel:

Primii 6 termeni sunt:

H₀(x)=1; H₁(x)=x; H₂(x)=x²-σ²; H₃(x)=x²-3σ²x; H₄(x)=x⁴-6σ²x²-3σ⁴;

H₅(x)=x⁵-10σ²x³+15σ⁴x.

Retinem doua proprietatii ale polinoamelor Hermite:

proprietatea de ortogonalitate

unde si

proprietatea de paritate - imparitate (H_n(x) este para pentru n par si impara pentru n impar).

Notam pentru momentul t₁: x(t)=x(t₁); z(x)=z(x₁)

pentru momentul t₂=t₁+τ: x(t)=x(t₂); z(x)=z(x₂).

Atunci functia de autocorelatie a semnalului de la iesirea elementului neliniar considerat este:

- valoarea medie (asteptata)

unde f(x₁,x₂) este densitatea de probabilitate de ordin 2 si are relatia:

Aceasta expresie se poate simplifica cu ajutorul formulei lui Mehler:

Comsiderand ca si relatia lui R_y(τ) devine:

notam se obtine .

Daca se compara prima si ultima forma de scriere a lui se constata ca integrala dubla si functia de densitate de probabilitate de ordin 2 au fost inlocuite cu o serie de puteri. Coeficientii acestei serii de puteri sunt ?_n si depind de polii H, de neliniaritatea functiei z(x), de functia de densitate de probabilitate f(x) si de puterea semnalului de intrare prin N_n si nu depinde de forma functiei de densitate spectrala Φ_x(f) a semnalului de intrare. Deci, desi metoda spectrului normal este limitata la semnalele Gaussiene, forma spectrului lor este arbitrara.

Determinarea functiei de densitate spectrala

Functia de densitate spectrala a semnalului y(x) de la intrarea elementului neliniar se gaseste luandu-se transformata Fourier a functiei de autocorelatie . Deci:

unde .

Daca n=1 se obtine transformata Fourier a coeficientului de autocorelatie .

Daca n=2, - reprezinta autoconvolutia functiei Φ_x(f), adica:

.

Similar pentru n=3 se obtine autoconvolutia de ordinul 2 a functiei Φ_x(f), adica .

Deci pentru determinarea functiei de densitate spectrala S_y(f) trebuie sa se determine mai intai autoconvolutia de ordinul n-1, adica , dar o vom numi autoconvolutie de ordin n. Initial vom determina autoconvolutia de ordinul n pentru cazul cand x(t) este zgomot alb filtrat trece-jos.

Notam densitatea spectrala a semnalului x(t), pentru acest caz, cu λ_x(f)

Aceasta alegere a lui λ_x(f) s-a facut din considerentul ca x(t) sa dea o putere de 1W pe o rezistenta de 1Ω.

Autoconvolutia lui λ_x(f) o notam cu ρ_x(τ). Atunci, cunoscandu-se λ_x(f) se obtine:

, deoarece .

Deoarece convolutiei in domeniul frecventa ii corespunde multiplicare in domeniul timp, atunci autoconvolutia de ordinul n este:

Dar ,

si aplicand dezvoltarea prin teorema binomiala, ; , rezulta ca:

.

Deci .

Notam si .

Integrala I o putem exprima in functie de variabila z a planului complex: .

Integrandu-se pe contur se constata ca I are aceiasi valoare in modul atat pentru α>0, cat si pentru α<0, iar semnul este determinat de α, deci:

Rezulta ca:

dar

Deci:

Pentru n=2 se obtine prima autoconvolutie a lui λ_x(f):

In functie de valorile lui f se obtine:

( Obs.: C₀²⁼¹,C₁²=2,C₂²=1,C_mⁿ= )

Pentru orice valoare a lui n valorile functiei λ_xⁿ(f) se obtin cu relatia de mai sus. Totusi, cand n devine foarte mare calculele se complica si din fericire curba triunghiulara pentru cazul n=2 tinde catre o curba Gaussiana; relatia lui λ_xⁿ(f) pentru devine: , de unde se observa ca dispersia curbei λ_xⁿ(f) este σ²n.

Folosindu-se rezultatele de la determinarea autoconvolutiei de ordin n a zgomotului alb filtrat trece-jos se va estima autoconvolutia de ordinul n a zgomotului alb filtrat trece banda care conduce la obtinerea puterii de 1W pe 1Ω.

Functia de densitate spectrala de putere a semnalului x(t) este Φ_x(f) si are reprezentarea grafica de mai jos:

adica , unde ; .

Autoconvolutia functiei Φ_x(f) este:

unde λ_x²(f) este autoconvolutia lui λ_x(f) data de relatia de zgomot alb filtrat trece-jos pentru n=2, iar parametrii si reprezinta λ_x²(f) deplasat in frecventa cu 2f_ab si respectiv -2f_ab.

Astfel .

Coeficientii termenilor λ_x²() sunt dati de coeficientii binomiali definiti prin C_pⁿ.

Autoconvolutia de ordin doi este:

.

Pentru autoconvolutia de ordin n-1 se obtine expresia generala:

Reprezentarea grafica a acestor functii este facuta mai jos:

Deoarece in schema modelului in scara infinita, dupa elementul neliniar urmeaza circuitul de esantionare trebuie luat in considerare efectul acestuia asupra functiilor de autocorelatie si implicit asupra functiilor de densitate spectrala.

Se va demonstra faptul ca functia de autocorelatie esantionata este egala, la momentele de esantionare, cu functia de autocorelatie multiplicata prin frecventa de tact. Nu se impusese nici o restrictie asupra frecventei de esantionare, adica f_e><f_N, deci R^*(nT_e)=f_eR(nT_e).

Demonstrarea acestei relatii este urmatoarea:

Consideram un semnal z(t) care este esantionat cu o succesiune de impulsuri pentru a da un set de impulsuri z^*(t).

Atunci , unde .

Daca se ia transformata Fourier a lui se obtine:

Spectrul undei esantionate z^*(t) este obtinut prin convolutia lui z(t), adica a lui z(j2πf) cu spectul secventei de impulsuri.

,

deci .

Functia de densitate spectrala a lui z^*(t) este :

, c - complex conjugat,

adica .

Se observa ca functia S_z^*(f) se compune din spectrele S_z(f) distantate la f_e Hz si normate in amplitudine prin f_e².

Reprezentarea grafica este urmatoarea:

Datorita periodicitatii lui S_z^*(f), functia de autocorelatie esantionata pe intervalul este .

Pentru generalizare se extind limitele de integrare in gama frecventelor (2k-1)f_e.

Introducand si valoare lui S_z^*(f) se obtine:

.

La limita vom obtine:

.

Notam .

Observand ca S_z(f+mf_e) este spectrul S_z(f) plasat la mf_e, relatia lui A_m se mai poate scrie ca: .

Deoarece , rezulta ca deoarece n si m sunt valori intregi.

In consecinta : , si revenind la relatia R_z^*(nT_e) se obtine : .

Daca functia de autocorelatie a semnalului z(t) inainte de esantionare este R_z(θ), atunci si deci :

.

Deoarece rezulta ca :

, c.c.t.d. .

In continuare luam in considerare si circuitul de extrapolare, conform schemei :

Raspunsul la impulsul unitar al circuitului de extrapolare h(t) trebuie sa fie ca in figura :

Transformata Fourier a lui h(t) este H(j2πf), iar functia de transfer in putere a circuitului de extrapolare este S_h(f).

Densitatea spectrala la iesirea circuitului de extrapolare este data de relatia : S_w(f)=S_z^*(f) S_h(f).

Atunci se poate exprima autoconvolutia semnalului w(t) astfel :

, unde este o functie de timp.

.

Se observa ca R_h(θ) este o functie simetrica R_h(θ)= R_h(-θ):

Atunci daca reprezentam functia R_h(-θ) la momentul de esantionare nT_e obtinem:

Pentru a analiza autoconvotia dintre R_h(θ) si R_z^*(θ) sa-l reprezentam si pe R_z^*(θ):

Atunci , cu precizarea ca

Latimea maxima a lui R_h(nT_e-θ) este 2T_e. Atunci: .

Sa analizam functia R_w(nT_e) intre momentele de esantionare. Daca se face o translatie a functiei R_w(nT_e-θ), (din figura anterioara) in intervalul perioadei de esantionare se observa:

u+v=θ; din cele 2 triunghiuri dreptunghice asemenea se poate scrie:

,

si similar .

Daca le exprimam functie de variabila u-θ atunci R_h(θ) devine R_h(u-θ) care este tocmai x, deci:

si .

Rezultatul este evident deoarece intre momentele de esantionare R_h(θ) nu poate fi mai mare ca T_e.

Deoarece relatiile de mai sus se pot exprima si functie de variabila v care este θ - u se obtine:

si .

Acum se poate exprima R_w(u-θ):

.

Inlocuindu-se expresiile lui R_h(v) si R_h(v-T_e) se obtine:

.

Sintetizand rezultatele efectului de extrapolare, reprezantate in figura de mai jos, se poate concluziona ca desi functia de autocorelatie a semnalului la iesirea circuitului de extrapolare, R_w(θ), este egala cu esantioanele lui R_z(θ) normate prin T_e la momentele de esantionare, aceasta functie nu este o curba neteda, ci din segmente de dreapta corespunzatoare perioadei de esantionare.

Deci R_w(θ) este o buna aproximare a lui R_z(θ).

Determinarea functiei de densitate spectrala a decoderului local

Pentru modelul in scara infinita vom determina initial functia de autocorelatie a semnalului y^*(t). La semnalul din schema modelului sosesc pe cele 2 cai esantioanele pare si impare. Consideram o succesiune de esantioane:

Functia de autocorelatie a semnalului y^*(t), notata prin R^*(θ) se determina multiplicarea succesiunii a) de esantioane cu ea insasi. Deci:

.

Pentru a determina pe R^*(T_e) deplasa succesiunea a) cu T_e, obtinand pe b) si inmultim cu a).

.

Daca se mai face o deplasare cu T_e se obtine:

.

Se observa relatiile generale pentru momentele pare si impare de timp:

, respectiv .

Sumand aceste doua relatii se obtine: .

Densitatea spectrala se obtine prin aplicarea transformatei Fourier:

; ;

.

Am vazut anterior ca spectrul unui semnal esantionat cu functia delta-periodica este de forma: .

Tinand cont de aceasta precizare, ultima relatie se poate scrie:

.

Daca mai tinem cont si de relatia: , atunci, pentru decoderul local al MDSI, putem exprima functia de densitate spectrala esantionata:

.

Observand ca:, rezulta:

Aceasta relatie se poate exprima sub forma a doua componente, para si impara, conform relatiei generale prezentate anterior. Astfel:

- Pentru momentele pare de esantionare:

Daca corelam aceasta exprimare cu cea anterioara putem observa ca se mai poate scrie:

,

in care l_1,p si l_2,p sunt coeficientii definiti anterior si particularizati pentru functiile in scara infinita y_p si y_i conform lui z_p(x) si z_i(x).

In relatia de mai sus .

- Pentru momentele de esantionare impare rezulta in mod similar:

.

Pentru evaluarea relatiilor lui S_i^*(f) trebuie sa determinam functia de autocorelatie intretesuta R_pi[(2m-1)T_e].

Considerand cazul general a doua functii A(t) si B(t) neliniare care prin intretesere compun functia C(t). Cele doua functii presupuse le exprimam prin polinoame Hermit, ca asa am convenit la tehnica spectrului normat: , respectiv .

Atunci functia de corelatie intretesuta :

.

Conform proprietatii de ortogonalitate a functiilor Hermite avem:

, unde N_n si ρ_xⁿ(θ) au fost definite anterior.

Deci .

Functia de densitate spectrala intretesuta:

.

Aplicand acest rezultat lui S_i^*(f) se obtine:

.

Daca sumam S_p^*(f) cu S_i^*(f) se obtine S_y^*(f):

(1)

.

Aceasta relatie se poate simplifica daca consideram valorile intregi pare si impare ale lui m in intervalul −∞ +∞.

Pentru cazul par, m=2k, si impar, m=2k−1:

In aceasta relatie observam ca:

si

Atunci:

(2) .

Deci functia de densitate spectrala la momentele de esantionare, S_y²(f), a semnalului de reactie din coderul delta se poate exprima prin cele doua relatii (1) si (2).

In relatia (1) functia S_y²(f) a fost stabilita prin esantionarea la jumatate din frecventa de tact la momentele de esantionare pare si impare rezultand spectrul localizat la multiplii jumatatii frecventei de esantionare.

Relatia (2) arata ca spectrul este localizat la multiplii frecventei de esantionare deoarece este identic cu , cu exceptia unei deplasari de frecventa de f_e/2. Deci este mai avantajos sa lucram cu relatia (2).

Semnalul y(t) de la ieserea integratorului din bucla de reactie a MDSI este identic cu semnalul de la intrarea circuitului de extrapolare din modelul in scara infinita.

Deci functia de densitate spectrala a semnalului y(t) devine ,

unde functia de densitate spectrala a circuitului de extrapolare.

Acum putem determina puterea de la iesirea integratorului in banda mesajului: (2-ul din fata integralei apare de la functia de densitate spectrala a zgomotului alb filtrat trece banda;

iar ).

In expresia puterii scisa mai sus este cuprinsa atat puterea semnalului cat si puterea zgomotului.

Sa separam puterea zgomotului de cuantizare

Pentru a pune in evidenta, in relatia puterii, puterea zgomotului de cuantizare in modelul in scara infinita exprimam diferenta dintre semnalul la iesirea functiilor in scara infinita si semnalul de la intrare la momentele pare si impare de esantionare, astfel:

, respectiv .

Semnalele Δy_p si Δy_i pot fi considerate ca apar la iesirea funtiilor "in dinte de fierastrau" infinite.

Pentru aceste functii coeficientii spectrali l_n,p si l_n,i se pot determina cu relatia lui l_n inlocuindu-se z(x) cu z_p(x)-x pentru momentele de iesire pare si z_i(x)-x pentru cele impare, deci:

si .

Se observa ca si .

Examimand coeficientii l_x,n pentru diverse valori ale lui n, stiind expresiile polinoamelor Hermite, se obtine:

.

Se stie ca .

In consecinta termenii l_x,n se simplifica l_x,1=1; l_x,n=0 pentru n≥2.

Atunci coeficientii l_n,p si l_n,i devin:

pentru n=1

pentru n≥2.

Se observa ca pentru n≥2 coeficientii functiei "in dinte de fierastrau" sunt identici cu coeficientii functiei in scara si coeficientii de ordinul unu ai functiei "in dinte de fierestrau" sunt egali cu cei ai functiei in scara din care se scade 1.

De la functiile neliniare impare stim z(x)=−z(−x), atunci coeficientii

sunt nuli cand n=par.

Aceasta afirmatie se verifica daca in expresia lui l_n se divide intervalul de integrare: , deci vom avea numai coeficientii de ordin impar.

Cu aceste precizari relatia (2) a densitatii spectrale devine:

Inlocuind , rezulta:

(3)

.

Relatia (3) a densitatii spectrale are trei termeni:

primul termen este proportional cu densitatea spectrala de intrare

ceilalti doi corespund efectelor cuantizarii.

Daca facem notarile:

- factor de amplificare prin coder care are o

valoare apropiata de 1.

- coeficienti spectrali ai distorsiunii de cuantizare,

relatia (3) devine: (4) .

In relatia (4) termenul doi reprezinta spectrul distorsiunii care apare pe armonicele frecventei de esantionare, se mai numeste spectrul centrat S_CEN^*(f), iar al treilea reprezinta spectrul care apare la armonicele frecventei f_e/2 - spectru descentrat - S_DES^*(f).

Deci spectrul zgomotului de cuantizare:

si .

Revenind la relatia puterii putem scrie:

(5)

.

Stiind ca , se observa ca pentru m≠0 spectrele cad inafara benzii de trecere f₁f₂, deci: ; f₁<f<f₂.

Acum putem exprima raportul S/Zc.

Mai intalnite sunt doua moduri de definire a S/Zc:

ca raport intre puterea semnalului de intrare si puterea zgomotului la iesire in prezenta semnalului, adica ;

ca raport intre puterea semnalului in prezenta zgomotului la iesire si puterea zgomotului la iesire in prezenta semnalului, adica .

Daca K din relatia (5) il aproximeaza pe ν² cele doua expresii sunt echivalente.

Cu precizarile de mai sus din relatia (4) separam spectrul zgomotului de cuantizare:

.

Tinand cont de functia de transfer a circuitului de extrapolare se obtine relatia finala a densitatii spectrale a zgomotului de cuantizare:

(6) .

Din reprezentarea grafica a coeficientilor spectrali C_1,n si C_2,n se observa urmatoarele:

prin cresterea lui n coeficientii C_n prezinta maxime si minime, iar valoarea medie a acestora scade;

prin micsorarea marimii treptei de cuantizare creste diferenta dintre maximele si minimele adiacente coeficientilor C_n precum si intervalul dintre varfurile adiacente, deasemenea creste valoarea medie;

C_2,n are maximum inaintea lui C_1,n;

pentru n≤25 semnificativi sunt coeficientii C_2,n, iar spectrul distorsiunii depinde de spectrul descendent si deoarece S_DES(f) scade cu f, in banda mesajului valoarea a este mica.

Referitor la influenta frecventei de esantionare se observa ca:

reducerea zgomotului se face prin cresterea lui f_e care nu afecteaza forma spectrelor S_CEN siS_DES ci numai localizarea lor;

deoarece S_CEN siS_DES depind de marimea ν si banda semnalului de intrare, rezulta ca si valoarea f_e peste care nu se mai produce nici o imbunatatire depinde si ea de acesti parametrii.

Rszc

pentru f_e>32f₂ rszc nu mai creste deoarece S_CEN siS_DES sunt efectiv separate;

partea punctata a curbelor reprezinta zgomotul.