Teorema puterilor incrucisate. Teorema reciprocitatii

Teorema puterilor incrucisate. Teorema reciprocitatii

Fie un circuit de curent continuu izolat care poate functiona in doua regimuri distincte; altfel spus, pentru o aceeasi topologie de retea, cu valori invariabile ale rezistentelor rezistoarelor R_k, valorile E_k ale tensiunilor electromotoare ale surselor ideale de tensiune si valorile I_gk ale injectiilor de curent ale surselor ideale de curent pot fi diferite in cele doua regimuri:

. (2.61)

(S-a marcat printr-un indice superior plasat intre paranteze numarul de ordine (1) sau (2) al regimului).

Acest fapt conduce, pentru un acelasi graf neorientat, la grafuri orientate de tensiuni si de curenti diferite pentru cele doua regimuri.

Asa dupa cum s-a aratat in paragraful 2.4.1, in demonstrarea teoremei lui Tellegen s-a pornit de la relatia

, (2.54)

in care toti curentii I_bk=0 au fost exprimati, conform primei teoreme a lui Kirchhoff, ca

sume algebrice ale curentilor corespunzatori fiecarui nod al retelei

(2.55)

si s-a ajuns in final la expresia

. (2.57)

Relatiile (2.54) si (2.55) sunt adevarate pentru ambele regimuri:

si cum sumele algebrice (nule) ale curentilor sunt egale intre ele se poate scrie

. (2.62)

De aici incolo calculul matematic poate fi condus dupa modelul prezentat in paragraful 2.4.1, ajungandu-se la relatiile

(2.63)

si mai departe, cu ajutorul ecuatiilor de functionare ale elementelor dipolare ideale si explicitarea termenilor, la relatiile

(2.64)

Intrucat sumele din membrul drept al relatiilor (2.64) sunt egale intre ele, se obtine ca

(2.65)

relatie care reprezinta teorema puterilor incrucisate.

Aceasta relatie contine marimi (tensiuni si curenti) din doua regimuri de functionare diferite ale unui circuit, fiecare produs (avand dimensiunea unei puteri) la nivelul oricarei surse ideale efectuandu-se incrucisat, intre o tensiune corespunzatoare unui regim si un curent corespunzator celuilalt regim.

Atribuirea semnului plus ori minus pentru fiecare dintre termenii sumelor algebrice corespunde asocierii incrucisate a sensurilor reale ale marimilor la bornele surselor ideale din cele doua regimuri dupa conventia de la generatoare ori dupa conventia de la receptoare.

Se va exemplifica folosirea relatiei (2.65) pe circuitul din figura 2.41, a in care R , R iar valorile tensiunilor electromotoare si ale injectiilor de curent sunt:

pentru regimul (1): =2 V, =5 A;

pentru regimul (2): =12 V, =6 A.

Rezultatele obtinute (curentii I si I si tensiunea U_g la bornele generatorului de curent) dupa rezolvarea problemei in cele doua regimuri de functionare sunt puse in evidenta in figurile 2.41, b si 2.41, c.

In aceste conditii, calculand pe rand valorile numerice corespunzatoare membrului stang si membrului drept al egalitatii (2.65) se obtine:

Cu ajutorul teoremei puterilor incrucisate se poate demonstra usor teorema reciprocitatii. Fie o retea liniara si pasiva (RLP) in care sunt evidentiate (fig. 2.42, a) doua laturi si . Daca se plaseaza in latura a circuitului o sursa ideala de tensiune avand tensiunea electromotoare E, aceasta genereaza in latura un curent a carui intensitate este I_t (fig. 2.42, b). Daca se muta aceeasi sursa din     latura in latura , ea genereaza in un curent de intensitate I_s (fig. 2.42, c).

Teorema reciprocitatii afirma ca, oricare ar fi tensiunea electromotoare E, valorile numerice ale curentilor I_t si I_s sunt egale

. (2.66)

Pentru demonstratie se considera circuitul din figura 2.43, a, avand o structura topologica identica cu cea a circuitului din figura 2.42, a, in care laturile si contin de aceasta data cate o sursa ideala de tensiune. Presupunem ca acest circuit poate functiona in doua regimuri distincte caracterizate primul prin valorile

(2.67)

iar cel de-al doilea prin valorile

. (2.68)

Aceste regimuri (ilustrate in figurile 2.43, b si, respectiv, 2.43, c) sunt identice cu cele prezentate in figurile 2.42, b si, respectiv, 2.42, c la care se refera teorema reciprocitatii.

Utilizand teorema puterilor incrucisate, relatia (2.65) ia forma particulara

care, pentru si conduce la

si teorema reciprocitatii este in acest fel demonstrata.