Oscilatii in circuitele neliniare

Oscilatii in circuitele neliniare

Orice raspuns al unui circuit autonom neliniar este determinat atat de starea initiala cat si de excitatii (sursele independente de curent continuu). Daca intr-un astfel de circuit exista cel putin un raspuns (tensiune sau curent) care este functie periodica de timp spunem ca circuitul oscileaza (este un oscilator).

Un oscilator simplu utilizat in multe aplicatii este circuitul RLC serie in care

elementele dinamice sunt liniare cu parametri pozitivi (L>0, C>0) si rezistorul este neliniar. Starea initiala (u_C (0) si I₂ (0)) determina o energie totala acumulata in elementele dinamice la t=0. Daca rezistorul neliniar este strict pasiv (u I>0) acesta va absorbi o putere pozitiva care se va transforma ireversibil in caldura. Energia disipata de rezistor provine din W₍₀₎ deci daca rezistorul este strict pasiv si deci nu poate exista nici un raspuns periodic. Rezulta ca rezistorul trebuie sa fie activ.

Se poate arata ca daca un rezistor controlat in curent cu ecuatia constitutiva satisface conditiile

atunci circuitul RLC serie oscileaza. De exemplu caracteristica

se poate obtine cu un circuit cu un amplificator operational (vezi paragraful 2), iar caracteristica are o alura similara.

Ecuatiile de stare ale circuitului RLC serie sunt

Starea de echilibru se obtine pentru si . Rezulta . Comportarea calitativa a circuitului in jurul originii se determina calculand elementele matricei de stare a circuitului liniar asociat .

Valorile proprii ale matricei A se calculeaza ca radacini ale ecuatiei unde Deoarece T>0 rezulta ca sunt sau numere reale pozitive sau numere complexe cu partea reala pozitiva. Daca atunci originea este nod instabil si traiectoriile pornesc toate din origine

indepartandu-se de zona din jurul acesteia. Daca originea este focar instabil si traiectoriile se indeparteaza de zona din jurul originii cand . Pe masura ce punctul de proiectare se indeparteaza de origine valorile lui cresc si punctul de functionare pe caracteristica a rezistorului intra in cadranul I sau III; in acest caz in locul unui rezistor local activ caracterizat de avem un rezistor pasiv care absoarbe o putere pozitiva care este si local pasiv deci ii corespund valori proprii cu partea reala negativa. Ca urmare intr-o zona care nu este in jurul originii traiectoriile nu tind spre infinit. Doarece circuitul are un singur punct de echilibru in origine traiectoriile nu pot sa convearga decat spre acest punct. Rezulta ca, deoarece traiectoriile nu se pot intersecta intre ele decat in punctul de echilibru, trebuie sa existe o curba limita spre care tind aceste traiectorii. Aceasta curba este inchisa astfel incat parcurgand-o se obtin forme de unda periodice pentru . Acest rationament este doar o justificare din considerente fizice fara a fi o demonstratie a existentei si unicitatii ciclului limita. Aparitia oscilatiilor este ilustrata in continuare prin cateva exemple.

Exemplul 1 - Oscilatorul liniar este circuitul RLC serie in care rezistorul are R = 0.

Daca ecuatiile de stare sunt si cu notatiile solutia are forma unde A si q depind de conditiile initiale. Eliminand timpul, din expresiile rezulta ecuatia traiectoriei care este o elipsa.

Portretul de faza contine o multime de elipse. In toate punctele unei elipse energia totala este aceeasi deci oscilatia consta intr-un transfer al energiei acumulate intre condensator si bobina. Aceste traiectorii de nivel energetic constant se numesc orbite.

Observatii

i) oscilatorul liniar este un model idealizat care nu tine seama nici de pierderile din condensatoarele si bobinele reale si nici de rezistentele firelor de legatura

ii) spre deosebire de ciclul limita, in orice vecinatate a unei orbite exista traiectorii inchise (orbitele foarte apropiate).

Exemplu 2 Oscilatorul Van der Pol este un ciruit RLC serie in care . Ecuatiile de stare sunt . Facem schimbarea de variabila si rezulta: si notand ecuatiile de stare devin: .

Aceste ecuatii nu au solutie analitica. Pentru anumite valori ale lui se pot determina solutii analitice aproximative.

Daca se pot face urmatoarele aproximatii:

in ecuatia de ordinul 2 pentru i_L

se poate considera ca si rezulta .

Aceasta ecuatie are o solutie de forma din care rezulta deci traiectoria este o elipsa.

In solutia ecuatiei simplificate A depinde de conditiile initiale. Se poate arata (de exemplu prin integrare numerica) ca pentru solutia ecuatiilor de stare nesimplificate are un ciclu limita eliptic corespunzator valorii A=2. Pentru valori ciclul limita este o elipsa deformata.

Daca rezulta In acest caz, daca Deci daca traiectoriile vor fi paralele cu axa i_L. Sensul parcursului dinamic pe aceste traiectorii este:

daca si i_L creste

daca si i_L scade.

Pentru nu se poate determina.

Se poate insa considera ca deci si caracteristica este traiectorie. Deci pentru portretul de faza este:

Acest portret de faza justifica regula de salt de la oscilatorul de relaxare realizat cu un circuit de ordinul I cu condensator liniar si rezistor cu caracteristica (vezi paragraful 3.3.6.). Intr-adevar daca in oscilatorul Van der Pol rezulta iar circuitul devine de ordinul I. Saltul lui I se face conform portretului de faza al circuitului de ordinul II. Timpul de salt este practic nul deoarece variatia in timp a lui este foarte rapida Modelul de ordinul I care are puncte de impas este un model incorect. Modelul corect este cel de ordinul II in care intervine si inductivitatea L. In realitate aceasta inductivitate exista fiind un element parazit de circuit asociat firelor de legatura dintre condensator si rezistorul neliniar.