| CATEGORII DOCUMENTE |
| Aeronautica | Comunicatii | Electronica electricitate | Merceologie | Tehnica mecanica |
Vom considera pentru inceput un sistem oscilant simplu, alcatuit dintr-un disc plasat pe un arbore cu elasticitate mare, incastrat la un capat, conform celor prezentate la 10.3 (fig. 1).
Pentru determinarea pulsatiei proprii a sistemului, vom aplica
metodologia de rezolvare a ecuatiilor diferentiale aferente comportamentului
arborelui, cunoscute din rezistenta materialelor. Sistemul din figura 1, supus
unui moment de torsiune 
, va genera un moment elastic:
(1)
unde C este rigiditatea sistemului, iar 
unghiul de deformatie.
Ecuatia diferentiala a miscarii libere va fi:
, (2)
sau, echivalent:
(3)
Notand cu:
, (4)
ecuatia diferentiala devine:
|
|
(5)
cu solutia de tipul:
(6)
|
|
Fig. 2 Fig. 1
unde
-elongatia unghiulara a miscarii, 
-amplitudinea miscarii.
Se constata ca 
definit prin relatia
(4) reprezinta pulsatia proprie a
sistemului avut in discutie.
Un sistem mai complex este acela format din doua discuri (fig. 2), corespunzand schemei unui motor cu un cilindru si un volant (fig. 2,a). Arborele echivalent din figura 2,b este liber la capete, spre deosebire de cel anterior.
Deformatiile unghiulare corespunzatoare celor doua discuri sunt 
si 
, iar deformatia totala va fi 
; astfel, ecuatiile de miscare, pentru fiecare disc in parte
vor fi:
, (7)
cu solutiile generale:
. (8)
Aceste solutii verifica sistemul (7), ceea ce conduce la
urmatorul sistem de ecuatii omogene, necunoscutele 
si 
:
(9)
Sistemul admite si solutii diferite de solutia banala daca si numai daca:
de unde rezulta pulsatia proprie a sistemului:
, (10)
prezentata deja in 10.3.
Relatia dintre amplitudini, rezultata din oricare dintre ecuatiile (9) va fi:
(11)
De aici se poate constata ca 
, deci cele doua discuri vibreaza in sensuri opuse, asadari
exista o sectiune a arborelui care nu se roteste. Aceasta sectiune reprezinta
un nod. Presupunand ca amplitudinile diverselor sectiuni variaza liniar cu
lungimea, se obtine variatia grafica din figura 2,c, numita linie elastica.
Se numeste mod de vibratie, variatia deformatiei unghiulare a sectiunilor arborelui echivalent cu lungimea sa. Cazul sistemului cu doi volanti se caracterizeaza printr-un singur mod de vibratie, cu un singur nod.
Un alt caz particular care prezinta interes practic sporit este acela al sistemului compus din trei discuri (fig. 3,a). Sistemul de ecuatii diferentiale ale miscarii, tinand cont de rigiditatile diferite ale portiunilor dintre volanti va fi:
|
|
(12)
cu solutiile generale:
, (13)
care, introduse in sistemul
(12), conduc la un sistem de ecuatii omogen in necunoscutele 
, pentru care conditia de compatibilitate este:
,
care, dezvoltata, conduce la
o ecuatie bipatrata in 
:
(14)
Notand:
, (15)
obtinem:
,
cu solutiile:
, (16)
ceea ce inseamna ca se obtine
o pulsatie proprie de gradul I 
si o alta de gradul II
, carora le corespund doua moduri de vibratie (fig. 3,b si
c). Linia elastica 
are un singur nod 
, iar linia 
doua noduri 
. Relatiile dintre amplitudini vor fi deduse din oricare doua
ecuatii ale sistemului al carui determinant este rezolvat anterior:
(17)
In toate cazurile expuse, dupa determinarea pulsatiei proprii, se poate calcula si frecventa proprie a vibratiei libere a sistemului, cu relatia:
(18)
Generalizand cele prezentate anterior, vom face reducerea
sistemului oscilant real, asa cum am mai spus, la un ansamblu de n discuri cu momente de inertie 
, discuri legate intre ele prin segmente elastice fara masa,
conform figurii 4.
Valoarea deplasarii unghiulare a discului i este 
, rigiditatea tronsonului i
(cuprins intre discurile i si 
) este 
, iar momentul de torsiune aplicat volantului i de catre tronsonul 
va fi 
.
Ecuatia de echilibru a momentelor, pentru discul de ordinul i va fi:
. (19)
Tinand cont de relatia:
, (20)
ecuatia (19) devine:
. (21)
|
|
Fig. 4
Punand, pentru indicele i domeniul de variatie
si speecificand ca
avem 
portiuni elastice
cuprinse intre cele n discuri (deci
tronsoanele de ordin 
, pentru 
si respectiv 
, pentru 
nu exista), putem preciza ca (21) reprezinta, de fapt, sistemul
ecuatiilor de miscare ale tuturor discurilor. Solutiile sistemului sunt de
forma deja mentionata:
. (22)
Ca si in cazurile particulare prezentate anterior, prin
derivarea de doua ori a relatiilor (22) si introducerea in sistemul (21), obtinem
un sistem de n ecuatii omogene cu n necunoscute , sistem a carui conditie de compatibilitate da o ecuatie de
gradul 2n in necunoscuta . Radacina dubla 
nu prezinta interes,
corespunzand sistemului rigid. Raman 
radacini distincte,
dintre care se retin numai cele 
pozitive. Pentru
determinarea pulsatiilor proprii ale sistemului cu n discuri 
s-au dezvoltat mai
multe metode, cea mai frecvent utilizata fiind metoda Holzer.
Metoda utilizeaza doua relatii de baza; prima este (19) scrisa tinand cont de (22):
, (23)
sub forma:
si a doua dedusa din (20)
pentru tronsonul urmator 
:
Ultimele doua relatii, scrise pentru amplitudini, constituie un sistem:
, (24)
unde amplitudinea momentului
de torsiune s-a notat cu 
.
Daca valorile si 
sunt alese astfel
incat sa satisfaca conditiile la limita in extremitatea stanga a sistemului,
ecuatiile (24) servesc la determinarea valorilor si corespunzatoare unei
valori date ale pulsatiei .
Valoarea aleasa pentru va fi o pulsatie
proprie daca conditiile la limita vor fi verificate in extremitatea dreapta. De
exemplu, calculul poate incepe cu valorile:
(25)
si se incheie prin
determinarea momentului rezidual 
. Pulsatiile proprii sunt valorile lui pentru care se obtine:
(26)
Cele n pulsatii
proprii (dintre care una este nula) pot fi obtinute determinand in functie de si cautand prin
interpolare pulsatiile pentru care 
(fig. 5).
Modul de vibratie de ordinul j
se obtine calculand,
pentru fiecare disc, amplitudinea deplasarii unghiulare corespunzatoare pulsatiei
proprii de ordinul j. Deci:
Prezentam, in continuare, algoritmul de calcul pe baza principiului metodei, expus anterior. Pentru aceasta, sistemul (21) se pune, folosind relatiile (22) si (23), sub forma:
|
|
(27)
sau, prin substituirea
ultimului termen, succesiv, din ecuatia anterioara (de ordinul , etc.):
, (28)
a n-a ecuatie, prin insumarea membru cu membru a relatiilor anterioare, fiind:
, (29)
care nu reprezinta decat o
alta forma de scriere a relatiei (26) si exprima, deci, conditia pe care
trebuie s-o indeplineasca valoarea pulsatiei pentru ca sistemul
oscilant sa poata executa vibratii libere.
Rezolvarea iterativa a sistemului de ecuatii dat de relatiile (28) si (29) se face pe baza tabelului 1.
Valoarea pulsatiei cu care se demareaza calculul iterativ din schema lui Holzer poate fi cea dedusa din shematizarea sistemului oscilant cu unul, cu doua sau trei discuri. Calculul se opreste atunci cand momentul rezidual (29) capata valoare nula.
Exemplificam metodologia de calcul cu pulsatiilor proprii de gradul I si II pentru motorul naval Sulzer 6RND90 prin tabelul 2 pentru pulsatia proprie de gradul I si tabelul 3 pentru pulsatia de gradul II. Sistemul echivalent este redat in figura 6,a, iar modurile de vibratie in figura 6,b.
Din analiza modurilor de vibratie prezentate in diagrama de la
figura anterior mentionata se constata ca primul mod de vibratie are nodul 
pe axa port-elice,
aproximativ la mijlocul sau, iar amplitudinile vibratiilor discurilor ce
schematizeaza mecanismele motoare aferente cilindrilor variaza putin pe
lungimea arborelui cotit.
In ceea ce priveste al doilea mod de vibratie, se constata ca
primul nod 
se produce aproximativ
la mijlocul arborelui cotit, ceea ce inseamna ca cele doua jumatati ale sale
vor vibra, in opozitie de faza cu amplitudini relativ egale 
, aceasta conducand la anularea excitatiilor produse de
momentul motor.
Fig. 5
Tabelul 1
|
|
Tabelul 2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Tabelul 3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Fig. 6
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2595
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved
