Analiza starii de deformatie

Dupa cum s-a aratat, gradul de solicitare al unui corp se evidentiaza prin notiunea de tensiune. Tensiunea nu se poate masura direct. Tensiunile se pot determina cunoscand marimea deformatiilor corpului.

Deoarece experimental masurarea deformatiilor se poate face numai pe suprafata exterioara a solidului, studiul starii plane de deformatie intereseaza in mod deosebit.

Se numeste stare de deformatie intr-un punct ansamblul marimilor ce permit caracterizarea distributiei deformatiilor in jurul punctului.

1 Deplasari si rotiri. Deformatii

Concomitent cu starea de tensiune indusa intr-un corp, in interiorul acestuia se produce o distorsionare a dimensiunilor caracterizata prin deplasari si o deformatie a unghiurilor solidului caracterizata prin rotiri (unghiuri de rotire), solidul modificandu-si forma si dimensiunile initiale.

Se considera solidul pozitionat in sistemul de axe Oxyz. In urma solicitarii, punctul M din interiorul lui ajunge in pozitia M', (fig. 1).

Vectorul se numeste deplasarea totala a punctului M si are marimea . Proiectiile sale dupa axele x, y, z sunt u, v, w. La grinzi deplasarile v si w se numesc sageti.

Se pot scrie urmatoarele relatii:

(1)

Asociat punctului M se ia punctul P ce determina segmentul MP, fig. (1); in urma solicitarii acesta ocupa pozitia M'P' rotita relativ fata de pozitia sa initiala cu unghiul j. Rotirea j se masoara in radiani; se reprezinta in planul de rotire sub forma unui arc de cerc sau vectorial . Vectorul rotire are marimea data de valoarea unghiului j si orientarea normala pe planul de rotire. Componentele dupa axele x, y, z sunt rotirile j_x j_y j_z. Prin prisma sistemului de axe folosit, se adopta semnul plus pentru rotirea in senul de inaintare dupa axa a surubului drept..

Fig. 1 Deformarea solidului

In fig. (2) este prezentata rotirea j_y a capatului barei solicitata conform figurii:

Fig. 2 Rotirea j_y a capatului barei

Datorita deplasarilor si rotirilor, corpul se deformeaza. Se considera in interiorul corpului un punct oarecare M pozitionat intr-una din intersectiile muchiilor dintr-un volum elementar. In urma deformatiei, paralelipipedul elementar isi modifica lungimile muchiilor si valoarea unghiurilor dintre fetele paralelipipedului. Astfel, segmentul MP, fig. (3), de lungime infinit mica (diagonala paralelipipedului) ds are o variatie a lungimii D(ds) sub actiunea sistemului de forte, numita si lungire (scurtare), lungimea segmentului devenind ds'. Rezulta ca:

ds' = ds + D(ds).

Fig. 3 Variatia lungimii elementare ds

Se defineste deformatia specifica medie e_m, ce exprima in fond intensitatea deformatiei liniare, ca raportul dintre variatia lungimii si lungimea initiala, sub forma:

. (2)

La limita obtinem deformatia specifica e

. (3)

Se observa ca e este o marime adimensionala, deoarece reprezinta o schimbare a lungimii raportata la lungimea initiala. In domeniul determinarii experimentale a tensiunilor, este avantajos ca e sa se exprime in mm/m; astfel se reda raportul lungime/lungime. Daca D(ds) > 0 deformatia se numeste lungire (e - lungire specifica), iar daca D(ds) < 0 deformatia se numeste scurtare (e - scurtare specifica).

Proiectiile lungimii elementare ds fiind dx, dy, dz, modificarea marimilor lor va caracteriza deformatiile liniare din jurul punctului M dupa cele trei axe, sub forma:

;

; (4)

.

Experimental la o bara de sectiune dreptunghiulara s-a observat ca, in cazul solicitarii dupa directia x, fig. (4), nu se modifica unghiurile muchiilor barei. Aceasta se explica prin faptul ca axa x este axa de simetrie si axa principala pentru tensiunile normale; axa pe care tensiunile tangentiale fiind nule, nu se produc lunecari. Are loc o micsorare a sectiunii transversale. Astfel, pentru dimensiunile initiale ale sectiunii transversale b si h care, dupa lungire devin b' si h', contractia transversala va fi:

Dh = h' - h;

Db = b' - b.

iar contractia transversala specifica :

. (5)

Experimental s-a constatat ca intre contractia transversala specifica si lungirea specifica exista o relatie de proportionalitate de forma:

, (6)

unde (niu) poarta denumirea de coeficient de contractie transversala (coeficientul lui Poisson) (tabelul 1); semnul minus arata ca pe celelalte doua directii muchiile se scurteaza.

Daca bara de lungime l in loc sa se intinda se comprima, atunci deformarea are loc in sensul scurtarii ei, iar in sectiunea transversala are loc o umflare a acesteia; relatia (6) isi pastreaza valabilitatea.

Fig. 4 Contractia transversala

In tabelul (1) sunt date valorile coeficientului de contractie transversala n pentru diferite materiale.

Tabelul 1 Coeficientul lui Poisson pentru diferite materiale

Pentru caracterizarea deformatiilor unghiulare se considera in interiorul corpului un unghi drept, fig. (5), cu laturile avand lungimi elementare care, in urma solicitarii, capata valoarea .

Fig. 5 Deformatii unghiulare

La limita diferenta dintre unghiuri are valoarea:

, (7)

unde (gama) reprezinta lunecarea specifica (s-a ales ca unitate de masura de referinta unghiul drept); se masoara in radiani si este considerata pozitiva cand unghiul drept se micsoreaza. Prin lunecarea specifica g, care are valori foarte mici exprimate in radiani, se reflecta si deplasarea capetelor laturilor unghiului studiat in baza ipotezei deformatiilor mici, fig. (6).

In consecinta, intr-o solicitare, unghiurile unui solid definit in sistemul ortogonal Mxyz se vor modifica cu valorile , , . Primul indice arata directia laturii studiate din planul, iar al doilea indice, defineste directia tangentei la traiectoria miscarii laturii studiate . Pentru cazul studiat, fig. (5), se poate scrie:

In fig. (6) este prezentata deformatia unghiulara a cubului elementar intr-un singur plan yz.

Fig. 6 Deformatia unghiulara a cubului elementar

2 Relatii intre deplasari si deformatii

In studiul starii de deformatii din jurul unui punct este necesar sa se stabileasca prin relatii legatura intre deplasari si deformatii.

Se considera un punct M dintr-un corp, care in urma solicitarii ajunge in pozitia M' (). Componentele deplasarii u, v, w depind de pozitia punctului, fiind functii continue ale mediului continuu: ; ; , fig. (7). Se poate scrie:

Fig. 7 Componentele deplasarii punctului M

In vecinatatea punctului M se considera punctele B, C, D la distantele dx, dy, dz. Componentele deplasarilor vecinatatilor punctului M, deoarece sunt functii continue, se pot descompune in serii Taylor de la care se considera numai derivata de ordinul intai.

Rezulta:

punctul B orientat dupa axa x ajunge in pozitia B' si se deplaseaza cu ; ; ;

punctul C orientat dupa axa y ajunge in pozitia C' si se deplaseaza cu ; ; ;

punctul D orientat dupa axa z ajunge in pozitia D' si se deplaseaza cu ; ; .

Intr-o reprezentare matriciala, variatia deplasarilor exprimate pentru cele trei puncte B, C, D considerate are forma:

(7)

Primul termen din relatia (7) este o matrice simetrica si reprezinta matricea deformatiilor ce se studiaza in cadrul acestui capitol, iar matricea antisimetrica reprezinta matricea deplasarilor rigide (rototranslatiilor).

In cazul proiectiei deplasarilor analizate, de exemplu in planul zx, rezulta situatia din fig. (8).

Fig. 8 Proiectia deplasarilor in planul zx

Se poate calcula variatia D a lungimii elementare dx, astfel:

(8)

Rezulta deformatia specifica sub forma:

. (9)

Rezulta ca deformatiile specifice sunt functie de deplasarile de pe directiile acestora. Pentru cele trei axe ale sistemului ortogonal relatiile sunt:

; ; (10)

Lunecarea specifica ce exprima variatia marimii unghiului drept are valoarea:

. (11)

Deoarece unghiurile mentionate au valori foarte mici, se poate scrie:

(12)

(13)

Avand valori foarte mici in raport cu unitatea, termenii si de la numitor s-au neglijat. Introducand relatiile (12) si (13) in relatia (11) rezulta o relatie care exprima legatura intre deformatia unghiulara si deplasarea punctelor ce o definesc:

.

Pe ansamblul planelor sistemului ortogonal, relatiile sunt:

; ; . (14)

Tensorul deformatiilor. Deformatii principale;
directii principale

Ansamblul deformatiilor liniare si unghiulare definite de trei plane ortogonale cu originea in M sunt suficiente pentru a determina starea de deformatie.

La fel ca si starea de tensiune, aceasta este determinata de sase componente distincte , , , , , . Avand in vedere relatiile (10) si (14) si tinand seama de matricea deformatiilor din relatia (7), rezulta tensorul deformatiilor specifice ce caracterizeaza complet starea de deformatie din jurul unui punct:

(15)

Totodata, din studiul deformatiei unghiulare a paralelipipedului elementar (deformatie prezentata in fig. 6 pentru planul yz) si prin prisma relatiilor (III.13 si 15), se observa ca tensiunilor tangentiale le sunt asimilate lunecarile specifice .

Avand in vedere ca, la randul lor, deformatiile specifice sunt generate de tensiunea normala , inseamna ca exista o corespondenta intre tensiuni si deformatii. In baza celor prezentate, se pot face substitutiile si ; pentru trecerea de la starea de tensiune la starea de deformatie.

Analiza starii de deformatie intr-un punct arata ca proprietatile acesteia sunt analoage cu proprietatile starii de tensiune. Astfel, relatia (III.12) se transcrie, in cazul deformatiilor, sub forma:

(16)

La fel ca la starea de tensiune, din ansamblul de axe ce trec prin punctul studiat, exista trei axe ortogonale ce nu se distorsioneaza, adica lunecarile specifice sunt nule , corespunzator lui . Paralelipipedul elementar din jurul punctului M sufera numai deformatii liniare care se numesc principale, iar directiile acestora sunt directii principale. Planele ortogonale corespondente acestor directii se numesc plane principale. Din studiul tensorului deformatiilor , la fel ca si in cazul tensorului tensiunilor , rezulta o ecuatie de gradul trei sub forma:

. (17)

Radacinile , , sunt determinate de starea de deformatie si nu depind de sistemul de axe adoptat. Chiar daca axele se rotesc, invariantii starii de deformatie J₁, J₂, J₃, pentru o solicitare data, au o aceeasi valoare. Expresia acestora este similara cu a invariantilor I₁, I₂, I₃ la care se face substitutia mentionata anterior. Se obtine:

(18)

(19)

(20)

unde este determinantul matricii asociate tensorului deformatiilor; scris pentru directiile principale 1, 2, 3 are forma:

(21)

Pe directiile principale relatia (16) se scrie:

(22)

Ca si in cazul starii de tensiune, starea de deformatie poate fi spatiala, plana sau liniara in raport cu valoarea invariantilor.

Odata determinate radacinile si inlocuite in sistemul de ecuatii (III.24) in care s-au facut substitutiile, se poate determina orientarea directiilor principale l, m, n. Sistemul de ecuatii pentru calculul lui l, m, n este urmatorul:

(23)

La corpurile omogene si izotrope, directiile tensiunilor principale si ale deformatiilor principale coincid. Lunecarile maxime se dezvolta pe planele bisectoare ale planelor principale de deformatie si au valorile: g e e g e e g e e

Dimensiunile liniare ale paralelipipedului elementar dx, dy, dz variaza in urma deformarii capatand valorile , , . Variatia volumului elementar este:

(24)

Neglijand termenii infinit mici de ordin superior rezulta:

(25)

Variatia specifica a volumului are valoarea:

(26)

Se observa ca nu variaza cu modificarea sistemului de axe, fiind un invariant (J₁) al starii de deformatie.

Notand cu intensitatea medie a deformatiilor specifice principale, adica

, (27)

tensorul deformatiilor specifice scris pe directiile principale se poate descompune in doi tensori de forma:

, (28)

unde:

, (29)

este numit tensor sferic al deformatiilor specifice, iar:

(30)

este numit tensor deviator al deformatiilor specifice.

Notand , si , si facand substitutie in relatia (26), variatia specifica a volumului este:

, (31)

fapt ce conduce la concluzia ca tensorul deviator corespunde deformatiilor specifice ce reflecta numai modificarea formei corpului.

4 Starea plana de deformatie

Studiul starii plane se asimileaza cu studiul unei placi asezata intre doua bacuri rigide, solicitarea facandu-se in planul median. Avand in vedere forma placii si pozitia uzuala de solicitare, in determinarea relatiilor de calcul se considera planul orizontal xy. In acest caz starea plana se dezvolta cand deformatiile sunt impiedicate dupa axa z, , astfel ca avem .

Se considera un punct M care, in urma solicitarii, ajunge in pozitia M' (u, v), fig. (9).

Fig. 9 Componentele deplasarii punctului M

In vecinatatea acestuia, la distantele dx si dy, se iau punctele B si C. Punctul P defineste marimea diagonalei ds din dreptunghiul MBCP format, diagonala inclinata cu unghiul a fata de axa x. Dreptunghiul defineste o fata a paralelipipedului de grosime constanta studiat. Deplasarile si deformatiile punctului M si a vecinatatilor acestuia sunt reprezentate in fig. (10).

Fig. 10 Proiectia deplasarilor in planul xy

Se observa ca marimea initiala a diagonalei are valoarea:

(32)

Dupa deformare, diagonala capata valoarea:

(33)

Dupa dezvoltarea parantezelor si neglijarea termenilor infinit mici de ordin superior si impartirea cu , rezulta lungirea specifica a diagonalei:

(34)

Avand in vedere relatiile dintre deplasari si deformatii, dupa inlocuire expresia (34) capata forma:

. (35)

Relatia (35) stabileste marimea deformatiei sub un unghi a fata de axa x (). Pentru argumentul 2a relatia capata forma:

(36)

Relatia (36) se poate obtine direct din expresia tensiunii facand substitutia tensiunilor cu deformatiile corespondente. Continuand analogia cu teoria tensiunilor, se poate afirma ca in plan exista doua directii principale in care lungirile au valori extreme si , iar lunecarile din planele ortogonale sunt nule.

(37)

Prin acelasi rationament directiile lungirilor specifice principale se determina cu relatia:

(38)

In cazul unei bare solicitate in planul vertical longitudinal zx, in care unghiul a se defineste in raport cu axa z, relatiile (35, 36, 37, 38) capata forma:

. (39)

(40)

(41)

(42)