Convectia fortata in cazul curgerii fluidelor prin interiorul tevilor

1 Analiza stratului limita

In cazul curgerii laminare in interiorul conductelor (fig. 7.38) se disting doua regiuni. Partea de intrare in conducta, in care apare si se dezvolta stratul limita si partea in care curgerea este complet dezvoltata.

Fig. 7.38

Grosimea stratului limita creste progresiv de la valoarea zero, la intrarea in conducta, pana la o valoare egala cu raza conductei. In acel moment, curgerea devine complet dezvoltata pe intreg diametrul conductei. Pentru curgerea laminara, in zona complet dezvoltata viteza are o variatie parabolica pe diametru, cu valoarea maxima pe axa conductei. Partea de la intrarea conductei, , in care apare si se dezvolta stratul limita, se numeste zona de intrare. Modul specific de variatie a profilului vitezei la intrarea in conducta si apoi in lungul acesteia determina aspectul stratului limita termic.

In figura 7.38 este prezentata geometria stratului limita termic pentru o conducta circulara calda; temperatura suprafetei interioare a conductei este mai mare decat temperatura fluidului :

Fig. 7.39

Incepand de la intrarea in conducta se dezvolta stratul limita termic, grosimea acestuia crescand pana ajunge egala cu raza conductei. Din acel loc incepe zona termica complet dezvoltata. Zona termica de intrare se intinde pe o lungime . Aceasta poate fi exprimata astfel

(7.136)

In relatia de mai sus diametrul conductei s-a notat cu D.

Valoarea lungimii zonei termice de intrare difera de lungimea zonei hidraulice de in intrare , care se poate calcula cu relatia

(7.137)

Relatia (7.137) nu este valabila in curgerile turbulente pentru care lungimea hidraulica de intrare este aproape independenta de Reynolds. in prima aproximatie, lungimea zonei hidraulice de intrare se poate determina din relatia urmatoare

(7.138)

Deoarece viteza variaza pe sectiunea conductei, in calculele de schimb de caldura se utilizeaza viteza medie pe sectiune. Daca notam aria sectiunii conductei cu A, debitul masic exprimat functie de valoarea medie a vitezei este

(7.139)

Criteriul Reynolds, exprimat functie de valoare debitului masic, are expresia

(7.140)

Valoarea vitezei medii se defineste astfel

(7.141)

Pentru calculele de schimb de caldura se defineste o temperatura medie pe sectiune T_m. Puterea termica transportata de fluid printr-o sectiune a conductei este

(7.142)

Din relatia (7.142) deducem valoarea medie a temperaturii imtr-o sectiune a conductei

(7.143)

2 Bilantul energetic al curgerii

Deoarece curgerea fluidului prin conducta este separata fata de mediu, Incropera [5] propune efectuarea bilantului energetic pentru determinarea temperaturii medii a fluidului in lungul conductei si legatura intre diferenta de temperatura la capetele conductei si fluxul termic convectiv dintre conducta si mediu.

Se considera un debit constant de fluid . energia transferata pe directie axiala prin conductie, impreuna cu energia cinetica si potentiala a fluidului, sunt neglijabile in raport cu energia transferata prin convectie. In figura 7.40 este prezenta schema volumului de control pentru bilantul energetic:

Fig. 7.40

(7.144)

(7.145)

(7.146)

Ecuatia diferentiala (7.146) poate fi integrata analitic in doua situatii: daca se considera fluxul termic conductiv constant sau daca se considera temperatura suprafetei peretelui constanta.

a)      Flux termic constant. In aceasta ipoteza, ecuatia (7.146) devine:

(7.147)

Solutia acestei ecuatii, cu conditia la limita , este:

(7.148)

In aceasta ipoteza, variatia temperaturii medii in lungul conductei este liniara.

b) Temperatura suprafetei peretelui conductei este constanta. Pentru integrare, se face schimbarea de variabila , iar ecuatia (7.146) devine

(7.149)

Ecuatia (7.149) este o ecuatie ce permite separarea variabilelor. prin integrare obtinem

(7.150)

(7.153)

In cazul conditiei ce impune temperatura suprafetei peretelui conductei constanta, variatia temperaturii medii a fluidului in lungul conductei este exponentiala.

Caldura schimbata cu mediul pe lungimea conductei determina variatia temperaturii fluidului la capetele conductei, deci putem scrie:

(7.154)

Din relatia (7.151) exprimam produsul , pe care il introducem in (7.154):

(7.155)

La capatul conductei x devine egal cu L.

(7.156)

Deci, caldura totala schimbata de conducta cu mediul, prin convectie, se determina cu formula (7.156), in care s-a notat cu aria laterala a conductei.

In cazul cand schimbul de caldura se efectueaza intre un fluid ce curge prin conducta si alt fluid ce curge peste conducta (fig. 7.41), caldura totala schimbata intre cele doua fluide este

Fig. 7.41

(7.157)

In expresia de mai sus s-a utilizat coeficientul global de schimb de caldura pentru pereti cilindrici, definit de relatia (7.65). Pentru cazul din figura 7.41, expresia temperaturii in lungul conductei (7.157) se modifica, deoarece in locul coeficientului de convectie se introduce coeficientul global de schimb de caldura .

(7.158)

3 Solutii analitice pentru curgerea laminara, complet dezvoltata

Ecuatia energiei, in coordonate cilindrice, este

(7.159)

Folosind aproximatiile stratului limita, prin care componenta vitezei perpendiculara pe axa este nula si derivata componentei u pe directia axei conductei este neglijabila , ecuatia devine:

(7.160)

In ecuatia (7.160) s-a tinut seama de faptul ca pentru miscarea laminara intr-o conducta profilul vitezei este parabolic, dat de relatia:

(7.161)

In ipoteza in care fluxul termic prin suprafata conductei este constant, rezulta ca marimile sunt constante. Separand variabilele si integrand, obtinem solutia

Constantele se determina din conditiile la limita, pentru ca temperatura sa aiba valoare finita la rezulta , iar pentru rezulta

(7.163)

In final, obtinem profilul temperaturii functie de raza conductei pentru curgerea laminara.

(7.164)

Introducand relatiile (7.161) si (7.163) in relatia de calcul a temperaturii medii (7.143), obtinem

(7.165)

Din relatia (7.147) exprimam derivata temperaturii medii, pe care o inlocuim in (7.165), rezultand

(7.166)

(7.167)

Introducand valoarea de mai sus in ecuatia lui Newton pentru convectie obtinem

(7.168)

Relatia (7.168) ne permite obtinerea unui rezultat important pentru cazul curgerii laminare prin conducte, in ipoteza fluxului termic constant pe unitatea de suprafata a conductei. Criteriul lui Nusselt, cu valoarea de mai sus a coeficientului de convectie, este

(7.169)

Deci, intr-un tub de sectiune circulara, prin care curge un fluid in regim laminar si care schimba caldura cu mediul printr-un flux constant pe unitatea de arie laterala, valoarea criteriului lui Nusselt este independenta de valorile criteriilor lui Prandtl sau Reynolds

Un rezultat similar se obtine in cazul cand pe suprafata tubului se impune o temperatura constanta . in acest caz, valoarea criteriului Nusselt este

(7.170)

4 Ecuatii criteriale pentru determinarea coeficientului de convectie

• Curgere laminara complet dezvoltata:

; ; ;

; ; ; (7.172)

• Curgere laminara, zona stratului limita termic,

(7.173)

• Curgere laminara complet dezvoltata, incluzand efectul zonei de intrare

; (7.174)

;

• Curgere turbulenta complet dezvoltata

; ; ; (7.175)

pentru ; pentru ;

;; ; ; (7.176)

Exemplul    E 7.3

Aerul la presiunea de 6 kN/m² si temperatura de 300 C curge cu viteza de 10 m/s peste o placa plana cu lungimea (pe directia curgerii) de 0,5m. Sa se determine fluxul termic pe un 1m din latimea placii, necesar mentinerii temperaturii suprafetei placii la temperatura de 27 C.

Date: Pentru temperatura medie a aerului

la presiunea atm, proprietatile acestuia sunt:

;

Solutie

Variatia vascozitatii cinematice cu presiunea, in conditii izoterme, poate fi exprimata astfel:

Calculam criteriul lui Reynolds . aceasta valoare ne arata ca regimul de curgere peste placa este laminar, din aceasta cauza alegem ecuatia criteriala (7.113) si determinam criteriul Nusselt:

Coeficientul de convectie este

Fluxul termic il determinam din conditia ca temperatura suprafetei sa aiba valoare impusa:

Exemplul    E 7.4

O conducta mm este izolata cu un strat de 18 mm, izolatia cu W/m/K . Ea transporta 23 kg/s titei in regim neizoterm, cu o viteza medie de 1,32 m/s. Titeiul intra in conducta cu temperatura de 70 C. Conducta este plasata in aer la temperatura de 10 , iar viteza vantului se considera 10 m/s. Sa se determine dupa ce lungime temperatura titeiului ajunge la 25 C. Se mai dau: W/m/K . la 47,5 C, proprietatile titeiului sunt:

J/kg/K W/m/K   m²/s  kg/m³

aerul la 10 C are urmatoarele proprietati: m²/s  ; W/m/K 

;

Solutie

Pentru 1m de conducta, coeficientul global de caldura este dat de formula (7.66). cu notatiile din figura, acesta este

Calculam coeficientul de convectie pentru titei considerandu-l la temperatura medie

, deci folosim ecuatia criteriala de regim turbulent (7.173), pentru care mai determinam criteriul Prandtl

Pentru aer determinam coeficientul de convectie:

Se utilizeaza relatia (7.116) cu coeficientii alesi din tabelul T 7.1, corespunzatori valorii lui Reynolds determinata anterior:

W/m²/K

Se determina coeficientul global de schimb de caldura:

Din formula (7.155) definim lungimea conductei, punand conditia ca la capatul conductei temperatura sa fie 25 C. Definim diferentele de temperatura la capete conductei:

Caldura totala pierduta de titei o calculam din variatia de entalpie a titeiului: