Filtre active

A. Generalitati

Filtrarea semnalelor, adica transmiterea frecventelor care intereseaza si rejectarea frecventelor nedorite, este una dintre cele mai des intilnite operatii in procesarea semnalelor. De fapt, orice sistem liniar cu memorie poate fi privit ca un filtru daca reprezentam actiunea sa in domeniul frecventelor Fourier. Utilizarea amplificatoarelor operationale permitre realizarea filtrelor active care au multiple avantaje in comparatie cu filtrele RLC inlocuindu-le in majoritatea aplicatiilor.

Vom incepe cu o scurta prezentare generala a problemei filtrarii. Caracteristicile ideale pentru filtre sint prezentate in Fig. 9.1. Cum amplificarea nu este o caracteristica esentiala a filtrelor, pentru convenienta amplificarea in banda a fost luata unitara. Pentru filtrele ideale amplificarea in banda de trecere este perfect constanta, amplificarea in banda de oprire este nula (rejectia este infinita) iar tranzitia de la banda de trecere la cea de oprire se face infinit de abrupt.

In privinta filtrelor trece-banda si opreste banda este necesara o scurta observatie. Daca , filtrul este de banda larga si poate fi usor obtinut prin cascadarea a doua filtre trece-jos si trece sus. Cind insa , filtrul este de banda ingusta si este caracterizat prin frecventa centrala si factorul de calitate . Cum pentru acest tip de filtru se utilizeaza circuite specifice, vom intelege in continuare prin filtre trece banda (sau stop-banda) numai filtre de banda ingusta.

Dupa cum am aratat in Cap. 5, prin schimbarea de variabila , o functie de transfer trece-sus poate fi transformata intr-una trece-jos. In plus, caracteristica trece-banda de banda larga poate fi obtinuta prin cascadarea a doua filtre, unul trece-jos si celalalt trece-sus. Din acest motiv vom restringe, deocamdata, discutia numai la functii trece-jos.

Caracteristica trece-jos ideala este imposibil de realizat, functia pondere a filtrului trebuind sa fie necauzala; un asemenea caz a fost studiat, pentru filtrul trece banda, la problema P 2.8 . Din acest motiv, in practica o tema de proiectare arata ca in Fig. 9.2: caracteristica nu are voie sa intre in zonele hasurate. In banda de oprire, departe de frecventa de taiere, curba cistigului coboara cu , unde este diferenta intre numarul de poli si cel de zerouri; astfel, o rejectie mai mare a frecventelor nedorite inseamna un filtru cu ordin mai ridicat.

Functia de transfer poate fi insa optimizata fie pentru o platitidine maxima in banda de trecere, cu pretul unei tranzitii mai lente (filtre Butterworth), fie pentru o tranzitie cit mai abrupta, obtinuta prin acceptarea unei ondulatii in banda de trecere si/sau banda de oprire (filtre Cebisev).

In unele aplicatii este important ca semnalele dintr-o anumita banda de frecventa sa fie cit mai putin distorsionate. Am vazut in Cap. 2 ca aceasta se intimpla daca faza variaza liniar cu frecventa. Semnalele sinusoidale din acea banda sunt intirziate cu aceaasi cantitate , numita timp de intirziere de grup. Prin optimizarea functiei de transfer dupa criteriul obtinerii unui timp de intirziere cit mai constant se obtin filtrele Bessel (numite si Thompson).

Functia de transfer trece-jos de ordinul 2

(9.1)

studiata in Cap. 5 este de platitudine maxima (Butterworth). Pentru ea, modulul patrat al amplificarii este

(9.2)

iar frecventa de taiere (la -3 dB) este chiar .

Acest tip de raspuns poate fi generalizat pentru un ordin oarecare, modulul patrat al amplificarii scriindu-se ca

. (9.3)

Frecventa de -3 dB ramine in continuare la , dar panta cu care coboara caracteristica este acum dB/decada. Tranzitia de la banda de trecere la cea de oprire devine tot mai abrupta la cresterea ordinului filtrului, efect care se poate constata daca reprezentam caracteristica in jurul lui intr-o scara liniara de frecvente (Fig. 9.3).

Pentru a obtine o functie de transfer cu modulul dat de (9.3) este necesar ca cei poli sa fie localizati in semiplanul sting al planului complex simetric fata de axa reala, pe un cerc de raza , separati intre ei prin unghiuri egale cu ca in Fig. 9.4. Astfel, pozitiile celor poli sint date de relatia

. (9.4)

Fig. 9.4. Locatia polilor in planul complex, pentru filtre Butterworth.

Spre deosebire de raspunsul Butterworth, care ofera o platitudine maxima in banda de trecere, raspunsul Cebisev permite caracteristicii sa aiba oscilatii (riplu) de amplitudine constanta intr-o anumita regiune spectrala.

Putem distinge, astfel, caracteristici cu riplu constant in banda de trecere (Cebisev propriu-zis sau Cebisev I), cu riplu constant in banda de oprire (invers Cebisev sau Cebisev II) si cu riplu constant in ambele benzi (Cauer-Cebisev).

Daca in banda de trecere permitem amplificarii sa evolueze intre si unitate, cu amplitudine constanta, polii functiei de transfer trebuie sa fie localizati in planul complex pe o elipsa, cu axa mare orientata pe axa imaginara iar axa mica orientata dupa cea reala. Pozitiile celor poli sint date de relatiile

, (9.5)

semiaxele elipsei fiind si . Pozitionarea polilor, pentru , este aratta in Fig. 9.5. Trebuie notat ca, pentru aceste tipuri de filtre, frecventa de taiere nu se mai defineste la -3 dB ci la frecventa unde amplificarea in banda ia pentru ultima data valoarea sa minima, mai departe caracteristica atingind pentru ultima data valoarea maxima si apoi incepind regiunea de tranzitie.

Fig. 9.6. Raspunsurile Butterworth si Cebisev de ordinul 6: cistigul in scara logaritmica de frecventa (a) si amplificarea in scara liniara de frecventa (b).

In Fig. 9.6 sint prezentate, pentru ordinul 6, caracteristica Butterworth si caracteristica Cebisev cu un riplu de 2dB. Se observa ca, acceptind un riplu in banda de trecere, se obtine o tranzitie mai abrupta.

In cazul filtrelor invers Cebisev amplificarea este fortata sa oscileze in banda de oprire, cu amplitudine constanta, intre zero si . Functia de transfer are zerouri, situate pe axa imaginara la , ale caror frecvente sint date de relatia

. (9.6)

Daca ordinul este impar, ultimul zerou este de fapt la infinit. Polii functiei de transfer sint

Fig. 9.7. Caracteristicile filtrelor invers Cebisev (cu riplu constant in banda de oprire) si Cauer-Cebisev, comparativ cu aceea a filtrului Butterworth: cistigul in scara logaritmica de frecventa (a) si amplificarea in scara liniara de frecventa (b); toate filtrele au ordinul 6.

(9.7)

unde, la frecventa amplificarea ajunge prima data la valoarea sa maxima din banda de oprire, mai departe ea oscilind intre aceasta valoare si zero. In ceea ce priveste banda de trecere, acest tip de filtru realizeaza o comportare de platitudine maxima. In Fig. 9.7 este desenata caracteristica filtrului invers Cebisev de ordinul 6

Se poate impune, de asemenea, conditia ca amplificarea sa aiba oscilatii de amplitudine constanta atit in banda de trecere cit si in cea de oprire, cele doua amplitudini fiind stabilite independent. In acest caz, se obtine cea mai abrupta comportare a caracteristicii in zona de tranzitie, asa cum se poate observa in figura anterioara. Aparatul matematic implicat este insa atit de complicat, incit renuntam pina si la prezentarea relatiilor de pozitionare a polilor si zerourilor, trimitind cititorul interesat in proiectarea acestor filtre la tabelele de proiectare.

Avantajele filtrelor active

In Cap. 4 am vazut ca, utilizind rezistoare si condensatoare se pot realiza filtre trece-jos si trece-sus de ordinul 1. Legarea acestora in cascada nu este o problema usoara, deoarece impedanta de intrare a etajului al doilea (dependenta de frecventa) modifica raspunsul in frecventa al primului etaj, raspuns calculat anterior cu iesirea in gol. Cea mai comoda solutie pentru evitarea unor calcule complicate este intercalarea intre etaje a unor amplificatoare de separare. Ea ofera, de asemenea, posibiltatea reglarii comode a fiecarui etaj in parte fara a influenta comportarea celorlalte. Prin aceasta tehnica se poate sintetiza comod, de exemplu, un filtru trece banda, prin cascadarea unui filtru trece- jos cu unul trece sus.

Panta de 20 dB/decada oferita de un filtru de ordinul 1 poate sa nu fie suficienta in aplicatii unde este necesara o rejectie puternica. In acest caz cascadarea mai multor etaje de filtrare de ordinul 1 mareste corespunzator panta dar fringerea caracteristicii, de la palierul benzii de trecere la aceasta panta abrupta, devine din ce in ce mai putin neta, fiecare etaj introducind o eroare de 3 dB.

O fringere mai neta a caracteristicii se poate obtine, asa cum am vazut in Cap. 5, cu o pereche de poli complex conjugati (sau o pereche de zerouri complex conjugate). Desi panta caderii era de 40 dB/decada, pentru , eroarea la frecventa de fringere era de numai 3 dB. De asemenea, am constat in sectiunea precedenta ca raspunsurile cu ordin mai mare, indiferent de tipul lor, necesita poli complex conjugati si, uneori, si zerouri situate pe axa imaginara. Din pacate, astfel de functii de transfer nu se pot obtine numai cu rezistoare si condensatoare. Este necesar sa introducem inductoare care prezinta dezavantaje majore: sint scumpe, voluminoase, grele si introduc cuplaje parazite. Aceste dezavantaje sint amplificate atunci cind frecventa de taiere este coborita ceea ce necesita inductante mari.

Cind in Cap. 6 am discutat despre 'minunile' reactiei negative, una dintre ele a scapat nesubliniata. Daca se aplica o reactie negativa puternica unui bloc cu o functie de transfer trece-jos cu doi poli reali, polii circuitului cu reactie pot deveni complecsi asa cum se poate observa pe locul radacinilor din Fig. 9.8. In acest fel, cu circuite continind numai amplificatoare, rezistoare si condensatoare, se pot realiza functii de transfer care in cazul filtrelor pasive necesita utilizarea inductoarelor. Aceste tipuri de circuite sint denumite filtre active.

Deoarece amplificatoarele operationale au performante remarcabile in privinta impedantei de intrare, impedantei de iesire si amplificarii, ele sint amplificatoarele cele mai utilizate in realizarea filtrelor active. In afara eliminarii inductoarelor, filtrele active cu AO mai prezinta si alte avantaje: necesita rezistente si capacitati de valori rezonabile (chiar si pentru frecvente de 10^-3 Hz), pot oferi impedante mari de intrare, pot avea impedante de iesire foarte mici permitind reglarea independenta a etajelor, efectueaza in acelasi timp si o amplificare a semnalelor.

Nu trebuie neglijate insa si deosebirile care, pentru anumite aplicatii, pot constitui dezavantaje: posibila prezenta la iesire a unei tensiuni continue, faptul ca atit intrarea cit si iesirea nu sint flotante (unul din noduri este obligatoriu masa), dificultatea de a obtine filtre stabile daca factorul de calitate cerut este prea mare (peste citeva sute).

In general, o functie de transfer de ordin superior este sintetizata cu mai multe etaje de ordinul 1 sau 2. Din acest motiv, nu vom aborda aici decit filtre de ordinul 2, desi uneori se realizeaza in jurul unui AO si filtre de ordinul 3 sau chiar 4.

Exista patru categorii de filtre active cu amplificatoare operationale, pentru fiecare putind fi realizate atit filtre trece-jos cit si trece-sus sau trece-banda. Vom aborda succesiv aceste categorii, chiar daca nu vom prezenta pentru fiecare toate cele trei tupuri de functii de transfer.

B. Filtre active cu surse de tensiune controlate in tensiune (VCVS -voltage cotrolled voltage source)

Un circuit neinversor realizat cu AO (Fig. 9.9) ofera o impedanta de intrare extrem de mare si o impedanta de iesire foarte mica. El se apropie deci de un element ideal de circuit: sursa ideala de tensiune (cu impedanta nula) controlata de o tensiune prelevata fara absorbtie de curent. Pentru aceasta sursa controlata, vom utiliza aici simbolul din figura citata (atentie la posibila confuzie cu AO).

Daca se conecteaza o asemenea sursa controlata intr-un circuit ca in Fig. 9.10, se obtine functia de transfer

. (9.8)

Prin inlocuirea adecvata a impedantelor cu rezistoare sau condensatoare se obtin filtre trece-jos, trece-sus sau trece banda. Deoarece sursa controlata cu amplificarea K pozitiva este mai usor de realizat vom aborda in continuare numai configuratii pentru .

Circuitul din Fig. 9.11 este un filtru trece jos. Particularizind in (9.8), avem functia sa de transfer

(9.9)

cu amplificarea in banda, frecventa naturala si factorul de amortizare date de

. (9.10)

Cei doi parametrii esentiali ai filtrului, frecventa naturala si factorul de amortizare, se pot, astfel, stabili si varia independent. Filtrul poate fi acordat comod modificind in rapoarte egale cele doua rezistente iar factorul de amortizare se ajusteaza din amplificarea K a sursei controlate (amplificare usor de modificat prin variatia unei rezistente).

In proiectare sint impuse valorile acestor 3 marimi si trebuie determinate . Avem un grad de libertate suplimentar, ceea ce ne scuteste de inversarea sistemului de ecuatii (9.10) care este neliniar in aceste 4 necunoscute. Cel mai simplu mod de exploatare a gradului de libertate suplimentar este prin alegerea celor doua condensatoare de valoare egala (valorile condensatoarelor oferite de fabricanti sint intr-o scara cu valori mai putine si cu tolerante mult mai mari decit in cazul rezistoarelor).

(9.11).

Cu aceasta, sistemul de ecuatii (9.10) conduce la relatiile de proiectare

(9.12)

care pot fi utilizate daca se admite o amplificare in banda mai mare de 2. Impunerea unei valori mai mare de 10 pentru aceasta amplificare nu este indicata deoarece produce valori foarte diferite pentru rezistente, necesitind astfel valori inacceptabil de mici pentru si diminuind astfel impedanta de intrare.

Putem renunta si la pretentia de a avea o anumita valoare a amplificarii in banda, acceptind ca cele doua rezistente sa fie egale . Astfel, relatiile de proiectare se simplifica si mai mult, devenind

(9.13)

Daca in circuitul precedent condensatoarele se inlocuiesc cu rezistoare, si reciproc, se obtine filtrul trece-sus din Fig. 9.12, care are functia de transfer

, (9.14)

cu amplificarea in banda, frecventa naturala si factorul de amortizare date de

. (9.15)

Observatie: Desi la prima vedere aceste ecuatii par identice cu ecuatiile (9.12), ele difera prin factorul lui K din expresia factorului de amortizare.

In proiectare, alegem din nou si aungem la relatiile de proiectare

, (9.16)

care pot fi utilizate pentru .

Tema: Recalculati relatiile de proiectare pentru filtrele trece-jos si trece-sus, alegind .

Pentru functia de transfer trece banda sint posibile mai multe configuratii. Circuitul din Fig. 9.13 are functia de transfer

(9.17)

cu

(9.18)

Pentru simplitate putem alege si ; astfel, relatiile de proiectare se obtin sub forma

. (9.19)

Amplificarea la rezonanta nu mai poate fi impusa, ea fiind .

Un circuit care ofera o amplificare mai mare este desenat in Fig. 9.14. Pentru el, functia de transfer este

, (9.20)

unde

.

(9.21)

Cu aceeasi alegere simplificatoare ca la circuitul precedent, ajungem la relatiile de proiectare

, (9.22)

amplificarea la rezonanta rezultind .

Fig. 9.15. Filtre cu circuite dublu T: pasiv (a) si cu surse de tensiune controlate (b).

Sa ne ocupam acum de un filtru stop-banda frecvent utilizat, si anume cel cu retea dublu T (twin-T in lb. engleza). Realizat in varianta pasiva, ca in Fig. 9.15 a), excitat de un generator de semnal cu impedanta nula si operat in gol la iesire, el are functia de transfer

. (9.23)

Aceasta furnizeaza amplificare unitara la curent continuu si la frecventa infinita, dar are o pereche de zerouri pur imaginare, producind astfel o valoare nula a amplificarii la frecventa (rejectie infinita); in literatura de limba engleza acest tip de filtru este cunoscut ca filtru 'notch' . In practica, datorita imperfectiunii imperecherii valorilor componentelor, rejectia este finita. Mai mult, 'dip'-ul amplificarii nu este prea ascutit deoarece polii numitorului sint reali (factorul de amortizare este 2, echivalent cu un factor de calitate ) asa cum se poate observa in Fig. 9.16 .

Pentru a micsora impedanta de iesire a filtrului si a produce un dip al amplificarii mult mai ascutit, se poate utiliza o varianta activa a acestui filtru (Fig. 9.15 b), prin adaugarea VCVS cu amplificarea . De data aceasta, functia de transfer devine

. (9.24)

La cresterea valorii , polii numitorului devin complex conjugati, cu factorul de calitate si contributia la amplificare a numitorului se restringe intr-o regiune de frecvente ingusta, in jurul lui ; dipul amplificarii devine mai ascutit, asa cum se poate observa pe curba b) a figurii 9.16. Din pacate, asa cum spuneam, in practica rejectia nu este infinita si rezonanta numitorului o face si mai mica. Filtre de acest tip se gasesc gata realizate, cu frecvente de la 1Hz la 50 kHz, oferind rejectii in jur de 60 dB.

Pentru varianta prezentata, acordul frecventei este extrem de dificil, deoarece trebuie modificate simultan doua componente pastrindu-se o foarte buna imperechere a lor. Circuitul RC din
Fig. 9.17, functioneaza ca un filtru notch, dar frecventa poate fi reglata simplu cu un potentiometru.

In incheierea sectiunii, sa trecem in revista pricipalele proprietati ale filtrele active sintetizate cu surse de tensiune controlate:

- factorul de amortizare (si implicit factorul de calitate) poate fi ajustat independent de frecventa prin modificarea parametrului K; totusi el nu este independent de amplificarea globala.

- pentru filtrele trece-jos si trece sus frecventa poate fi ajustata independent de daca se modifica simultan, in acelasi raport, doua rezistente.

- impedanta de iesire este extrem de mica si filtrele pot fi cascadate fara a se influenta reciproc.

- pozitia polilor este sensibila la variatia lui K, mai ales pentru valor mari ale lui Q; din acest motiv filtre trece banda suficient de stabile se pot obtine numai pentru valori ale lui Q mai mici de 10.

C. Filtre active cu dispozitive cu amplificare infinita

In sectiunea precedenta amplificarea foarte mare a AO era exploatata numai de reteaua rezistiva (vezi Fig. 9.9) pentru a realiza o sursa de tensiune controlata foarte apropiata de idealitate. Spre deosebire de acest principiu, se poate conecta amplificatorul operational direct in retelele RC, rezultind in acest caz filtre active cu dispozitive cu amplificarea infinita. Dupa numarul buclelor de reactie acestea se clasifica in filtre cu reactie unica si filtre cu reactie multipla. Un caz special il reprezinta filtrele cu bucla de calcul analogic, ce contin mai multe AO.

Filtrele cu reactie unica necesita un numar prea mare de componente pasive si, din aceasta cauza, le vom aborda numai pe cele cu reactie multipla (de fapt un caz particular foarte utilizat, cele cu reactie dubla). Un asemenea filtru este cel din Fig. 9.18. In ipoteza unei amplificari infinite a AO, functia de transfer a circuitului este (problema P 7.1)

. (9.25)

Daca impedantele 1, 3 si 4 sint inlocuite cu rezisoare, iar impedantele 2 si 5 sint condensatoare, obtinem un filtru trece-jos (Fig. 9.19), care are functia de transfer

(9.26)

cu

. (9.27)

Cum apare in expresia lui dar nu si in cea a lui , se poate mai intii acorda filtrul prin variatia lui sau si apoi ajusta factorul de amortizare prin modificarea lui .

Pentru comoditatea proiectarii, alegem (o valoare convenabila) si , avind grija ca . Cu acestea, rezulta relatiile de proiectare

(9.28)

Schimbind condensatoarele in rezistoare si rezistoarele in condensatoare, ajungem la configuratia din Fig. 9.20, ce are functia de transfer trece-sus

(9.29)

cu

. (9.30)

Procedura de acord este mai dificila, pentru ca ambele rezistente apar atit in expresia frecventei, cit si in expresia factorului de amortizare. Se ajusteaza mai intii factorul de amortizare (din oricare din rezistente) si, apoi, se modifica simultan si in proportii egale ambele rezistente, nemaiafectind astfel factorul .

Pentru simplificare, putem alege si apoi deducem relatiile de proiectare

. (9.31)

Ca filtru trece-banda prezentam configuratia din Fig. 9.21, cu functia de transfer

(9.32)

cu

(9.33)

Pentru proiectare alegem si apoi avem relatiile

. (9.34)

Filtrele active cu reactie multipla au o impedanta de iesire extrem de mica si astfel pot fi cascadate fara a fi nevoie de etaje separatoare. Pentru valori mari ale factorului de calitate sau ale amplificarii, ele necesita, insa, componente cu valori imprastiate in domenii de valori prea largi. De asemenea, nu exista posibilitatea controlarii usoare a factorului de amortizare, ca in cazul filtrelor cu surse controlate.

Filtre active cu bucla de calcul analogic (cu variabila de stare)

Un caz special de filtre cu dispozitive cu amplificare infinita il constituie cele cu bucla de calcul analogic. Desi utilizeaza un numar mare de amplificatoare operationale, acestea ofera avantaje in ceea ce priveste comoditatea sintezei unei functii de transfer oarecare, modificarea independenta a frecventei centrale, factorului de calitate si amplificarii dar, mai ales, in ceea ce priveste realizarea unor filtre trece banda foarte selective, cu factor de calitate de ordinul sutelor.

Sa consideram o functie de transfer generala

(9.35)

unde coeficientii si sint reali. Aceasta functie de transfer poate fi obtinuta folosind configuratia din Fig. 9.22 care contine numai blocuri de sumare, multiplicare cu constante si blocuri de integrare; toate acestea pot fi usor construite cu amplificatoare operationale. Acelasi principiu a stat la baza calculatoarelor analogice folosite in preistoria electronicii pentru rezolvarea ecuatiilor diferentiale, de unde si denumirea acestor filtre.

Fig. 9.22. Filtru cu bucla de calcul analogic care realizeaza functia de transfer (9.35).

Pentru cazul functiilor de transfer de ordinul 2, se pot folosi mai multe configuratii. Cea din Fig. 9.23 utilizeaza un sumator inversor realizat in jurul lui AO 1, doua integratoare inversoare (AO2 si AO 3) si un circuit care amplifica cu , construit cu AO 4. Considerind cele patru iesiri posibile, obtinem simultan functii de transfer trece-jos (iesirea 3), trece banda (iesirile 2 si 4) si trece-sus (iesirea 1), asa cum se poate observa din relatiile (9.36)

Fig. 9.23. Filtru de ordinul 2 cu bucla de calcul analogic

Pentru toate aceste functii de transfer, factorul de amortizare depinde numai de amplificarea circuitului construit in jurul lui AO 4, usor reglabila din valoarea rezistentei de reactie. Acest reglaj nu afecteaza frecventa naturala pentru nici una din cele patru functii de transfer. Pentru filtrele trece jos si trece sus, nu este afectata nici amplificarea in banda de trecere. Functiile de transfer trece banda prezinta o situatie diferita: daca vrem sa pastram constanta amplificarea la rezonanta trebuie sa alegem , iar daca vrem sa pastram constante portiunile liniare ale caracteristicii din zonele asimptotice, va trebui sa folosim pe . Amplificarea globala pentru fiecare functie de transfer poate fi modificata prin parametrul , fara sa afectam frecventa naturala sau factorul de calitate.

(9.36)

Modificarea frecventei naturale nu poate fi efectuata decit prin variatia simultana a celor doua rezistoarede de valoare , de exemplu, folosind un potentiometru dublu. Aceasta modificare nu afecteaza amplificarea sau factorul de amortizare.

O metoda mai eleganta se bazeaza pe observatia facuta la studiul integratorului: modificarea timpului de integrare este echivalenta cu o amplificare a semnalului inainte sau dupa integrare. Astfel, in loc sa modificam valorile sau , putem intercala imediat dupa fiecare integrator cite un amplficator cu amplificare controlabila sau, mai simplu, atenuatoare controlate (cu tranzistoare FET). In acest mod acordul frecventei se face electronic, comandat de o tensiune electrica.

Ultimul filtru pe care il prezentam la aceasta sectiune este inrudit cu filtrele cu variabila de stare si este cunoscut sub numele bi-quad (Fig. 9.24).

Pentru el se obtine functia de transfer

(9.37)

cu

. (9.38)

Factorul de calitate paote fi modificat prin intermediul lui , fara afectarea frecventei naturale. La modificarea rezistentei se intimpla un lucru foarte interesant: frecventa naturala se modifica in aceeasi proportie cu factorul de calitate, astfel incit banda de trecere ramine constanta

. (9.39)

Amplificarea globala poate fi controlata din valoarea rezistentei fara sa afecteze ceilalti parametri.

Avantajele principale oferite de filtrele cu variabila de stare sint posibiltatea obtinerii unor valori mari pentru factorul de calitate si impedanta de iesire foarte mica. De asemenea, parametrii filtrului (frecventa, factor de calitate, amplificare) pot fi reglati independent. Numarul mare de amplificatore operationale cerut de aceste filtre (trei sau patru pentru o functie de ordinul 2) nu mai constituie un inconvenient serios odata cu aparitia circuitelor integrate cu patru AO. De fapt, fabricantii ofera chiar intregul filtru sub forma de circuit integrat, cu exceptia rezistoarelor care stabilesc frecventa naturala, factorul de amortizare si amplificarea (de exemplu seria UAF de la Burr-Brown).

D. Filtre active realizate cu convertoare de inmitanta negativa

Un convertor de inmitanta negativa (NIC-negative immitance converter) este un dispozitiv cu doua porturi, caracterizat prin aceea ca impedanta de intrare vazuta (inmitanta) la oricare din porturi este impedanta externa de la celalalt, multiplicata cu o constanta negativa. Daca sensul curentului este acela care se inverseaza, dispozitivul este un INIC (ideal current-inversion negative immitance converter), reprezentat in Fig. 9.25.

Un asemenea dispozitiv poate fi sintetizat cu un amplificator operational legat in configuratia prezentata in Fig. 9. 26. Relatiile intre tensiuni si curenti sint

(9.40)

de unde rezulta ca la portul 1 impedanta de intrare vazuta este . Vom prezenta numai filtrul trece-banda deoarece numai pentru el sinteza cu INIC aduce avantaje (sensibilitate mai mica a polilor la variatia componentelor si deci posibilitatea realizarii unor filtre cu mai ridicat). El are schema din Fig. 9.24 care poate fi echivalata cu cea din Fig. 9.25 permitind calcularea comoda a functiei de transfer

(9.41)

cu

. (9.42)

Pentru proiectare, se aleg si , obtinindu-se relatiile

. (9.43)

Daca admitem ca amplificarea maxima sa sufere usoare modificari putem acorda frecventa centrala din variatia simultana a rezistentelor si apoi ajusta factorul de calitate prin valoarea constantei a INIC.

Acest tip de filtru ofera avantajul unor sensibiltati mai reduse ale polilor la variatia parametrilor, in comparatie tipurile anterioare, si, deci, posibiltatea realizarii unor filtre trece-banda cu factor de calitate mai mare. Pretul platit este impedanta mare de iesire (iesirea filtrului nu mai coincide cu iesirea AO) ceea ce face necesar un amplificator de separare montat intre filru si sarcina.

E. Filtre active realizate cu giratoare

Amplificatoarele operationale permit realizarea unui alt element de circuit ciudat, giratorul. Acesta este un element cu doua porturi care are proprietatea ca impedanta vazuta la oricare din porturi este inversul impedantei conectata la celalalt inmultit cu o constanta (Fig. 9.29).

O schema frecvent utilizata pentru sinteza unui girator este cea din Fig. 9.30. Aici, impedanta este inlocuita, de regula, cu un condensator astfel incit impedanta de intrare sa aiba expresia aceleia furnizata de un inductor. Se pot 'transforma' astfel condensatoare de ordinul F in inductoare de sute de H. Giratorul poate fi utilizat pentru inlocuirea directa, in filtrele RLC, a inductoarelor care au un capat conectat la masa. In Suplimentul S 9.1 vom prezenta o solutie mai economica, dar care functioneaza numai pe un domeniu de frecventa restrins.

Supliment S 9.1. Multiplicarea capacitatii si simularea inductantei

Circuitul din Fig. 9.31 are impedanta de intrare

(9.44)

care, date fiind valorile celor doua rezistente, este practic

(9.45)

ca si cum am avea un rezistor cu rezistenta (de valoare mica) in serie cu o capacitate de mai mare decit a condensatorului . Capacitatea pare astfel multiplicata circuitul fiind util acolo unde factorul de calitate (deteriorat de prezenta rezistentei serie) nu constituie o problema.

In acest capitol am vazut ca intr-un filtru RLC se poate inlocui inductorul cu un girator si un condensator. Sinteza giratorului necesita insa doua amplificatoare operationale. Sa analizam circuitul din Fig. 9.32 care utilizeaza numai un A O. Calculind impedanta sa de intrarea, ajungem la

, (9.46)

care, pentru frecventele intermediare

, (9.47)

capata forma aproximativa

. (9.48)

Pe o gama restrinsa de frecvente, circuitul este, deci, echivalent cu o inductanta . Inlocuirea unei inductante cu acest circuit trebuie facuta sub rezerva ca frecventa de rezonanta sa fie in centrul acestei game, abaterile de la raspunsul circuitului RLC aparind astfel departe de rezonanta, unde amplificarea filtrului trece banda este nesemnificativa.

Supliment S 9.2. Oscilatoare sinusoidale

In Cap. 6 am vazut ca un circuit cu reactie negativa, care are un pol real triplu in functia de transfer a buclei, devine instabil si incepe sa oscileze peste o anumita valoare a amplificarii pe bucla (vezi Fig. 6.11). In general, acest lucru se intimpla intodeauna cind diferenta dintre numarul polilor si cel al zerourilor din functia de transfer a buclei este egala sau mai mare decit 3, deoarece in aceste cazuri cel putin o asimptota a locului radacinilor ajunge in semiplanul drept al planului complex, conform regulii 5) de la pag. 139 si Fig. 6.7.

Pentru construirea unui oscilator sinusoidal, aceasta solutie este neeconomica, deoarece necesita un numar prea mare de poli (multe elemente capacitive) si valori mari ale amplificarii. Solutia naturala este proiectarea unui circuit cu reactie pozitiva. Sa presupunem ca blocul de pe calea directa este un filtru trece-banda de ordinul 2 cu functia de transfer

(9.49)

iar pe calea inversa avem un amplificator, ca in Fig. 9.33 . Vom utiliza in continuare conventia de la reactia negativa, astfel incit amplificatorul nostru va trebui sa aiba amplificarea penru ca reactia sa fie pozitiva.

Functia de transfer a circuitului cu reactie este atunci

(9.50)

de unde se vede ca polii circuitului cu reactie se misca in planul complex pe un cerc de raza (locul radacinilor pentru parametrul negativ) . Daca amplificarea nu este suficienta, , polii sint in semplanul sting si circuitul nu oscileaza. Cind amplificarea are exact valoarea perechea de poli este situata pe axa imaginara si la iesirea circuitului se obtine o sinusoida de frecventa si amplitudine constanta (posibil si nula, in principiu, daca circuitul nu este de loc perturbat). Daca amplificarea depaseste aceasta valoare limita, amplitudinea sinusoidei de la iesire creste exponential cu o constanta de timp

(9.51)

unde este perioada de oscilatie a oscilatorului in situatia in care polii sint pe axa imaginara. Cresterea continua a amplitudinii semnalului de la iesire aduce circuitul in limitare si forma de unda este puternic distorsionata, in anumite cazuri tensiunea generata semanind mai mult cu un semnal dreptungiular.

In practica, dificultatea vine din grosimea nula a axei imaginare din planul complex. Spre deosebire de teorie, in realitate este imposibil ca amplificarea sa aiba exact valoarea si perechea de poli sa fie exact pe axa imaginara. Daca sint in stinga axei ocilatia se stinge, daca sint in dreapta, amplitudinea oscilatiei creste si forma oscilatiei este distorsionata. Chiar daca presupunem ca am avut norocul sa indeplinim exact aceasta conditie, driftul in timp (inevitabil) al factorului de amortizare si/sau al amplificarii va avea grija sa ne duca intr-una din cele doua situatii neplacute tocmai prezentate.

Sa facem o aplicatie numerica pe un set de valori rezonabile. Luam un filtru trece-banda cu factorul de caliatate , obtenabil fara dificultate cu AO. La limita oscilatiei, amplificarea este 0.2 (se vede avantajul rectiei pozitive, valoarea ceruta este mica). Presupunem ca, dupa indeplinirea exacta a acestei conditii, cind amplitudinea oscilatiei are valoarea de 1 V, amplificarea creste cu numai o miime din valoarea sa (cu 0.1%). Amplitudinea semnalului de la iesire incepe sa creasca exponential cu o constanta de timp, conform ec. 9.40, de . Asta inseamna ca in numai 4000 de perioade amplificatorul operational ajunge in saturatie. Pentru o frecventa de de oscilatie de10 kHz aceasta inseamna numai 0.4 secunde; dupa inca putin timp semnalul devine de nerecunoscut nemaisemanind de loc cu sinusoida.

Pastrarea constanta a amplitudinii semnalului generat de oscilatorul sinusoidal (daca vrem intr-adevar sa fie sinusoidal) se face prin includerea oscilatorului intr-un sistem de control automat al amplitudinii. Aceasta inseamna o reactie negativa globala (alta decit cea utilizata pentru obtinerea oscilatiilor). Sistemul de control automat trebuie sa contina un traductor (care sa masoare amplitudinea de la iesire), un comparator (care sa o compare cu o valoare impusa) si un element de executie (care sa modifice in mod corespunzator amplificarea ). Timpul de raspuns al acestui sistem trebuie sa fie cu ordine de marime mai mare decit perioada de oscilatie pentru ca cele doua bucle de reactie sa functioneze practic independent. Solutii pentru realizarea practica a sistemului vor fi prezentate putin mai tirziu, impreuna cu oscilatorul cu retea Wien.

Tehnica de realizare a oscilatrului, prezentata pina acum, poate fi aplicata direct filtrelor trece-banda care nu inverseaza faza semnalului, deoarece circuitul de pe calea de reactie nu trebuie nici el sa fie unul inversor si. deci, poate fi utilizat un banal divizor rezistiv. Astfel, pot fi utilizate filtrele prezentate in Fig. 9.13, 9.14 si 9.21.

Acelasi numar mic de componente este necesar daca circuitul selectiv este cuplat pe calea inversa. In Fig. 9.34 este prezentat un astfel de oscilator cu retea Wien. Amplificatorul operational impreuna cu rezistoarele si formeaza un amplificator neinversor cu amplificarea . Acestui amplificator inversor ii este aplicata, apoi, o reactie pozitiva printr-o retea selectiva, operata practic in gol datorita impedantei de intrare foarte mari de la intrare neinversoare a AO. Functia de transfer a retelei Wien este

(9.52)

necesitind pentru intrarea in oscilatie o amplificarea a amplificatorului neinversor , ceea ce conduce la .

Pastrarea constanta a amplitudinii de oscilatie a fost rezolvata inca de la inceputurile dezvoltarii electronicii printr-o metoda foarte ingenioasa si anume inlocuirea rezistorului printrun bec cu incandescenta (Fig. 9.35 a). La temperatura ambianta (la 'rece') se ajusteaza astfel incit conditia de oscilatie sa fie indeplinita cu rezerva ( putin mai mare de 3) si oscilatia sa poata aparea.

Odata cu crestere amplitudinii semnalului la iesire creste si amplitudinea tensiunii care cade pe filamentul becului (egala cu aproximativ o treime din cea de iesire). Datorita puterii electrice disipate filamentul becului se incalzeste puternic si rezistenta sa creste: de exemplu pentru o incalzire cu 100 ^oC rezistenta sa variaza cu aproximativ 45 % . Cresterea rezistentei micsoreaza insa amplificarea , la o anumita temperatura ea ajungind la valoarea critica 3.

Am realizat astfel o reactie negativa lenta (becul se incalzeste si se raceste relativ incet) care va mentine automat amplitudinea de la iesire la o valoare care sa mentina filamentul la temperatura . Filamentul becului indeplineste aici toate cele trei functiile specificate anterior: este in acelasi timp traductor al amplitudinii semnalului de iesire, comparator si element de executie. Un asemenea sistem de control al amplitudinii produce distorsiuni infime ale formei de unda sinusoidale, ajungind pina la 0.003% distorsiuni armonice. Dezavantajele sint legate de sensibilitatea amplitidinii stabilizate in raport cu temperatura ambianta si de timpul de raspuns prea lung.

O solutie mai eleganta, dar care produce distorsiuni mult mai mari, este legarea in paralel cu rezistorul de reactie a doua diode Zenner identice, ca in Fig. 9.35 b. Cind amplitudinea semnalului de la iesire depaseste cu 0.6 V tensiunea de strapungere a diodelor Zenner, calea de reactie nou introdusa incepe sa se deschida si rezistenta sa dinamica apare in paralel cu micsorind valoarea amplificarii . Amplitudinea semnalului de la iesire este limitata practic la aceasta valoare, gradul de distorsiune fiind cu atit mai mare cu cit initial a fost stabilit la o valoare mai mare de 3.

Fig. 9.35. Controlul automat al amplitudinii semnalului produs de un oscilator sinusoidal.

Controlul precis al amplitudinii de la iesire, impreuna cu un grad redus de distorsiuni se obtine, de regula, cu circuitul din Fig. 9.35 c. Extragerea informatiei de amplitudine se face prin redresare cu dioda si filtrare trece-jos cu elementele si . Comparatia se face prin scaderea unei tensiuni continue (pierduta pe dioda Zenner ). Informatia de eroare este aplicata portii unui tranzistor JFET, controlindu-i astfel conductanta drena-sursa. Pentru valori mici ale tensiunii intre aceste terminale, tranzistorul se comporta practic rezistiv (pentru ambele sensuri ale acestei tensiuni !). Rezistorul este legat astfel in paralel cu rezistenta controlata prezentata de JFET intre drena si sursa. Pentru ca potentialul de curent continuu din drena sa nu se regaseasca la iesirea oscilatorului, s-a introdus condensatorul care blocheaza componenta continua dar prezinta la frecventa de oscilatie o impedanta neglijabila in comparatie cu valoarea lui .

Supliment S 9.3. Filtre cu capacitate comutata

Un dezavantaj major al filtrelor cu variabila de stare (si bi-quad) este necesitatea de a avea condensatoare de valori foarte bine 'imperecheate' . Daca filtrul este construit cu capsule de AO, trebuie selectionate condensatoare stabile (in nici un caz ceramice sau electrolitice) imperecheate cu o precizie mai buna de 2%. A doua alternativa este folosirea unui circuit integrat care contine amplificatoarele operationale, o parte din rezistoare si condensatoarele (cu valori de pina la 1nF !) dar pretul sau este ridicat, in jur de 10 $ pe capsula.

Fig. 9.36. Integrator realizat cu capacitati comutate (a) si liniar (b).

O metoda care conduce la solutii mai ieftine este realizarea integratorelor prin comutarea periodica a unei capacitati (Fig. 9.36). Semnalul extern de tact, cu frecventa de 100 de ori mai mare decit frecventele de interes ale semnalului, dupa trecerea prin inversorul logic INV, inchide si deschide in contratimp comutatorele S₁ si S₂. La inchiderea comutatorului S_1, condensatorul se incarca foarte rapid (sursa de semnal are o impedanta suficient de mica) la valoarea acumulind sarcina . In cealalta jumatate a ciclului, condensatorul se descarca complet foarte rapid prin S₂, fiind legat la intrarea inversoare a AO, care este punct de masa virtuala. Cum prin intrarea AO nu circula curent, intreaga sa sarcina este transferata condensatorului de reactie , modificindu-i sarcina totala cu

(9.53)

si provocind o variatie a tensiunii de iesire

. (9.54)

Daca aceste variatii sint suficient de mici, putem scrie

(9.55)

care, integrata, conduce la

. (9.56)

In primul rind, necesitatea realizarii unor capacitati mari este eliminata, deoarece timpul de integrare depinde acum de un raport de capacitati. De asemenea, problema imperecherii unor valori devine problema imperecherii unor rapoarte, care este mai usor de rezolvat. Aceasta conduce la micsorarea dificultatilor tehnologice si, deci, a pretului.

In al doilea rind, pentru fiecare integrator din circuit, timpul de integrare este proportional cu perioada semnalului de tact. Astfel, acordul frecventei filtrului se face deosebit de simplu si comod prin variatia frecventei de tact

. (9.57)

Filtrele cu capacitate comutata prezinta si dezavantaje. La iesire apare o componenta parazita de 10-25 mV avind frecventa de tact care, fiind cu cel putin doua decade peste frecventele din banda de trecere, poate fi atenuata puternic cu un simplu filtru RC. Un efect mai subtil il constituie amestecul (aliasing) intre frecventa de tact si componentele semnalului de intrare de frecvente apropiate acesteia. Asa cum am vazut in Cap. 2, apare un semnal de frecventa joasa, egala cu diferenta frecventelor semnalelor initiale, care se poate situa in banda de trecere. Daca acest lucru s-a produs, acest semnal fantoma nu mai poate fi separat de semnalul util. Din acest motiv, la intrarea filtrului cu capacitatea comutata trebuie facuta o filtrare suplimentara trece-jos (anti-aliasing) care sa elimine eventualele componente de frecventa apropiata de .

Supliment S 9.4. Filtre integrate si tabele de proiectare

Prezentam in tabelul urmator citeva filtre integrate oferite de firma MAXIM, impreuna cu caaracteristicile lor principale.

Tabelul 9.1

Filtre integrate oferite de MAXIM

* BT = Butterworth, BL = Bessel, CH = Chebyshev, EL = Elliptic, Universal = All Filter Types

** Order level achieved by cascading all filters in package.

In Tabelul 9.2 gasiti frecventele naturale si factorii de amortizare necesari pentru proiectarea diverselor tipuri de filtre. Odata stabilite ordinul si tipul filtrului, utilizind datele din tabel puteti sintetiza etajele de ordinul 1 si 2 care intra in componenta sa.

Tabelul 9.2. Pozitia polilor pentru filtre de diferite tipuri si ordine

Filtrele Butterworth sint normalizate in frecventa astfel incit au cistigul de -3dB la .

Filtrele Bessel sint normalizate in frecventa pentru a produce la o intirziere de 1 secunda.

Filtrele Cebisev sint normalizate in frecventa in asa fel incit cistigul din banda de trecere sa treaca ultima data prin valoarea minima a riplului (vezi Fig. 9.6) la .