Simularea determinarii caracteristicilor statistice pentru semnale determinate si pentru semnale aleatoare

Simularea determinarii caracteristicilor statistice pentru semnale determinate si pentru semnale aleatoare

I.          Notiuni teoretice

STATISTICA este acea ramura a matematicii care are ca obiect culegerea, analiza si interpretarea datelor referitoare la fenomenele si starile care, datorita similitudinilor, pot fi grupate in multimi de elemente echivalente.

INFERENTA este metoda utilizata pentru a obtine informatie asupra unei populatii, pe baza datelor referitoare la o selectie.

STATISTICA este acea ramura a matematicii care se ocupa cu studiul inferentelor.

STATISTICA DESCRIPTIVA (FORMALA) studiaza modul in care trebuiesc culese si inregistrate datele referitoare la fenomenele in cauza.

STATISTICA MATEMATICA are ca obiect analiza si interpretarea datelor referitoare la fenomenele studiate.

Pentru a fixa notiunile, in continuare vor fi prezentate citeva din principalele categorii cu care opereaza statistica.

POPULATIE STATISTICA este orice multime As, finita sau infinita, care face obiectul unui studiu statistic.

UNITATE STATISTICA (INDIVID), ws, este oricare din elementele unei populatii statistice

SELECTIE (SONDAJ) este orice submultime Bs, finita, a unei populatii statistice:

CARACTERISTICA STATISTICA este orice trasatura comuna tuturor elementelor unei populatii statistice.

VARIABILA STATISTICA, v.s., este orice functie vectoriala definita pe o selectie cu proprietatea ca oricare ar fi vectorul real, constant, n-dimensional, A, toate submultimile Bs pentru care functia este mai mica, pe fiecare dimensiune, decit acest vector, apartin multimii partilor P(Bs).

CLASA STATISTICA este orice componenta a unei partitii (a unei populatii sau selectii statistice) realizata pe baza unei caracteristici.

Indivizii unei clase sint echivalenti in raport cu caracteristica respectiva, sau, altfel spus, variabila statistica este constanta pe domeniul unei clase. Daca intr-o selectie Bs, avind N0 indivizi, pe baza unei caracteristici oarecare se formeaza I clase, adica v.s. ia I valori yi, se definesc:

FRECVENTA ABSOLUTA, Fi, a unei valori a unei caracteristici este numarul total de aparitii ale acesteia intr-o selectie (sau numarul de indivizi ai clasei respective, sau numarul cazurilor in care v.s. ia valoarea yi). Intr-o populatie (selectie) statistica se stabileste relatia:

FRECVENTA RELATIVA, fi, a unei valori a unei caracteristici este o marime egala cu frecventa absoluta normata la numarul de indivizi ai selectiei

Evident:

Variabila statistica va fi descrisa de tabloul (similar cu cazul v.a.):

in care yi reprezinta valorile v.s.

Pentru ca rezultatele analizei facute asupra unei selectii sa aiba valabilitate asupra populatiei statistice este necesar ca selectia sa fie reprezentativa.

SELECTIE REPREZENTATIVA este o selectie in care fiecare unitate este aleasa din populatie in mod arbitrar, iar fiecare unitate din populatie are aceeasi probabilitate de a fi aleasa in selectie.

TEOREMA NUMERELOR MARI. Daca intr-un experiment oarecare, repetat de n ori, evenimentul wi se produce de ni ori, atunci

Aceasta teorema introduce in statistica categoria de:

INTERVAL DE INCREDERE este intervalul

in care frecventa relativa de aparitie a evenimentului wi se incadreaza cu o probabilitate data, P

FUNCTIE DE DISTRIBUTIE EMPIRICA (STATISTICA) este functia de distributie a unei v.s. si are forma:

O populatie (selectie) statistica poate avea, simultan, mai multe caracteristici de interes. In acest caz, variabilele statistice formeaza un vector determinat de o functie de distributie multidimensionala. In mod similar se defineste si functia de distributie conditionata.

Teorema numerelor mari a fost data in forma slaba, caracterizata de convergenta in probabilitate. Exista si o forma tare, de convergenta a.s.

II.            Algoritmul aplicatiei

Fie functia    x(t):=sin(t - 5π/3).

Reprezentam semnalul determinist al acestei funtii periodice(temporale) cu ajutorul programului MathCad.

Generam un set de valori aleatoare ale variabilei temporale , cuprinse in prima perioada. Sa presupunem ca aceasta ia valori pana la 386.

Calculam valorile functiei in momentele de timp selectate (populatie statistica de 378 unitati).

Efectuam selectia a minimum 50 de elemente.

Stabilim domeniul de valori al v.s. intre

Calculam frecventa absoluta si frecventa relativa si construim functia de distributie statistica conform relatiilor de la primul punct.

Pentru frecventa absoluta:

=> Fi (0; 0.82 Fi (0.885; 0.889] =1

Fi (0.82; 0.85] =0 Fi (0.889; 0.92] =2

Fi (0.85; 0.865] =0 Fi (0.92; 0.94] = 0

Fi (0.865; 0.875] =34 Fi (0.94; 0.96] =2

Fi (0.875; 0.885] =1 Fi (0.96; 1] =9

Pentru frecventa relativa:

; N

=>    fi (0; 0.82 fi (0.885; 0.889] =0.020

fi (0.85; 0.865] =0 fi (0.889; 0.92] =0.040

fi (0.85; 0.865] =0 fi (0.92; 0.94] = 0

fi (0.865; 0.875] =0.694 fi (0.94; 0.96] =0.040

fi (0.875; 0.885] =0.020 fi (0.96; 1] =0.184

Functia de distributie statistica devine:

fi* (0; 0.82 fi* (0.885; 0.889] =0.015

fi* (0.85; 0.865] =0.1 fi* (0.889; 0.92] =0.037

fi* (0.85; 0.865] =0 fi* (0.92; 0.94] = 0.015

fi* (0.865; 0.875] =0.662 fi* (0.94; 0.96] =0.045

fi* (0.875; 0.885] =0.025 fi* (0.96; 1] =0.19

III.         Concluzii

Observam in urma calculului frecventei teoretice fi a valorilor caracteristicii ca eroarea patratica este mai mica cu aproximativ 0.4

Introducem valorile obtinute in urmatorul tabel:

IV.          Bibliografie