LEGEA INDUCTIEI ELECTROMAGNETICE

LEGEA INDUCTIEI ELECTROMAGNETICE

Campul electric este stabilit de corpuri incarcate cu sarcini electrice sau polarizate electric, de neomogenitati fizico-chimice si de fluxul magnetic variabil in timp. In regim stationar si in medii omogene, tensiunea electromotoare egala cu integrala curbilinie a campului electric e nula. In camp magnetic variabil in timp, tensiunea electromotoare este in general nenula si legea inductiei electromagnetice stabileste modul de producere a campului electric indus, respectiv a tensiunii electromotoare induse de fluxul magnetic variabil in timp. Intrucat in formularea legii nu intervin marimi de material, legea inductiei electromagnetice este o lege generala a campului electromagnetic.

a. Bazele experimentale ale legii inductiei electromagnetice. Formularea legii inductiei electromagnetice se face prin analiza si interpretarea experientelor efectuate de Faraday, care a pus in evidenta fenomenul inducerii de tensiuni electromotoare de fluxul magnetic variabil in timp.

In primul grup de experiente se considera dispozitivul alcatuit dintr-o spira plata, filiforma, circulara, dintr-un material conductor si omogen la temperatura constanta (fig.4.12, a), in vecinatatea spirei se afla un magnet permanent cilindric circular a carui axa OO' coincide cu axa spirei, iar liniile lui de camp se inchid in parte prin spira. Daca spira si magnetul sunt ficsi sau in imobilitate relativa, curentul electric prin spira e nul. Mentinand spira fixa si deplasand magnetul cu viteza v in lungul axei O 'O cu polul nord spre spira, se constata ca prin aceasta trece curent electric al carui sens de referinta e reprezentat in figura 4.12, a. indepartand magnetul de spira cu viteza -v, curentul schimba de sens (fig.4.12.b). Repetand experientele cu magnetul avand polul sud spre spira, curentii au sensurile de referinta reprezentate in figurile 4.12 , c,d. Mentinand magnetul fix si apropiind respectiv indepartand spira paralel cu ea insasi in lungul axei, se constata ca sensurile curentilor in spira raman neschimbati, in toate cazurile in care intensitatea curentului este nenula, se spune ca
in spira se induce curent electric de conductie.

Spira constituie partea indusa sau indusul, iar magnetul partea inductoare sau inductorul dispozitivului. Din analiza acestor experiente rezulta urmatoarele:

curentul electric este conditionat de fluxul magnetic nenul in spira. Daca magnetul e situat cu axa cuprinsa in planul spirei(figura 4.13), - pozitie in care fluxul magnetic prin spira este nul, independent de starea cinematica a magnetului, nu se induce curent electric in spira.

existenta unui flux magnetic prin spira este o conditie necesara dar nu suficienta deoarece mentinand spira si magnetul imobili, sau in imobilitate relativa intre ei, curentul este nul; intrucat curentul indus e nenul numai pe durata deplasarii fie numai a indusului, fie numai a inductorului, urmeaza ca inducerea curentului electric este provocata exclusiv de variatia fluxului magnetic prin spira;

in conformitate cu legea conductiei electrice, curentul electric in spira este o consecinta a unei tensiuni electromotoare nenula in lungul curbei spirei. Daca la bornele deschise ale spirei se conecteaza un voltmetru si se efectueaza oricare din experientele care au pus in evidenta curentul electric indus (fig. 4.12, a-d), voltmetrul indica o tensiune electromotoare nenula, in consecinta, chiar si in lipsa firului spirei, in lungul unei curbe inchise magnetul in miscare induce o tensiune electromotoare ;

efectuand experiente la diferite viteze v ale magnetului in raport cu spira sau a spirei in raport cu magnetul si masurand tensiunile electromotoare la bornele spirei, se constata ca valorile lor absolute cresc respectiv scad odata cu cresterea respectiv scaderea modulului vitezei; intrucat odata cu deplasarea fie numai a magnetului, fie numai a spirei variaza fluxul magnetic prin spira , urmeaza ca tensiunea electromotoare indusa este proportionala cu viteza de variatie in timp a fluxului magnetic, ; (4.66)

in oricare dintre experiente (fig.4.12, a-d) intensitatea curentului indus in spira are sensul de referinta, astfel incat partea din fluxul magnetic pe care acesta il produce in exclusivitate tinde sa compenseze variatia fluxului magnetic inductoric; de exemplu, la apropierea magnetului cu polul nord spre spira, fluxul magnetic inductoric creste si deci (fig.4.12, c); sensul de referinta al curentului in spira este asociat fluxului sau magnetic care este de semn opus lui . In acest sens, fenomenul inductiei electromagnetice este un fenomen de reactie; inducerii curentului in spira ii corespunde o reactie prin fluxul magnetic al curentului indus. Ca urmare, in ecuatia (4.56) proportionalitatea dintre sieste cu semn schimbat,

(4.67)

In al doilea grup de experiente se considera spira si magnetul fixe, insa spira este deformabila (fig..4.15 a ). Se constata ca numai pe durata deformarii se induce in spira o tensiune electromotoare avand expresia (4.67).

Pentru a pune in evidenta localizarea tensiunii electromotoare numai pe portiunile conductoarelor care se deplaseaza pe durata deformarii, se considera dispozitivul reprezentat in figura 4.15 . Indusul e constituit dintr-o bara metalica in forma de U pe care poate aluneca paralel cu ea insasi cu viteza v o bara metalica AB. Perpendicular pe planul indusului se afla imobil magnetul M, liniile lui de camp magnetic inchizandu-se prin suprafata ABCD a indusului. Efectuand experiente la diferite viteze ale barei AB incat aria ABCD creste sau scade, cu magnetul avand polul nord, respectiv polul sud spre indus (fig.4.15,), se regasesc aceleasi rezultate obtinute in primul grup de experiente. Mentinand in contact galvanic cu bara U numai una din extremitatile barei AB, iar la cealalta extremitate conectand firul unui voltmetru, celalalt fir fiind legat la o perie P care aluneca in contact cu bara U cu aceeasi viteza v cu a barei A B (fig. 4.16), se masoara o tensiune electromotoare egala cu t.e.m. indusa in bara AB care s-ar deplasa cu aceeasi viteza dar izolata galvanic de bara U. De aici rezulta ca in experientele efectuate (fig.4.15) numai bara AB contribuie la tensiunea electromotoare care stabileste curentul indus in circuitul inchis format de barele U si AB.

Figura 4.15

Daca se presupune campul inductoric uniform si se noteaza cu B_n componenta normala a inductiei pe planul indusului (fig. 4.17), fluxul magnetic prin suprafata ABCD are expresia si tensiunea electromotoare calculata cu formula (4.67) este proportionala cu viteza barei .

In al treilea grup de experiente, inductorul dispozitivului din figura 4.12, a este constituit dintr-o bobina cilindrica fixa parcursa de curent electric (figura 4.18)

o         Daca curentul prin bobina e continuu fluxul magnetic prin spira fiind constant in timp, nu se induce in spira tensiune electromotoare;

o         daca intensitatea curentului inductoric este variabila, de exemplu variaza sinusoidal in timp, (fig. 4.18), se induce in spira o tensiune electromotoare respectiv un curent electric.

Deoarece fluxul magnetic inductoric este proportional cu intensitatea curentului in bobina, la variatii de un semn ale curentului inductoric corespund variatii de acelasi semn ale fluxului prin spira si fenomenele se examineaza la fel ca in primul grup de experiente, in figurile 4.18, a-d s-au reprezentat sensurile curentilor indusi la diferite momente dintr-o perioada a curentului inductoric.

Pentru ca fluxul magnetic prin spira indusului respectiv in medii liniare sa fie variabil in timp, este necesar sa varieze in timp cel putin una dintre marimile: permeabilitatea , intensitatea campului magnetic H sau suprafata in primul si ultimul grup de experiente fluxul magnetic variaza in timp datorita variatiei inductiei magnetice B; in grupul al doilea de experiente datorita suprafetei ,

Din punctul de vedere al starii cinematice, primele trei grupe de experiente pun in evidenta fenomenul inductiei electromagnetice prin miscare, iar ultimul grup de experiente fenomenul inductiei electromagnetice prin pulsatie. Din analiza fiecareia dintre cele patru grupe de experiente rezulta ca tensiunea electromotoare indusa are o expresie de forma (4.67) si deci

(4.68)

Relatia (4.68) constituie legea inductiei electromagnetice (respectiv inducerii electromagnetice), in formulare integrala : tensiunea electromotoare indusa in lungul unei curbe inchise este egala cu viteza de variatie in timp cu semn schimbat a fluxului magnetic prin orice suprafata care se sprijina pe curba . Proportionalitatea dintre si a fost stabilita de M. Faraday, iar semnul schimbat al acestei proportionalitati a fost introdus de Lenz.

b. Forma integrala a legii inductiei electromagnetice, In toate experientele care au pus in evidenta fenomenul inductiei electromagnetice, intensitatea campului electric imprimat E_i si tensiunea electromotoare a partii potentiale a campului electric E_c sunt nule; urmeaza ca tensiunea electromotoare indusa de fluxul magnetic variabil in timp este egala cu integrala curbilinie a unei componente de camp electric distincta de E_i, si de E_c numita camp electric indus sau solenoidal. Ecuatia (4.58) se transforma astfel,

, (4.69)

in care s-a inlocuit E_S cu E = E_s + E_c deoarece

Asocierea sensurilor de referinta (de integrare) a tensiunii electromotoare, de-a lungul curbei si a fluxului magnetic prin suprafata S , se face dupa regula burghiului drept. Semnul (-) din relatia (4.58) semnifica faptul ca sensul tensiunii electromotoare este invers fata de sensul de referinta pe curba cand fluxul magnetic prin suprafata S este orientat in concordanta cu sensul de referinta al acesteia si crescator in timp.

In cazul mediilor in miscare, se considera curba si, implicit, suprafata S atasate corpurilor in miscare; ca urmare, fluxul magnetic variaza in timp atat datorita variatiei locale in timp a inductiei magnetice, cat si datorita deplasarii mediului.

Intrucat suprafata este atasata mediului in miscare locala, derivata in raport cu timpul a fluxului magnetic este egala cu integrala de suprafata a derivatei de flux a inductiei magnetice care are expresia,

;

in care s-a tinut seama de legea fluxului magnetic div B=0 Introducand in (4.68) se obtine,

(4.70)

Tensiunea electromotoare indusa contine doi termeni:

tensiunea electromotoare indusa prin pulsatie,

(4.71)

stabilita exclusiv prin variatia in timp a inductiei magnetice, suprafata fiind mentinuta fixa, si

tensiunea electromotoare indusa prin miscare,

(4.72)

stabilita exclusiv prin variatia in timp a suprafetei respectiv a curbei , inductia magnetica fiind constanta in timp. Aplicand membrului doi teorema lui Stokes, expresia lui se transforma astfel,

(4.73)

Tensiunea electromotoare elementara indusa in elementul de conductor ds care se deplaseaza cu viteza v are expresia

(4.74)

Semnul de referinta al t.e.m. induse de_Gm este semnul de inaintare al burghiului drept care se roteste de la v catre B (sau regula mainii drepte). De exemplu , intr-un conductor drept de lungime l care se deplaseaza cu viteza v in camp magnetic uniform de inductie B se induce t.e.m. e_Gm = v B l sina cosb

unde a -format de v si B , iar b unghiul format de vectori v x B si l . Membrul doi al relatiei de mai sus se anuleaza daca doi dintre vectorii produsului mixt sunt paraleli . In consecinta, t.e.m. indusa prin miscare este nenula numai daca conductorul in miscarea lui taie liniile de camp magnetic

c. Forma diferentiala(locala) a legii inductiei electromagnetice

Aplicand ecuatiei 4.70 , teorema lui Stokes , rezulta : rezulta: .

Identificand integranzii ,se obtine forma locala sau diferentiala a legii inductiei electromagnetice : (4.76)

In medii imobile , v=0 rezulta : (4.77)

forma locala a legii inductiei electromagnetice pentru medii imobile .

Daca ecuatia 4.66 devine rotE=rot(v x B) , respectiv

E=v x B (4.78)

forma locala a legii pentru medii in miscare .

d. Conservarea componentelor tangentiale ale intensitatii campului electric pe suprafete de discontinuitate

Medii imobile . Fie S_d o suprafata de discontinuitate a campului electric , care separa domeniile imobile 1 si 2 . In doua puncte infinit apropiate de S_d , intensitatile campului electric E₁ si E₂ sunt diferite . Se considera conturul G de forma dreptunghiulara situat in planul vectorilor E₁ si E₂ cu laturile Dl si Dh .

T.e.m. indusa prin pulsatie : sau: t - versorul tangentei la S_{d .} La limita pentru Dh 0 ,rezulta : E₂ t-E₁ t =0 sau E_1t=E_2t (4.79)

Pe suprafete de discontinuitate a campului electric care separa doua medii imobile , se conserva componentele tangentiale ale intensitatilor campului electric E₂ t-E t = n₁₂ (E₂-E₁) =0    forma locala a legii inductiei electromagnetice pe suprafete de discontinuitate pentru medii imobile

Figura 4.19

Medii in miscare Fie S_d o suprafata de discontinuitate care separa doua medii in miscare si v₁ si v₂ vitezele punctelor situate in imediata vecinatate a lui S_d in care intensitatile campurilor electrice si inductiile magnetice au valorile E₁ , E₂ respectiv B₁ , B₂ .

sau:

n (E₂-E₁)= n₁₂ (v₂ B -v₁ B

forma locala a legii inductiei electromagnetice pe suprafete de discontinuitate pentru medii in miscare .

e. Teorema refractiei liniilor de camp electric se obtine din forma locala a legii fluxului electric pe suprafete de discontinuitate: D_1n=D_2n sau e E_1n=e E_2n    si forma locala a legii inductiei electromagnetice pe suprafete de discontinuitate pentru medii imobile:E_1t=E_2t

Efectuand raportul: si tinand seama ca

si rezulta: sau

(4.81)

unde si a =(n,E₂)

Aceasta relatie (4.71)constituie teorema refractiei liniilor de camp electric : la trecerea dintr-un dielectric cu permitivitate e si in dielectricul cu permitivitatea e , raportul dintre tangentele unghiurilor de incidenta a si de refractie a este egal cu raportul permitivitatilor .

La valori apropiate ale permitivitatilor , relatia (4.71)se aproximeaza astfel: (4.82)

f. Aplicatii f.1. Tensiunea electromotoare indusa prin miscare

Se considera o bobina dreptunghiulara cu laturile 2a si b. Bobina se roteste cu n rotatii pe secunda in jurul axei OO' continuta in planul ei, intr-un camp magnetic omogen de inductie B constanta in timp, si perpendicular pe axa 00' (fig.4.20, a),

Notand cu viteza unghiulara, cu unghiul format la un moment dat de planul bobinei cu inductia magnetica, fluxul magnetic fascicular are expresia ,

in care este fluxul fascicular maxim. Tensiunea electromotoare se calculeaza cu formula (4.68) si se obtine,

in care s-a notat cu

Fig.4.13

Figura 4.20

Se observa ca t.e.m. indusa e variaza sinusoidal in timp cu o frecventa . Notand cu E valoarea efectiva a tensiunii, rezulta relatia

In figura 4.20 c s-au reprezentat curbele de variatie in timp ale t.e.m. induse si fluxului magnetic fascicular . Dispozitivul reprezinta in principiu generatorul monofazat de curent alternativ.

Acelasi rezultat se obtine daca t.e.m. indusa se calculeaza cu formula (4.73). Deoarece numai laturile b taie liniile inductiei magnetice si fiindca in formula (4.75)    ,

se deduce

Daca in loc de inele se ataseaza rotorului un colector(comutator) se obtine principiul de functionare al masinii de cc

f.2. Tensiunea electromotoare indusa prin pulsatie Se considera un camp magnetic variabil in timp, omogen, care ocupa un cilindru circular infinit lung de raza a (fig. 4.21, a). Se alege axa Oz a unui sistem de coordonate cilindric circular in axa cilindrului, orientata dupa inductia magnetica . Din motive de simetrie campul electric indus depinde numai de distanta r de la axa cilindrului si e perpendicular pe aceasta. Componenta radiala E_r se calculeaza din legea fluxului electric; pentru suprafata laterala a cilindrului de raza r si inaltime l se obtine,

in care s-a tinut seama ca sarcina electrica e nula si prin urmare E_r=0. Componenta tangentiala se calculeaza din legea inductiei electromagnetice fie sub forma integrala, fie sub forma locala. Deoarece liniile de camp sunt cercuri concentrice cu axa cilindrului, din ecuatia (4.71) scrisa pentru cercul de raza , rezulta

,

si prin urmare, Pentru un cerc de raza , se obtine

respectiv,

Campul electric indus are o variatie liniara in raport cu r in interiorul cilindrului de raza a si o variatie invers proportionala cu r in exteriorul acestuia (fig. 4.21, b). Daca inductia magnetica variaza sinusoidal in timp, , intensitatile campului electric indus au expresiile