Extragerea semnalelor din zgomot

Chiar daca s-au luat toate precautiile pentru evitarea cuplajelor parazite, datorita zgomotelor intrinseci asociate generatorului de semnal util si produse de amplificator, in conditiile in care semnalul are nivele foarte coborite, raportul semnal zgomot poate avea valori atit de mici incit la prima vedere nici nu poate fi recunoscut din zgomotul care il insoteste. Exista insa metode de procesare care imbunatatesc spectaculos acest raport, crescind precizia de masura si permitind extragerea semnalelor foarte slabe practic inecate in zgomot. In principal aceste metode se bazeaza pe faptul ca informatia utila este continuta intr-o banda spectrala ingusta pe cind zgomotul care o acopera este repartizat pe un interval spectral extrem de latg. In consecinta, operatia principala care este efectuata este ingustarea benzii efective de zgomot.

Vom considera mai intii ca zgomotul a fost deja adunat peste semnal si vom incerca, pentru diferite tipuri de semnale utile, sa recondtionam semnalul. Apoi, beneficiind de concluziile acestei analize, vom arata cum se poate modifica dispozitivul experimental pentru a micsora zgomotul care nu mai poate fi indepartat prin reconditionare.

Reconditionarea unui semnal constant

Sa presupunem ca trebuie sa masuram o tensiune electrica constanta (sau foarte lent variabila) de nivel foarte coborit, peste care este suprapus un puternic semnal de zgomot. Densitatile spectrale de putere ale diverselor componente arata ca in Fig. 14.1. Semnalul util, fiind constant (sau foarte lent variabil) are puterea repartizata foarte concentrat in jurul frecventei nule. Acelasi lucru se intimpla cu eventualul decalaj (offset) si cu driftul (variatie determinista, foarte lenta, datorita modificarii parametrilor mediului ambiant, imbatrinirii componentelor, etc.). Din acest motiv, odata adunate peste semnalul constant, decalajul si driftul sint imposibil de eliminat oricit am ingusta banda de trecere.

Zgomotul alb are puterea repartizata uniform in spectru. Pentru el, ingustarea benzii cu un factor determina micsorarea, cu acelasi factor, a puterii medii. Spre deosebire de acesta, zgomotul are puterea repartizata preponderent la frecvente mici, acolo unde se gaseste si informatia utila. Este evident ca ingustarea benzii va avea un efect mult mai mic. Pentru aceste doua tipuri de zgomote, completam rationamentul calitativ anterior cu o tratare cantitativa.

Zgomotul alb

Fie este un zgomot alb, de banda larga, cu distributie gaussiana in jurul valorii nule. Cu alte cuvinte, la un moment de timp tensiunea poate avea orice valoare intre si , valorile fiind imprastiate simetric in jurul valorii nule. Dispersia valorilor in jurul mediei, determinata de puterea semnalului

(14.1)

este foarte mare. Aici este banda de frecvente (finita) pe care este distribuita energia semnalului de zgomot. Cum intreaga informatie a semnalului util este la frecventa nula (sau extrem de aproape de ea), o filtrare trece-jos va micsora puterea zgomotului fara sa afecteze semnalul util. Dupa filtrare, in relatia anterioara in locul lui apare banda de zgomot echivalenta a filtrului, . Pentru un filtru de ordinul intii ea este , unde este frecventa de taiere (-3 dB) iar pentru filtre Butterworh de ordine superioare ea este practic frecventa de taiere. Efectul filtrarii trece jos asupra unui zgomot alb apare evident in Fig. 14.1, unde s-au reprezentat si functiile de distributie corespunzatoare.

Fig. 14.1. Efectul filtrarii trece-jos asupra unui zgomot alb.

O alta metoda de reducere a zgomotului alb este efectuarea unei medii alunecatoare (running average), caracterizata de durata , care conduce la noul semnal (Fig. 14.2 a)

(14.2)

Fig. 14.2. Media alunecatoare si efectul ei asupra zgomotului alb.

In acest mod imprastierea valorilor tensiunii este redusa substantial.

Operatia de mediere poate fi scrisa ca un produs de convolutie

(14.2)

unde functia pondere a operatiei de mediere este egala cu intre si si nula in rest (Fig. 14.3). Dupa cum stim, in domeniul frecventa Fourier, procesul este echivalent cu o filtrare a semnalului cu o functie de transfer data de

(14.3)

Pentru semnalele intimplatoare, important este modulul ei patrat

(14.4)

reprezentat in Fig. 14.4 in scara liniara si dublu logaritmica..

Medierea este deci echivalenta cu o filtrare cu o functie de transfer trece jos, cu amplificare unitara in banda de trecere si cu un numar infinit de rejectii infinite situate la armonicele frecventei . La frecvente mari infasuratoarea modulului patrat al functiei de transfer scade cu doua decade pe decada, ca la o functie de ordinul 1. Banda ei echivalenta de zgomot este

(14.5)

puterea zgomotului, dupa mediere, fiind

. (14.6)

Astfel, tensiunea sa efectiva dupa mediere este

(14.7)

cu atit mai mica cu cit timpul de mediere este mai lung. La orice moment am determina tensiunea instantanee mediata, ea se va gasi cu probabilitate aproape unitara (0.997) in intervalul

Observatie: Efectuarea directa a integralei precedente se poate evita prin utilizarea teoremei Parseval care afirma ca ea este egala cu .

Operatia de medie alunecatoare poate fi usor implementata digital, dupa conversia analog-digitala a semnalului (Fig. 14.5 a), dar este dificil de realizat asupra versiunii sale analogice. De aceea, de multe ori, operatia se inlocuieste cu o filtrare trece-jos cu un filtru realizabil fizic (Fig.14.5 b).

Am vazut ca un filtru Butterworth de ordin superior are banda echivalenta de zgomot aproximativ egala cu frecventa sa de -3 dB, . Efectul sau este practic identic cu acel al mediei alunecatoare, cu

(14.8)

Daca ordinul sau nu este decit unu (un banal circuit RC), tinind seama ca banda sa echivalenta de zgomot este , filtrarea efectuata de el este echivalenta cu o mediere pe timpul

(14.9)

Sintem acum pregatiti sa consideram si componenta constanta, care trebuie masurata, ca in Fig. 14.6. Cum operatia de mediere (filtrare) este una liniara, cele doua componente, semnalul constant si zgomotul alb, pot fi tratate separat, adunindu-le apoi la iesire. Pentru zgomot ramine deci valabila analiza anterioara. In ceea ce priveste semnalul util, acesta avind frecventa nula iar functia de transfer a filtrului fiind unitara la , el se regaseste identic la iesire. Din acest motiv, eroarea relativa a determinarii sale printr-o masuratoare la un moment dat a semnalului filtrat este

. (14.10)

In figura au fost reprezentate semnalele dupa medierea pe 30 si, respectiv, 1000 s.

Fig. 14.6. Efectul medierii pentru un semnal constant peste care este suprapus un zgomot alb.

Observatie: Desi masuratoarea se face la un singur moment, informatia trebuie sa fie mediata anterior pe timpul . Experimentul de masurare trebuie sa dureze, deci, o durata minima egala cu acest timp. Cu un filtru trece jos de ordinul 1 trebuie sa asteptam, de asemenea, pentru ca raspunsul sau sa se stationarizeze, o durata de ordinul (regula celor cinci ) care, utilizind (14.9) conduce aproximativ la aceeasi durata minima a experimentului.

Daca experimentul dureaza mai mult decit si, in loc sa fie supus unei singure masuratori la un anumit moment semnalul filtrat este inregistrat pe o durata , asupra acestei inregistrari se poate face, digital sau vizual, o noua mediere. Astfel, banda de zgomot efectiva este redusa suplimentar si eroarea in determinarea semnalului util coboara la

(14.11)

Asrfel, daca tot experimentul de masura dureaza , indiferent de procedeul prin care s-ar prelucra semnalul, eroarea de masura nu poate fi redusa sub

(14.12)

In concluzie, daca avem de masurat un semnal constant peste care este suprapus numai zgomot alb de medie nula, eroarea de masura poate fi micsorata oricit de mult prin prelungirea duratei experimentului si efectuarea unei operatii de mediere pe aceasta durata. Precizia masuratorii creste cu radicalul duratei de mediere.

Trebuie remarcat ca, datorita caracteisticilor zgomotului alb (independenta intre valorile luate la momente diferite de timp), nu este necesar ca duratele pe care se face medierea sa fie adiacente. Multe experimente consta in efectuarea, nu neaparat la intervale egale, a masuratori, fiecare implicind o mediere pe o durata nenula (nici o masuratoare nu poate fi infinit de scurta). Daca eroarea asupra unei singure masuratori este data de timpul , prin medierea ulterioara a celor masuratori, timpul efectiv de mediere creste de ori si deci eroarea se reduce de ori. Acest rezultat, cunoscut din teoria erorilor, este valabil numai pentru zgomotul alb de medie nula. Asa cum vom vedea mai tirziu medierea nu poate micsora efectele zgomotului .

Zgomotul

Incercam acumi sa aplicam operatia de mediere (filtrare trece-jos) unui zgomot . Rejectia frecventelor superioare nu face insa integrala

sa fie convergenta.

Cu alte cuvinte, si dupa filtrare, datorita preponderentei frecventelor joase, care nu au fost rejectate de filtru, valorile tensiunii sint imprastiate cu dispersie infinita. Acest fenomen apare clar in Fig. 14.7, unde se incearca extragerea unui semnal constant din zgomotul care a fost suprapus peste el, prin filtrare trece-jos. Chiar daca frecventa de taiere este foarte coborita, semnalul filtrat are oscilatii puternice care, la prelungirea timpului de observatie, pot determina obtinerea unor valori instantanee foarte mari.

Fig. 14.7. Incercarea de extragere a unui semnal constant din zgomot .

Dificultate matematica dispare daca se analizeaza in detaliu procesul experimental de observare a acestor valori. Astfel, amplificatorul necesar pentru vizualizarea tensiunii de zgomot trebuie sa aiba amplificari mari si, trebuind sa functioneze si la frecventa nula, prezinta cu siguranta o tensiune de decalaj la intrare. Din acest motiv apare la iesire un nivel de tensiune continua, care nu poate fi prezis, si care produce o nedeterminare asupra tensiunii de zgomot masurate. Se pot pune in evidenta astfel numai variatii pe durata experimentului fata de un nivel constant. In practica se regleaza la inceputul experimentului amplificatorul, aducind tensiunea de iesire la zero, sau, echivalent, din valorile inregistrate se scade linia de baza.

Notind in continuare cu durata experimentului, sa vedem ce efect scaderea liniei de baza asupra unei componente a zgomotului de perioada de frecventa .

Fig. 14.8. Semnalul observat pentru diferite valori ale frecventei

Cum momentul inceperii experimentului nu este legat de mecanismul de zgomot, faza initiala a acestei compnente este arbitrara si distribuita cu egala probabilitate in intervalul . Daca frecventa este mult mai mare decit , pentru diferite valori posibile ale fazei initiale, semnalul observat arata ca in Fig. 14.8 a) si puterea medie pe timpul de observatie este practic puterea medie pe o perioada, adica independenta de frecventa sau timpul de observatie.

In cazul in care frecventa a componentei spectrale este mai mica decit , se va observa practic numai o parte dintr-o perioada, semnalul observat aratind ca in Fig. 14.8 b) si c). Se constata astfel, ca pentru orice faza initiala, amplitudinea observata devine din ce in ce mai mica cu cit frecventa este mai mica in comparatie cu . Fenomenul este similar cu cel produs de un filtru trece-sus a carui frecventa de taiere ar fi aproximativ .

Aceste observatii calitative sint confirmate de rezultatele calculelor. Astfel, puterea medie pe timpul a semnalului observat se scrie ca

Dupa medierea dupa valorile posibile ale fazei initiale si impartirea la puterea semnalului de la intrare obtinem modulul patrat al functiei de transfer echivalente

care este desenat in Fig. 14.9.

Concluzia este ca scaderea liniei de baza actioneaza ca un filtru trece-sus; frecventa sa de taiere este apropiata de inversul duratei experimentului

.

Puterea medie observata a zgomotului depinde, deci, de durata de observatie (mediere).

Observatie: Nu trebuie confundata medierea puterii instantanee, care este un algoritm prin care calculam o caracteristica a unui semnal aleatoriu, cu procesul de mediere in timp a valorilor instantanee (utilizat anterior pentru micsorarea benzii de zgomot) care este o procesare a unui semnal ce produce un alt semnal.

Luind in considerare si filtrarea trece jos cu frecventa de taiere , inerenta oricarui echipament, puterea zgomotului observat in experiment este

.

Sa incercam acum sa ingustam banda de trecere a sistemului (prin filtrarea trece-jos sau prin medierea semnalului). }tim ca frecventa minima este de ordinul si tinind seama si de dependenta frecventei inferioare , obtinem, dupa filtrare, puterea zgomotului

In conditiile medierii semnalului peste intreaga durata a experimentului, prelungirea timpului de observatie nu va micsora imprastierea datorata zgomotului . Acest rezultat poate fi verificat in experimentul prezentat in Fig. 14.9. Ultimul grafic este observatia pe timp de 1000 ms a unui semnal mediat (alunecator) cu si are fluctuatii mici.. Dar daca din graficul semnalului mediat cu numai luam la intimplare portiuni de lungime a 30 ms si scadem pentru fiecare linia de baza, obtinem (Fig. 14. ) evolutii similare cu cea observata pe 1000 de ms !

Fig. 14.10.

Oricit am ingusta banda filtrului trece-jos, durata necesara a experimentului fiind egala cu inversul acestei benzi, fluctuatiile datorate zgomotului ramin la fel de mari. Pentru experimentul din Fig.14.7, marimea lor virf la virf, asa cum se vede in figura anterioara, este practic egala cu semnalul constant pe care am incercat sa-l extragem din zgomot. In aceste conditii, semnalul nu mai poate fi reconditionat prin nici un mijloc.

Daca durata experimentului este fixata, pentru micsorarea zgomotului observat trebuie sa mediem semnalul pe intreaga durata de observatie, in caz contrar la puterea zgomotului adaugindu-se si termenul . In schimb, daca frecventa superioara este fixata (filtru trece jos cu frecventa de taiere constanta), marirea timpului de observatie care a curs din momentul in care s-a reglat decalajul amplifcatorului mareste termenul al doilea din relatia ( ), acesta avind expresia . In aceste conditii, daca nu se mai face o mediere peste intregul timp de observatie, experimentul trebuie sa dureze cit mai putin.

Exemplu: Pentru OP 27 densitatea spectrala a componentei a zgomotului de tensiune este

deci daca se incepe experimentul la , si filtrul trece jos are frecventa de 10 Hz, excursia tensiunii observate este continuta in intervalul care pentru ajunge la ! Din acest motiv, cind se prezinta 'zgomotul integrat' pentru frecvente mici se specifica intodeauna timpul de observatie.

Decalajul si driftul

Amplificatoarele utilizate pentru procesarea marimilor constante (de frecventa nula) suprapun peste acestea propriul lor decalaj de la intrare; acelasi efect il pot avea si traductorii care convertesc in marimi electrice marimile fizice purtatoare de informatie. Avind aceesi frecventa cu a semnalului util, aceasta componenta, odata adunata, nu mai poate fi inlaturata prin nici un procedeu.

Tensiunea de decalaj nu ramine insa absolut constanta in timp. Ea sufera o variatie foarte lenta (drift), din cauza variatiei temperaturii, a imbatrinirii componentelor, etc. Deoarece aceasta variatie este extrem de lenta si nu are medie nula efectul ei nu poate fi diminuat prin mediere sau filtrare. Daca pe durata experimentului driftul poate fi aproximat cu unul liniar, prin masurarea decalajului (fara semnal) la inceputul si sfirsitul experimentului, el poate fi estimat si scazut din rezultatele masuratorii.

Reconditionarea unui semnal sinusoidal

Zgomotul alb

Sa analizam acum cazul in care semnalul util este unul periodic, pur sinusoidal, de medie nula, cu frecventa . daca incercam micsorarea zgomotului printr-o filtrare trece jos, atunci frecventa de taiere trebuie sa fie mai mare decit si nu foarte apropiata de aceasta (fig.14.6). Intreaga contributie de la frecvente mici a zgomotului alb ramine insa si, daca frecventa este mare, eroarea

este inacceptabila.

O micsorarea mult mai substantiala a zgomotului se poate obtine prin utilizarea unui filtru trece banda ingust, centrat pe frecventa semnalului util. Considerind, de exemplu, un filtru de ordinul 2, rezonant, cu factorul de calitate si amplificarea maxima unitara

obtinem o banda de zgomot echivalenta     si, deci, o eroare relativa

Daca filtrarea este facuta analogic avem, dupa adaugarea unui amplificator si a unui voltmetru, un aparat care se numeste voltmetru selectiv. El are posibilitatea reglarii continue a frecventei de acord, a comutarii intre mai multe valori ale factorului de calitate si ale sensibilitatii (amplificarii globale). Daca in principiu banda de zgomot ar putea fi redusa oricit de mult, in practica ea este limitata tehnologic de posibilitatea realizarii unor filtre cu factor mare de calitate. Daca se ia in consideratie si faptul ca frecventa semnalului util si frecventa centrala a filtrului trece-banda nu sint absolut constante, ci sufera derive independente, reiese clar ca nici nu este necesar sa avem filtre extrem de inguste. Presupunind semnalul util ideal, sensibilitatea unui voltmetru selectiv este limitata de banda sa de zgomot, care nu poate fi micsorata oricit datorita derivei frecventei sale de acord. Sensibiltatile tipice oferite de aceste aparate, in gama de frecvente sint de ordinul .

In locul voltmetrului selectiv poate fi utilizat un analizor de spectru care ofera in plus si informatii asupra zgomotului si semnalelor perturbatoare. Trebuind sa culeaga informatii pe o banda de frecvente larga, aceste aparate au rezolutia spectrala (si deci banda echivalenta de zgomot) mai larga decit a voltmetrelor selective.

Zgomotul

Pentru semnalele sinusoidale, extragerea din zgomotul suprapus se face, ca si pentru zgomotul alb, printr-o filtrare trece banda cu o largime de banda cit mai mica. Reluind experimentul din Fig. 14.9, dar de data aceasta cu un semnal sinusoidal, cu frecventa si amplitudinea egala cu valoarea semnalului constant pe care nu a fost posibil sa-l reconditionam, filtrarea trece banda reuseste de data aceasta sa puna in evidenta semnalul (Fig. 14. ). In figura a fost reprezentata evolutia semnalelor filtrate si in intervalul de timp necesar filtrului pentru ca raspunsul lui sa se stationarizeze (de ordinul de marime al largimii benzii de trecere).

Reconditionarea unui semnal periodic nesinusoidal

Zgomotul alb

Daca semnalul periodic nu este sinusoidal, ci are o forma oarecare, ca in Fig. 14.7 a), metoda voltmetrului selectiv nu mai este aplicabila, deoarece un filtru ingust centrat pe frecventa de repetitie, ar inlatura toate armonicele, cu exceptia celei fundamentale. In afara de pierderea formei semnalului, transformat intr-o sinusoida, amplitudinea la iesire este proportionala dar nu egala cu amplitudinea semnalului original.

Observatie: Daca nu dorim o masuratoare absoluta a amplitudinii ci doar obtinerea unu semnal strict proportional cu aceasta putem utiliza cu succes o filtrare trece banda ingusta centrata pe fundamentala (frecventa de repetitie).

Pentru pastrarea formei semnalului ar fi necesar un filtru care sa aiba o infinitate de benzi de trecere foarte inguste, de inaltime egala, centrate la multiplii intregi ai freventei de repetitie. O asemenea functie de transfer este imposibil de realizat in tehnica analogica. Exista insa un procedeu de prelucrare a semnalului, numit mediere multipla (multiple averaging) caruia ii corespunde un asemenea tip de functie de transfer.

Fig. 14.7. Medierea multipla,

Dupa cum se vede in Fig.14.7 a), la (unde este perioada de repetitie) se face o esantionare (sampling). Cum esantionarea dureaza un timp finit , ceea ce se obtine este de fapt media semnalului pe aceasta durata, care este mult mai mica decit perioada de repetitie. Aceasta informatie este memorata si apoi mediata cu cele obtinute intr-un mod similar de la perioadele urmatoare ale semnalului. Dupa medierea peste astfel de perioade se obtine valoarea de la momentul a semnalului reconstruit. Functia pondere corespunzatoare este desenata in Fig. 14.7 b) si ea are expresia

()

unde este functia treapta unitate. Rezulta de aici o functie de transfer cu

. ()

Cum , putem considera ca armonicele semnificative au frecventa maxima si functia sinc este practic unitara, asa ca, in aceasta gama de frecvente

desenata in Fig. 14.7 d) pentru doua valori ale numarului de perioade mediate. Cu cit creste numarul de perioade mediate, cu atit lobii secundari devin mai mici iar lobii principali se ingusteaza, largimea unui asemenea lob fiind foarte bine aproximata cu .

Daca functia de transfer trece jos a echipamentului de masura este inmultita cu cea nterioara, banda totala de zgomot este micsorata de la la , eroarea asupra tensiunii semnalului la orice moment de timp din perioada micsorindu-se de ori. In Fig. 14.8 sint date formele unui astfel de semnal dupa medierea pe 1, 10, 100 si, respectiv, 100 de perioade.

Un element cheie in aplicarea metodei medierii multiple il constituie posibiltatea sincronizarii esantionarii cu semnalul periodic pe care dorim sa-l extragem din zgomot. Astfel, metoda poate fi utilizata comod daca semnalul periodic ce trebuie reconditionat este produs sau, cel putin, declansat, de catre experimentator. De asemenea, metoda mai poate fi folosita atunci cind semnalul existent, desi contine zgomot, prezinta fronturi bine definite care permit sincronizarea procesului de esantionare.

Pentru implementarea analogica a metodei, cea mai simpla solutie consta in utilizarea unui integrator de tip 'boxcar'. Acesta primeste impulsuri de sincronizare (triger) si efectueaza esantionarea periodic, cu o intirziere reglabila de catre utilizator. Informatia este integrata un timp prestabilit dupa care este citita si se reiau masuratorile cu o noua valoare a lui .

O alta varianta, analiza multicanal, converteste mai intii tensiunea in frecventa si apoi aplica aceasta frecventa pe rind la intrarile a (tipic 1024) numaratoare, fiecare putind numara pina la un milion sau mai mult. Procesul se reia la fiecare perioada astfel incit dupa perioade numaratoarele contin valorile mediate pentru momente de timp din cadrul perioadei. Un asemenea aparat (MCS-multichannel scaler) poate accepta la intrare atit semnale analogice cit si pulsuri.

Zgomotul

Asa cum se vede in Fig. 14.7