Sisteme de control automat: un studiu de caz

Vom aborda in aceasta lectie realizarea unui convertor liniar tensiune electrica-lumina albastra. Tema este aleasa intentionat astfel incit sa para neserioasa. Dorim sa accentuam astfel ca, daca avem la dispozitie anumite blocuri functionale, utilizind reactia negativa putem sa obtinem un convertor liniar tensiune-X, unde X poate fi orice marime fizica. Incepem discutia cu blocurile deja disponibile, ceea ce reprezinta pentru proiectant partea fixa (care nu poate fi modificata) a sistemului.

Un element de executie, oricum ar fi, dar sa existe

Informatia de tensiune trebuie convertita intr-un anumit mod in marimea pe care dorim sa o controlam. Acesta este rolul elementului de executie. Sa presupunem ca pentru a genera lumina albastra avem la dispozitie un bec cu incandescenta cu tensiunea si puterea nominala de 220 V si 100 W, respectiv, si un filtru optic transparent numai pe o banda spectrala adecvata scopului nostru.

Controlul intensitatii luminii il vom face prin variatia puterii electrice transmise becului, modificind astfel temperatura filamentului sau. La temperatura absoluta fluxul radiant este repartizat in spectru conform formulei lui Plank, densitatea sa spectrala fiind proportionala cu

(11.1)

dependenta de temperatura fiind reprezentata, pentru , in Fig. 11.1. Avem o dependenta puternic neliniara, mai ales datorita faptului ca am ales o culoare la care maximul densitatii spectrale (care se deplaseaza spre lungimi de unda mici cu cresterea temperaturii) ajunge abia pe la 6300 ^oC, temperatura filamentului neputind depasi cu mult 3000 datorita punctului de topire.

In privinta dependentei temperaturii filamentului de puterea disipata putem accepta o dependenta liniara de tipul

(11.2)

aproximarea fiind posibila datorita raportului mare intre temperatura filamentului si cea a mediului ambiant.

Pentru controlul puterii instantanee disipate pe bec utilizam un variator de putere cu unda taiata, curentul prin filament avind forma din Fig. 11.2. Pulsurile de amorsare, intirziate cu unghiul , care aduc in conductie elementul de comutatie (triacul sau tiristoarele) sint produse cu un circuit specializat (de exemplu
AA145). Unghiul de defazare depinde liniar de tensiunea de comanda dupa expresia

(11.3)

ceea ce conduce la o variatie a puterii in functie de tensiunea de comanda cu forma din Fig. 11.3.

Trebuie subliniat ca aceasta este puterea mediata pe o semiperioada (sau pe un numar intreg de semiperioade). Pentru timpi de mediere mult mai mari decit o perioada, aceasta este aproximativ puterea medie. In orice caz, aceasta marime nu poate fi utilizata la o scara de timp comparabila sau sub o perioada.

Dependenta este puternic neliniara, fluxul radiant avind valori nenule practic numai pe a doua jumatate a intervalului de variatie a tensiunii de comanda. Cel mai bun lucru pe care il putem facem este sa comandam variatorul de putere cu suma a doua tensiuni: una constanta, , egala co 0.5 din valoarea , necesara preincalzirii becului, si una variabila, noua tensiune de comanda avind valori de pina la 0.5 din . Pentru circuitul integrat specificat mai sus valoarea maxima a tensiunii de comanda, este de 8 V. Cu acestea, caracteristica statica de transfer a elementului de executie arata ca in Fig. 11.5. Vom nota in continuare aceasta dependenta functionala .

Un convertor liniar lumina albastra-tensiune

O parte din lumina albastra produsa trebuie dirijata spre o fotodioda. Daca operam fotodioda la tensiune constanta (vezi Lectia 8 Aplicatii liniare ale amplificatoarelor operationale) curentul produs este proportional cu fluxul radiant care cade pe suprafata ei. Asa cum am vazut informatia de curent poate fi transformata intr-una de tensiune cu un amplificator transimpedanta. Obtinem astfel un convertor extrem de liniar flux radiant-tensiune electrica a carui viteza de raspuns este cu siguranta mult mai mare decit a elementului de executie, astfel ca functia sa de transfer poate fi considerata reala

. (11.3)

Prin alegerea transimpedantei amplificatorului asiguram constantei de conversie o valoare care sa produca pentru becul alimentat la puterea maxima (nominala) o tensiune de ordinul a citiva volti. O valoare prea mare poate apropia de saturatie amplificatorul operational iar o valoare prea mica are dezavantaje care vor deveni evidente putin mai tirziu. Pentru a fixa ideile sa presupunem ca aceasta valoare este de 5 V

. (11.4).

Prima tentativa

Avem acum elementele cheie necesare scopului nostru. Mai adaugam (Fig. 11.6) o sursa de tensiune continua , reglabila intre 0 si 5V cu care vom programa valoarea fluxului radiant de lumina albastra, un circuit care realizeaza diferenta intre doua tensiuni si un amplificator cu banda de trecere de la DC pina la o frecventa suficient de mare ca sa poata fi considerat ideal (cu functia de transfer reala ) . Facem conexiunile si am obtinut un sistem de control automat.

Fig. 11.6. Sistemul de control automat.

Stim din lectiile anterioare ca, daca avem amplificarea pe bucla suficient de mare, caracteristica de transfer a sistemului cu reactie este determinata practic numai de blocul de pe calea inversa, fiind foarte bine aproximata de

. (11.5)

Daca aplicam la intrare tensiunea de programare ne asteptam sa obtinem o valoare a fluxului radiant data de relatia anterioara, pe care o vom numi valoare programata a fluxului si o vom nota cu . Bineinteles ca valoarea pe care o vom obtine in realitate la iesirea sistemului de control automat va fi usor diferita. Denumim eroare stationara relativa marimea

. (11.6)

Din schema bloc a sistemului se vede imediat ca ea poate fi exprimata prin , tensiunea de eroare a buclei

. (11.7)

Incercam in continuare sa calculam aceasta eroare. Vom considera pentru inceput cazul mai simplu al unui element de executie liniar (proportional) a carui caracteristica de transfer a fost desenata cu linie subtire, alaturi de cea a elementului real, in Fig. 11.5 si care are expresia

. (11.8)

Cum toate blocurile sistemului sint acum liniare, putem aplica tehnica generala pentru deducerea functiei de transfer

. (11.9)

Sistemul fiind liniar, relatia precedenta se poate exprima prin functia de transfer a buclei calculata pentru frecventa nula, adica prin amplificarea buclei in curent continuu

. (11.10)

In cazul unui sistem liniar valoarea erorii stationare relative nu depinde deci de punctul de functionare (marimea valorii programate). Pentru a micsora aceasta eroare trebuie ca amplificarea pe bucla, in curent continuu sa fie cit mai mare. In aceste conditii, eroarea este practic invers proportionala cu amplificarea pe bucla

. (11.11)

Cresterea factorului real al lui , care este chiar parametrul al locului radacinilor, duce insa, pentru sistemele reale cu multi poli in aceasta functie, la micsorarea stabilitatii prin apropierea unor ramuri ale locului de semiplanul drept al planului complex. Asa cum am vazut, pentru cazul unui pol real triplu, sistemul incepe sa oscileze la o valoare egala cu 8, unde eroarea relativa coboara abia la 11%. Cerintele legate de stabilitatea sistemului si de micsorarea erorii stationare sint contradictorii si solutia consta, asa cum vom vedea, in introducerea in functia de transfer a unor poli si zerouri suplimentare.

Revenim acum la elementul de executie pe care il avem la dispozitie si care nu este proportional, fiind descris de caracteristica de transfer desenata in Fig. 11.5. Daca scriem formal aceasta caracteristica prin cea a elementului de executie proportional carcterizat de relatia (11.8)

(11.12)

putem sa obtinem o relatie similara cu (11.9)

. (11.13)

De data aceasta eroarea stationara relativa depinde de punctul de functionare prin functia , functie reprezentata grafic in Fig. 11.7. Concluzia pare catastrofala: pentru asigurarea unei erori stationare rezonabile pe cea mai mare parte a intervalului de variatie avem nevoie de valori ale amplificarii a amplificatorului de ordinul a 10⁶ ceea ce va conduce la o stabilizare extrem de dificila a regimului dinamic. Sa privim lucrurile nu din punctul de vedere al tensiunii de comanda ci al marimii de iesire . Regiunea unde se prabusea factorul corespunde de fapt unor valori ale fluxului radiant practic nule. O eroare relativa mare, chiar de 100%, este, in aceasta regiune, acceptabila. Pentru valori semnificative ale lui putem sa contam pentru factorul pe valori de peste 0.01 astfel ca problema este mai relaxata. Daca dorim o eroare stationara relativa de 1% avem nevoie de o amplificare de numai 10⁴.

Sa determinam acum efectul asupra marimii de iesire a unor variatii mici, cuasistatice, produse de neidealitatile blocurilor componente ale sistemului. Pentru aceasta vom lua in consideratie mici variatii ale marimilor si . Obtinem o schema bloc pentru variatii, cu blocuri liniare. Elementul de executie inmulteste variatia lui cu , dependenta lui de marimea fluxului radiant de la iesirea sistemului fiind cea din Fig. 11.9.

Incepem tot cu elementul de executie. Presupunem ca dintr-un motiv oarecare caracteristica sa de transfer se modifica usor astfel incit el produce, in plus fata de fluxul radiant dat de functia , cantitatea , in conditiile in care tensiunea de programare ramine constanta. Functia de transfer corespunzatoare este

(11.14)

astfel ca variatia produsa la iesirea sistemului este de mai mica decit abaterea . Cum amplificarea pe bucla este mult mai mare decit unitatea rezulta ca . Trebuie amintit ca, in absenta reactiei negative variatia de la iesire ar fi fost chiar .

Presupunem acum ca tensiunea fixa care asigura preincalzirea becului sufera o mica variatie . Functia de transfer este

(11.15)

de unde rezulta o variatie a fluxului de la iesire echivalenta cu o modificare a tensiunii de programare de

(11.16)

care, datorita valorii puternic supraunitare a numitorului, este aproximativ de ori mai mica decit eroarea . Rezulta de aici ca tensiunea continua necesara pentru preincalzire nu trebuie controlata experimental cu aceeasi precizie ca si tensiunea de programare.

Urmeaza la rind blocul care face diferenta tensiunilor si (comparatorul buclei). El este realizat cu un amplificator operational care are cu siguranta o eroare stationara datorata tensiunii sale de decalaj . Aceasta tensiune de decalaj produce la iesirea sistemului eroarea

(11.17)

care este echivalenta, in termenii tensiunii de programare, cu o modificare chiar egala cu . Efectul tensiunii de decalaj nu este deci diminuat de reactia negativa. Trebuie alese amplificatoare operationale cu decalaj mic iar pentru a diminua eroarea relativa tensiunea de programare trebuie sa aiba valori cit mai mari. Din acest motiv am ales ca domeniu de variatie pentru aceasta marime intervalul 0-5 V.

Efectul unei imprecizii a tensiunii de programare este usor de prezis. Pentru amplificari mari pe bucla eroarea sa relativa este egala cu eroarea relativa a marimii care trebuie controlata. Acelasi efect il are si tensiunea de iesire a convertorului flux radiant-tensiune electrica. Orice decalaj al sau este echivalent (dar cu sens schimbat) cu aceeasi variatie aplicata tensiunii de programare. De asemenea constanta convertorului, , trebuie sa fie foarte stabila, eroarea relativa produsa asupra marimii controlate fiind egala cu eroarea relativa a lui .

In concluzie, influenta asupra marimii controlate produsa de erorile blocurilor de pe calea directa, dupa comparatorul buclei, poate fi facuta oricit de mica prin cresterea amplificarii pe bucla . In schimb influenta erorilor tensiunii de programare, a comparatorului si a blocului de pe calea inversa nu pot fi diminuate de catre reactia negativa. Calitatea acestor blocuri limiteaza pina la urma precizia controlului. Cum referintele de tensiune cu stabilitati relative de 1-5 10^-6/ ^oC si amplificatoarele operationale cu driftul tensiunii de decalaj de 0.5 V/ ^oC sint astazi usor accesibile singura problema care mai ramine este convertorul marime controlata-tensiune electrica. Numai precizia si liniaritatea sa limiteaza de fapt performantele stationare ale sistemului de control automat.

Performantele dinamice

Chiar daca viteza de raspuns a sistemului de control automat pe care trebuie sa-l realizam nu este importanta, marimea controlata netrebuind sa sufere variatii, analiza dinamica este intodeauna necesara deoarece sistemul real de pe masa de lucru poate sa ne faca o surpriza frumoasa oscilind de la prima incercare.

In cazul abordat aici se mai adauga un element suplimentar: doua dintre semnalele considerate, puterea electrica furnizata de variator si implicit fluxul radiant sint marimi medii si nu au sens la o scara de timp care se apropie de marimea perioadei retelei de alimentare. Din acest motiv tensiunea de comanda a variatorului trebuie sa varieze lent in comparatie cu perioada retelei.

Intr-adevar, pentru cazul particular al furnizarii puterii nominale (unda intreaga), puterea instantanee furnizata becului evolueaza ca avind o componenta continua egala cu puterea nominala a becului si o componenta alternativa, de perioada si amplitudine egala cu puterea nominala. Puterea medie este astfel egala cu componenta continua. Daca se intrerupe bucla de reactie si se vizualizeaza pe osciloscop tensiunea , care este proportionala in orice moment cu fluxul radiant, se observa o componenta continua determinata de puterea medie si o componenta sinusoidala. Amplitudinea componentei sinusoidale este insa mai mica decit componenta continua becul comportindu-se ca un filtru trece jos de ordinul intii. Din raportul acestor marimi se poate determina frecventa sa de taiere (pozitia polului) care este putin sub . In cazul in care unda este taiata (puterea medie furnizata este mai mica decit cea nominala) semnalul contine in plus si armonice superioare ale frecventei .

Acest inconvenient este produs de principiul de functionare al variatorului de putere si nu poate fi eliminat decit inlocuindu-l cu alt element de control a puterii becului. Daca nu sintem interesati decit de valorile medii ale fluxului radiant putem sa acceptam aceasta comportare si sa facem o analiza a comportarii dinamice la o scara de timp mult mai mare decit perioada retelei. Ne vom concentra astfel asupra unui domeniu de frecvente Fourier pina la 60 rad/s.

Asa cum afirmam mai sus, tensiunea de comanda a variatorului nu trebuie sa varieze semnificativ pe durata de 10 ms a unei semiperioade a retelei. Cum becul nu filtreaza suficient componenta alternativa este necesara introducerea unui filtru trece-jos intre convertorul flux-tensiune si variatorul de putere. Avem de ales intre doua variante: pe calea inversa sau pe calea directa. Sa il intercalam pentru inceput pe calea directa, inainte sau dupa amplificatorul . La frecventele mici la care facem analiza toate celelate blocuri raspund practic instantaneu asa ca functia de transfer a buclei este

(11.18)

iar functia sistemului cu reactie rezulta

. (11.19)

La cresterea amplificarii pe bucla polul sistemului cu reactie merge pe axa reala de la spre . Cum el nu trebuie sa ajunga in afara domeniului nostru de analiza (sistemul ar deveni prea rapid si ar contine o componenta sinusoidala prea mare), daca am stabilit amplificarea pe bucla la o valoare in jur de 100 (ceea ce asigura o precizie a controlului de 1%), rezulta o frecventa de taiere pentru filtrul trece-jos de 0.6 rad/s echivalenta cu aproximativ 0.1 Hz.

Sa discutam acum si varianta introducerii filtrului pe calea inversa. In acest caz, asa cum am constatat in lectia dedicata reactiei negative, polul sau apare ca zerou in functia de transfer cu reactie . Aceasta va avea acum un zerou cu frecventa de 0.3 rad/s si un pol la 30 rad/s. Zeroul este dominant si raspunsul la un semnal treapta aplicat tensiunii de programare produce mai intii o variatie instantanee de 100 de ori mai mare decit cea stationara, raspunsul coborind apoi cu constanta de timp de 0.033 s spre noua valoare programata. Acest puls va aduce cu siguranta in saturatie iesirea amplificatorului . In plus, caracteristica de frecventa prezinta o amplificare la frecvente peste 0.1 Hz de 100 de ori mai mare decit cea de la curent continuu, ceea ce produce o inutila sensibilitate la zgomot. Din aceste motive, in situatia noastra concreta, este de preferat ca filtrul trece-jos sa fie introdus pe calea directa.

Cind am discutat problema erorii stationare am constatat ca, din acest punct de vedere, amplificarea pe bucla la curent continuu trebuie sa fie cit mai mare. O solutie radicala o constituie inlocuirea filtrului trece-jos cu un integrator cu functia de transfer . Ideal, un asemenea dispozitiv are amplificare infinita la curent continuu si reduce la zero eroarea stationara. In realitate, aceasta amplificare este egala cu amplificarea la curent continuu , a amplificatorului operational utilizat, care are valori in jur de 10⁶, asigurind erori stationare relative complet neglijabile.

Tema: Justificati de ce nu este necesara utilizarea unui 'integrator real' (Fig. ) care ar avea amplificarea la curent continuu diminuata la valori de ordinul 10³.

Cu un integrator pe calea directa functia de transfer cu reactie are forma

(11.20)

pozitionarea polului facindu-se prin alegerea valorii produsului .

Tema: Aratati ce efect dezastruos produce introducerea integratorului pe calea inversa.

O tema de proiectare mai dificila

Sa presupunem acum ca trebuie sa controlam valorile instantanee ale fluxului radiant. Mai mult, ca el trebuie sa fie modulat (sa varieze dupa anumite dependente temporale) si ca la o variatie treapta a tensiunii de programare timpul de crestere trebuie sa fie de 1 ms iar supracresterea relativa sa nu depaseasca 3%.

In primul rind trebuie sa inlocuim variatorul de putere. Cea mai simpla solutie consta in utilizarea unui alimentator de tensiune continua (cu o tensiune de 220 V si o putere maxima cel putin cit puterea nominala a becului) urmat de un stabilizator de tensiune a carui tensiune de iesire sa fie controlata de o tensiune de comanda (Fig. 11.9). Noul variator de putere (vezi suplimentul S 11. pentru detalii) este proportional iar viteza sa de raspuns este limitata numai de frecventa de taiere a tranzistoarelor utilizate. Cum aceasta ajunge in gama megahertilor putem considera ca variatorul are timp de raspuns nul. Faptul ca are o caracteristica de transfer liniara va mai imblinzi putin neliniaritatea elementului de executie dar caracteristica statica de transfer a elementului de executie nu va diferi sensibil de cea din Fig. 11.5.

Dezavantajul noului tip de variator, in afara necesitatii unui alimentator, este ca pe tranzistorul din stabilizator se disipa o putere apreciabila, de ordinul de marime a puterii nominale a becului. In afara risipei de energie apar probleme (uneori mai dureroase decit aceasta) cu asigurarea racirii tranzistorului: radiator; ventilator, etc. O solutie mai eleganta este utilizarea, direct din tensiunea alternativa a retelei, a unei surse in comutatie. Puterea disipata este mult mai mica iar tensiunea de iesire poate fi controlata direct prin factorul de umplere. Este nevoie insa de filtrarea componentei parazite cu frecventa egala cu cea a comutatiei (tipic
20 kHz) ceea ce poate face variatorul inacceptabil de lent. In plus, pentru un experiment de precizie parazitii produsi de o astfel de sursa pot fi un inconvenient serios. Astfel, pentru un experiment de laborator solutia preferabila ramine totusi cea clasica, descrisa in paragraful precdent.

Caracterul neliniar al elementului de executie face ca valoarea factorului sa depinda de punctul de functionare. Alegind pentru elementul de executie ca la tensiunea de comanda sa produca fluxul radiant maxim, prin derivarea caracteristicii sale de transfer si inmultirea cu valoarea obtinem dependenta produsului de valoarea stationara a fluxului de la iesire reprezentata in Fig. 11.11. In acest mod, pentru aceleasi reglaje, la valori stationare diferite ale fluxului radiant valorile parametrului al locului radacinilor vor fi diferite, polii sistemului cu reactie vor avea pozitii diferite pe ramuri si comportarea dinamica a sistemului va fi in consecinta alta. 'Acordarea' sistemului trebuie facuta astfel incit sa se obtina comportari acceptabile pe toata gama de valori interesante ale fluxului radiant, in cazul nostru pentru valori ale produsului intre 0.1 si 4. Optimizarea raspunsului o vom face pentru valoarea unitara a acestui produs.

Cu aceasta alegere sa analizam regimul dinamic al sistemului de control automat. Singura componenta a sistemului care nu raspunde practic instantaneu (la scara de timp de 1 ms la care lucram) este becul. Asa cum am vazut el se comporta ca un sistem trece-jos de ordinul 1, cu frecventa de taiere putin sub dublul frecventei retelei. De fapt, cel mai bine este sa se identifice functia de transfer prin desfacerea legaturii intre convertorul flux radiant-tensiune si comparatorul buclei, aplicarea unui salt treapta pentru tensiunea de programare si trasarea raspunsului tensiunii . Daca este necesar, investigarea cu semnal treapta poate fi completata cu ridicarea raspunsului in frecventa. Sa presupunem ca pentru sistemul nostru am estimat experimental frecventa polului determinat de bec la .

La fel ca in sectiunea precedenta, pentru a elimina eroarea stationara introducem pe calea directa un integrator cu functia de transfer pentru care sa alegem constanta . Avem acum in functia de transfer a buclei doi poli reali si locul radacinilor (studiat in lectia dedicata reactiei negative) arata ca in Fig. 11.11 a. Cum amplificarea la curent continuu este suficient de mare datorita integratorului nu mai este nevoie sa urmarim o valoare mare a parametrului al locului. Putem astfel, din acest punct de vedere, sa ne multumim cu punctul de functionare notat cu B pe figura, unde sistemul cu reactie are un pol real dublu (raspuns amortizat critic). Aici parametrul are valoarea 25000 ceea ce conduce la o valoare de 2.5 pentru amplificarea . Indeplinim astfel si conditia legata de supracrestere, care este aici nula. Frecventa polului dublu este de 50 rad/s, timpul de crestere fiind de ordinul a 20 ms, complet inacceptabil dupa compararea cu valoarea impusa de 1 ms.

Pentru cresterea vitezei de raspuns ramurile locului trebuie curbate spre stinga iar pentru indeplinirea conditiei legate de supracrestere (amortizarea raspunsului) ramurile trebuie coborite sub bisectoarea cadranului II. Intr-adevar, pe bisectoare factorul de amortizare este ceea ce determina o supracrestere (vezi raspunsul sistemelor de ordinul 2) de 3%. Aceste obiective se pot indeplini prin introducerea in a unui zerou real in stinga lui . Un circuit cu un singur zerou real are amplificare infinita la frecvente mari si este deci fizic nerealizabil. Vom introduce un circuit cu un zerou real, situat la , si un pol real, avind grija ca zeroul sa fie dominant. Sa luam, de exemplu, pozitia polului la astfel incit sa poata fi neglijat la trasarea locului radacinilor.

Fig. 11.11. Locul radacinilor inainte si dupa introducerea zeroului in functia de transfer a buclei..

Zeroul introdus (Fig. 11.11 b) obliga ramurile care pornesc din origine si sa descrie aproximativ un cerc si sa se intilneasca din nou pe axa reala. Daca parametrul locului continua sa creasca una din ramuri va merge pe axa reala spre pozitia iar cealalta spre . Din punctul de vedere al vitezei de raspuns punctul optim este cel notat cu C. La valori mai mici sau mai mari ale lui polul dominant se va duce spre dreapta, sistemul cu reactie devenind mai lent. In plus, aici supracresterea este nula, polii fiind reali. Pozitionarea exacta a zeroului trebuie sa tina seama de viteza ceruta pentru sistem. Cum timpul de crestere cerut este de 1 ms vom alege o valoare . In aceste conditii in punctul C parametrul are valoarea 7800 ceea ce conduce la o valoare a produsului de 156000. Pentru a realiza aceasta alegem si .

Desi acum cunoastem valoarea necesara a amplificarii in practica aceasta se foloseste numai orientativ pentru ca factorul dat de elementul de executie (in continuare neliniar) nu este cunoscut cu precizie. Ultima operatie este 'acordarea' sistemului prin ajustarea fina a amplificarii urmarindu-se permanent pe osciloscop raspunsul fluxului radiant (prin intermediul tensiunii proportionala cu el) la variatii treapta ale tensiunii programate. De fapt, peste valoarea continua a tensiunii de programare se aduna un semnal dreptunghiular de perioada mult mai mare decit timpul de raspuns al sistemului. In acest fel treptele succesive (pozitive si negative) gasesc sistemul practic intr-o stare stationara.

Acordarea optima s-a facut la . Pentru valori mici ale fluxului valoarea acestui factor coboara insa pina la 0.1 si pozitia pe locul radacinilor se apropie mult de origine, sistemul devenind inacceptabil de lent. Daca intentionam sa lucram si la aceste valori mici ale fluxului este mai bine sa pozitionam sistemul in punctul D pentru ; in acest caz inca mai este indeplinita conditia de viteza de raspuns iar supracresterea nu depaseste valoarea maxima permisa.. Pentru sintem acum foarte departe pe locul radacinilor si s-ar putea ca polii neglijaati sa conteze generind raspunsuri prea putin amortizate. Cum informatia asupra acestora nu este foarte precisa, experimentul va decide cit de mult putem sa crestem amplificarea pe bucla. Inevitabil, comportarea dinamica a sistemului va depinde de valoarea fluxului radiant in jurul careia se produce evoulutia.

In Fig. 11.12 este reprezentat raspunsul unui sistem de control al presiunii de hidrogen la semnale treapta repetate. Sistemul are elementul de executie si convertorul presiune-tensiune electrica neliniare ceea ce conduce la comportari dinamice diferite atinci cind starea initiala se modifica. Se observa ca, odata cu cresterea presiunii raspunsul devine mai amortizat. Cresterea fluxului ar creste factorul si, in consecinta, valoarea parametrului deplasind perechea de poli complecsi ai sistemului spre zone cu mai mare. Aceeasi comportarea ar avea-o si sistemul nostru daca acordarea s-ar face ca in paragraful anterior.

Pentru obtinerea performantelor dinamice impuse au fost incluse in sistem amplificatorul cu amplificarea , circuitul cu zerou dominant cu functia de transfer si integratorul. Acest ansablu de blocuri este numit in automatica regulatorul sistemului. Alegerea adecvata a tipului regulatorului si acordarea sa optima pot conduce, plecind de la performantele celorlalte blocuri (impuse) ale sistemului, la obtinerea unui regim dinamic care sa satisfaca cerintele practice. Citeva dintre cele mai utilizate tipuri de regulatoare vor fi discutate in suplimentul S 11. Convertorul marime fizica oarecare- marime electrica este denumit in automatica traductor. Pe calea inversa am avut deci un traductor lumina albastra-tensiune electrica.

Cum a devenit becul mai rapid ? Se poate oricit ?

Am avut la dispozitie un bec cu o constanta de timp de 10 ms iar acum sistemul de control automat raspunde de 10 de ori mai repede, cu o constanta de timp de ordinul 1 ms. Este un efect prezentat in toate manualele care se ocupa de reactia negativa: cu reactie negativa sistemele devin mai rapide. Sa incercam sa vedem cum se intimpla acest lucru. Pentru a simplifica discutia neglijam caracterul neliniar al elementului de executie () si renuntam la integratorul si circuitul cu zerou si pol introduse anterior (Fig. 11.13).

Locul radacinilor porneste din polul de la determinat de timpul de raspuns al becului si merge, cu cresterea amplificarii pe bucla, la pe axa reala

. (11.21)

Daca presupunem in plus ca am ales sistemul a devenit de 10 ori mai rapid decit inaintea introducerii reactiei negative.

Sa examinam in detaliu cele doua experimente pentru compararea vitezei de raspuns. Ne propunem sa realizam un salt treapta de la la . Pentru aceasta, in cazul sistemului fara reactie se aplica la intrarea elementului de executie un salt treapta al tensiunii de la 0 la . Evolutia temporala a fluxului este o exponentiala cu constanta de timp

(11.22)

ajungind la 90% din valoarea programata dupa timpul de crestere (Fig.11.14 a).

Realizam acum aceeasi variatie a fluxului dar cu sistemul de control automat. Pentru aceasta tensiunea de programare trebuie sa sufere un salt treapta de la 0 la (faptul ca e nevoie de o variatie de tensiune mai mare decurge din existenta erorii stationare). Polul fiind acum la frecventa de 1000 rad/s evolutia fluxului radiant este de 10 ori mai rapida, timpul de crestere fiid de numai 2.3 ms. Cum a fost 'convins' becul' sa raspunda mai rapid ? Sa aruncam o privire la tensiunea de comanda a elementului de executie. Functia sa de transfer (cu reactia aplicata) este

. (11.23)

Valoarea la care se stationarizeaza tensiunea este data de teorema valorii finale si este . Asa cum era normal, am regasit valoarea de la experimentul fara reactie. Diferenta este ca acum aceasta tensiune de comanda are o dependenta diferita de o functie treapta (Fig. 11.14 b). Prezenta zeroului in functia de transfer (11.23) face ca imediat dupa aplicarea treptei de tensiune lui tensiunea de comanda sa sufere un salt la valoarea . Datorita reactiei negative elementul de executie este comandat cu o tensiune de ori mai mare decit cea necesara pentru sustinerea noii valori programate. In timp, aceasta coboara exponential, cu constanta , spre valoarea stationara, aceeasi ca in cazul fara reactie. Aceasta 'supracomanda' este cauza evolutiei mai rapide a fluxului radiant la iesirea sistemului.

Putem sa facem sistemul oricit de rapid ? Pentru aceasta trebuie sa marim amplificarea . Daca dorim sa micsoram constanta de timp la 0.01 ms trebuie sa alegem o amplificare . Sa urmarim ce se intimpla acum la un salt de 55 mV al tensiunii de programare. Tensiunea de comanda ar trebui sa devina brusc 50 V dar intervalul ei de variatie este de pina la 5 V, unde becul este alimentat la puterea nominala si produce fluxul maxim. Elementul de executie este astfel saturat si sistemul nu mai asculta de ecuatiile noastre anterioare (care il considerau liniar).

Saturatia persista atita timp cit tensiunea de eroare este mai mare decit adica atita timp cit intre valoarea programata egala cu si valoarea actuala exista o diferenta mai mare de adica pe primele noua zecimi din intervalul de variatie cerut. In tot acest timp becul este alimentat la puterea maxima si fluxul creste cu constanta de timp proprie becului dar cu asimptota la

(11.24)

astfel ca dupa sistemul iese din saturatie (Fig. 11.15 a). Pe ultima zecime ramasa din intervalul de variatie sisemul se comporta in sfirsit liniar si fluxul de iesire tinde asimptotic la valoarea programata cu constanta de timp sperata . Timpul de crestere este insa de 0.09 ms, mai mare decit cel care s-ar fi obtinut daca nu ar fi aparut saturatia care este de 0.023 ms.

Fig. 11. 15. Evolutia fluxului in cazul unei variatii care aduce sistemul in saturatie.

Situatia nu a fost asa de grava pentru ca am plecat dintr-o stare cu flux zero departata de cea de saturatie. Sa efectuam acum un salt de aceeasi amplitudine dar pornind de la o stare initiala cu (Fig.11.15 b). Acum in timpul saturatiei fluxul variaza dupa legea

(11.25)

astfel ca ii trebuie sa parcurga primele 9 zecimi ale intervalului prescris. Desi am marit amplificarea de 100 de ori (de la 10 la 1000) nu am mai cistigat decit un factor de 2.5 la viteza de raspuns.

Aceeasi situatie apare la salturile treapta negative intrucit pentru a micsora fluxul sistemul nu poate decit sa anuleze tensiunea de alimentare a becului lasind filamentul sa se raceasca liber. (nu poate raci fortat filamentul). Tensiunea de comanda a elementului de executie este, din acest motiv, limitata inferior la valoarea nula.

Si totusi, putem sa producem salturi ale fluxului cu constanta de 0.01 ms ? Desigur, daca aceste salturi sint atit de mici incit nu aduc sistemul in saturatie. Cu alte cuvinte, cu cit facem sistemul mai rapid, cu atit marimea salturilor care pot beneficia de aceasta imbunatatire este mai mica. In practica salturile utile au intodeauna o valoare finita, cunoscuta, si este lipsit de sens sa incercam sa facem sistemul mai rapid decit permit valorile marimilor dincolo de care sistemul intra in saturatie. In exemplul nostru viteza de raspuns este limitata din doua motive

-la tranzitii crescatoare din cauza tensiunii maxime admise pe bec

-la tranzitii descrescatoare din cauza inexistentei unui mecanism de racire fortata.

Aceasta situatie este concretizata in intervalul de tensiuni admise la intrarea elementului de executie, intre 0 si 5V . Proiectarea celorlalte blocuri (amplificatorul , comparatorul buclei, convertorul flux tensiuni) trebuie sa asigure ca nici unul din acestea nu intra in limitarea inaintea elementului de executie, in caz contrar viteza maxima de raspuns suferind o reducere suplimentara.

Supliment S 11.1 Variatoare de putere

Vom descrie aici mai amanuntit cele doua variatoare de putere utilizate in sistemul de control automat abordat in acest capitol. Primul dintre ele, desenat in Fig. 11.16, functioneaza pe principiul undei taiate si are ca elemente principale un triac si un circuit specializat pentru comanda in faza a tiristoarelor si triacelor, AA 145^[2], produs de IPRS Baneasa.

Functionarea circuitului se poate urmari prin formele de unda desenate in Fig. 11.17. La pinul 9 al circuitului se aplica, prin intermediul unui divizor rezistiv, un semnal sinusoidal de sincronizare obtinut de la o infasurare a transformatorului de alimentare (nedesenat in figura) care este in faza cu tensiunea de retea. Divizorul se dimensioneaza astfel incit amplitudinea sinusoidei in gol la punctul sau median sa fie de aproximativ 15 V. Conectarea pinului 9 determina, prin jonctiunile interne ale circuitului, limitarea acestei variatii intre -0.7 V si 0.7 V, pastrind viteza de trecere prin zero. De asemenea diviziorul trebuie sa asigure si limitarea curentului.

Fig. 11.16. Variator de putere cu unda taiata.

La fiecare trecere prin zero a tensiunii de retea detectorul de nul genereaza un puls de tensiune cu amplitudinea de 8 V, accesibil la pinul 16. Aceste pulsuri excita un generator de rampa liniara, aceasta forma de unda fiind accesibila la pinul 7. Semnalul creste rapid la aparitia pulsului de sicronizare de la zero la 8 V si apoi coboara liniar spre zero. Viteza de coborire este dictata de condensatorul si rezistorul conectate la pinul 13 si ea determina valoarea atinsa de semnalul rampa in momentul aparitiei pulsului de sincronizare urmator. In practica rezistenta se ajusteaza pentru a obtine o tensiune minima a rampei de 0 V (circuitul ar limita intern excursia de tensiune la -0.7 V).

Semnalul rampa este comparat cu tensiunea de comanda care se aplica pe pinul 8. Aceasta trebuie sa aiba valori intre 0 si 8 V. Cind cele doua tensiuni devin egale comparatorul excita monostabilul (anclansat initial de generatorul de rampa simultan cu inceperea unui nou ciclu) care produce pulsuri cu duratele determinate de grupul RC conectat la pinul 11. Intirzierea acestor pulsuri fata de trecerea prin zero a retelei este de 10 ms pentru tensiune de comanda nula (practic nu apar pina la urmatoarea trecere prin zero) si practic nula pentru tensiunea de comanda maxima, adica 8V. Trebuie subliniat ca daca tensiunea de comanda depaseste 8 V comparatorul nu mai comuta si aparitia pulsurilor inceteaza; aceasta situatie trebuie evitata prin limitarea domeniului de variatie a tensiunii de comanda.

Pulsurile produse de monostabil sint prelucrate de cele doua etaje de iesire, cele corespunzatoare semialternantei pozitive fiind accesibile la pinul 14 iar cele corespunzatoare semialternantei negative aparind la pinul 10. Ambele tipuri de pulsuri sint pozitive, tranzistoarele finale fiind de tipul open-colector. Repartizarea corespunzatoare a pulsurilor intre cele doua etaje de iesire este realizata de blocul logic.

Pentru amorsare, triacul trebuie sa primeasca in poarta ambele tipuri de pulsuri, comanda optima fiind aceea in care semnul pulsului urmareste semnul tensiunii intre anozi. Se spune ca triacul este comandat in cadranul III. Transformatorul Tr 1 realizeaza trei functii. El sumeaza cele doua familii de pulsuri, inverseaza semnul uneia dintre familii si asigura o separare galvanica fata de retea intregului circuit realizat de comanda. Dupa amorsare triacul ramine in coductie pina cind curentul intre anozi coboara sub o anumita valoare. Sarcina sa fiind rezistiva, acest moment coincide practic cu trecerea prin zero a tensiunii de retea.

In realitate unghiul maxim de conductie nu poate fi chiar 180^o (intraga semiperioada) deoarece:

-pulsul de aprindere nu poate apare chiar la trecerea prin zero a tensiunii, comparatorul detectorului de nul avind nevoie de o variatie nenula pentru a declansa pulsul de sincronizare

-stingerea se face cind curentul prin bec coboara sub o anumita valoare dec inainte ca tensiunea retelei sa ajunga la zero. Un unghi de conductie de 177^o este realizabil si suficient pentru aplicatii, mai ales ca in aceasta regiune puterea pe sarcina variaza foarte lent (vezi Fig. 11. 3).

Supliment S 11.2 Regulatorul PID

Pentru exemplificarea acestui tip de regulator vom considera aici un sistem care are structura din Fig 11. . Blocul fix de pe calea directa are doi poli reali situati la -10 si -20 rad/s. Prima incercare de compensare a sistemului o facem cu un simplu amplificator, cu amplificarea introdus pe calea directa. Acesta este numit regulator proportional. Functia de transfer a buclei are expresia

(11.26)

iar locul radacinilor este cel din Fig. 11. a. Dezavantajul acestui regulator este ca, pentru valori mari ale amplificarii, necesare micsorarii erorii stationare, polii sistemului cu reactie au un factor de amortizare prea mic si raspunsul la semnal treapta are supracresteri inacceptabile. In plus, nici viteza de raspuns obtinuta nu este prea mare.

Fig. 11.19 Regulatoarele proportional si proportional-integrativ impreuna cu locurile radacinilor. pentru sistemul considerat.

Pentru eliminarea erorii stationare inlocuim regulatorul proportional cu unul proportional-integrativ (PI), care are structura din Fig. 11. b si functia de transfer

. (11.27)

El produce deci un pol in origine si un zerou cu frecventa egala cu inversul timpului de integrare. Este exact ceea ce am facut si noi (vezi Fig. 11.11 b), mai putin polul indepartat pe care il neglijam.

Efectul polului din origine este de a deteriora stabilitatea, efect diminuat intrucitva de prezenta zeroului, mai ales daca timpul de integrare are valori mari si zeroul este apropiat de origine.

Observatie: Zeroul de la este pe calea directa si apare si in functia de transfer cu reactie putind produce, daca este prea apropiat de origine supracresteri in raspunsul la semnal treapta.

Pentru reducerea supracresterilor, numarului de oscilatii si a timpului de linistire se introduce si un efect de derivare, ajungindu-se la regulatorul proportional-derivativ-integrativ (PID) din Fig. 11.20. El are functia de transfer

(11.28)

numaratorul avind frecventa normala si factorul de amortizare .

Daca factorul de amortizare este supraunitar cele doua zerouri sint reale si sistemul cu reactie este prea lent datorita polului care porneste din origine si nu se indeparteaza prea mult. De aceea se aleg constantele de timp astfel incit zerourile sa fie complexe dar factorul lor de amortizare sa nu fie prea mic, de exemplu pentru care .

Fig. 11.20. Regulatorul proportional-integrativ-derivativ impreuna cu locul radacinilor pentru sistemul considerat.

Daca se accepta o eroare stationara nenula se poate utiliza si un regulator proportional-derivativ (PD), ca in Fig. 11.21. Functia sa de transfer este

(11.29)

si introduce un zerou suplimentar in functia de transfer a buclei.

Fig. 11.21. Regulatorul proportional-derivativ impreuna cu locul radacinilor pentru sistemul considerat.

Supliment S 11.3 Realizarea unui convertor analog-digital (ADC) utilizind un convertor digital-analog (DAC)

Am preferat denumirea de convertor flux radiant-tensiune celei de traductor pentru ca am dorit pastrarea unui anumit nivel de generalitate pe care il vom exploata in acest supliment. Presupunem ca avem un convertor digital-analogic suficient de rapid si precis. El converteste o informatie digitala (un numar exprimat in baza de numeratie 2) intr-o tensiune analogica a carei valoare este proportionala cu numarul respectiv. Pentru simplificarea discutiei vom accepta ca aceasta valoare este chiar egala cu numarul de la care se pleaca. Ne propunem sa realizam un convertor care sa efectueze operatia inversa: sa converteasca o tensiune analogica intr-un numar egal cu valoarea sa.

Fig. 11. Schema de principiu si schema bloc pentru convertorul analog-digital.

Solutia problemei sta in utilizarea reactiei negative (Fig. 11. ) convertorul digital-analogic fiind legat pe calea inversa. Tensiunea de eroare controleaza viteza si sensul de numarare ale unui numarator reversibil. In acest fel numarul de la iesirea numaratorului este proportional cu integrala tensiunii de eroare. Acest numar este aplicat convertorului digital-analogic, tensiunea sa de iesire fiind marimea de reactie care se compara cu tensiunea de intrare. Schema bloc a acestui sistem este prezentata in aceeasi figura. Datorita integratorului eroarea stationara este nula numarul prezent la iesirea sistemului reprezentind cu exactitate valoarea tensiunii de intrare.

In analiza anterioara am considerat ca precizia numarului de la iesirea numaratorului are precizie infinita si, de asemenea, ca avem un convertor digital analogic de precizie infinita. In realitate informatia numerica este stocata si prelucrata cu un numar finit de biti. Pentru 8 biti eroarea este 1/255 din capatul de scala si aceasta va fi si precizia de urmarire a sistemului nostru.

O alta modificare, ce urmareste simplificarea realizarii, este renuntarea la proportionalitatea intre tensiunea de eroare si viteza de numarare, numararea facindu-se tot timpul cu aceesi viteza dar sensul numararii depinzind de semnul tensiunii de eroare. Situatia este echivalenta cu introducerea inaintea numaratorului a unui amplificator care functioneaza majoritatea timpului in limitare. Sistemul nu mai este, deci, un sistem liniar.