Sisteme de cuantizare cu dither cu scadere

Sisteme de cuantizare cu dither cu scadere

Sistemul de cuantizare cu dither cu scadere (Fig. 3.3b) are in componenta sa un cuantizor cu intrarea , astfel incit iesirea sitemului este:

(3.47)

si eroarea totala are expresia:

(3.48)

care este eroarea de cuantizare w a intrarii totale a cuantizorului. Pentru a exprima fdp a erorii totale putem folosi relatia (3.13) in care in loc de x apare w, tinand cont si de faptul ca p_w(e)=p_x(e)*p_n e (deoarece x si n sunt statistic independente). Se obtine:

(3.49)

si

(3.50)

Din relatia (3.50) se vede ca pentru un sistem de cuantizare cu dither cu scadere eroarea totala va fi uniform distribuita si statistic indepedenta de intrare, pentru distributii ale intrarii arbitrare, daca si numai daca fc a ditherului, P_n, satisface conditia ca:

(3.51)

Folosind relatia (3.21) se deduce ca pentru doua valori ale erorii totale e si e , separate in timp prin t , in cazul unui sistem de cuantizare cu dither cu scadere, avem:

In relatia (3.52) reprezinta fdp comuna a valorilor de dither n si n

aplicate, respectiv valorilor de intrare x₁ si x₂.

Din relatia (3.52) se poate trage concluzia ca intr-un sistem de cuantizare cu dither cu scadere fdp comuna pentru doua valori ale erorii totale e si e , separate in timp prin t , este data de:

(3.53)

pentru distributii ale intrarii arbitrare, daca si numai daca fc a valorilor de dither corespunzatoare n si n , satisface conditia ca:

(3.54)

pentru toti intregii k₁ si k₂, cu (k₁ ,k₂) (0,0). Deci daca conditiile din relatia (3.54) sunt satisfacute, atunci e si e sunt amindoua uniform distribuite si statistic independente una de alta. De notat ca daca n si n sunt statistic independente una de alta si functia caracteristica a fiecaruia satisface ecuatia (3.51), atunci ecuatia (3.54) va fi satisfacuta. Aceasta este situatia de interes in cele mai multe aplicatii practice folosind ditherul cu scadere. Daca este satisfacuta ecuatia (3.54) momentele comune ale lui e si e sunt date de relatia:

astfel ca si sunt necorelate. In cazul particular m=n=1 si pentru un semnal dither stationar:

(3.55)

independent de t, pentru t , unde am presupus ca ditherul satisface relatia (3.51), asfel ca momentele erorii totale vor fi acelea prezise de ecuatia (3.12). Ecuatia (3.55) indica faptul ca semnalul eroare total va fi alb din punct de vedere spectral, chiar daca semnalul dither nu exista.

Vom presupune ca semnalul dither satisface conditiile date de ecuatia (3.54). Deoarece eroarea totala este statistic independenta de intrare si iesirea este y=x+e putem scrie:

De asemenea rezulta:

(3.57)

Momentele iesirii functie de momentele intrarii vor fi date de ecuatia (3.37), valabila pentru orice m.

Daca satisface ecuatia (3.54) atunci:

(3.58)

astfel incit:

Ca urmare momentele comune ale iesirii in functie de momentele intrarii vor fi date de ecuatia (3.44) si de asemenea ramin valabile ecuatiile (3.45) si (3.46). Deci procesul de cuantizare a adunat pur si simplu la semnalul de intrare un proces de zgomot alb cu puterea totala D /12 (pina la frecventa Nyquist). Ne intereseaza care semnale aleatoare satisfac relatia (3.51). Cel mai simplu semnal care satisface (3.51) este ditherul cu fdp uniforma:

(3.60)

a carui fc este functia sinc:

(3.61)

Presupunem ca valorile secventei dither sunt statistic independente una de alta si deci ecuatia (3.54) este indeplinita si valorile distincte in secventa erorii totale sunt statistic independente una de alta.

Desigur sunt si alte functii caracteristice care satisfac cerinta de anulare la multipli intregi ai lui . De exemplu un dither produs prin sumarea a n procese aleatoare distribuite uniform si independente fiecare de amplitudine 1 LSB virf la virf, vor da un dither care satisface acest criteriu. Operatia de sumare convoluiaza impreuna functiile densitate de probabilitate ale proceselor aleatoare. Deci se vor multiplica functiile lor caracteristice astfel incit ditherul rezultant va avea o functie caracteristica de forma:

(3.62)

In sistemele de cuantizare cu dither cu scadere un asemenea dither nu prezinta avantaj fata de ditherul cu fdp uniforma din ecuatia (3.60). Sistemele de cuantizare cu dither cu scadere sunt ideale in sensul ca ele fac eroarea totala un proces de zgomot aditiv independent de intrare. Cerinta de scadere a ditherului la iesirea sistemului impune restrictii care il fac dificil de a fi implementat in aplicatiile audio practice. De exemplu semnalul dither trebuie sa fie disponibil la iesire si astfel ditherul trebuie transmis cu semnalul sau este necesar de a avea generatoare de dither sincronizate la capetele canalului.

Pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal cu frecventa 1 KHz si amplitudine 4 LSB varf la varf au fost obtinute simularile

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Figura 3.7: Rezultate obtinute prin simulare pe calculator ale cuantizarii unui semnal sinusoidal de frecventa 1 KHz si amplitudine 4 LSB varf la varf folosind     dither cu scadere de amplitudine 1 LSB varf la varf

Pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal cu frecventa 1 KHz si amplitudine 16 LSB varf la varf au fost obtinute simularile:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Figura 3.8: Rezultate obtinute prin simulare pe calculator ale cuantizarii unui semnal sinusoidal de frecventa 1 KHz si amplitudine 16 LSB varf la varf folosind    dither cu scadere de amplitudine 1 LSB varf la varf

Pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal cu frecventa 1 KHz si amplitudine 32 LSB varf la varf au fost obtinute simularile:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Figura 3.9: Rezultate obtinute prin simulare pe calculator ale cuantizarii unui semnal sinusoidal de frecventa 1 KHz si amplitudine 32 LSB varf la varf folosind    dither cu scadere de amplitudine 1 LSB varf la varf