LEGI DE CONSERVARE ALE CAMPULUI ELECTROMAGNETIC MACROSCOPIC - TEOREMA LUI POYNTING

LEGI DE CONSERVARE ALE CAMPULUI

ELECTROMAGNETIC MACROSCOPIC

TEOREMA LUI POYNTING SI CONSERVAREA ENERGIEI SI IMPULSULUI PENTRU UN SISTEM DE PARTICULE INCARCATE SI CAMPURI ELECTROMAGNETICE

Forma legilor de conservare a energiei si a impulsului reprezinta un rezultat important ce trebuie stabilit pentru campul electromagnetic. Consideram conservarea energiei, numita adesea "teorema lui Poynting".

Pentru o singura sarcina q, viteza de efectuare a lucrului mechanic de catre campurile electromagnetice externe si este , unde este viteza sarcinii. Daca exista o distributie continua de sarcina si current, viteza totala de efectuare a lucrului mechanic de catre campuri intr-un volum finit V=d³x este:

. (1)

Aceasta putere reprezinta conversia energiei electromagnetice in energie mecanica sau termica. Ea trebuie echilibrata de o viteza de descompunere corespunzatoare a energiei campului electromagnetic in volumul V. Pentru a arata explicit aceasta lege de conservare folosim ecuatiile lui Maxwell pentru a exprima astfe relatia (1). Astfel, vom folosi legea Ampre-Maxwell pentru a elimina densitatea de current

(2)

Folosim acum identitatea vectoriala

si legea lui Faraday, membrul drept a lui (2) devine:

(3)

Pentru a merge mai departe, facem doua presupuneri. Presupunem ca mediul macroscopic implicat are proprietati magnetice si electrice liniare. Atunci cele doua derivate in raport cu timpul din (3) pot fi interpretate, conform ecuatiilor

si

ca derivatele in raport cu timpul ale densitatilor de energie electrostatica si magnetica. Facem acum cea de-a doua presupunere, si anume ca suma dintre si reprezinta energia electromagnetica totala chiar si pentru campuri variabile in timp. Notand atunci densitatea totala de energie cu

(4)

(3) poate fi scrisa:

(5)

Cum volumul V este arbitrar, ecuatia poate fi pusa sub forma unei ecuatii diferentiale de continuitate sau o lege de conservare:

(6)

Vectorul , reprezentand curgerea de energie, se numeste vector Poynting. El este dat de:

(7)

si are dimensiunile (energie/suprafata timp). Deoarece numai divergenta sa apare in legea de conservare, vectorul Poynting este arbitrar in sensul ca i se poate adauga rotorul oricarui camp vectorial. Acest termen adaugat nu are totusi nici o consecinta fizica. De aceea, de obicei se face alegerea spacifica (7).

Sensul fizic al formei integrale sau diferentiale (5) sau (6) este ca viteza de modificare a energiei electromagnetice dintr-un volum oarecare plus energia care se scurge prin suprafata limita a volumului in unitatea de timp, este egala cu minus lucrul mecanic total facut de camp asupra surselor din interiorul volumului. Acesta este enuntul conservarii energiei. Daca intervin si efecte disipative, cum ar fi histerezisul in materiale feromagnetice, legea (6) nu mai este valabila si trebuie suplimentata cu termeni care sa dea pierderile de putere prin histerezis.

Pana acum atentia a fost indreptata asupra energiei campurilor electromagnetice. Lucrul mecanic facut in unitatea de timp intr-un volum unitar de campuri, , este o conversie a energiei electromagnetice in energie mecanica sau caldura. Cum materia este in ultima instanta compusa din particule incarcate (electroni si nuclee atomice) putem privi aceasta viteza de transformare ca viteza de crestere a energiei prticulelor pe unitatea de volum. Atunci putem interpreta teorema lui Poynting pentru campuri microscopice ca o enuntare a conservarii energiei sistemului combinat, format din particule si campuri. Daca notam energia totala a particulelor din interiorul volumului V cu si presupunem ca nici o particula nu iese din volum, avem:

(8)

Teorema lui Poynting exprima atunci conservarea energiei sistemului combinat ca:

(9)

unde energia totala a campului in interiorul lui V este:

(10)

Conservarea impulsului poate fi considerata similar. Forta electromagnetica totala asupra unei particule incarcate este:

(11)

Daca suma tuturor impulsurilor particulelor din volumul V este notata cu , putem scrie, din legea a doua a lui Newton:

(12)

unde am convertit suma peste particule intr-o integrala peste sarcini si peste densitatea de current, pentru o manipulare convenabila. In acelasi fel ca pentru teorema lui Poynting, vom folosi ecuatiile lui Maxwell pentru a elimina pe ρ si din relatia (12):

(13)

Inlocuind relatia (13) in (12)

Scriind apoi

si adunand la paranteza patrata, se obtine:

Viteza de variatie a impulsului mechanic (12) poare fi acum scrisa:

(14)

Putem identifica integrala de volum din membrul stang ca impulsul electromagnetic total din volumul V:

(15)

Integrantul poate fi interpratat ca densitate a impulsului electromagnetic. Vom observa ca densitatea impulsului este egala cu densitatea fluxului de energie

Pentru a completa identificarea integralei de volum a lui:

(16)

Ca impuls electromagnetic si pentru a stabili ca (14) este legea de conservare a impulsului, trebuie sa transformam integrala de volum din dreapta in integrala de suprafata a componentei normale a unei cantitati care poate fi identificata cu variatia impulsului. Fie coordonatele carteziene notate cu α=1,2, Componenta α=1a partii electrice integrantului din (14) este data explicit de:

Aceasta inseamna ca putem scrie componenta α ca:

(17)

si are, in dreapta, forma divergentei unui tensor de rangul doi.

Cu definitia tensorului Maxwell al tensorilor T_αβ ca fiind:

(18)

ecuatia (14) poate fi scrisa pe componente:

(19)

Aplicind teorema divergentei la integrala de volum, se obtine:

(20)

unde este normala la suprafata S, indreptata spre exterior. Evident, daca (20) reprezinta enuntul conservarii impulsului, este componenta α a impulsului ce curge prin unitatea de arie a suprafetei S spre volumul V. Cu alte cuvinte, este forta pe unitate de suprafata transmisa prin suprafata S ce actioneaza asupra sistemului combinat de particule si campuri din interiorul lui V. Ecuatia (20) poate fi atunci folosita pentru a calcula fortele care actioneaza asupra obiectelor materiale in camp electromagnetic prin inchiderea obiectelor cu o suprafata frontiera S si adunand forta electromagnetica totala conform cu membrul drept al lui(20).

Conservarea momentului cinetic al sistemului combinat de particule si campuri poate fi tratata in acelasi fel ca energia sau impulsul.

2.LEGI CONSERVARE PENTRU MEDII MACROSCOPICE

S-a demonstrat teorema lui Poynting folosind ecuatiile lui Maxwell macroscopice, dar conservarea impulsului si tensorului tensiunilor Maxwell au fost discutate numai pentru ecuatiile microscopice. Pentru corpuri massive, definirea densitatii de energie electromagnetica u, a fluxului energiei , a fluxului impulsului si a tensorului tensiunilor T_αβ trebuie facuta cu grija deoarece distinctia intre electromagnetic si mecanic este, pana la un punct, arbitrara. Aceasta problema a preocupat, de-a lungul anilor, pe multi cercetatori.

Daca s-ar face o aplicare directa a ecuatiilor "macroscopice" Maxwell la conservarea impulsului si energiei s-ar obtine ceea ce este in general numit Minkovski, chiar daca a mai fost propus inainte de altii. Acesta este format din expresiile (4) pentru u si (7) pentru S, dar cu densitatea impulsului si tensorului tensiunilor date de:

(21)

si

(22)

Mediul este presupus liniar fara a trebui sa fie izotop. Tensorul tensiunilor nu este simetric pentru medii anizotrope. Aceasta pierdere a simetriei a preocupat pe multi fizicieni, Hertz si Abraham fiind primii care au inlocuit (22) cu o forma simetrizata. Incercarile experimentale nu sunt usor de realizat. Brevik discuta in detaliu diferitele forme ale lui T_αβ, concluzia fiind in favoarea lui Minkowski.

Expresia Minkowski (21) pentru este in general privita ca inacceptabila ca densitate a impulsului electromagnetic. Toti fizicienii sunt de acord cu definitia:

(23)

Acest rezultat provine dintr-o statistica a sistemului materie-puls-camp in care cantitatile electromagnetice sunt definite ca diferenta dintre cantitatile pentru sistemul compus si acela pentru sistemul material la aceeasi temperatura de echilibru T si densitate ρ, dar cu campuri nule. Cu aceasta definitie, densitatile de flux ale impulsului si energie sunt date de (23) si (7) in timp ce, pentru un mediu liniar si izotop avand si , partea electromagnetica a energiei interne este:

in timp ce tensorul tensiunilor electromagnetice este:

Acestea se reduce la expresiile Minkowski u si T numai pentru situatia - fara sens fizic - in care ε si μ sunt independente de temperatura si densitate.

TEOREMA LUI POYNTING PENTRU CAMPURI ARMONICE; DEFINITIA PRIN CAMP A IMPEDANTEI SI ADMITANTEI

Conceptul de circuit cu constante concentrate, cum ar fi rezistenta si reactanta unei retele liniare cu doua terminale, apare in multe aplicatii, chiar si in situatia in care dimensiunile sistemului sunt comparabile cu lungimea de unda in spatiul liber, de exemplu o antena rezonanta. Este deci utila definitia generala bazata pe conceptul de camp. Acesta reiese din considerarea teoremei lui Poynting pentru o variatie armonica in timp a campurilor. Presupunem ca toate campurile si toate sursele au o dependenta de timp de forma , astfel ca putem scrie:

(26)

Cimpul este in general complex avand amplitudinea si faza variabile cu pozitia. Pentru produse ca avem:

(27)

Pentru medierea in timp a produselor, conventia este de a lua jumatate din partea reala a preodusului dintr-o cantitate complex conjugate celeilalte.

Pentru campuri armonice, ecuatiile lui Maxwell devin:

(28)

unde toate cantitatile sunt functii complexe de x ce se pot scrie ca si membrul drept al lui (26) in locul lui (1) vom considera integrala de volum:

a carei parte reala ne da media vitezei de efectuare a lucrului mecanic de catre corpuri in volumul V. Printr-o dezvoltare ce urmareste strict etapele de la (1) si (5), avem:

(29)

Definim acum vectorul Poynting complex:

(30)

si densitatile armonice de energie electrica si magnetica:

Atunci, (31) poate fi scrisa:

(32)

Aceasta este analogul lui (5) pentru campuri armonice. Este o ecuatia complexa a carei parte reala ne da conservarea energiei pentru cantitatile mediate in timp si a carei parte imaginara este legata de energia reactiva sau stocata si de curgerea ei alternativa. Daca densitatile de energie W_e si W_m au integrale de volum reale, asa cum se intampla pentru sisteme cu dielectrici fara pierderi si condensatoare perfecte, partea reala a lui (32) este:

aratand ca viteza medie, stationara, cu care efectueaza lucrul mecanic asupra surselor din V de catre campuri este egala cu media fluxului de putere intre volumul V prin suprafata limita S, calculat dupa componenta normala a lui ReS. Aceasta este tocmai ceea ce s-ar obtinut din prima forma a teoremei a lui Poynting (5) daca am fi presupus ca densitatea de energie u are o parte constanta si o parte variabila armonic. Cu pierderi in componentele sistemului, cel de-al doilea termen din (32) are o parte reala care tine seama de aceasa disipatie.

Teorema lui Poynting complexa (32) poate fi folosita pentru a defini impedanta de intrare a unui sistem electromagnetic pasiv, liniar, oarecare, cu doua terminale. Ne imaginam sistemul in interiorul volumului V marginit de suprafata limita S, strabatuta numai de cele doua terminale de intrare, ca in figura 1. Daca curentul si tensiunea de intrare, marimi complexe, sunt I_i si V_i, atunci puterea complexa de intrare este . Aceasta poate fi scrisa in functie de vectorul Poynting folosind (32) aplicata intregului spatiu exterior lui S:

(33)

unde normala unitara este indreptata spre exterior, ca in figura 1 si unde am facut presupunere ca transferul puterii de intrare se face prin suprafata S_i (sectiunea liniei coaxiale din desenul de jos din figura 1.

Fig.1.

Fig. 1. Diaframe schematice ale unor sisteme electromagnetice liniare, passive, cu doua terminale. Suprafata S inconjoara complet sistemul, iesind din ea doar terminale de intrare. La aceste terminale intensitatea si tensiunea curentului armonic de intrare sunt I_i si V_i, cu impedanta de intrare Z definita prin V_i=2I_i. Diagrama de deasupra se aplica la frecvente joase, unde pierderile prin radiatie sunt neglijabile, in timp ce cea de dedesupt, cu intrarea prin linie coaxiala, permite discutarea rezistentei radiative.

Considerand acum (32) aplicata la volumul V inconjurat de suprafata inchisa S, membrul drept al lui (33) poat fi scrisa in functie de integrale peste campurile din interiorul lui V:

(34)

Integrala de suprafata reprezinta fluxul de putere spre interiorul volumului V prin suprafata S, mai putin suprafata de intrare S_i. Daca suprafata (S-S_i) este extinsa la infinit, aceasta integrala este reala si reprezinta energia radiata. La frecvente joase ea este in general neglijabila. Atunci nu mai trebuie facuta nici o distinctie intre S si S_i; devine valabil desenul de sus din figura 1.

Impedanta de intrare Z=R-iX rezulta din (34) tinind seama de definitia ei, V_i=2I_i. Partile reala si imaginara sunt:

(35)

(36)

In scrierea lui (35) si (36) s-a presupus ca fluxul de putere prin suprafata S este real. Cel de-al doilea termen in (35) este "rezistenta de radiatie", importanta la frecvente inalte. La frecvente joase, unde pierderile ohmice sunt singura sursa apreciabila de disipatie, aceste expresii se reduce la:

(37)

(38)

Aici σ este conductivitatea reala, iar densitatile de energie w_m si w_e (31) sunt, de asemenea in intreg volumul. Rezistenta este evident valoarea asteptata din considerarea piederilor ohmice prin caldura in circuit. De asemenea, reactanta are o forma plauzibila. Daca predomina acumularea de energie magnetica, ca de exemplu pentru o bobina, reactanta este pozitiva etc. Diferenta dependentei de frecventa, la frecvente joase, a reactantei unei bobine X=ωL si a unui condensator poate fi pusa pe seama definitiei lui L in functie de current si tensiune pe de-o parte si a lui C in functie de sarcina si tensiune pe de alta parte.