CAPACITATEA ELECTRICA. CONDENSATORI

CAPACITATEA ELECTRICA. CONDENSATORI

a. Capacitatea unui conductor izolat

b. Coeficienti de influenta

c. Capacitatea unui condensator

d. Capacitatea unor tipuri de condensatori

e. Gruparea condensatorilor

f. Energia campului electric inmagazinat in interiorul unui condensator

g. Aplicatii

a. Capacitatea unui conductor izolat

Fie un conductor de forma oarecare, izolat si aflat la distanta foarte mare de alte corpuri. Daca pe el se afla o anumita cantitate de electricitate, Q, el se va afla la un potential V. Multiplicand sarcina electrica de pe acest corp de m ori, in conformitate cu legea suprapunerii starilor de echilibru, potentialul conductorului va fi si el de m ori mai mare decat potentialul initial. Tinand seama de cele enuntate mai sus, rezulta ca raportul dintre sarcina electrica a unui conductor izolat si departat de alte corpuri si potentialul sau este o constanta:

Raportul:

(I.63)

este o caracteristica a conductorului izolat si se numeste capacitatea electrica a conductorului izolat si departat de alte corpuri.

In Sistemul International de marimi si unitati, capacitatea electrica se

masoara in farazi:

Un farad este capacitatea unui condensator electric, care sub o tensiune de 1 volt intre armaturile lui, se incarca cu o sarcina electrica de un coulomb.

In practica faradul este o unitate foarte mare de aceea se folosesc submultiplii lui: microfaradul () si picofaradul ().

Pentru un conductor sferic (vezi fig. 54), incarcat cu sarcina electrica Q, intensitatea campului electric intr-un punct exterior lui se calculeaza cu formula:

Fig. 54 Conductor sferic incarcat electric si departat de alte corpuri

Potentialul suprafetei sferice rezulta imediat din definitia diferentei de potential:

Folosind formula (I.63), de definitie a capacitatii conductorului izolat, rezulta:

(I.64)

b. Coeficienti de influenta

Daca mai multi conductori se afla in apropiere unul de altul, asa cum am aratat in paragraful (I. 4. e), intre ei se exercita o influenta electrica.

Fie sistemul de n conductori, A₁,A₂,..,A_n, reprezentat in figura 5

Fig. 5 Sistem de conductori ce se influenteaza aflati in echilibru electrostatic.

Printr-un procedeu oarecare, aducem conductorii la potentialele electrice V₁,V₂, V_n. In aceste conditii pe conductori se vor afla sarcinile electrice Q₁,Q₂, ,Q_n.

Pentru a descrie sintetic starea electrica a sistemului sa facem urmatorul tabel:

Tabelul 1:

Conform legii suprapunerii starilor de echilibru, se poate ajunge la starea descrisa in tabelul 1, prin suprapunerea mai multor stari de echilibru simple.

Sa legam conductorul A₁ la un potential electric de un volt. Ceilalti conductori, A₂,A₃, ,A_n, ii legam la potential nul (vezi figura 56).

Fig. 56 Stare simpla de echilibru pentru sistemul de conductori din figura 5

In urma fenomenelor de influenta dintre conductorul A₁ si ceilalti conductori ai sistemului, se vor induce pe conductori sarcinile electrice C₁₁,C₂₁,.,C_n1. Starea de echilibru este descrisa sintetic in tabelul 2.

Tabelul 2:

Prin suprapunerea a m=V₁ stari identice cu cea descrisa in tabelul 2, in conformitate cu legea suprapunerii starilor de echilibru, se obtine o stare de echilibru descrisa in tabelul 3.

Tabelul 3:

Judecand in mod analog se obtine, spre exemplu, pentru conductorul A_j asezat la potentialul V_j si pentru ceilalti conductori asezati la un potential nul starea de echilibru descrisa in tabelul 4.

Tabelul 4:

Constantele C_ij nu depind de potentialul V_j ci numai de forma si de pozitia conductorilor in sistem, adica ei depind numai de parametrii geometrici ai sistemului.

Suprapunand toate starile de echilibru, descrise mai sus, se obtine starea initiala de echilibru a sistemului de conductori, prezentata in tabelul 1.

In conformitate cu legea suprapunerii starilor de echilibru rezulta:

(I.65)

Rezultatul de mai sus poate fi exprimat in cuvinte astfel: sarcina electrica totala de pe un conductor, dintr-un sistem de conductori, este o functie liniara si omogena de potentialele tuturor acestor conductoare.

Coeficientul C_ij se numeste coeficient de influenta al conductorului A_j asupra conductorului A_i. Coeficientul C_ii se numeste coeficient de capacitate al conductorului A_i.

Vrem sa gasim cateva proprietati generale ale coeficientilor de influenta si ale coeficientilor de capacitate.

Este usor de observat ca, daca conductorul A_i este la un potential pozitiv, pe el se pot afla numai sarcini pozitive, iar daca el este la un potential negativ pe el nu se pot afla decat sarcini negative, deci coeficientii C_ii sunt strict pozitivi:

(I.66)

Coeficientul de influenta C_ji, reprezentand sarcina electrica pe conductorul A_j aflat la potential nul, atunci cand potentialul conductorului A_i este pozitiv si egal cu un volt, nu poate fi decat negativ, deoarece liniile de camp pleaca de la suprafata conductorului cu potential mai mare si ajung pe suprafata conductorilor cu potential mai mic. Deci:

(I.67)

Evident si potentialul fiecarui conductor, ca o consecinta a legii suprapunerii starilor de echilibru, este o functie liniara si omogena de sarcina a tuturor conductorilor:

(I.68)

unde _ij se numesc coeficienti de potential.

Potentialul conductorului i poate fi dedus direct din formula (I.38):

(I.69)

unde r_ij este distanta de la elementul ds_j pana in punctul de pe conductorul A_i unde se calculeaza potentialul.

Evident, marimea:

este sarcina totala de pe conductorul A_i..

Presupunand ca sarcina de pe conductorul A_i este:

si multiplicand relatia (I.69) cu Q_j',rezulta:

Insumand relatiile (I.70) dupa i = 1,2,.,n, se obtine:

Rezulta:

(I.71)

Relatia (I.71) se numeste legea reciprocitatii.

Folosindu-ne de legea reciprocitatii si de sistemul (I.68) prin identificarea coeficientilor rezulta:

    (I.72)

Cum sistemul (I. 65) se poate obtine din sistemul (I. 68) prin rezolvarea acestuia in raport cu sarcina electrica, rezulta:

unde Δ este determinantul coeficientilor sistemului (I.68) iar A_ij sunt complementele elementelor _ij din acest determinant.

Pe baza relatiei (I.72) putem afirma, pentru coeficientii C_ij,ca satisfac conditia:

(I.73)

Fie conductorul A_i la potentialul V_i =1 si toti ceilalti conductori la un potential nul. Deoarece intre A_i si ceilalti conductori nu exista o influenta totala, pe baza legii elementelor corespondente, rezulta ca:

(I.74)

c. Capacitatea unui condensator

In general, se numeste condensator, un ansamblu de doi conductori apropiati si separati printr-un mediu izolator. De obicei se impune conditia ca, intre cei doi conductori sa existe o influenta totala. Acest lucru se poate realiza daca unul din conductori il inconjoara pe celalalt.

Cei doi conductori ce constituie condensatorul se numesc armaturi.

Pentru cei doi conductori se pot scrie, tinand cont de sistemul (I.65), relatiile:

(I.75)

Din relatiile (I.66), (I.67), (I.73) si (I.74) rezulta:

Sistemul de ecuatii (I.75) se scrie:

Fig. 57 Sistem de doi conductori ce formeaza un condensator

Notand:

si

Deoarece pe conductorul A se afla sarcina Q₁, pe fata S_i a conductorului B se va afla sarcina -Q₁ si deci pe fata exterioara a conductorului B se va afla sarcina Q_e=C'V₂. Sarcina Q_e nu depinde de sarcina de pe conductorul A si nici de potentialul acestuia; de exemplu daca sarcina Q₁ = 0, sarcina Q_e este aceeasi ca si cand conductorul B este adus singur la potentialul V₂. Deci C' reprezinta capacitatea conductorului B izolat. Sarcina Q_e nu are importanta in functionarea condensatorului si, de obicei, ea este nula.

Neglijand Q_e, sarcina de pe armaturile condensatorului este data de relatia:

(I.76)

Aceasta relatie este relatia fundamentala a condensatorilor.

d. Capacitatea unor tipuri de condensatori

In cazul in care condensatorul are o geometrie simpla, capacitatea lui se poate calcula. Prezentam in continuare capacitatea electrica a unor tipuri de condensatori mai intalniti in practica.

Condensatorul plan. Prin condensator plan se intelege un ansamblu de doua armaturi plane si paralele, cu o intindere mult mai mare decat distanta dintre ele.

Datorita simetriei plane, putem determina densitatea de sarcina pe una dintre armaturi, cu relatia:

Fig. 58 Condensator plan

Sarcina electrica ce se afla pe o suprafata S a unei armaturi este:

Din relatia de mai sus si din formula fundamentala a condensatorilor rezulta:

(I.77)

In realitate, dimensiunile liniare ale armaturilor sunt finite si, din aceasta cauza, pe la capetele lor se pierd linii de camp electric. Pentru a omogeniza liniile de camp dintre armaturile condensatorului plan se foloseste un inel metalic ce inconjoara una din armaturi asezat la acelasi potential cu armatura data. Acest inel se numeste inel de garda (vezi fig. 59). Pentru aceste condensatoare formula (I.77) este mult mai aproape de realitate.

Fig. 59 Condensator plan cu inel de garda

Condensator sferic. Condensatorul sferic este alcatuit din doua sfere concentrice, metalice de raze R₁ si R₂ ca in figura 60.

Fig. 60 Condensator sferic

Datorita simetriei sferice putem folosi legea lui Gauss pentru aflarea intensitatii campului electric:

Deci:

Din definitia diferentei de potential rezulta:

Obtinem in final:

(I.78)

Condensatorul cilindric. Condensatorul cilindric este un ansamblu de doua conductoare cilindrice, concentrice, a caror generatoare este mult mai mare decat distanta dintre ei.

Fig. 61 Condensatorul cilindric

Datorita simetriei cilindrice, putem aplica legea lui Gauss, si rezulta:

Deci:

Folosind relatia de legatura dintre intensitatea campului electric si potential, obtinem:

Folosind formula fundamentala a condensatorilor rezulta:

(I.79)

e. Gruparea condensatorilor

Condensatorii se pot grupa intre ei formand baterii de condensatori. Scopul realizarii bateriilor de condensatori este obtinerea de capacitati diferite sau suportarea unor tensiuni mai mari.

Un mod simplu de grupare a condensatorilor este legarea lor unul dupa altul ca in figura.

Fig. 62 Gruparea in serie a condensatorilor

O astfel de conectare a condensatorilor se numeste grupare in serie sau in cascada.

Aplicand pe baterie o diferenta de potential, aceasta se va distribui pe toti condensatorii. Cum este evident, pe fiecare condensator, se va afla aceeasi cantitate de electricitate. Sarcina totala de pe bateria de condensatori, datorita faptului ca sarcina de pe armaturile intermediare se anuleaza reciproc, este egala cu sarcina de pe unul din condensatori.

Folosind formula fundamentala a condensatorilor si faptul ca suma tensiunilor de pe condensatori este egala cu tensiunea de la capetele bateriei, rezulta:

Deci:

(I.80)

Daca condensatorii se leaga ca in fig. 63, se realizeaza o grupare in paralel sau in derivatie.

Fig. 63 Gruparea in paralel a condensatorilor

Sarcina totala a bateriei se exprima prin relatia:

Deci, capacitatea bateriei de condensatori, este:

(I.81)

Exista situatii cand o baterie de condensatori este realizata prin combinarea unor grupari serie si paralel. O astfel de grupare se numeste mixta. Pentru aflarea capacitatii echivalente a unei grupari mixte se procedeaza, din aproape in aproape, la reducerea gruparilor serie si paralel la capacitati echivalente.

In cazul unei structuri complexe de condensatori, se poate intampla ca anumite zone ale bateriei sa nu poata fi reduse la grupari serie sau paralel. In astfel de situatii este necesara transformarea conexiunii stea in conexiune poligon complet. (vezi fig. 64).

Sarcina condensatorului C_k din fig. 64.a este:

Fig. 64 Transfigurarea stea poligon-complet

Presupunand condensatorii initial neincarcati, rezulta:

de unde se obtine:

Inlocuind pe V₀ in relatia lui q_k, rezulta:

sau:

Sarcina, corespunzand nodului s in cazul poligonului complet, se scrie:

Pentru ca la potentialele date ale nodurilor sa corespunda aceleasi sarcini, este necesar sa se identifice termenii corespunzatori. Se obtine:

(I.82)

Relatia (I.82) permite determinarea unui numar de capacitati C_sk egal cu numarul de laturi al unui poligon complet n(n-1)/2. Deoarece cu exceptia lui n = 3, numarul de relatii provenite din (I.82) este mai mare ca n, transfiguratia inversa nu este posibila in general.

f. Energia campului electric inmagazinat in interiorul unui condensator

Fie un conductor izolat si departat de alte conductoare. Presupunem ca pe acest conductor se afla o sarcina Q. Vrem sa aflam energia inmagazinata in campul electric produs de acest conductor. Lucrul mecanic necesar pentru a deplasa de la infinit pana la conductor sarcina dQ este:

Lucrul mecanic total, necesar incarcarii corpului cu intreaga sarcina, este:

Tinand cont de relatia (I.63), rezulta:

Acest lucru mecanic, necesar incarcarii corpului, se transforma in energie a campului electric:

(I.83)

Pentru a afla energia in campul electric din interiorul unui condensator se procedeaza in mod analog. Daca potentialul unei placi este egal cu V₁, iar al celeilalte cu V₂, lucrul mecanic necesar transportului sarcinii dQ intre cele doua placi va fi:

Facand calcule identice cu cele de mai inainte, rezulta lucrul mecanic necesar transportarii sarcinii totale de la o placa la alta:

Acest lucru mecanic se transforma in energia campului electric dintre armaturile condensatorului:

g. Aplicatii

Problema 1.

Cele doua condensatoare din fig. 64 sunt initial neincarcate. Urmeaza incarcarea lor printr-o manevra care consta din doua etape: comutatorul K se pune mai intai pe pozitia (a) si apoi se trece repede pe pozitia (b). Se cere sa se calculeze tensiunea la bornele condensatorilor si sarcinile acestora dupa n manevre complete.

Fig. 64 Referitor la problema 1

Atunci cand condensatorul C₁ se afla pe pozitia (a) se incarca cu sarcina q₀ = CU₀ . Fie U^(k) tensiunea comuna la bornele celor doi condensatori, dupa terminarea manevrei k. Rezulta ca:

sau:

daca se are in vedere ca pe pozitia (b) cele doua condensatoare sunt legate in paralel. Scriind relatia anterioara pentru k = 1,2,3,.,n,.,tinand seama ca U⁽⁰⁾ = 0, adunand toate relatiile obtinute, dupa ce in prealabil au fost inmultite respectiv cu 1, (C₁+C₂)/C₂, ., se obtine:

Facand calculele se obtine:

Se observa ca: