Rezolvarea circuitelor electrice trifazate

Rezolvarea circuitelor electrice trifazate

Rezolvarea circuitelor electrice trifazate consta in determinarea curentilor care circula prin aceste circuite, atunci cand sunt cunoscute tensiunile aplicate la borne si parametrii receptoarelor si ai liniilor de transmisie. Cum generatoarele sincrone au in mod obisnuit in practica datele cunoscute, problema rezolvarii unui circuit de curent alternativ trifazat se reduce la receptor si eventual la linia de transmisie a energiei, care vor fi considerate ca fiind alimentate cu un sistem trifazat de tensiuni simetrice.

Notiunea de sistem simetric sau sistem nesimetric se refera la sistemul trifazat de tensiuni sau de curenti. Un sistem trifazat de tensiuni sau de curenti este simetric, daca cei trei fazori reprezentativi sunt egali in modul si egal defazati intre ei cu unghiul .

In conectarea in stea, fazorii reprezentativi ai sistemului trifazat simetric formeaza o stea simetrica, iar la conectarea in triunghi fazorii formeaza un triunghi echilateral.

Notiunea de receptor trifazat echilibrat sau dezechilibrat se refera la cele trei impedante de sarcina ale receptorului. Un receptor trifazat este echilibrat daca cele trei impedante ale sale (conectate in stea sau in triunghi) sunt identice, adica in complex au acelasi modul si acelasi argument .

Rezolvarea circuitelor trifazate echilibrate, alimentate cu un sistem simetric de tensiuni

In receptoarele trifazate echilibrate conectate in stea exista posibilitatea de a se lega impreuna nodul receptorului cu nodul generatorului , conform schemei din figura 7.11.

Se dau tensiunile alimentare (tensiuni de faza) care formeaza un sistem trifazat simetric direct:

(7.33)

Fig.7.11

Impedantele celor trei faze sunt identice (receptorul este echilibrat):

(7.34)

Se presupune ca impedanta conductorului de nul este , iar tensiunea intre noduri este .

Curentii pe cele trei faze vor fi dati de relatiile:

(7.35)

Aplicand teorema intai a lui Kirchhoff , se poate scrie:

(7.36)

Se arata ca atat tensiunea cat si curentul sunt nuli in situatia prezentata mai sus.

Adunand relatiile (7.35) si tinand cont de (7.36) rezulta:

(7.37)

Deoarece , rezulta:

(7.38)

care conduce la , deoarece si sunt marimi finite. Din relatia (7.36) rezulta apoi .

Curentii din (7.35) vor fi deci:

(7.39)

si formeaza un sistem simetric.

Reprezentarea fazoriala a tensiunilor si curentilor este data de figura 7.12.

Fig.7.12

Din cele prezentate rezulta ca in cazul unui receptor trifazat echilibrat in stea, alimentat cu un sistem simetric de tensiuni, legatura de nul poate sa lipseasca, iar curentii pe fiecare faza (relatia 7.39) se pot calcula ca si intr-un circuit monofazat (fig.7.13) caruia i se aplica tensiunea de faza (masurata intre o faza si nul), deci:

(7.40)

Fig.7.13

Se considera acum (fig.7.14.a) ca receptorul echilibrat in stea are impedantele de cuplaj intre faze . Aplicand teorema a doua a lui Khirchhoff ochiurilor indicate pe figura, se obtin ecuatiile:

(7.42)

Fig.7.14

Aceste ecuatii corespund schemei echivalente din figura (7.14.b.). Adica, receptorul in stea avand impedanta proprie pe faza si impedanta de cuplaj este echivalent cu un receptor in stea, fara cuplaje intre faze, avand impedanta echivalenta pe faza:

(7.43)

Deoarece receptorul echivalent este echilibrat, curentii prin fazele receptorului vor forma un sistem trifazat simetric si ei se calculeaza acum cu relatii de tipul (39), in care impedanta este data de (7.43).

La receptoare trifazate echilibrate in triunghi se dau tensiunile de linie care formeaza un sistem simetric:

(7.44)

si impedantele celor trei faze ale receptorului (identice):

(7.45)

Fig.7.15

Se cer curentii prin impedantele receptorului (curenti de faza) precum si curentii debitati de surse (curenti de linie).

Curentii prin cele trei faze ale receptorului se determina imediat in functie de tensiunile de linie care sunt aplicate direct impedantelor receptorului:

(7.46)

Curentii de linie de determina aplicand teorema intai a lui Khirchhoff in cele trei noduri ale receptorului:

(7.47)

(7.48)

(7.49)

Atat curentii de linie cat si curentii de faza formeaza sisteme trifazate simetrice. Intre valorile efective exista relatiile:

, adica (7.50)

Diagrama fazoriala a tensiunilor si a curentilor, luand origine de faza tensiunea este data de figura 7.16.

Fig.7.16

Ca si in cazul conectarii in stea, un receptor trifazat cu conexiunea in triunghi, avand cuplaje magnetice intre faze, admite o schema echivalenta in triunghi, in care impedantele echivalente ale fazelor (fig.7.17) sunt egale si date de relatia:

(7.51)

Fig.17

2. Rezolvarea circuitelor trifazate dezechilibrate alimentate cu un sistem simetric de tensiuni

In conditiile in care impedantele pe cele trei faze ale receptorului, alimentat de la o retea trifazata simetrica, sunt diferite intre ele, receptorul, respectiv reteaua, se numesc dezechilibrate.

La receptoare trifazate dezechilibrate in stea cu fir neutru se da reteaua din figura 7.18, in care receptorul este conectat in stea, cu neutrul accesibil.

Fig. 7.18

Impedantele pe cele trei faze ale receptorului sunt:

(7.52)

Reteaua este alimentata cu sistemul trifazat simetric de tensiuni:

(7.53)

unde s-a luat ca origine de faza

Teorema potentialului punctului neutru (teorema lui Millman)

Enunt: Potentialul a punctului de intalnire a laturilor unei stele a unui circuit electric de curent alternativ sinusoidal este egal cu media aritmetica a potentialelor bornelor de acces ponderate cu admitantele laturilor corespunzatore: (fig.7.19)

(7.54)

In relatia (7.54), si sunt imaginile in complex ale potentialelor bornelor 1,2..n, respectiv ale impedantelor laturilor concurente in nodul N.

Fig.7.19

Teorema se demonstreaza in cazul unui multipol pasiv in stea cu "n" laturi, strabatute de curentii , care au la borne potentialele in raport cu potentialul unei borne arbitrar alese O. Aceasta borna are potentialul egal cu zero ( si se numeste potential de referinta.

Curentii din laturi au expresiile:

(7.55)

Aplicand teorema intai a lui Khirchhoff nodului N, si inlocuind curentii cu expresiile din relatia (7.55) se obtine relatia (7.54) care exprima formal teorema lui Millman.

Teorema lui Millman este folosita in rezolvarea retelelor trifazate dezechilibrate. Astfel, in reteaua din figura (7.18) curentii de linie , identici cu cei de faza, se calculeaza cu relatiile:

(7.56)

unde:

(7.57)

unde :

Astfel, determinarea curentilor , se poate face daca se poate calcula tensiunea dintre neutrul receptorului si neutrul retelei, tensiunea care in acest caz este diferita de zero. Aplicand teorema lui Millman nodului N se poate scrie:

(7.58)

unde se cunosc:

, precum si .

Ca urare, relatia (7.58) devine:

(7.59)

Cunoscand ca , precum si tensiunile de faza de la generator (in retea), respectiv , se calculeaza usor cei trei curenti .

Din relatia (7.59) se observa ca tensiunea pe conductorul neutru este diferita de zero in cazul receptorului dezechilibrat, chiar daca tensiunile de alimentare formeaza un sistem trifazat simetric. Acest fenomen poarta numele de "deplasarea neutrului", pornind de la constatarea ca potentialele celor doua puncte neutre, cel al retelei (generatorului) si cel al receptorului, nu mai sunt egale (nu se mai suprapun) (fig.7.20). Cu cat dezechilibrul impedantelor pe fazele receptorului (dezechilibrul sarcinii) este mai accentuat, cu atat deplasarea neutrului, respectiv tensiunea este mai mare.

Fig.7.20

Cum in retelele de distributie de joasa tensiune exista in permanenta un dezechilibru de sarcina, intre neutrul receptorului si cel al generatorului exista mereu o diferenta de potential care poate ajunge in unele cazuri valori importante.

Dupa cum se observa in figura 20, deplasarea neutrului face ca distributia tensiunilor de alimentare pe cele trei faze ale receptorului sa fie neuniforma, ca efecte negative atat asupra consumatorilor trifazati cat si a celor monofazati. Astfel unele faze sunt supratensionate altele subtensionate, apar cupluri eliptice in axele masinilor electrice trifazate care duc la uzura prematura a acestora, cresc pierderile de putere in retea, scade randamentul instalatiilor in exploatare.

Deplasarea punctului neutru se poate reduce daca impedanta a conductorului neutru se micsoreaza, conditia ca poate fi realizata prin marirea sectiunii acestuia. In aceste conditii se pot asigura practic tensiuni simetrice pe fazele receptorului, chiar daca aceasta prezinta un dezechilibru important.

Receptoare trifazate dezechilibrate in stea fara fir neutru

Fig.7.21

In acest caz sunt date numai tensiunile dintre faze, numite tensiuni de linie, simetrice, de la retea:

(7.60)

Curentii de linie, egali cu cei de faza de la receptor, sunt dati de relatia:

(7.61)

unde se poate calcula cu ajutorul teoremei lui Millman. In acest caz se poate scrie:

(7.62)

Alegerea originii potentialelor este echilibrata si poate fi un punct oarecare din sistem. Cum tensiunile de alimentare sunt simetrice, se prefera sa se aleaga drept potential de referinta (potential de nul) potentialul care l-ar avea o sarcina echilibrata, alimentata de aceasta retea. Potentialele bornelor vor fi atunci tensiunile auxiliare de faza simetrice, date de relatiile:

(7.63)

iar potentialul punctului neutru va fi:

(7.64)

Pentru tensiunile de faza ale receptorului se obtin expresiile:

(7.65)

din relatiile: , in care se inlocuiesc potentialele cu valorile calculate mai inainte. Cu ajutorul relatiilor (7.61) se pot calcula acum curentii .

Receptoare trifazate dezechilibrate in triunghi

Pentru receptorul dezechilibrat conectat in triunghi (fig.7.22)

se dau tensiunile simetrice dintre fazele relatiei de alimentare si cum aceste tensiuni se aplica direct laturilor triunghiului, curentii din aceste laturi devin:

(7.66)

Fig.7.22

Conform teoremei intai a lui Khirchhoff, in nodurile 1,2 si 3 curentii de linie sunt: