BAZELE TEORETICE ALE METODELOR NUMERICE DE MASURARE

Bazele teoretice ale metodelor numerice de mAsurare

è1. Introducere

A. O metoda numerica de masurare presupune, obligatoriu, prezenta unui bloc numeric de calcul (BNC); cu o structura mai simpla sau mai complexa, BNC este realizat: fie in jurul unui microcontroller, fie folosind logica cablata fie cu ajutorul unui echipament de calcul individualizat. Un BNC prelucreaza doar siruri de numere, numere descrise intr-un format de prezentare, FOP, si folosind o conventie de reprezentare, COR.

Orice analiza prin procedee numerice a unei marimi fizice, a carei evolutie a valorilor este descrisa intotdeauna de o functie continua, presupune utilizarea -in echipamentul de prelevare a valorilor marimii fizice analizate- a unui dispozitiv specializat, numit convertor analog-numeric (CAN). CAN realizeaza cele doua operatii impuse de FOP si COR, numite cuantificare si respectiv codificarea.

B. Cuantificarea unei evolutii continue (sau discretizarea valorica) inseamna realizarea unei corespondente intre multimea infinita de valori finite ale marimii de intrare (caracteristici impuse de evolutia continua) si multimea finita de valori ale marimii de iesire (multime impusa de adoptatea unui format de prezentare a valorilor numerice, ceea ce inseamna implicit un numar finit de valori posibil de descris, N_max). Aceasta corespondenta implica segmentarea, dupa o lege cunoscuta, domeniului de intrare, D_in, in N_max subinter-vale; de obicei subintervale sunt de deschidere egala, deschiderea unui subinterval numindu-se rezolutia absoluta a cuantificarii-.

C. Orice realizare fizica de CAN este caracterizata de un timp finit al operatiilor de cuantificare si codificare (ns.sute de ms); in plus teoria prelucrarii numerice a semnalelor arata ca nu toate valorile unei evolutii continue sunt necesare pentru reconstituirea evolutiei temporale sau pentru evaluarea unor descrieri sintetice. Rezulta de aci necesitatea unei noi discretizari a evolutiei continue, si anume dupa axa timpului, operatie numita esantionare.

Realizata cu pas constant (numit perioada de esantionare) discretizarea temporala se face in acord cu conditionari teoretice ce asociaza parametrii evolutiei temporale (spectru de frecventa, viteza maxima de variatie) cu tipul prelucrarii numerice efective.

D. In fig.1. sunt prezentate rezutatele unor operatii de cuantificare si discretizare, efectuate separat sau succesiv (esantionare si apoi cuantificare). Se remarca urmatoarele:

evolutia cuantificata (fig.1.b) este de tip continuu, multimea valorilor marimii de iesire, x_ec(t) , fiind numarabila;

evolutia esantionata (fig.1.c) este de tip discontinuu, multimea valorilor marimii de iesire, x_es(t), fiind aceeasi cu a marimii fizice procesate, x(t);

evolutia de tip numeric -sau digital- (rezutata prin esantionare si apoi cuantificare) din fig.1.d, este de tip discontinuu si are multimea valorilor marimii de iesire numarabila.

2. ESantionarea si reconstruc|ia evolu|iilor temporale

2.1. Esantionarea ideala

A. Operatorul ce permite definirea esantionarii ideale este 'pieptenele Dirac', , reprezentat (fig.2.a) ca o succesiune de implusuri Dirac decalate cu Te -perioada de esantionare-:

; (1)

transformata Fourier a lui este:

, (2)

in care f_e -este frecventa de esantionare (inversa lui T_e), fiind un pieptene Dirac cu

perioada f_e

Prin aplicarea multiplicativa a pieptenului Dirac asupra evolutiei continue x(t) -fig.1.a- se obtine evolutia esantionata x_es(t) din fig.1.c, descrisa de:

. (3)

B. Deoarece transformata Fourier a unui produs este produsul de convolutie al transforma-telor Fourier, din (3) rezulta ca transformata Fourier a semnalului esantionat va fi:

; (4)

X(f) reprezinta transformata Fourier a lui x(t) iar cu s-a notat operatorul de repetare a spectrului X(f) cu rata f_e

Relatia (4) indica faptul ca spectrul de frecventa al semnalului esantinat se obtine prin periodizarea spectrului de frecventa al semanlului ce a fost esantionat.

Daca asupra ultimei expresii din (3) se aplica transformata Fourier rezulta:

, (5)

relatie care sta la baza introducerii transformatei z.

Observatie: Daca x(t) este cauzal (deci nul pentru t<0) in (3) si (5) valoarea minima a lui k este zero.

C. In fig.2. sunt prezentate desene explicative pentru operatia de esantionare in domeniul timpului si efectele sale in domeniul frecventei; in desen s-a considerat ca spectrul X(f) este limitat in frecventa, frecventa sa limita, f_M, fiind mai mica decat f_e

2.2. Teorema esantionarii temporale

2.2.1. Elemente principiale

A. Demonstrata de Shannon, aceasta teorema enunta ca un semnal analogic x(t) cu spectru de frecventa limitat superior la f_M, este descris integral de setul complet de esantioane daca T_e este inferioara jumatatii perioadei 1/f_M.

Frecventa de esantionare minima se numeste frecventa Nyquist si este definita prin:

f_NQ f_M (6)

1/f_NQ numindu-se interval Nyquist.

B. Daca teorema esantionarii nu este respectata, componente cu frecvente ce depasesc f_e apar, prin esantionare, ca si componente de joasa frecventa in spectrul admis (cu frecvente sub f_e/2) al semnalului de intrare (fig.3); fenomenul numit aliasing, altereaza analiza si reconstructia semnalului esantionat.

C. Afirmatia din teorema esantionarii se verifica elementar si prin fig.2.b. de unde rezulta posibilitatea reconstituirii spectrului lui x(t) trecand x_es(t) printr-un filtru trece jos ideal cu frecventa de taiere f_e . Schema principiala a procesului de esantionare-reconstituire este aceea din fig.4.

Caracteristicile unui filtru trece jos ideal, cu B banda de trecere, inseamna (fig.5): caracteristica de frecventa dreptunghiulara; caracteristica de faza lineara (t₀ fiind o constanta arbitrara); raspunsul la impus (functia pondere) descris prin functia sinus cardinal (data prin: sinca=). Pentru filtrul trece jos ideal, cu frecventa de taiere , raspunsul la impuls este:

Marimea de iesire, y(t), a ansamblului esantionor ideal urmat de filtru trece jos ideal (fig.4), este identica cu marimea de intrare x(t); matematic y(t) este data de produsul de convolutie:

(7)

Functia se numeste functia esantion sau functia de interpolare.

Din relatia (7) rezulta ca in punctele de esantionare valoarea reconstituita este egala cu valoarea esantionata; pentru valori de timp intermediare (t¹kTe) se poate folosi o

relatie simplificata:

; (8) relatia rezulta din (7) prin calcule elementare ce debuteaza cu dezvoltarea numaratorul lui sinc.

D. Daca semnalul esantionat, x(t), este periodic de perioada T_x, aproximarea prin seria Fourier, , indica 2N+1 parametri (, k=1..N); rezulta ca pentru reconstructia evolutiei sunt necesare 2N+1 esantioane distincte, pozitionate uniform pe deschiderea unei perioade T_X.

Prelevarea esantioanelor necesare reconstructiei lui se poate realiza in timp real (deci pe durata unei perioade) sau in 'timp dilatat', prin tehnica Sampling.

Tehnica esantionarii in 'timp dilatat' presupune ca perioada de esantionare sa fie:

T_e=m T_x D (9)

cu m numar natural; D este o fractiune din T_x (1:100 1:500), aleasa astfel incat punctele de esantionare sa nu fie distantate cu multiplii intregi de T_x (deci valorile achizitionate sa fie distincte). In asemenea conditii reconstituirea unei perioade este posibila din esantioanele prelevate de-a lungul mult mai multor perioade, cu negarea aparenta a teoremei esntionarii temporale.

Tehnica sampling se foloseste curent atunci cand viteza de variatie a semnalelor esantionate depaseste rata de conversie analog-numerica sau banda de frecventa a unor elemente inscriptoare (cazul osciloscoapelor cu esantionare, sau a inregistratoarelor electromecanice)

E. Similar teoremei de esantionare in domeniul timpului exista o teorema de esantionare in domeniul frecventei, ce indica conditia de reconstructie a Transformatei Fourier X(f), din esantioane ale ei prelevate cu un pas de cel mult f_NQ

Se esantioneaza evolutia din intervalul t , t +T, a marimii x(t) -cu spectrul limitat superior la f_M-; esantionarea se face cu frecventa f_e (aleasa in acord cu teorema esantionarii) rezultand N esantioane (N=T f_e) care permit definirea -in acord cu (5)- a Transformatei Fourier discrete (TFD):

; (10)

s-au folosit notatiile: X(n)=X(nf), valorile discrete de pe X(f) luate cu pasul f=1/T, n evoluand in gama -N/2..N/2-1; esantioanele prelevate cu pasul 1/f_e in intervalul T; , radacina principala de ordinul N a unitatii.

Relatia duala a lui (10) permite determinarea esantioanelor x(k), k=0..N-1, prin:

. (11)

Relatiile (10), (11) sunt folosite curent in analiza numerica a semnalelor datorita unor tehnici rapide de calcul (numite FFT -Fast Fourier Transforms).

2.2.2. Consecintele practice ale teoremei esantionarii

A. Pentru evitarea fenomenului de aliasing, obligatoriu se introduce, inainte de esan-

tionor, un filtru trece jos, numit filtru antialiasing (FAL). De tip trece jos FAL se dimensioneaza astfel incat semnalele de intrare in el avand frecventa superioara valorii f_e sa devina nesemnificative la iesirea sa.

Cel mai utilizat tip de FTJ antialiasing implementeaza o aproximare de tip Butterworth, ceea ce inseamna o caracteristica de frecventa de forma:

, (12)

n fiind ordinul filtrului, iar f_c fiind frecventa de taiere (pentru care atenuarea este de -3dB). O asemenea aproximare a FTJ ideal asigura in banda de trecere un raspuns plat optimal, panta asimptotica de atenuare fiind de -20n dB/dec. Valorile recomandate pentru n sunt 2..6; cu cat n este mai mare cu atat f_c se poate apropia de f_NQ, pentru valorile recomandate f_c =(6 1.5)f_NQ.

Alte aproximari utilizate pentru FTJ antialiasing sunt Cebasev sau eliptica, care fata de Butterworth asigura pante de atenuare mai mari la acelasi ordin al filtrului, dar ondulatia in banda de trecere este mai mare.

B. Din relatiile de reconstituire (7), (8) rezulta ca in cazurile practice, cand se dispune doar de un numar finit de esantioane, reconstructia nu poate fi decat aproximativa. In asemenea cazuri, pentru micsorarea efortului de calcul si pentru controlul erorii de reconstituire, se recomanda utilizarea unor formule de interpolare, precum interpolarea cu functii Spline cubice.

C. Daca se cunoaste spectrul de frecventa al semnalului ce urmeaza sa fie prelucrat numeric frecventa de esantionare ar putea sa fie teoretic egala cu frecventa Nyquist (6).

Practic frecventa de esantionare se alege mult superioara frecventei Nyquist (uneori de sute de ori) pentru a micsora atat erorile datorate unor imperfectiuni de realizare a filtrului antialiasing (in zona de rejectie) cat si erorile de reconstituire datorate utilizarii unui numar finit de esantioane.

Factorul de multiplicare al f_NQ depinde si de tipul prelucrarii semnalului esantionat; in toate cazurile in care se esantioneaza semnale periodice cu spectru limitat la primele 5..11 armonici se constata ca o esantionare sincronizata (frecventa de esantionare multiplu intreg al frecventelor principalelor armonici) permite micsorarea semnificativa atat a erorilor de reconstituire cat si a celor de calcul a unor valori sinterice (valoare medie, valoare efectiva).

2.3. Reconstituirea practica a semnalului esantionat

A. Reconstituirea practica (aproximativa) a evolutiei temporale a lui x(t) din valorile esantionate, cu DI domeniu de indici, se poate face prin extrapolare sau prin interpolare.

Extrapolarea presupune determinarea valorii x(t*) folosind numai esantioane ce corespund unor momente anterioare lui t*. Interpolarea foloseste atat esantioane anterioare cat si esantioane ulterioare lui t*; desi este necauzala prin acceptarea unei intarzieri intre esantionare si reconstructie si interpolarea poate fi folosita.

Numarul de esantioane utilizate, k, da ordinul operatiei de reconstituire; pentru un ordin finit reconstituirea este intotdeauna aproximativa. Daca k este mai mare decat doi reconstituirea nu este posibila decat prin intermediul unui bloc de calcul, a carui existenta este naturala in echipamentele numerice de masurare.

Atunci cand un bloc de calcul nu este disponibil se folosesc extrapolatoare de ordinul zero sau de ordinul unu, solutii putin precise si practic abandonate azi.

B. Atunci cand un bloc de calcul este disponibil, reconstituirea unei evolutii temporale presupune implementarea numerica a unui interpolator cvasiideal, ce aproximeaza relatia de reconstituire ideala (7). Cele mai utilizate aproximari sunt cele polinomiale, ce folosesc diverse conditii de aproximare: uniforma (polinoamele Lagrange), medie patratica (poli-noame ortogonale), in sens Cebasev sau de tip Spline. Uzual interpolarea se face prin polinoame de ordinul un, doi sau trei, prin functii Spline cubice sau chiar de functii tip sinus cardinal.

Cea mai simpla interpolare de tip uniform (sau lineara) foloseste, pentru , relatia de aproximare:

; (10)

evident valorile reconstituite sunt cu T_e in urma valorilor esantionate (la pasul nT_e se obtine aproximarea pentru x (n-1)T_e , etc).

C. In cazul in care se doreste obtinerea fizica a evolutiei reconstituite, valorile discrete obtinute prin interpolare, ce 'indesesc' valorile esantionate, se pot folosi pentru definirea intrarii unui convertor numeric-analogic a carei iesire este trecuta printr-un filtru de netezire. Toate aceste operatii aduc acuratete reconstructiei dar introduc un decalaj temporal intre semnalul esantionat si reconstructia sa. Structurile de achizitie digitala (precum osciloscoapele cu memorie digitala) folosesc pentru reconstructia evolutiilor tem-porale o asemenea tehnica; structura posibila a lantului de prelucrare este prezentata in fig.6, t avand semnificatia intarzierii elaborarii reconstituirii marimii esantionate.

3. Cuantificarea Si efectele sale

3.1.Definiri

A. Cuantificarea (cuantizarea), realizata fizic de un convertor analog-numeric (CAN), este o regula de corespondenta intre numarul infinit de valori al unei marimi continue, x(t), si numarul finit de valori ale unei marimi de aceeasi natura, x_q(t), numita marime cuantificata.

Valorile lui x_q(t) sunt codificate numeric (operatie realizata tot de CAN) folosind FOP -formatul de prezentare si COR -conventia de reprezentare. FOP si COR impun N_Q -numarul de valori posibile pentru x_q(t).

Cuantificarea implica segmentarea domeniu-lui valorilor marimii x(t), D_in, in N_Q subintervale, rezultand multimea de subdomenii juxtapuse .

Pentru toate valorile marimii de intrare dintr-un subdomeniu D_k se aloca aceeasi valoare a marimii de iesire; teoretic aceasta valoare corespunde valorii intrarii din mijlocul subdomeniului respectiv, notata.

B. Legea de segmentare cea mai raspandita a lui D_in este de tip uniform (numita si de tip linear), toate D_k avand aceeasi deschidere D, valoare egala cu D/N_Q, D fiind deschiderea lui D_in. O asemenea lege de segmentare pentru un D_in bipolar implica o corespondenta intrare- iesire de tipul celei din fig.7.

3.2. Eroarea (zgomotul) de cuantificare

A. Diferenta intre valoarea marimii continue si valoarea corespondenta a marimii cuantificate se numeste eroare de cuantificare:

(11)

Deoarece eroarea de cuantificare, n_q, depinde de valoarea marimii continue, poate fi considerata ca o variabila aleatoare, numindu-se, frecvent, zgomot de cuantificare.

B. Pentru zgomotul de cuantificare, n_q se definesc: valoarea medie si dispersia .

O valoare nenula pentru indica prezenta unei componente continue in x(t), numita eroare de zero.

Daca p(x) este densitatea de probabilitate a lui x(t), atunci relatia de definitie pentru dispersia va fi:

; (12)

dupa , o valoare aproximativa pentru dispersie este:

. (13)
Deoarece pentru o lege uniforma de cuantificare, , din (13) rezulta:

s-a tinut cont ca integrarea (sumarea) pe intreaga deschidere a densitatii de probabilitate este unu ().

Relatia (14), des utilizata, este exacta daca se considera ca zgomotul de cuantifica-re, distribuit intre poseda o densitate de probabilitate uniforma(fig.8). Se arata, , ca o asemenea presupunere corespunde majoritatii cazurilor practice (chiar si in cazul unor conditii de cuantificare grosiere).

C. Pentru a descrie influenta zgomotului de cuantificare asupra reconstructiei valorii marimii de intrare in cuantificator, se defineste raportul semnal de intrare - zgomot de cuantificare prin :

; (15)

se reaminteste ca s-dispersia unui semnal este identica cu valoarea efectiva (RMS -Root Mean Square) a acestuia, deci este echivalent cu raportul a doua puteri.

In conditiile unei legi de cuantificare de tip uniform, folosind (14), valoarea in dB

a raportului semnal-zgomot (marimile raportate fiind de tip putere) este:

. (16)

Daca se considera ca deschiderea domeniului marimii de intrare este de forma , notand cu a raportul , din (16) rezulta:

. (17)

Dupa tipul semnalului de intrare, raportul semnal zgomot are valorile

x(t) semnal aleator cu lege de distributie uniforma: ,

x(t) semnal aleator cu lege de distributie normala; considerand ca D corespunde pentru , se obtine ; daca D corespunde la , atunci.

pentru x(t) cu evolutie sinusoidala acoperind deschiderea D, .

Raportul semnal -zgomot este o masura directa a gamei dinamice a cuantizorului, deoarece zgomotul de cuantizare este singurul ce limiteaza valoarea minima a semnalului de intrare in cuantizor.

Valorile obtinute pentru raportul semnal-zgomot, acordate cu rezolutiile de prelucrare din diverse domenii, recomanda pentru N valorile: 4 in domeniul televiziunii digitale, 8..12 in domeniul prelucrarii numerice a semnalelor electrice si acustice, 12..16 in domeniul masurarilor de precizie si al prelucrarii de inalta fidelitate a sunetului.

D. Atunci cand se esantioneaza, cu frecventa f_e, un semnal variabil, x(t), avand banda de frecventa limitata la f_M, se presupune ca puterea zgomotului de cuantificare se distribuie uniform in tot spectrul de frecventa (cel util fiind pana la f_e/2); rezulta deci ca daca f_e creste asa incat f_e/2>> f_M, densitatea de putere a zgomotului de cuantificare in 0, f_M -banda de frecventa a semnalului esantionat- va scadea.

Tehnica numita Oversampling permite cresterea gamei dinamice a cuantizorului cu 6dB -sau echivalent cresterea rezolutiei cuantizarii in descriere binara cu un bit- pentru fiecare crestere de patru ori a frecventei de esantionare peste frecventa Nyquist

E. Se arata, , ca pentru cazul cand marimea de intrare intr-un cuantificator (cuantizor) este constanta exista posibilitatea reducerii erorii de cuantizare, sub aceea ce caracterizeaza cuantizatorul si o cuantizare izolata; pentru aceasta se suprapune peste marimea de intrare un zgomot aleator centrat si se face o mediere a valorilor de iesire a cuantizorului.

Numarul valorilor mediate trebuie sa fie mare (10..30), iar semanlul aleator -de tip gaussian sau zgomot alb (uniform distribuit)- trebuie sa aiba eroarea medie patratica in jurul jumatatii pasului de cuantizare D

. (18)

Pentru masurari de precizie se recomanda utilizarera zgomotului alb.

E. Caracteristica intrare-iesire a unui cuatizor real se abate de aceea ideala (fig.7), identificandu-se doua tipuri de erori: erorile de la extremitati, numite eroare de zero si respectiv eroare de castig (de factor de scara sau de panta); eroarea de aproximare a legii de cuantizare, numita, pentru cuantizorul uniform, eroare de linearitate sau nelinearitatea.

Erorile de la extremitati se pot corecta prin reglaje initiale, ramanand numai variatia acestor erori cu factorii de mediu -in special cu temperatura-.

Eroarea de linearitate initiala si variatia ei cu factorii de mediu reprezinta principala eroare a cuantizatorului real; constructiv eroarea de linearitate este corelata cu pasul de cuantificare (D), fiind -ca valoare absoluta- in gama 0.32D (0.5 -valoare recomandata).

3.3. Codificarea asociata cuantificarii

A. S-a aratat ca prin cuantificare se asociaza lui x(t), evoluand in D_in de deschidere D, o marime de aceeasi natura, x_q(t), cu un numar prestabilit de valori, N_Q. Codificarea este operatia prin care fiecarei valori x_q(t), i se asociaza un numar -pe baza unui format de prezentare, FOP, si a unei conventii de reprezentare, COR.

Cuantifiacrea si codificarea sunt functii realizate de converoarele analog-numerice (CAN). Aproape fara exceptie codificatoarele asociate cuantificatoarelor din CAN folosesc drept COR diverse coduri binare si un FOP de tip numar intreg (cu 4 22 de biti).

B. Cele mai folosite coduri binare sunt: codul binar natural (CBN), codul complement fata de unu (CCU), codul binar offsetat (CBO), codul complement fata de doi (CCB), codul binar simetric (CBS), codul Gray (CGR) si codul zecimal cu codificare binara (NBCD -Natural Binary Coded Decimal). Dintre acestea CBO, CCU, CBS si CCB sunt coduri de tip bipolar, deci pot descrie numere intregi, celelalte -CBN, CGR, NBCD- sunt coduri unipolare, deci pot descrie doar numere naturale.

C. In tabelele din fig.9 si fig.10 sunt exemplificate, pentru principalele coduri binare si pentru un format de reprezentare pe patru biti, corespondentele ce caracterizeaza cuantificatorul; sunt analizate cazul cuantificatorului pentru marime unipolara (fig.9) si cazul cuantificatorului pentru marime bipolara (fig.10), avand aceeasi deschidere D a domeniului de intrare (sau echivalent pentru acelasi pas de cuantificare, D Se reaminteste ca pasul de cuantizare, D, este definit prin raportul intre D -deschiderea domeniului de valori al marimii de intrare in cuantificator si N_Q -numarul de valori pe care le poate descrie distinct codificatorul.

Daca codul este de tip CBN, CCB, CCU, CBO, CGR iar FOP este de tip intreg pe N biti, N_Q ^N. Daca codul este NBCD, cei N biti ai FOP sunt impartiti in tetrade, incepand de la bitul cel mai putin semnificativ; rezulta m tetrade, ultima (incluzand si bitul cel mai semnificativ) putand fi incompleta (cu numai p biti). In aceste conditii .

D. Din tabelele prezentate in fig.9 si fig.10 rezulta concluziile:

Codul binar natural (CBN) este un cod de tip ponderat, ponderea bitului cel mai putin semnificativ (notat curent cu abrevierea din l.e., LSB -Least Significant Bit) fiind 2 , ponderea bitului cel mai semnificativ (MSB -Most Significant Bit), fiind ; daca este o descriere in CBN, descrierea zecimala a numarului este:

(19)

Codul Gray (CGR) nu este un cod ponderat; descrierea asociata CGR rezulta din aceea in CBN dupa regula: pornind de la MSB -ce se lasa nemodificat- bitul urmator se complementeaza daca bitul curent este 1, altfel nu (echivalent, un bit din descrierea CGR rezulta din suma modulo doi intre bitul corespondent si bitul imediat superior din descrierea in CBN). Codul Gray are proprietatea ca doua valori succesie ale iesirii codificatorului nu difera decat prin valoarea unui bit; proprietatea este utila pentru corectia erorilor cuantificatorului datorate fluctuatiei marimii sale de intrare (cazul CAN de tip paralel si al traductoarelor numerice pentru deplasari).

Codul NBCD foloseste la nivelul unei tetrade ponderile 8-4-2-1, ponderea unei terade fiind 1/10 din ponderea tetradei mai semnificative. Acest cod este folosit in principal in aparatele de masurat cu afisare numerica la care sistemul de afisare este controlat de iesirea codificatorului NBCD (prin intermediul unei memorii de valoare curenta -ce mentine afisata vechea valoare pana ce un nou ciclu de cuantificare-codificare s-a finalizat- si a unui decodificator din NBCD in codul de afisare specific sistemului de afisare- de obicei cu sinte-

tizare din segmente-).

Codul binar offsetat (CBO), este cel mai simplu cod pentru descrierea unei marimi bipolare. Corespondenta ce-l caracterizeaza rezulta din corespondenta pentru CBN prin translatarea marimii de intrare cu jumatate din deschiderea domeniului sau de variatie (in exemplu, prin scaderea din marimea de intrare a lui ). Se observa ca MSB este si o indicatie privind semnul marimii de intrare in cuantificator. Dintre corespondentele specifice codurilor bipolare, corespondenta pe care CBO o realizeaza este cea mai usor de implementat.

Codul binar simetric (CBS) este un cod de tip valoare plus bit de semn. Din fig.10 se observa ca marimile de intrare cu aceeasi valoare absoluta au aceasta valoare codificata in CBN, MSB fiind alocat numai pentru semn.

Codul complement fata de doi (CCB), este unic acceptat in sistemele de calcul pentru reprezentarea numerelor intregi cu semn. In CCB numarul natural M este reprezentat prin descrierea din CBN, iar numarul -M este descris prin reprezentarea in CBN a valorii . Sigura deosebire intre reprezentarea in CBO si CCB este MSB, prin complemen-tarea acestuia trecandu-se de la o reprezentare la alta.

Codul complement fata de unu (CCU) ofera pentru o valoare pozitiva descrierea din CBN iar pentru o valoare negativa complementul fata de unu al valorii pozitive corespondente (ceea ce se obtine prin complementarea fiecarui bit).