CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV SINUSOIDAL

CIRCUITE ELECTRICE IN CURENT ALTERNATIV SINUSOIDAL

1 Marimi alternative sinusoidale. Generalitati

i(t) = I_m sin(w t j

I_m este valoarea maxima (de varf) sau amplitudinea, w este pulsatia, iar j este faza initiala a marimii sinusoidale. (w t j), se numeste faza marimii sinusoidale.

valoare instantanee i(t).

perioada, notata cu (T), avand ca unitate de masura secunda.

frecventa (f), iar produsul 2 p f = w se numeste pulsatia sau viteza de rotatie a marimii periodice, rad/s sau s^-1.

f = w p f = w T = 2 p

Fig. 1

Valoarea de varf I_m.

Diferenta dintre fazele initiale ale doua marimi sinusoidale se numeste defazaj. Pentru doua marimi sinusoidale de forma: i₁ = I₁ sin(w t+j ) si i₂ = I₂ sin(w t+j ), defazajul este:

j j j

Acest defazaj poate fi pozitiv sau negativ. Daca j j > 0, i₁ este defazat inaintea lui i₂ , ca si in figura 2,a, iar daca j j < 0, i₁ este defazat in urma lui i₂, ca in figura 2,b.

j j j = 0 marimile sunt in faza , sinfazice.

j j j marimile sunt in cuadratura - , j j j p in antifaza -

2 Valori caracteristice ale marimilor alternative sinusoidale

Valoarea medie

= 0,636 I_m

U_med = = 0,637 U_m

Valoarea efectiva (eficace) a unei marimi alternative sinusoidale.

i = I_m sinw t

Q = R I² T = . > I = = 0,707 I_m

sin²α = (1- cos 2 α ) / 2

U = = 0,707 U_m.

i = I sin(w t+j

3 Reprezentarea geometrica a marimilor alternative sinusoidale

OM' = OM sin = OM sin ( t +

i = I_m sin t +

OM = I_m

OM fazor ,

4 Reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale.

1) forma algebrica:

= a + j b a = Re

b = Im

Modulul r = = ³

Argumentul    a = arctg

2) forma trigonometrica:

Din figura se observa ca: a = r cosa

b = r sina

= a + j b = r cosa j r sina = r (cosa j sina

3) forma exponentiala:

- deoarece, cosa j sina = e^{j a}, se obtine forma exponentiala:

= r e^{j a}

, ca urmare :

c j =

cu alte cuvinte, a inmulti cu j inseamna a roti fazorul c cu 90⁰ in sens trigonometric. Se arata simplu ca a imparti la j inseamna a roti in sens invers sensului trigonometric fazorul c.

Reprezentarea in complex a unei marimi sinusoidale poate fi facuta in doua forme: nesimplificat sau simplificat.

a) Nesimplificat u = U sin(w t + j

u = U sin(w t + j e^{j w t + j}

[ cos(w t + j j sin(w t + j

cos(w t + j) + j sin(w t + j

u = Im

b) Regula de reprezentare fazoriala simplificata: Pentru reprezentarea in complex simplificat se renunta la coeficientul si la operatorul e^{j w t)}, obtinandu-se fazorul complex simplificat.

u = U sin(w t + j = U e^jj

Marimea se numeste fazorul complex simplificat al tensiunii sau valoarea efectiva complexa.

Operatii in complex:

a) Amplificarea marimii sinusoidale cu un scalar real

l u l

b) Adunarea marimilor sinusoidale corespunde biunivoc adunarii imaginilor complexe:

u₁ + u₂

c) Derivarea marimii sinusoidale corespunde cu inmultirea imaginii complexe prin j w

Prin inmultirea unui fazor cu j w, in planul complex, acest lucru inseamna rotirea acestuia in sens trigonometric cu un unghi de 90

d) Integrarea in timp a marimii sinusoidale corespunde biunivoc cu impartirea imaginii complexe prin numarul j w

Prin impartirea unui fazor cu j w, are loc rotirea acestuia in sens invers trigonometric, cu un unghi de 90