LEGEA TRANSFORMARII ENERGIEI IN CONDUCTOARE PARCURSE DE CURENT ELECTRIC DE CONDUCTIE

LEGEA TRANSFORMARII ENERGIEI IN CONDUCTOARE PARCURSE DE CURENT ELECTRIC DE CONDUCTIE

Aceasta lege stabileste conditiile in care intr-un conductor parcurs de curent electric de conductie energia electromagnetica se transforma in energie interioara(caldura)

1 Bazele experimentale ale legii in regim stationar

Se considera un conductor drept de prima speta, liniar, izotrop si omogen de lungime l si arie a sectiunii transversale A, parcurs de curent continuu. Experimental se constata ca trecerea curentului electric prin conductor este insotita de dezvoltare de caldura. Cantitatea de caldura Q dezvoltata este proportionala cu tensiunea u la bornele conductorului, cu intensitatea curentului I si cu timpul t.

α este factor de proportionalitate care depinde de unitatile de masura adoptate. In SI α 1, si rezulta

(J)

Fenomenul dezvoltarii de caldura in conductoarele parcurse de curent electric de conductie se numeste efect electrocaloric respectiv efect Joule-Lenz.

Caldura dezvoltata in unitatea de timp prin efect Joule-Lenz reprezinta puterea dezvoltata prin efect electrocaloric (W) (4.37)

Tinand seama de relatiile lui Ohm sub forma integrala U=R I, I=G U, rezulta : forma integrala a efectului electrocaloric in regim stationar.

Din proportionalitatea puterii P_j cu patratul curentului rezulta ca efectul electrocaloric este un fenomen ireversibil si nu depinde de polaritatea tensiunii la bornele conductorului.

Consideram conductorul parcurs de I, divizat in conductoare filiforme de arie dA si lungime l, fiecare din ele parcurse de curentul elementar dI JdA. Puterea dezvoltata prin efect electrocaloric in fiecare fir este

Puterea dezvoltata pe unitatea de volum este numita densitate de volum a puterii. () (4.38)

2 Forma locala a legii

Se considera un element de volum dintr-un corp conductor, de sectiunea uniforma si parcurs de un curent de conductie. Sarcinile electrice se deplaseaza sub actiunea campului din interiorul conductorului. Lucrul mecanic elementar efectuat de fortele campului: electric este Cand un conductor este parcurs de curent electric de conductie se produce o disipare de energie si anume o transformare a energiei cinetice a electronilor (care se afla in miscare ordonata) in energie termica sau o transformare a energiei electrice in energie termica. Lucrul mecanic efectuat in unitatea de timp se numeste putere definita prin relatia =ui unde densitatea de putere este exprimata de relatia 4.38

Experienta arata ca relatia 4.38 este valabila si in regim variabil in timp , pentru orice conductor omogen sau neomogen ,izotrop sau anizotrop , liniar sau neliniar si independent de starea lui cinematic . Se obtine prin generalizarea legea transformarii de energie in conductoare parcurse de curent de conductie: puterea instantanee pe unitatea de volum p_j (r,t) este egala cu produsul scalar dintre intensitatea instantanee a campului electric E(r,t) si densitatea instantanee de curent J(r,t)

• Conductoare liniare omogene si izotrope .vectorii E si J fiind omoparaleli si tinand seama de legea conductiei 4.21 se deduc relatiile

(4.39)

• conductoare liniare, anizotrope si omogene In cristale sau in plasma conductivitatea si rezistivitatea sunt marimi tensoriale . Inlocuind in relatia 4.38 densitatea de curent cu expresia sa 4.39 se obtine relatia tensoriala

(4.40)

• conductoare liniare, izotrope si neomogene Inlocuind in relatia 4.38 expresia lui E din formula 4.19 se obtine (4.41)

Densitatea de volum a puterii contine doi termeni

strict pozitiv ce reprezinta densitatea de volum a puterii pierdute ireversibil de campul electromagnetic si transformata in caldura (cantitatea de energie disipata sub forma de caldura in mod ireversibil de unitatea de volum a conductorului in unitatea de timp, deci cedata conductorului). Acesta este efectul Joule - Lenz.

Termenul ce poate fi pozitiv sau negativ astfel:

Daca si au acelasi sens, >0. Aceasta putere este efectiv cedata de masa in care se produce campul imprimat (curentul circula in acelasi sens cu sensul de referinta al tensiunii electromotoare), deci sursa cedeaza energie conductorului. Acest fenomen are loc in orice pila galvanica care produce energie electrica prin transformarea energiei chimice din interiorul bateriei.

Daca si au sensuri opuse, <0, aceasta putere este primita de sursa. Acest fenomen are loc de exemplu, la incalzirea unui acumulator cand energia electrica se transforma in energie chimica acumulata in interiorul sursei.

Observatii 1.Ca urmare a trecerii curentului intr-un corp solid de volum V, in care caldura se transfera numai prin conductie termica, cantitatea de caldura dezvoltata este partial inmagazinata si partial transmisa prin conductie:

(4.42)

Rezulta ecuatia diferentiala a transmisiei de caldura prin conductie, in corpuri cu surse:

(4.43)

unde: q - temperatura corpului, grd

p₁ - putere specifica volumica dezvoltata de sursa [W/m³]

c₁ - caldura specifica volumica [Ws/m³grd]

Dq - laplacean-ul temperaturii

l - conductivitatea termica, [W/m grd]

Raportul: a = l/c₁ [m²/s]

este numit difuzitate termica si reprezinta o proprietate a corpului din punct de vedere termic si ofera o imagine asupra vitezei de propagare a caldurii (viteza ariala).

2.Transmiterea cantitatii de caldura dQ, in unitatea de timp, dupa normala, prin elementul de suprafata, de arie dA, determina, fluxul termic P (curent termic, putere termica):

Repartizand fluxul termic la unitatea de suprafata, obtinem densitatea de flux termic h (flux termic specific, debit de caldura):

Relatia intre caldura termica transmisa prin conductie si gradientul de temperatura este exprimata prin legea Fourier:

unde l- coeficient de conductivitate termica (coeficient de conductie, termoconductivitate cu unitatea de masura W/mgrad)

Semnul minus indica faptul ca sensul transmiterii caldurii este contrar sensului gradientului - deci fluxul termic este dirijat in sensul descresterii temperaturii.

Din relatiile de mai sus rezulta:

Conductivitatea termica se determina experimental si caracterizeaza insusirea substantelor de a conduce caldura, depinzand de temperatura, natura substantei, de umiditate si presiune. Valoarea conductivitatii termice a principalelor materiale conductoare este: 420 W/mgrad - pentru argint, 385 W/mgrad - Cu, 203 W/mgrad - Al, 45 W/mgrad - OL, 0,2 W/mgrad - materiale plastice, 0,055 W/mgrad - sticla, 0,026 W/mgrad - aer. Variatia cu temperatura se poate pune, matematic, sub forma:

unde: l - conductivitatea la 0⁰C

b - este negativ pentru majoritatea metalelor, pozitiv pentru aliaje.

Practic conductivitatea termica, ca si cea electrica, este determinata de concentratia particulelor libere (electroni liberi) si de aceea la o anumita temperatura, marimile lor sunt proportionale. Rezulta relatia:

, la

3.Pentru ca multe cazuri practice de regiuni termice pot fi reduse la regimul conductorului drept de sectiune constanta (cu racire naturala sau fortata), in continuare ne propunem studiul regimului termic al acestui conductor in regim termic tranzitoriu si stationar. In figura 4.6 se considera un conductor rectiliniu, omogen de lungime infinita si cu lungime periferica suficient de mica pentru a putea aproxima aceeasi temperatura intr-o sectiune oarecare (suprafata izoterma). Considerand ca transmisia de caldura spre partile mai putin calde se face axial in directia axei x, iar la suprafata conductorului se produce cedarea caldurii in mediul ambiant, care are temperatura constanta, temperatura conductorului va fi o functie de lungime axiala si de timp: q q(x₁t).

Figura. 4.6 Conductor drept, cu sectiune constanta.

Curentul care trece prin conductor dezvolta in elementul de volum Adx₁ in timpul dt, cantitatea de caldura, conform legii Joule - Lenz:

dQ₁ = p₁A dxdt = rJ²Adxdt

Caldura care intra prin sectiune, prin punctul a, in elementul dx, pe calea conductiei in timpul dt, este:

Caldura care iese din elementul dx, prin sectiunea din punctul b, pe calea conductiei in timpul dt, este:

Caldura cedata mediului ambiant prin suprafata laterala a elementului dx, in timpul dt:

Caldura consumata pentru incalzirea elementului dx, in timpul dt, este:

unde: - - pierderile specifice [W/m³]

- A - aria sectiunii transversale,[m²]

- l_p - lungimea periferica in [m]

a - transmisivitatea globala prin convectie si radiatie, W/m² grd

l - conductivitatea termica, W/m grd

J - supratemperatura, grd

Conform legii conservarii energiei in elementul dx, suma caldurii dezvoltate, respectiv consumate, trebuie sa fie egala cu caldura cedata din elementul dx plus caldura cheltuita pentru incalzirea acestuia:

Rezulta, dupa simplificarile necesare:

sau: (4.44)

care reprezinta ecuatia diferentiala a caldurii, cu referire la conductorul drept, de sectiune constanta, prin care trece un curent electric, cu densitate constanta in aria sectiunii transversale.

Daca conductorul este lung se poate face abstractie de efectul de capat (diminuarea sectiunii, rezistenta de contact etc) si deci intr-o zona departata de capetele conductorului, se poate admite ca temperatura nu depinde de directia de extindere a conductorului. Deoarece conductivitatea termica a metalelor este ridicata putem considera neglijabila caderea de temperatura in aria sectiunii transversale, si putem admite ca: .

a. Regim stationar

In acest caz: si temperatura conductorului are o valoare bine determinata, independenta de x si t. Ecuatia caldurii devine:

cu solutia

(4.45)

unde: - - supratemperatura conductorului, in regim stabilizat, cu rezistivitate constanta r_p = ct.

- - supratemperatura conductorului, in regim stabilizat, cu rezistivitate dependenta de temperatura.

b. Regim tranzitoriu

In cazul variatiei in timp a supratemperaturii, ecuatia caldurii devine:

sau:

Ecuatia are solutii de forma cunoscuta:

   

cu: - q_e - solutia libera ce verifica ecuatia omogena, are forma:

q_f - de regim stabilizat, ce verifica ecuatia neomogena; are forma:

q_f = C

Pentru calculul constantei de integrare se folosesc conditiile initiale:

b.1. Conditii initiale nule:

supratemperatura q(0) = 0 (conductorul se afla la temperatura locala)

Efectuand calculele, se obtine:

Daca se fac notatiile:

q_0max r_pJ²A/al_p - cu semnificatia data la punctul a.   

q_max q_0max a_Rq_0max - cu semnificatia data la punctul a.

T₀ = c₁A/al_p - constanta de timp: reprezinta timpul necesar incalzirii conductorului la temperatura q_0max, in ipoteza ca energia disipata la periferia conductorului este nula:

- constanta de timp: reprezinta timpul necesar incalzirii conductorului la temperatura 1/a_R, in ipoteza ca energia disipata la periferia sa este nula.

   

- constanta de timp de incalzire a conductorului (s)

Solutia ecuatiei caldurii se poate scrie simplu:

Studiind solutia calurii se constata ca va exista, pentru un conductor dat, o densitate de curent critica, rezultata din conditiile echivalenta:

sau

Densitatea de curent critica rezulta cu expresia:

(4.46)

Ca urmare, solutia este valabila pentru J<J_cr( I<I_cr).

In cazul in care J=J_cr, ceea ce inseamna de fapt sau T₁=T₀, ecuatia devine: cu solutia

unde: - se numeste intensitate de incalzire

Pentru J>J_cr, alura curbei supratemperaturii este foarte rapid crescatoare. Solutia ecuatiei caldurii se scrie:

cu: si sau restrans

In figura 4.7 s-a trasat, pentru un conductor de Cu, supratemperatura in functie de intensitatea de incalzire avand ca parametru valorile lui q_0max

Figura 4.7 Supratemperatura unui conductor de Cu functie de intensitatea de incalzire

b.2. Conditii initiale nenule: q q_I

Astfel de situatii se intalnesc frecvent in practica cand curentul a mai parcurs conductorul si apoi a urmat o pauza de curent insuficienta pentru racirea completa a conductorului.In acest caz solutia ecuatiei (2.87) devine;

respectiv dupa calcule simple:

cu mentiunea: J<J_cr si reprezentarea grafica figura 4.7

3 Forma integrala (globala) a legii transformarii energiei

Pentru a obtine pierderile prin efect termic intr-un conductor filiform este necesar sa se efectueze integrarea relatiei 4.34 pentru intreg volumul conductorului:

; unde (volumul conductorului ) si se obtine relatie echivalenta cu (4.47)

relatie ce exprima forma integrala a legii in care

puterea schimbata pe la borne de ramura considerata.

puterea transformata ireversibil in caldura prin efect Joule-Lenz.

puterea schimbata de sursa cu restul circuitului.

Energia electrica care in intervalul de timp (0, t) se transforma in caldura: pe la borne este se obtine prin integrarea puterii ,rezultand sau: .

Echivalentul termic al energiei 1J = 0,24 cal. Unitatea de masura a puterii este wattul cu multipli KW; MWunde