Compunerea fortelor concurente

In varful O al unui dreptunghi de laturi a, 2a sunt aplicate cinci forte concurente ale caror module sunt proportionale (coeficient) cu lungimile segmentelor pe care actioneaza. Sa se determine rezultanta sistemului de forte si ecuatia suportului sau. Punctele M si N sunt considerate la mijlocul laturilor respective. Caz particular: , a = 2 (fig. 1.1).

Daca axele Ox si Oy sunt orientate dupa laturile dreptunghiului, componentele rezultantei sunt

X = = 2 k₀ a + k₀ a k₀ a= 7 k₀ a.

Y = = k₀a k₀a + k₀a = k₀a.

Din expresia vectoriala k₀a deducem modulul R =k₀a si ecuatia suportului rezultantei y = x, z = 0 x, z = 0.

In cazul particular: k₀ = , a = 2, se obtine X = 2, Y = 1, , R = .

Patru forte concurente avand marimile F₁ = P, F₂ = F₃ = 2P, F₄ = 4P sunt situate in acelasi plan (fig. 1.2). Sa se determine:

a) o forta concurenta cu cele patru forte astfel incat rezultanta lor sa fie nula;

b) alte doua forte , care sa fie concurente cu cele patru forte si sa aiba directiile fata de orizontala date de unghiurile = 45 , = 135 , astfel ca sistemul sa se reduca la .

R. a) Alegand sistemul de axe, vom exprima mai intai proiectiile rezultantei fortelor concurente

X == 2P+2P4P+ X₅ = P + X₅

Y == P + 2P2PP+Y₅ = P + Y₅ ,

b) Procedand asemanator, vom obtine in acest caz

X = P + cos 45 cos 45

Y = P + sin 45 +sin 45

Vectorul rezultantei

.

va fi identic cu vectorul impus; rezulta conditiile

P = P + cos 45 cos 45

P = P + sin 45 + sin 45

din care se deduce

= P, = P.

Intr-un cerc de raza a actioneaza fortele concurente, , , cu intensitati numeric egale cu segmentele pe care sunt aplicate. Sa se determine rezultanta lor (fig. 1.3).

intensitatea R = si ecuatia suportului ei: y = x, z = 0, .

In varful O al piramidei OABC actioneaza fortele concurente , , , , de intensitati proportionale cu laturile pe care sunt aplicate, la care se adauga o forta ce coincide cu proiectia vectoruluiin planul orizontal. Cunoscand OB = AB = BC = a, AM = MC si coeficientul k_0, sa se determine rezultanta sistemului de forte (fig. 1.4). Aplicatie:.

R. Alegand reperul ortogonal Oxyz, vom putea determina proiectiile

X == F₃+ 2 F₅,

Y == F₁+ 2 F₅,

Z == F₁+ F₂ + F₃+ F₄,

Dupa substituirea marimilor acestor forte, se obtin componentele

X = 2 k₀a, Y = 2 k₀a, Z = 4 k₀a,

expresia analitica

= 2 k₀ a

si modulul rezultantei

R == 2 k₀ a.

Pentru scrierea ecuatiei suportului rezultantei, vom determina mai intai directia, calculand unghiurile formate cu cele trei axe

cos a =

cos b =

.

Ecuatia suportului are forma generala

,

in care vom introduce cos a, cos b, cos  si x₀ = y₀ = z₀ = 0. In final, se obtine in planul bisector ecuatia unei drepte inclinate fata de Oz cu unghiul

 = arc cos, .

Pentru cazul particular, obtinem: = 2 , R = .

Sa se calculeze rezultanta fortelor concurente ale caror module sunt = 2P, = = P, = 3P, = P (fig. 1.5). Fortele si actioneaza in planul xOy, forta in planul yOz iar forta in planul xOz.

R. Proiectiile rezultantei pe axe vor fi

X == 2P+ P+ P = P

si directia data de urmatoarele cosinusuri directoare

cos

cos

.

Ecuatia suportului rezultantei va fi:

.

Prin varful A al unui paralelipiped trec cinci forte concurente ,, , , de module = 4P, = P, = 3P, = 2P, = P si de directii cunoscute. Sa se determine rezultanta fortelor si punctele de intersectie ale suportului sau cu fetele paralelipipedului.

Se da: AB = BC = 2a, OC = a (fig. 1.6).

R. Proiectiile rezultanteia sistemului de forte concurente pe axele Ox, Oy, Oz sunt:

Pornind de aici se determina expresia analitica si modulul rezultantei:

,

In continuare vom determina ecuatiile suportului rezultantei

,

in care vom inlocui coordonatele punctului A: x_A = 2a, y_A = 2a, z_A = a si cosinusurile directoare

cos a =

cos b =

cos = ;

rezulta ecuatiile .

Facand z = 0, se obtine punctul de intersectie al dreptei cu planul Oxy: I₁. Asemanator se determina in Oyz si Oxz celelalte doua puncte necesare reprezentarii rezultantei: I₂, I₃.