Teoreme si metode utilizate pentru rezolvarea circuitelor de curent continuu

Rezolvarea circuitelor presupune cunoscute: structura circuitului (laturi si noduri), parametrii consumatorilor (R_K, L_K, C_K) si ale surselor de energie electrica (t.e.m., tensiunea la borne) si trebuie sa se determine curentii prin laturi, tensiunile intre noduri, puterile consumate sau furnizate de catre laturi.

Metoda generala de analiza si rezolvare consta in aplicarea teoremelor lui Kirchhoff, ele fiind valabile atat in circuite liniare cat si in circuite neliniare, in regim stationar cat si in regim cvasistationar.

1 Teoremele lui Kirchhoff

Teorema I. Enunt:

"Suma algebrica a curentilor electrici din laturile care concura intr-un nod oarecare al unui circuit de c.c. este egala cu zero", sau "Suma curentilor care intra in nod este egala cu suma curentilor care ies din nodul respectiv".

Fie nodul "a" al unei retele de curent continuu (cc), in care se intersecteaza mai multe laturi si o suprafata Σ care inconjoara acest nod (fig 4.4).

Fig. 4.4

Considerand normala la suprafata ca fiind pozitiva cand iese din aceasta si raportand sensurile curentilor care strabat suprafata la aceasta normala, teorema I a lui Kirchhoff se poate scrie sub forma: , unde

(4.1)

Teorema intai a lui Kirchhoff este o consecinta directa a teoremei continuitatii liniilor de curent.

Curentii care ies din nod se considera ca fiind pozitivi, (au acelasi sens cu normala pozitiva la suprafata inchisa Σ), iar cei care intra in nod se considera negativi.

Prima teorema a lui Kirchoff se aplica in (N-1) noduri ale retelei, unde (N-1) este numarul nodurilor independente.

Teorema II. Enunt:

"Suma algebrica a tensiunilor de la bornele laturilor care alcatuiesc un ochi al unui circuit de cc este nula".

Teorema a doua a lui Kirchhoff este o consecinta directa a teoremei potentialului electric stationar.

Fie un ochi "p" al unei retele electrice care are "k" laturi (fig 4.5)

Se traseaza curba de integrare Γ_p de-a lungul tensiunilor de la bornele laturilor si i se atribuie acesteia un sens de parcurs, care reprezinta sensul de referinta pentru tensiunile laturilor ochiului.

Aplicand teorema potentialului electric stationar pe traseul Γ_p se poate scrie:

(4.2)

relatie, care descompusa pe portiuni (pe laturi) devine:

(4.3)

respectiv:

(V_A - V _B) + (V _B - V _C) + + (V_F - V_A) = 0 (4.4)

relatia (4.4) se mai poate scrie sub forma:

(4.5)

Forma ce exprima matematic teorema II a lui Kirchhoff, tinand seama ca (V_A - V _B) = U_b1 reprezinta tensiunea de la bornele laturii 1, (V _B - V _C) = U_b2 , tensiunea la bornele laturii 2, s.a.m.d.

Tensiunile la borne (U_bK) se introduc in suma de mai sus (4.5) cu semnul (+) cand sensurile acestora coincid cu sensul arbitrar ales de parcurgere a ochiului si cu semnul (-) in caz contrar.

Teorema II a lui Kirchhoff se aplica la "O" ochiuri fundamentale ale retelei unde O = (L - N + 1).

Teorema II are o alta forma (forma duala) si anume :

,     (4.6)

Fig 4.5

Teorema a-II-a Kirchhoff, forma duala, enunt:

"Suma algebrica a caderilor de tensiune pe rezistentele laturilor unui ochi de retea este egala cu suma algebrica a t.e.m. din toate laturile care formeaza acel ochi".

Forta duala provine din relatia (4.5), daca se inlocuiesc tensiunile cu expresiile lor corespunzatoare din ecuatiile laturilor scrise fie conform conventiei de la receptoare fie conform conventiei de la generatoare .

Termenii (caderile de tensiune) si se iau cu semnul (+) sau (-) dupa cum sensul curentilor prin laturi, respectiv t.e.m. , coincid sau nu cu sensul de parcurs al ochiului respectiv.

Folosirea teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea circuitelor de curent continuu.

Algoritmul aplicarii metodei teoremelor Kirchhoff:

a) caracterizarea topologica a retelei, respectiv stabilirea numarului de noduri independente (N-1), de laturi (L) si ochiuri fundamentale (O = L-N+1);

b) adoptarea (in mod arbitrar) de sensuri de parcurgere a ochiurilor (sensurile de referinta) precum si de sensuri conventionale (pozitive) pentru t.e.m., tensiuni si curenti.

c) scrierea ecuatiilor corespunzatoare teoremelor lui Kirchhoff;

(N-1) ecuatii pentru teorema I si O ecuatii pentru teorema a II-a.

Numarul total de ecuatii va fi egal cu numarul de laturi (L) ale circuitului, respectiv cu numarul curentilor din laturi (a caror valoare trebuie determinata).

d) rezolvarea sistemului de ecuatii algebrice, respectiv determinarea curentilor din laturile circuitului. Pe baza curentilor se pot determina apoi tensiunile la bornele laturilor, utilizand pentru fiecare latura in parte ecuatia laturii scrisa fie dupa conventia de la generatoare , fie dupa cea de la receptoare .

Daca rezulta curenti negativi se schimba sensurile acestora pe schema circuitului (asta inseamna ca sensul curentului adoptat conventional la inceput n-a fost cel corect).

La fel se procedeaza si pentru tensiunile la borne.

e) verificarea rezultatelor obtinute prin una din metodele:

verificarea prin bilantul de puteri

calculul unor tensiuni intre doua noduri pe drumuri diferite.

Aplicatie

Se da reteaua din figura de mai jos cu: ;, avand rezistentele interioare si sarcina . Sa se determine curentii din retea utilizand metoda teoremelor lui Kirchhoff. Sa se verifice rezultatele obtinute prin bilantul puterilor.

Fig. 4.6.

Rezolvare:

a) Caracterizarea topologica a retelei

numarul de noduri: N=2

numarul de laturi: L=3

numarul de ochiuri: O=3

b) Adoptarea de sensuri de parcurs a ochiurilor si sensuri conventionale pentru curenti;

c) Scrierea ecuatiilor corespunzatoare teoremelor lui Kirchhoff:

teorema I-a pentru (N-1) noduri. Alegem nodul A.

teorema a II-a pentru O=L - N + 1=2 ochiuri ( si )

Se obtine sistemul:

;

;

d) rezolvarea sistemului de ecuatii:

Prin rezolvarea sistemului de ecuatii se obtin solutiile;

; ;

e) Verificarea prin bilantul puterilor:

Forma de bilant a teoremei conservarii puterilor: "Suma algebrica a puterilor generate de sursele din laturile retelei este egala cu suma puterilor consumate in rezistentele laturilor".

respectiv:

2. Teorema conservarii puterilor

Aceasta teorema, numita si teorema bilantului de puteri, urmatorul enunt:

"Suma algebrica a puterilor primite sau cedate pe la borne de toate laturile unei retele izolate este nula".

(4.7)

Teorema conservarii puterilor este o consecinta a teoremei I Kirchhoff.

Astfel, daca expresia corespunzatoare primei teoreme Kirchhoff se inmulteste cu potentialul nodului pentru care este scrisa teorema si se sumeaza expresia obtinuta pentru toate nodurile retelei, se obtine:

Fig. 4.7

Curentul din fiecare latura intervine in aceasta suma de doua ori: odata cu semnul (+), pentru nodul din care iese (b) si odata cu semnul (-) pentru nodul in care intra (c).

Regrupand termenii se poate scrie:

unde: este diferenta de potential la bornele laturii K. Teorema este demonstrata.

Forma de bilant a teoremei: ,,Suma algebrica a puterilor debitate de sursele din laturile retelei este egala cu suma puterilor consumate in rezistentele laturilor".

sau (4.10)

3 Teoremele rezistentelor echivalente

Se numeste rezistenta echivalenta a unui circuit de tip dipol pasiv, o expresie de tipul:

(4.11)

unde: si sunt asociate dupa regula de la receptoare (fig. 4.8)

Fig. 4.8.

Un dipol este un circuit cu doua borne de acces in exterior.

Conexiunile rezistoarelor in circuitele electrice pot fi de tipul serie, paralel (derivatie) sau mixt.

Conexiunea serie.

Pentru ,,n" rezistoare conectate in serie, curentul electric este acelasi iar tensiunea la bornele gruparii este data de suma tensiunilor la bornele fiecarui rezistor (fig. 4.9).

Fig. 4.9.

Astfel:

dar , facand echivalenta schemei (4.9) cu (4.10) se obtine egalitatea:

Fig. 4.10

Conexiunea derivatie.

Pentru ,,n" rezistoare conectate in paralel, tensiunea la borne este aceeasi pentru toate rezistoarele iar curentul total prin circuit este suma curentilor prin fiecare rezistor in parte (fig. 4.11).

Fig. 4.11

In aceste conditii se poate scrie:

Cum facand echivalenta schemei (4.11 a) cu (4.11 b) se obtine:

de unde se rezulta:

sau (4.15)

In cazul unei conexiuni mixte rezistenta totala va fi o combinatie a celor doua variante.

Divizorul de tensiune

Este un circuit care permite, la intrare, obtinerea unor procente dorite din tensiunea de intrare, functie de valoarea rezistentelor utilizate (fig. 4.12)

Fig. 4.12

Divizorul de curent.

Divizorul de curent este un circuit care permite divizarea curentului de intrare in orice valori dorite pe laturile circuitului, functie de valoarea rezistoarelor utilizate (fig. 4.13)

Fig. 4.13

4 Metoda suprapunerii efectelor (superpozitiei)

Enunt:

"Intensitatea curentului electric din orice latura a unei retele electrice liniare in care actioneaza mai multe surse este egala cu suma algebrica a intensitatilor curentilor pe care i-ar stabili prin latura respectiva fiecare sursa, daca ar functiona singura in retea".

,     (4.21)

Pentru determinarea curentilor din laturi se determina mai intai curentii din circuitele mai simple care contin numai cate o sursa. Apoi fiecare curent de latura se calculeaza insumand algebric curentii prin acea latura din circuitele in care a fost descompusa reteaua data (retea alimentata pe rand de cate o singura sursa).

Algoritmul aplicarii metodei superpozitiei.

1) Anularea t.e.m. a tuturor surselor din retea afara de una singura (cu pastrarea rezistentelor interioare ale surselor);

2) Calculul curentilor retelei mai simple obtinute in acest mod;

3) Repetarea acestei operatii de un numar de ori egal cu numarul total al laturilor active ale retelei;

4) Calculul curentilor reali facand suma algebrica a curentilor obtinuti anterior in fiecare latura.

5) Verificarea rezultatelor obtinute.

Aplicatie

Se da reteaua din fig.(4.6) cu ; , avand rezistentele interioare si sarcina . Sa se determine curentii din laturile retelei utilizand metoda superpozitiei.

Fig. 4.6.

Rezolvare:

1) Anularea t.e.m. a tuturor surselor afara de una:

Se considera reteaua alimentata doar de sursa , curentii din laturi fiind cu sursele conform figurii (a).

2) Calculul curentilor din schema (a):

3) Anulam sursa (cu pastrarea rezistentelor interioare ) si consideram reteaua alimentata numai de sursa , conform figurii (b).

Calculul curentilor din schema (b):

4)Calculul curentilor reali prin insumarea algebrica a curentilor obtinuti pentru figurile (a) si (b):

Verificarea prin bilantul puterilor:

5. Metodele generatoarelor echivalente de tensiune

(Thevenin-Helmholtz) si de curent (Norton)

Metoda (teorema) generatorului echivalent de tensiune (Thevenin-Helmholtz).

Enunt:

"Intensitatea a curentului electric debitat de o retea activa liniara pe o sarcina de rezistente R a unei laturi oarecare AB, este egala cu raportul dintre tensiunea de mers in gol la bornele A,B si suma dintre rezistenta exterioara si rezistenta interioara a retelei pasivizate"

este tensiunea la mers in gol (fara sarcina, ) a retelei intre bornele A si B;

este rezistenta echivalenta a retelei pasivizate , calculata intre bornele A si B.

Metoda permite calculul curentului debitat de o retea pa o latura fara a fi necesar calculul celorlalti curenti.

Algoritmul aplicarii metodei generatorului echivalent de tensiune.

a) Pasivizarea retelei (sunt anulate tensiunile electromotoare ale surselor din retea cu pastrarea rezistentelor lor interne)

b) Determinarea rezistentei echivalente interioare a retelei pasivizate la functionarea in gol (fara sarcina);

c) Determinarea valorii tensiunii de mers in gol ;

- mai intai se determina valoarea curentului din retea, la bornele AB nefiind legata sarcina exterioara R si apoi se determina valoarea lui ;

d) Determinarea valorii lui , dupa legarea la bornele AB a rezistentei exterioare R.

e) Verificarea rezultatelor obtinute.

Aplicatie

Se da reteaua din fig.(4.6) cu ; , avand rezistentele interioare si sarcina . Sa se determine valoarea curentului din sarcina utilizand metoda generatorului echivalent de tensiune.

Fig. 4.6

Rezolvare:

a) Pasivizarea retelei:

Fig. a)

b) Determinarea rezistentei echivalente interioare aretelei pozitive (fig.a)

c) Determinarea valorii tensiunii de mers in gol ; (fig. b)

Fig. b)

• determinarea intensitatii curentului din retea la mersul in gol (fara sarcina );    
• determinarea tensiunii la mersul in gol; ,

d) Determinarea valorii curentului , sarcina fiind legata la bornele AB ale retelei (fig. 4.6).

;    

Metoda(teorema) generatorului echivalent de curent (Norton).

Enunt:

,,Tensiunea produsa in sarcina de o retea liniara activa care alimenteaza o sarcina exterioara de rezistenta R intr-o latura AB, este egala cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al retelei la acele borne AB si suma dintre conductanta interioara a retelei pasivizate si conductanta exterioara G".

este curentul de scurtcircuit al retelei fata de bornele AB (R=0);

este conductanta echivalenta a retelei pozitive.

unde este rezistenta interioara echivalenta a retelei pozitive fata de aceleasi borne A,B.

G este conductanta laturii exterioare retelei AB;

unde R este rezistenta sarcinii exterioare legata de bornele AB ale retelei;

Metoda permite calculul tensiunii la bornele unei sarcini conectate la bornele A,B ale retelei fara a fi nevoie sa se determine curentul.

Algoritmul aplicarii metodei generatorului echivalent de curent (Norton):

a) Pasivizarea retelei (sunt anulate t.e.m. ale surselor din retea cu pastrarea rezistentelor lor interioare);

b) Determinarea rezistentei echivalente interioare a retelei pasivizate, fara sarcina, si apoi a conductantei la mersul in gol;

c) Se calculeaza valoarea curentului de scurtcircuit considerand ca, in reteaua data, latura AB este inlocuita cu o latura de rezistenta nula (un scurtcircuit)

d) Se calculeaza tensiunea la bornele sarcini exterioare cu relatia:

e) Verificarea rezultatelor obtinute.

Aplicatie

Se da reteaua din fig. 4.6 cu ; , avand rezistentele interioare si sarcina . Sa se determine valoarea caderii de tensiune pe sarcina utilizand metoda generatorului echivalent de curent.

   

Fig. 4.6 Fig. a)

Rezolvare:

a) Pasivizarea retelei (fig. a)

b) Determinarea rezistentei echivalente interioare ;

c) Determinarea curentului de scurtcircuit (fig.b)

Fig. b)

d) Se calculeaza tensiunea la bornele AB:

6. Metoda curentilor de ochiuri (ciclici)

Metoda curentilor da ochiuri, numita si metoda curentilor ciclici sau metoda Maxwell, prezinta avantajul ca opereaza cu un numar mai mic de variabile fata de metoda teoremelor lui Kirchhoff si anume cu O variabile (O < L).

Aceasta metoda reduce sistemul de L ecuatii care se poate scrie din teoremele lui Kirchhoff la un sistem de O ecuatii (L-N+1) introducand noi variabile numite curenti ciclici (independenta, de bucla, etc). Acesti curenti de ochiuri circula fictiv pe nu drum, inchis prin ochiuri independente, in sensul atribuit arbitrar ochiului respectiv si ei se noteaza cu .

Marimile variabile in ecuatiile retelei vor fi in acest caz curentii de ochiuri (curentii ciclici) - curenti fictivi (imaginati de Maxwell) atribuiti ochiurilor fundamentale astfel incat curentul real din fiecare latura sa fie egal cu suma algebrica a curentilor ciclici (fictivi) care parcurg latura respectiva:

,     (4.24)

Sumarea se efectueaza pentru toti curentii ochiurilor q carora le apartine latura K. Matematic, relatia (4.24) reprezinta o schimbare liniara de variabila de la L necunoscute (curentii laturilor) la O necunoscute (curentii fictivi atribuiti ochiurilor fundamentale).

Acest lucru este posibil numai in conditiile asigurarii compatibilitatii schimbarii de variabila cu sistemul ecuatiilor lui Kirchhoff. Explicit sistemul de ecuatii obtinut se scrie sub forma:

unde:

este rezistenta proprie a ochiului (p), egala cu suma algebrica a rezistentelor laturilor care alcatuiesc ochiul (P);

este rezistenta de cuplaj dintre ochiurile (p) si (q).

Este pozitiva daca si au acelasi sens prin laturile comune si negativa daca au sensuri contrare.

Daca ochiurile (p) si (q) nu au laturi comune rezistenta de cuplaj este egala cu zero.

este t.e.m. de ochi, egala cu suma algebrica a t.e.m. din laturile care alcatuiesc ochiul (p); t.e.m. intra in suma cu semnul "+" daca sensurile lor coincid cu sensul de parcurs (de referinta) respectiv cu sensurile curentilor de ochiuri si cu semnul "-" in caz contrar.

Prin rezolvarea sistemului de ecuatii (4.25) se obtin curentii . Utilizand relatia (4.24) se calculeaza curentii reali din laturi.

Algoritmul aplicarii metodei curentilor de ochiuri (ciclici).

a) Determinarea ochiurilor fundamentale si alegerea arbitrara a sensurilor curentilor ciclici ale acestora, sensuri care reprezinta in acelasi timp si sensurile de referinta.

b) Calculul rezistentelor proprii si rezistentelor de cuplaj ale ochiurilor precum si al t.e.m. de ochiuri;

c) Se exprima in functie de curentii de ochiuri, curentii din laturi;

d) Se scrie sistemul de ecuatii si prin rezolvare se determina curentii de ochiuri;

e) Calculul curentilor reali din laturi prin insumarea algebrica a tuturor curentilor de ochiuri care trec prin latura analizata;

f) Verificarea rezultatelor obtinute.

Aplicatie

Se da reteaua din fig. 4.6 cu , avand rezistentele interioare si sarcina . Sa se determine curentii din retea utilizand metoda curentilor de ochiuri.

Fig. 4.6.

Rezolvare:

a) Determinarea ochiurilor fundamentale si alegerea arbitrata a sensului curentilor ciclici:

Alegem ochiurile si si curentii ciclici si cu sensurile indicate in schema.

b) Calculul rezistentelor proprii si al rezistentelor de cuplaj, precum si al t.e.m. de ochiuri:

Pentru ochiul ;

Pentru ochiul ;

c) Se exprima curentii din laturi in functie de curentii de ochiuri:

d) Scriem sistemul de ecuatii:

Inlocuim valorile numerice:

e) calculul curentilor reali din laturi:

; ;

7. Metoda potentialelor de noduri.

Metoda potentialelor de noduri presupune operarea cu (N-1) variabile, mai putine fata de cele utilizate in metoda curentilor ciclici si fata de metoda teoremelor lui Kirchhoff:

(N-1) < O < L

Noile variabile sunt potentialele nodurilor independente sau diferentele de potential dintre fiecare nod al retelei si un nod (al N-lea) ales, arbitrar, nod de referinta considerat, in mod obisnuit, legat la pamant

In electronica se intalnesc frecvent circuite in care exista o borna comuna pusa la ,,pamant" respectiv la potential zero si fata de care se exprima potentialele de noduri (tensiunile de noduri).

Cunoscand potentialele nodurilor unei retele, respectiv diferenta de potential electric intre noduri (tensiunile), cu ajutorul legii conductiei electrice se pot determina curentii din laturile retelei.

Metoda potentialelor de noduri consta in calculul acestor potentiale si apoi a curentilor din laturi.

Sistemul de ecuatii cu care se determina potentialele de noduri se obtine prin aplicarea formei duale a teoremelor lui Kirchhoff :

In sistemul de ecuatii (4.26):

necunoscutele sunt potentialele de noduri .

conductantele cu indici dubli se numesc conductante proprii nodului K. Se calculeaza cu relatia si este egala cu suma aritmetica a conductantelor laturilor care concura in nodul .

conductantele de tipul se numesc conductante de cuplaj intre nodurile J si K. Ele satisfac conditia de reciprocitate si reprezinta suma, cu semn schimbat, a conductantelor laturilor care leaga nodurile J si K;

termenii din membrul drept al sistemului reprezinta suma curentilor de scurtcircuit injectati da catre sursele din laturile active in noduri.

Curentii de scurtcircuit ai unei laturi active se calculeaza cu relatia de forma: .

Curentul de scurtcircuit al unui nod de retea, la care sunt conectate mai multe laturi active se calculeaza cu relatia:

unde: b este nod de retea iar k este latura legata la nodul (b).

Curentul de scurtcircuit al unui nod de retea este dat de suma algebrica a curentilor de scurtcircuit ai laturilor active, legate la nodul (b), luata cu semn schimbat. In suma algebrica curentii de scurtcircuit ai laturilor active intra cu semnul plus daca ies din nodul considerat (b) si semnul minus daca intra in nod.

Algoritmul aplicarii metodei potentialelor de noduri

Se alege nodul de referinta (N);

Se scriu ecuatiile potentialelor pentru celelalte (N-1) noduri;

Se calculeaza conductantele laturilor ;

Se calculeaza conductantele proprii nodului si conductantele de cuplaj

este data de suma aritmetica a conductantelor laturilor legate la nodul (k);

este data de suma conductantelor laturilor care leaga nodurile J si K, suma fiind luata cu semnul minus;

Se calculeaza curentii de scurtcircuit:

curentii de scurtcircuit ai laturilor ;

curentii de scurtcircuit ai nodurilor de retea

Se rezolva sistemul de ecuatii;

Se calculeaza tensiunile la bornele laturilor

Se calculeaza curentii din laturi pornind de la ecuatiile laturilor:

ecuatia laturii receptoare:

ecuatia laturii generatoare:

Se verifica rezultatele obtinute.

Aplicatie

Sa se calculeze curentii din circuitul de mai jos prin metoda potentialelor de noduri, fiind cunoscute: ; ; ; ; ; ; .

Fig. 4.14

Rezolvare:

1) Se alege nodul de referinta: nodul (3);

2) Se scriu ecuatiile potentialelor pentru nodurile (1) si (2):

3) Se calculeaza conductantele laturilor: ; ;

; ; ;

4) Se calculeaza conductantele proprii si de cuplaj pentru nodurile (1) si (2);

5) Se calculeaza curentii de scurtcircuit ai nodurilor:

- Mai intai calculam curentii de scurtcircuit ai laturilor active legate la nod; apoi curentul de scurtcircuit al nodului.

Pentru nodul (1) (curentul intra in nod)

In nodul (1) este o singura latura activa, deci

Pentru nodul (2), unde exista o singura latura activa:

6) Scriem sistemul de ecuatii cu valori numerice si-l rezolvam:

Prin rezolvare se obtine:

7) Se calculeaza tensiunile la bornele laturilor;

8) Se calculeaza curentii din laturi:

(latura 1 este generatoare)

(Trebuie schimbat sensul curentului I pe schema).

9) Se verifica rezultatele:

Pentru nodul (2):