Sisteme de cuantizare fara dither

Sisteme de cuantizare fara dither

In cazul sistemului de cuantizare fara dither eroarea totala a sistemului este identica cu eroarea de cuantizare. Eroarea este o functie determinista de intrare. Cu toate acestea modelul clasic al cuantizarii trateaza aceasta eroare ca un proces aleator aditiv, care este independent de intrare si uniform distribuit. Aceasta inseamna ca valorile erorii totale au o functie densitate de probabilitate (fdp) de forma:

(3.6)

unde functia fereastra rectangulara de latime G PG este definita ca:

(3.7)

Momentul de ordinul m al unei variabile aleatoare e cu fdp este definita ca valoarea mediei statistice a lui e^m

(3.8)

Momentul de ordinul zero al oricarui proces aleator (adica E[e0]) este egal cu unitatea. Primul moment este denumit uzual ca medie a procesului, in timp ce termenul de varianta se refera la cantitatea:

(3.9)

Este clar ca daca media procesului aleator este zero, varianta sa si momentul de ordinul doi sunt egale.

Pentru un proces aleator uniform distribuit, conform ecuatiei (3.6), momentele sunt:

(3.10)

(3.11)

Ecuatia de mai sus este expresia pentru varianta erorii de cuantizare in modelul clasic.Acest model este valid pentru semnale de intrare complexe, de amplitudini mult mai mari decat 1 LSB, dar el cade pentru semnale simple sau de amplitudini mici, cand in sistemele fara dihter eroarea de cuantizare retine caracterul distorsiunii dependente de intrare sau al modulatiei de zgomot.

Natura neintamplatoare a erorii poate fi demonstrata folosind o simulare pe calculator a unei cuantizari fara dihter a unui semnal sinusoidal de frecventa 1 KHz si amplitudine de 4 LSB varf la varf.

In figurile de mai jos se arata semnalele de la intrarea si iesirea sistemului de cuantizare fara dihter, eroarea totala rezultata , precum si densitatea spectrala de putere la iesirea sistemului, toate obtinute prin simulare.

a)

b)

c)

d)

Figura 3.4: Rezultate obtinute prin simulare pe calculator pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal de frecventa 1 KHz si amplitudine 4 LSB varf la varf fara dither. a) Semnalul la intrarea sistemului. b) Semnalul la iesirea sistemului. c) Semnalul eroare totala. d) Spectrul de putere al semnalului de la iesirea sistemului, considerand o frecventa de esantionare de 44,1KHz;

Figura 3.4. ilustreaza cuantizarea cu pas la mijloc fara dihter .Figura 3.4 a) arata semnalul de intrare analogic original. Versiunea sa cuantizata este aratata in figura 3.4 b), sunt in uz numai 5 nivele de cuantizare. Este in mod clar un sinus "distorsionat", eroarea de cuantizare (y-x) fiind forma de unda din figura 3.4 c). Eroarea de cuantizare (limitata la ) este o distorsiune puternic corelata cu sinusul de la intrare. Figura 3.4 d) rerezinta spectrul de putere al formei de unda cuantizate din figura 3.4 b). Linia spectrala cea mai mare pe stanga este fundamentala la intrare. Toate liniile ramase reprezinta zgomotul de cuantizare. Nu numai ca zgomotul acum este o distorsiune, dar multe linii au nivele mult peste 0 dB. Cuantizarea fara dither nu este o idee buna.

Pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal cu frecventa 1 KHz si amplitudine 16 LSB varf la varf au fost obtinute simularile

a).

b)

c)

d)

Figura 3.5:     Rezultate obtinute prin simulare pe calculator pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal de frecventa 1 KHz si amplitudine 16 LSB varf la varf fara dither. a) Semnalul la intrarea sistemului. b) Semnalul la iesirea sistemului. c) Semnalul eroare totala. d) Spectrul de putere al semnalului de la iesirea sistemului, considerand o frecventa de esantionare de 44,1KHz

Pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal cu frecventa 1 KHz si amplitudine 32 LSB varf la varf au fost obtinute simularile:

a)

b)

c)

d)

Figura 3.6: Rezultate obtinute prin simulare pe calculator pentru cuantizarea unui semnal sinusoidal de frecventa 1 KHz si amplitudine 32 LSB varf la varf fara dither. a) Semnalul la intrarea sistemului. b) Semnalul la iesirea sistemului. c) Semnalul eroare totala. d) Spectrul de putere al semnalului de la iesirea sistemului, considerand o frecventa de esantionare de 44,1KHz

Din simularile facute pentru amplitudinile de 16 LSB varf la varf     si 32 LSB varf la varf se observa ca eroarea de cuantizare este mai evidenta pentru amplitudini mai mici. Cu cat creste amplidinea varf la varf, armonicile scad.

Ne intereseaza sa gasim fdf pentru eroarea totala, adica pe functie de fdf a intrarii . Daca , avem si zero in rest. In mod similar distributia aparuta de la intrarile x, daca, este data de cu , dar recentrata in jurul lui x=0. Adica putem scrie: (3.13)

unde "*" semnifica operatia de convolutie, iar:

(3.14)

Functia caracteristica (fc) a unei variabile aleatoare este transformata Fourier a fdp. Deci:

(3.15)

unde P_x este fc a intrarii sistemului.

Pentru ca eroarea totala sa fie uniform distribuita ecuatia (3.15) trebuie sa se reduca la o singura functie sinc si anume , centrata in origine, in care caz va fi independenta de P_x. Acest lucru se intimpla daca si numai daca fc a intrarii sistemului P_x satisface conditia:

Consideram doua valori x₁ si x₂ ale intrarii sistemului care apar la momentele de timp t₁ si t₂, astfel incit t= t₂- t₁ si t . Relatia lor statistica este descrisa prin fdp comuna care reprezinta probabilitatea ca intrarile la momentele de timp t₁ si t₂     sa aiba valorile indicate. Functia densitate de probabilitate conditionata pentru o pereche de valori ale erorii, notate e si e , pentru x₁ si x₂ date este:

unde:

(3.18)

(3.19)

Se poate usor calcula fdp comuna a celor doua valori ale erorii:

(3.20)

unde operatia de convolutie este bidimensionala si implica variabilele e si e

Aplicand transformata Fourier bidimensionala in ecuatia (19) in raport cu variabilele e si e se obtine fc a lui e si e , care este:

(3.21)

undeeste fc a lui x₁ si x₂.

Din relatia (3.21) se vede ca intr-un sistem cu cuantizare fara dither fdp a valorilor erorii totale e si e separate in timp prin t este:

daca si numai daca fc a intrarilor x₁ si x₂, corespunzatoare sistemului, satisface conditia:

(3.23)

pentu toti intregii k₁ si k₂, cu (k₁ ,k₂)

Din relatia (3.22) se vede ca cele doua valori ale erorii sunt statistic independente si fiecare este uniform distribuita, astfel incit pentru t putem scrie:

(3.24)

Pentru un sistem digital eroarea totala este un semnal in timp discret, asfel incit t=kT, unde T rprezinta perioada de esantionare si k este un intreg. Pentru un sistem fara dither care satisface relatiile (3.16) si (3.23) functia de autocorelatie a erorii este:

Conform teoremei Wiener-Hincin, functia densitate spectrala de putere (DSP) a unui semnal in timp discret este egala cu transformata Fourier in timp discret (DTFT) a functiei de autocorelatie. Astfel DSP este:

(3.26)

care este constanta cu frecventa si semnalul eroare este alb din punct de vedere spectral si are puterea totala D pina la frecventa Nyquist. DTFT este definita ca:

(3.27)

unde f este variabila frecventa exprimata in Hz. Aceasta relatie este normata, asfel incit integrala din DSP de la zero la frecventa Nyquist,, da varianta semnalului.

Iesirea poate avea valori care sunt multipli intregi ai treptei de cuantizare. Se observa din Fig. 3.1b ca probabilitatea ca iesirea sa aiba valoarea , pentru k intreg dat este egala cu probabilitatea ca intrarea sa fie cuprinsa intre si . Deci:

(3.28)

Relatia (3.28) mai poate fi scrisa si sub forma:

(3.29)

Functia caracteristica a lui y, P_y este data de relatia:

(3.30)

unde:

(3.31)

si unde este fc a intrarii.

Din ecuatia (29) se observa ca fdp a intrarii la un sistem de cuantizare liniar, infinit, fara dither este recuperabila din fdp a iesirii sale, daca fc a intrarii P_x este de banda limitata asfel incit P_x(u)=0 pentru (Teorema cuantizarii).

In practica este uneori necesar de a recupera numai momentele semnalului de intrare din semnalul de iesire. Momentul de ordinul m al semnalului de iesire poate fi exprimat ca:

(3.32)

Daca P_x(u) este de banda limitata, versiunile deplasate ale lui G_x(u) nu se suprapun si derivata de ordinul m a lui P_y(u) in origine este determinata numai de termenul benzii de baza (k=0). Se poate scrie:

(3.33)

Daca statistica intrarii satisface (3.33) atunci rezulta:

(3.34)

Prin diferentierea repetata a ecuatiei (3.31) si folosind relatia (3.34) putem exprima momentele lui y in functie de momentele lui x:

(3.35)

(3.36)

(3.37)

Prin diferentierea repetata a ecuatiei (3.33) rezulta:

(3.38)

Se obtin relatii similare si in cazul in care consideram doua valori de iesire y₁ si y₂ ale sistemului, separate in timp prin e si e Se obtine expresia fdp comune:

si functia caracteristica corespunzatoare:

unde:

(3.41)

Se poate enunta acum analogul bidimensional al teoremei cuantizarii, care spune ca fdp comuna a intrarii este recuperabila din aceea a iesirii daca pentru sau sau amandoua. De o importanta mai mare este omologul ecuatiei (3.37) care permite recuperarea momentelor comune ale intrarii sistemului din cele ale iesirii. Adica daca:

pentru toti intregii k₁ si k₂, cu (k₁ ,k₂) (0,0), atunci:

(3.43)

Putem scrie o relatie analoaga relatiei (3.37) care leaga momentele comune ale intrarii de acelea ale iesirii:

(3.44)

In particular se poate scrie:

(3.45)

Rezulta ca densitatea spectrala de putere a iesirii este data de relatia:

DSP_y(f)= DSP_x(f)+D T/6

Aparatul matematic folosit la sistemele de cuantizare fara dither poate fi utilizat cu usurinta la sistemele de cuantizare cu dither.