Rezolvarea numerica a campului electrostatic. Programul "Basic Electrostatic Analysis" (BELA)

Rezolvarea numerica a campului electrostatic. Programul "Basic Electrostatic Analysis" (BELA)

Rezolvarea campului electrostatic inseamna determinarea valorilor intensitatii campului electric, ale inductiei electrice si ale potentialului intr-un domeniu dat.

Metoda elmentului finit presupune discretizarea domeniului de studiat in elemente finite, de obicei

triunghiuri, urmand a fi calculate valorile potentialului in nodurile retelei de discretizare prin rezolvarea numerica a unui sistem de ecuatii liniare avand numarul de ecuatii egal cu numarul de noduri (puncte nodale) in care nu este cunoscuta valoarea potentialului.

F(0,2) E(2,2)

V₂ = 0

L(0,1.6)

K(0,1.4)

V₂ = 0

V₁ = 1

A(0,1)    B(1,1)

V₁ = 1

I(1.4,0.2) J(1.5,0.2)

C(1,0) G(1.4,0) H(1.5,0) D(2,0)

Se va prezenta un program de rezolvare numerica a campului electrostatic elaborat de David Meeker, disponibil pe internet la adresa https://femm.berlios.de , "Basic Electrostatic Analysis" (BELA).

In general, pasii de urmat pentru rezolvarea unei probleme de electrostatica sunt:

1. Crearea modelului fizic al problemei de studiat

Pentru desenarea modelului, definirea materialelor si a conditiilor pe frontiere se foloseste preprocesorul BELADRAW. Crearea unui model viabil presupune urmatoarele:

• desenarea punctelor care delimiteaza liniile si arcele necesare pentru realizarea geometriei modelului,
• conectarea punctelor prin linii si arce de cerc conform geometriei modelului,
• atribuirea de etichete "block labels" pentru fiecare regiune a modelului in vedrea definirii proprietatilor materialelor si a dimensiunilor retelei de discretizare "Mesh Size",
• specificarea conditiilor pe frontierele domeniului

Desenarea punctelor se face din meniul "Opertation /Node" sau activand butonul "Point" al toolbar (bareta de instrumente)

Pentru cazul nostru ne propunem sa calculam campul electric al unui condensator cu armaturi de sectiune dreptunghiulara. Datorita simetriei problemei vom studia campul electric doar dintr-un sfert al modelului. Condensatorul se considera ca are intre armaturi un dielectric cu permitivitatea reletiva _r=5, iar in interiorul dielectricului se afla niste incluziuni de aer, doua de sectiune circulara si altele doua de sectiune dreptunghiulara. Potentialul armaturii interioare este V₁=0, iar al armaturii exterioare este V₂=1.

Se deseneaza mai intai punctele modelului: A, B, .., K, L.

Desenarea liniilor (segmentelor) se face din meniul "Operation/Segment" sau activand butonul toolbar "Line"

Se deseneaza segmentele (liniile) ce sunt necesare pentru alcatuirea modelului. De exemplu, pentru desenarea segmentului AB, cu tasta linie activa se aseaza mouse-ul in apropierea punctului A si se face click stanga, punctul se coloreaza in rosu, se aseaza mouse-ul in apropierea punctului B si se face click stanga.

Desenarea arcelor de cerc se face din meniul "Operation/Arc Segment" sau activand butonul toolbar "Arc Segment", comenzile fiind aceleasi ca la desenarea segmentelor. La activarea punctului de sfarsit al arcului de cerc se afiseaza o fereastra de dialog pentru introducerea valorii unghiului pentru arcul de cerc (max. 180⁰) si a unghiului pentru segmentul de lungime maxima ce compune arcul de cerc. A doua valoare este necesara deoarece arcul de cerc este constituit de utilitar din segmente poligonale drepte. Valoarea implicita este 10, iar cea mai mica valoare este 1, aceasta corespunzand celei mai fine aproximari poligonale a arcului de cerc. Arcele de cerc sunt desenate in sens trigonometric cu programul beladraw.

Se deseneaza arcul de cerc ce delimiteaza incluziunea de aer de forma cilindrica facand click-stanga langa punctul K si apoi click stanga langa punctul L si introducand valoarea de 90 grade pentru unghi si 1 pentru arcul segmentului polinomial de aproximare a cercului.

Marcarea blocurilor din model este necesara pentru toate regiunile modelului care au proprietati diferite (permitivitati relative, sarcini electrice distribuite volumetric, etc.). Marcarea blocurilor se face din meniul principal "Operation/Block" sau cu butonul "Block Labels" al toolbar

La modelul considerat se vor marca cele trei blocuri, unul "dielectric" pentru izolantul dintre armaturi si doua "aer" pentru cele doua incluziuni.

Gruparea obiectelor desenate se face din meniul "Operation/Group" sau cu butonul toolbar "Group"

2. Definirea materialelor pentru model

Se selecteaza "Properties/Material" din meniul principal si se face click pe butonul "Add property". De exemplu, in cazul nostru, se schimba denumirea materialului din "New Material" in "aer", iar apoi se introduc valorile permitivitatii relative pentru acel material; valorile implicite sunt 1. Similar se definesc proprietatile pentru toate materialele din model, in cazul nostru pentru dielectric s-a ales vloarea _r

3. Atribuirea proprietatilor de material pentru fiecare regiune a modelului

Se face din meniul "Block"

Se selecteaza blocul pentru una din regiuni, eticheta blocului devine rosie, se tasteaza "Space". Apare afisata pe ecran o fereastra de dialog in care la "Block type" se schimba proprietatea "None" cu una din proprietatile de material definite anterior, de exemplu "aer" sau "dielectric" in functie de configuratia modelului. Se poate stabili si dimensiunea retelei de discretizare pentru blocul selectat "Mesh size" deselectand "Let Triangle choose Mesh Size" si scriind o alta valoare a pasului de discretizare, de exemplu 0.02. Se procedeaza similar pentru toate blocurile modelului stabilind pasul retelei de discretizare in incluziunile de aer de 0.01.

4. Definirea si atribuirea conditiilor pe frontiera ale modelului

Pentru a obtine o solutie unica a problemei de studiat este necesara stabilirea unor conditii de frontiera adecvate pe toate portiunile frontierei domeniului studiat. Conditiile de frontiera ce pot fi definite cu programul BELA sunt :

• Dirichlet (Fixed voltage). In acest caz se defineste explicit valoarea potentialului V pe frontiera, de exemplu V = 0. Este conditia de frontiera cea mai frecvent utilizata, in acest caz intensitatea campului electric este perpendiculara pe acea frontiera.
• Neumann (Mixed cu c₀=0 sau implicite, <None>, cand ∂V/∂n=0) . In acest caz se defineste valoarea derivatei potentialului dupa normala la frontiera ∂V/∂n, aceasta inseamna de fapt definirea valorii componentei dupa nomala la frontiera a intensitatii campului electric E_n = -∂V/∂n. Uzual se defineste pe frontiera conditia ∂V/∂n = 0 pentru a forta ca fluxul electric sa faca un unghi 0⁰ cu frontiera, aceasta este si conditia implicita, <None>.
• Mixte (Mixed) Aceasta este o conditie pe frontiera de forma Valorile parametrilor pentru aceasta conditie de frontiera se stabilesc in fereastra de dialog "Mixed BC parameters". Alegand c₀ = 0 conditia pe frontiera devine de tip Neumann, asa cum s-a mentionat mai sus. Daca nu se impune nici o conditie pe frontiera, atunci este atribuita implicit conditia <None>, care inseamna ∂V/∂n = 0. In general aceasta conditie este mixta, numita si conditie Robin. Important este faptul ca prin calculul si alegerea adecvata a coeficientului c₀ si impunand c₁=0 pe o frontiera exterioara de forma unui arc de cerc se poate aproxima o frontiera deschisa a modelului de studiat.
• Densitate superficiala de sarcina (Surface Charge Density). In acest caz se impun densitati de sarcina electrica de valori date pe segmentele sau arcele din model. Aceasta conditie se intalneste pe frontiere interioare ale modelului.
• Periodica (Periodic). Este o conditie utila pentru probleme ce prezinta simetrii.
• Antiperiodica (Antiperiodic). Este similara cu cea periodica, dar valorile potentialului sunt de semne contrare de o parte si de alta a frontierei. Conditiile de frontiera prezentate se definesc din meniul "Properties/Boundary/Add property" definind numele proprietatii si datele acesteia in fereastra de dialog. Coditiile pot fi de asemenea modificate sau sterse.
• Frontiera conductoare cu tensiune data (Define Conductor voltage). Aceasta conditie impune pentru segmentul conductor dat o anumita valoare a tensiunii, dar spre deosebire de conditia Dirichlet se poate impune o restictie privind valoarea totala a sarcinii electrice de pe acel conductor. Altfel, definind doar valoarea potentialului conductorului, programul va calcula si sarcina electrica de pe acel conductor. Aceasta conditie se defineste din meniul "Properties/Conductors/Add Property"
• Tensiunea sau sarcina electrica dintr-un punct (Point Properties). Aceasta conditie se defineste din meniul "Properties/Point/Add property" stabilind numele proprietatii si valoarea potentialului sau a sarcinii electrice din acel punct.

Pentru modelul prezentat se definesc proprietatile pe frontiera "Properties/Conductors/Add Property/" dand numele "zero" si atribuind tensiunea "Prescribed Voltage" 0 ; la fel pentru propritatea "one" atribuind valoarea 1 pentru potential. Aceste conditii se atribuie segmentelor modelului astfel: se selecteaza segmentul AB, se tasteaza "spatiu", se atribuie la "In Conductor" proprietatea "one", se tasteaza OK. Similar pentru segmentele BC, DE, EF, la ultimele doua segmente selectand proprietatea "zero".

5. Definirea tipului problemei.

In cazul nostru problema este plan-paralela, asa incat din meniul "Problem" se va selecta "Problem Type" Planar. Tot acum se va stabili unitatea de masura pentru lungimea segmentelor, lungimea modelului in directie perpendiculara pe figura si eventual, precizia de rezolvare a problemei. In ferastra de comentarii se pot pot nota unele caracteristici pentru identificarea modelului.

6. Generarea retelei de discretizare si analiza problemei.

Dupa constructia modelului, definirea si atribuirea proprietatilor de material, definirea si atribuirea proprietatilor pe frontiera si definirea tipului problemei se salveaza datele intr-un fisier "<nume>.FEE".

Pentru generarea retelei de discretizare se face click pe butonul "mesh" Programul va genera o retea de discretizare triunghiulara cu 8325 de noduri in cazul datelor noastre. Pentru modificarea pasului retelei de discretizare din diferite zone ale modelului se pot selecta blocuri, segmente sau arce de cerc pentru care se pot defini alti pasi de discretizare a retelei. Daca reteaua este prea fina timpul de calcul poate deveni foarte mare, in functie si de performantele calculatorului folosit. Pentru problema noastra trebuie avut in vedere ca exista un punct al modelului, punctul B, in care valoarea intensitatii campului electric este teoretic infinita , ca atare solutiile pentru punctele invecinate lui B vor fi eronate; o indesire a retelei in jurul lui B este de dorit daca se cer precizii mai mari.

Pentru efectuarea calculelor, adica a analizei problemei se face click pe butonul "hand crank" sau din meniul toolbar "Analysis/Analyze". Pe timpul rularii programului este afisata o fereastra informativa, care dispare la terminarea rularii.

7. Afisarea rezultatelor.

Se face click pe butonul "ochelari" pentru a porni postprocesorul BELAVIEW, sau din meniul principal se tasteaza "Analysis/View Results". Programul afiseaza rezultatele sub forma unui grafic de contur a valorilor potentialului din domeniul de studiat. O fereastra cu date indica numele programului, unitatea de masura a lungimii, tipul problemei "Planar", dimensiunea in adancime a modelului, numarul de noduri, 8325, si de elemente finite 16214.

Postprocesorul permite determinarea unor informatii suplimentare despre modelul studiat sau determinarea unor marimi prin calcule.

Daca se face click pe meniul "View/Conductor Props" se pot afla valorile potentialului si ale sarcinii electrice de pe armaturile condensatorului Q = 1.10607 10^-10 C. Cu optiunea "View/Contour Plot/ se pot vizualiza liniile echipotentiale.

In modul de lucru "Point Values" se afiseaza intr-o fereastra valorile pe care le au in punctul unde se afla mouse-ul; potentialul V, inductia electrica D, componentele D_x si D_y ale inductiei electrice, intensitatea campului electric E, componentele E_x si E_y ale lui , permitivitatile relative dupa axele x si y.

In modul de lucru "Contour" se pot desena contururi poligonale pentru efectuarea unor calcule pe acestea: reprezentarea variatiei unor marimi "Plot X-Y" V, D, D_n, D_t, E, E_n, E_t in lungul conturului, efectuarea unor integrale de linie pe contur "Integrate" pentru marimile E_t, D_n, lungimea conturului, suprafata limitata de contur, componentele dupa axele x si y ale fortei din tensorul tensiunilor Maxwelliene, componentele cuplului maxwellian.

Postprocesorul dispune de butoane pentru vizualizarea gridului , stabilirea dimensiunilor gridului , captare automata a mouse-ului la cel mai apropiat grid "snap to grid" .

Un exemplu de afisare a rezultatelor cu postprocesorul este cel din figura de mai jos.

Reprezentarea variatiei intensitatii campului electric in lungul conturului A, B, C