Caracteristicile unui sistem de automat

Obiectivul unui sistem de control este de a controla iesirea y in functie de intrarea u prin elemente ale sistemului automat. Cateva din caracteristicile esentiale ale sistemelor de reglare sunt descrise in urmatoarele subcapitole.

Stabilitatea

Pentru ca un sistem sa poata fi utilizat, trebuie sa fie stabil. Un sistem liniar invariant in timp este stabil daca fiecare variatie a intrarii produce o variatie a iesirii. Aceasta caracteristica se numeste stabilitate. Stabilitatea unui sistem poate fi privita din doua puncte de vedere: stabilitate IMEM si stabilitate interna. Toate abordarile din acest capitol vor fi considerate numai din punctul de vedere al stabilitatii IMEM.

Un sistem este stabil IMEM daca si numai daca polii sistemului in bucla inchisa sunt plasati in semiplanul complex stang. De aceea, o conditie necesara si suficienta ca un sistem de reglare sa fie stabil IMEM este ca toti polii functiei de transfer a sistemului sa aiba partea reala negativa.

Stabilitatea unui sistem liniar invariant in timp poate fi verificata prin utilizarea functiei impulse (Control System Toolbox) pentru a obtine raspunsul la impuls al sistemului. Sistemul este stabil daca raspunsul sau la impuls tinde la zero cand timpul tinde la infinit. O alta modalitate de a determina stabilitatea unui sistem este prin simulare.

Functia lsim poate fi utilizata pentru a observa iesirea pentru intrari tipice. Aceasta este utilizata in particular pentru sisteme neliniare.

Functia MATLAB roots poate fi utilizata pentru a obtine radacinile ecuatiei caracteristice. In teotia clasica a controlului, cateva tehnici au fost dezvoltate pentru analiza stabilitatii. Una din aceste tehnici este criteriul Routh-Hurwitz. In acest capitol se va prezenta utilizarea unui program simplu bazat pe criteriul Routh-Hurwitz. Se va considera ca gradul de stabilitate al unui sistem ofera informatii despre comportarea lui. Se pune intrebarea cand un sistem este stabil si cand este relativ stabil. Uzual, stabilitatea relativa este corelata cu viteza raspunsului si cu suprareglajul. Alte metode des utilizate pentru studiul stabilitatii sunt: diagramele Bode, locul radacinilor, criteriul Nyquist si criteriul Liapunov.

Criteriul de stabilitate Routh-Hurwitz

Criteriul Routh-Hurwitz furnizeaza o metoda rapida pentru determinarea stabilitatii absolute care poate fi aplicata unei ecuatii caracteristice de ordin n, de forma:

a_nsⁿ +a_n-1s^n-1 + . . .+a₁s+a₀ =0

Criteriul este aplicat prin utilizarea schemei Routh definita ca:

sⁿ a_n a_n-2 a_n-4

s^n-1 a_n-1 a_n-3 a_n-5

s^n-2 b₁ b₂ b₃

s^n-3 c₁ c₂ c₃

..

a_n , a_n-1 , . . . ,a₀ fiind coeficientii ecuatiei caracteristice si:

Calculele sunt continuate pentru fiecare rand pana cand raman doar elemente zero. O conditie necesara si suficienta pentru ca toate radacinile ecuatiei caracteristice sa fie situate in semiplanul complex stang este ca elementele primei coloane a schemei Routh sa aiba acelasi semn. Daca sunt schimbari de semn la elementele primei coloane, numarul schimbarilor de semn indica numarul radacinilor cu parte reala pozitiva.

O functie numita routh(a) construieste schema Routh si determina radacinile cu parte reala pozitiva. a este un vector linie ce contine coeficientii ecuatiei caracteristice.

Exemplu. Sa se determine daca sistemul avand ecuatia caracteristica:

s⁴+10s³+35s²+50s+24=0

este stabil sau nu.

a=[1 10 35 50 24];

routh(a)

Routh-Hurwitz Array

50 0

24 0

System is stable

Exemplu. Sa se aplice criteriul lui Routh pentru urmatoarea ecuatie caracteristica si sa se determine cate radacini sunt plasate in semiplanul complex drept.

s⁴+4s³-7s²-22s+24=0

a=[ 1 4 -7 -22 24 ]

routh(a)

Routh/Hurwitz Array

1.000 -7.000 24.000

4.000 -22.000 0

24.000 0

0 0

0 0

There are 2 roots in the right half s-plane.

Cazuri speciale

Cazul 1: Daca primul element dintr-un rand este 0 , atunci este inlocuit printr-un numar pozitiv foarte mic e si calculul tabloului este complet.

Exemplu. Sa se utilizeze criteriul Routh-Hurwitz pentru a determina numarul radacinilor ecuatiei caracteristice:

s⁴-5s²+20s+24=0

a=[1 0 -5 20 24];

routh(a)

Zero in the first column is replaced by 0.00001

Routh-Hurwitz Array

1.0000e+000 -5.0000e+000 2.4000e+001

1.0000e-005 2.0000e+001 0

-2.0000e+006 2.4000e+001 0

2.0000e+001 0 0

2.4000e+001 0 0

There are 2 roots in the right half s-plane

Cazul 2: Daca toate elementele unui rand sunt zero, sistemul are poli pe axa imaginara ( perechi de radacini complex conjugate simetrice fata de originea planului complex ), sau perechi de radacini reale cu semne opuse. In acest caz, o ecuatie auxiliara este formata din randul precedent. Tot randul zero este apoi inlocuit cu coeficientii obtinuti prin diferentierea ecuatiei auxiliare.

Exemplu. Sa se construiasca schema lui Routh pentru sistemul automat a carui ecuatie caracteristica este data de:

a=[1 10 36 60 59 50 24];

routh(a)

Elements of row 6 are all zero.

They are replaced by the auxiliary Eq. coefficients

Routh-Hurwitz Array

36 59 24

0 0 0

0 0 0

Characteristic Equation include roots on jw-axis or

pairs of real or complex roots symmetrical about jw-axis

Sensibilitatea

Unul din obiectivele utilizarii reactiei intr-un sistem de control este de a reduce sensibilitatea sistemului la variatiile parametrilor si la zgomot. Un sistem de control bun trebuie sa fie insensibil la modificarile parametrilor sau la perturbatiile externe. Sensibilitatea unui sistem poate fi masurata ca raportul intre procentul schimbarii functiei de transfer si procentul schimbarii valorii unui parametru. De exemplu, sensibilitatea functiei de transfer T(s) la variatia parametrului b este definita ca:

Cu Db tinzand la 0 , sensibilitatea lui T la variatiile lui b este:

Sensibilitatea statica este valoarea lui S pentru s 0. Sensibilitatea dinamica este calculata uzual prin inlocuirea lui s prin jw si reprezentand S ca functie de frecventa w

Marimea lui S jw masoara erorile sistemului. Deci, se impune minimizarea lui. Aceasta este relativ usor de facut la o frecventa scazuta datorita largimii de banda scazute a echipamentului fizic. Orice sistem fizic are o latime de banda finita. De aceea functia de transfer a unui sistem de control real tinde totdeauna la 0, si sensibilitatea sa tinde la unitate o data cu cresterea lui w (S(jw 1 daca w ). Aceasta conditie conduce la erori mari si nu pot fi rejectate perturbatiile.

Exemplu. Se considera sistemul reprezentat prin schema bloc functionala din figura 4.1.

unde b = 4 si h = 0.5.

1. Sa se determine sensibilitatea lui G(s) in raport cu b. Sa se traseze modulul 'functiei de sensibilitate' in functie de pulsatie pentru K = 2 si K = 0.5.

2. Sa se determine sensibilitatea lui G(s) in raport cu h. Sa se traseze modulul 'functiei de sensibilitate' in functie de pulsatie pentru K = 2 si K = 0.5.

Fig. 4.1. Schema bloc functionala a sistemului.

Functia de transfer a sistemului este data de

G(s) = Kb/(s+1+Kbh)

Pentru b = 4 si h = 0.5 largimea de banda a sistemului este 1+2K. Sensibilitatile functiei de transfer G(s) in raport cu b si h, evaluate pentru valorile anterioare sunt:

Urmatorul program calculeaza si afiseaza modulele functiilor calculate anterior:

clg

k1=2;

k2=0.5;

num=[1 1];

den1=[1 1+2*k1];

den2=[1 1+2*k2];

w=0:.02:15;

SGb1 = abs(freqs(num,den1,w));

SGb2 = abs(freqs(num,den2,w));

y1=0:.02:.721; wB1=5;

x1=wB1*ones(1,length(y1));

y2=0:.02:.7905; wB1=2;

x2=wB1*ones(1,length(y2));

subplot(211),plot(w,SGb1, w, SGb2, x1, y1, x2,y2)

text(2.1,.06,'wB=2'),text(5.1,.06,'wB=5'),text(11,-.2,'w-Radian/s')

text(3,.77,'K=0.5'),text(3,.44,'K=2')

title('Sensibilitatea lui G in raport cu b')

num=-2;

SGb1 = abs(freqs(num,den1,w));

SGb2 = abs(freqs(num,den2,w));

subplot(212),plot(w,SGb1, w, SGb2),

text(11,-.2,'w-Radian/s'),text(2.7,.20,'K=0.5'),text(2.7,.6,'K=2')

title(' Sensibilitatea lui G in raport cu h')

subplot(111)

Fig. 4.2. Sensibilitatea sistemului in raport cu b si h.

Dupa cum se poate observa din figura, sensibilitatea sistemului in raport cu b descreste odata cu cresterea factorului de amplificare al buclei deschise, in timp ce sensibilitatea in raport cu h creste odata cu cresterea lui K.

Erori stationare

Pe langa conditia de stabilitate, un sistem automat trebuie sa indeplineasca anumite performante cand referinta sa se schimba, sau cand este supus unei actiuni perturbatoare externe. Performantele unui sistem pot fi privite nu numai din punctul de vedere al raspunsului tranzitoriu, ci si din punctul de vedere al erorilor stationare. Eroarea stationara este eroarea sistemului la valoarea timpului infinita. Un castig mare corelat cu o sensibilitate redusa va duce la reducerea erorii stationare.

Eroarea stationara pentru un sistem automat este clasificata in concordanta cu raspunsul la o intrare polinomiala. Un sistem poate sa nu aiba eroare stationara la o intrare treapta, dar acelasi sistem poate sa aiba o eroare stationara nenula la o intrare de tip rampa. Aceasta depinde de tipul functiei de transfer in bucla deschisa.

Se considera sistemul prezentat in figura 4.3.

Functia de transfer in bucla inchisa este :

Fig. 4.3. Schema unui sistem cu reactie neunitara.

Eroarea sistemului in bucla inchisa este:

Utilizand teorema valorii finale, vom avea

Pentru intari polinomiale, ca treapta, rampa si de tip parabola eroarea stationara din ecuatia de mai sus va fi :

Intrare treapta :

Intrarea rampa :

Intrare parabolica :

In scopul definirii tipului sistemului functia de transfer generala in bucla deschisa este scrisa sub forma urmatoare :

Functie de numarul de integratoare j pe care le contine sistemul in bucla deschisa se pot face aprecieri asupra erorilor stationare ale sistemului in bucla deschisa.

Erorile stationare pentru sisteme de tip cu j = 0, 1 si 2 sunt prezentate in tabelul urmator:

Valorile K_p, K_v si K_a poarta numele de coeficienti generalizati ai erorii. ( p, v si a provin de la pozitie, viteza si acceleratie ).

Functiile errorzp(z,p,k) si errortf(num,den) permit calculul erorilor stationare la intrari tipice, cum ar fi treapta, rampa si de tip parabola ( prima este utilizata atunci cand sistemul este dat sub forma unei factorizate cu z = zerouri, p = poli, k = factor de amplificare, iar a doua atunci cand sistemul este dat sub forma unei functii de transfer nefactorizate ). Daca gradul numaratorului m este mai mic decat gradul numitorului n, atunci sunt n-m zerouri la infinit si vectorul z trebuie completat cu inf pana la o dimensiune egala cu cea a vectorului polilor.

Exemplu. Sa se determine erorile stationare de pozitie, de viteza si de acceleratie, pentru sistemul avand functia de transfer de forma:

k=10;

z=[-4; inf; inf; inf];

p=[0; -1; -2; -5];

errorzp(z,p,k)

System type is 1

Error Constants:

Kp Kv Ka

Inf 4 0

Steady-state Errors:

Step Ramp Parabolic

0 0.2500 Inf

Exemplu. Sa se determine erorile stationare de pozitie, de viteza si de acceleratie, pentru sistemul avand functia de transfer de forma:

num=10;

den=[1 14 50];

errortf(num, den)

System type is 0

Error Constants:

Kp Kv Ka

Steady-state Errors:

Step Ramp Parabolic

0.8333 Inf Inf