Dinamica rigidului - cu axa fixa, cu un punct fix

Dinamica rigidului

1. Dinamica rigidului cu axa fixa

1.1. Formularea problemei

Se considera un solid rigid ( C ) avand doua puncte, si , fixate (adica dreapta este imobila). Presupunem ca asupra rigidului actioneaza un sistem de forte exterioare arbitrare , care pot fi inlocuite cu torsorul . Sub influenta acestor forte rigidul va capata o miscare de rotatie in jurul axei (figura T 1).

Figura T 1

A cunoaste miscarea rigidului inseamna a cunoaste legea , unde . In plus, importante vor fi reactiunile si ce apar in punctele fixe (articulatiile sferice) si .

Studiul miscarii va fi facut in raport cu triedrele triortogonale (fix) si Oxyz (mobil, solidar cu rigidul) avand , axele (axa de rotatie ) si centrul de masa C al rigidului continut in planul mobil Oxz.

Notand cu si proiectiile reactiunilor si pe axele reperului mobil, necunoscutele problemei sunt in numar de 7 si anume: , , .

1.2. Studiul miscarii rigidului

Se utilizeaza teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic in raport cu punctul fix . Fortele de legatura si si rezultanta a fortelor exterioare nu dau lucru mecanic deoarece punctele si sunt fixe.

Lucrul mecanic elementar produs de este egal cu:

(1)

Rigidul are o miscare de rotatie astfel incat energia cinetica are expresia:

(2)

Din (1), (2) si (15.51) gasim:

sau

(3)

deoarece .

Integrarea ecuatiei diferentiale (3), unde , permite obtinerea legii de miscare .

1.3. Determinarea reactiunilor

Pentru obtinerea reactiunilor si se aplica teoremele impulsului si momentului cinetic.

Teorema impulsului. Notand cu proiectiile rezultantei a fortelor exterioare pe axele reperului mobil Oxyz, teorema impulsului (relatia 15.?) capata forma:

(4)

sau, in proiectie pe axele reperului mobil Oxyz,

, , (5)

Dar

astfel incat:

(6)

Din (5) si (6) obtinem sistemul:

(7)

Teorema momentului cinetic in raport cu punctul fix . Din (15.?) gasim ca:

(8)

Notand cu proiectiile momentului rezultant al fortelor exterioare in raport cu punctul , observand ca si ca:

(9)

unde , din (8) obtinem prin proiectii pe axele reperului Oxyz ecuatiile:

(10)

Dar (vezi relatia 15.?)

astfel incat:

(11)

Din (10) si (11) rezulta sistemul:

(12)

Observatie: Ultima ecuatie a sistemului (12) coincide cu ecuatia de miscare (3). Pentru determinarea componentelor reactiunilor si avem la dispozitie doar cinci ecuatii (ecuatiile (15.8) si primele doua ecuatii (12)) astfel incat o componenta a reactiunilor ( sau ) ramane nedeterminata. In practica, pentru inlaturarea acestei nedeterminari se inlocuieste articulatia sferica din cu una cilindrica (= 0). Din ultima relatie (7) se obtine ca .

1.4. Echilibrarea rotorilor

Un solid rigid aflat in miscare de rotatie poarta numele de rotor. In practica se doreste ca reactiunile si din lagarele articulatiilor sa fie cat mai mici pentru ca uzura materialelor din care acestea sunt confectionate sa fie cat mai redusa. Din ecuatiile (7) si (12) se observa ca aceste reactiuni depind de miscare prin factorii si , putand lua teoretic valori foarte mari. Se pune in mod firesc intrebarea daca este posibil sa se ia masuri astfel incat cresterea modulului vectorului viteza unghiulara sa nu aiba ca urmare cresterea intensitatilor componentelor normale la axa fixa, corespunzatoare celor doua forte ce imobilizeaza axa.

Sa consideram sistemul de ecuatii ce ar corespunde starii de repaus a rigidului, adica sistemul obtinut din (7) si (12) pentru:

deci si pentru :

, ,

,

Reactiunile corespunzatoare starii de repaus au fost notate cu , si se numesc reactiuni statice. Reactiunile corespunzatoare starii de miscare se numesc reactiuni dinamice si vor fi notate prin , . Ele se determina din sistemul format din ecuatiile (7) si (12).

In practica exista interesul de a realiza rotori la care reactiunile dinamice sa fie egale cu cele statice, adica rotori pentru care miscarea nu influenteaza intensitatea reactiunilor. Un asemenea rotor se numeste echilibrat.

Conditiile pentru ca un rotor sa fie echilibrat se obtin inlocuind, in sistemul ce rezolva problema dinamicii rigidului cu axa fixa, reactiunile dinamice cu cele statice:

, (14)

Din (13) si (14) rezulta:

Deoarece, in general, si , din primele doua relatii (15) obtinem o prima conditie pentru echilibrajul rotorilor:

(16)

Aceasta inseamna ca axa de rotatie trebuie sa fie axa centrala, adica sa contina centrul de masa C. Un rotor pentru care este indeplinita conditia (16) se numeste echilibrat static.

A treia si a patra relatie (15) formeaza un sistem liniar si omogen in necunoscutele si . Cum si , acest sistem va trebui sa aiba si solutii nenule, conditie indeplinita daca determinantul sau este nul:

(17)

Din (17) gasim ca axa de rotatie Oz va trebui sa fie axa principala de inertie. Un rotor pentru care este indeplinita aceasta conditie se numeste echilibrat dinamic. In concluzie, pentru ca un rotor sa fie echilibrat atat static cat si dinamic este necesar si suficient ca axa de rotatie sa fie axa centrala si principala.

2. Dinamica rigidului cu un punct fix

2.1. Formularea problemei

Sa consideram un solid rigid avand punctul O fix si care este supus actiunii unui sistem de forte exterioare oarecare, care se reduce in O la torsorul .

Rigidul are in O o articulatie sferica care se inlocuieste, in conformitate cu principiul actiunii si reactiunii, cu reactiunea , de modul si directie necunoscuta (figura T 2). Studiul miscarii in jurul punctului fix O se face in raport cu doua sisteme de referinta si anume:

sistemul fix avand originea in O ();

sistemul mobil Oxyz, solidar cu rigidul, avand axele Ox, Oy si Oz axe principale de inertie in raport cu punctul O. Pozitia rigidului in raport cu reperul fix este determinata de unghiurile lui Euler si (vezi Cinematica, capitolul 8).

Miscarea rigidului este cunoscuta daca sunt cunoscute functiile:

(18)

Pe langa aceste necunoscute mai este necesar a fi determinate si componentele reactiunii pe axele reperului mobil Oxyz, astfel incat necunoscutele problemei sunt in numar de sase.

Figura T 2 Figura T 3

2.2. Deducerea ecuatiilor de miscare. Relatii intre componentele vectorului viteza unghiulara instantanee si unghiurile lui Euler.

Pentru studiul miscarii se utilizeaza teorema momentului cinetic in raport cu punctul fix O. Deoarece suportul reactiunii contine punctul O aceasta forta nu da moment fata de O.

Din (15.28) obtinem:

(19)

Am considerat ca Ox, Oy si Oz sunt axe principale de inertie astfel incat expresia momentului cinetic este:

unde sunt momentele de inertie principale in raport cu punctul fix O.

este un vector raportat la axele sistemului mobil, deci:

Notand prin si componentele momentului rezultant al fortelor exterioare, din (19) si (20) se obtine sistemul ecuatiilor diferentiale ale miscarii:

(21)

cunoscute si sub numele de ecuatiile lui Euler pentru un rigid cu un punct fix.

Pentru integrarea ecuatiilor (21) sunt necesare relatiile de legatura dintre componentele vectorului viteza unghiulara si unghiurile lui Euler si . Unghiurile si sunt independente, modificarea unuia neafectand valorile celorlalte doua. Variatiei fiecarui unghi ii corespunde o rotatie independenta de viteza unghiulara , respectiv (figura T 3). O rotatie in jurul axei determina doar variatia unghiului , vectorul viteza unghiulara corespunzator avand directia axei si scalarul . O rotatie in jurul axei Oz determina doar variatia unghiului , vectorul viteza unghiulara corespunzator fiind orientat pe Oz si avand scalarul . In fine, o rotatie in jurul dreptei nodurilor ON determina numai modificarea unghiului . Vectorul viteza unghiulara corespunzator are directia ON si scalarul .

Compunand vectorii viteza unghiulara corespunzatori celor trei rotatii se obtine vectorul viteza unghiulara . Astfel:

(22)

unde este versorul axei nodurilor.

Dreapta apartine planului (ON 'z), unde , astfel incat:

Deoarece , obtinem:

(23)

In plus,

(24)

Din (22) - (24) rezulta componentele vitezei unghiulare pe axele reperului mobil Oxyz:

(25)

Functiile se obtin rezolvand sistemul (21), cu date de (25) si , , . Integrarea sistemului (21) nu a putut fi realizata pentru orice set de conditii initiale decat in trei cazuri particulare si anume:

i) Cazul Euler - Poinsot : Se considera ca (adica ). O astfel de situatie se obtine in cazul unui rigid actionat numai de propria greutate si suspendat in centrul de masa.

ii) Cazul Lagrange - Poisson : Se considera ca centrul de masa se afla pe axa mobila Oz si ca . Rigidul este actionat numai de propria greutate.

iii) Cazul Sofia Kovaleskaia : Centrul de masa se afla in planul Oxy , iar rigidul este actionat doar de propria greutate.

2.3. Determinarea reactiunii

Reactiunea se obtine prin aplicarea teoremei impulsului:

(26)

Dar si

astfel incat, din (26), gasim:

2.4. Giroscopul. Stabilitate. Efect giroscopic.

Miscarea de precesie regulata. Moment giroscopic.

2.4.1. Generalitati

Giroscopul este un corp de revolutie avand un punct fix O si care se roteste cu viteza unghiulara foarte mare in jurul axei sale de simetrie (ce contine punctul O). Se considera in plus ca momentul de inertie (principal) in raport cu axa de simetrie, notat , este mult mai mare decat celelalte doua momente de inertie principale si (egale intre ele):

(28)

Giroscopul poate fi:

a)      Giroscop centrat - daca punctul fix O coincide cu centrul de masa C si singura forta ce actioneaza asupra rigidului este propria greutate;

b)      Giroscop necentrat - daca centrul de masa nu coincide cu punctul fix O dar se afla pe axa de simetrie a acestuia iar singura forta ce actioneaza asupra rigidului este propria greutate.

2.4.2. Stabilitatea giroscopului centrat

Giroscopul centrat reprezinta o particularizare a cazului Euler - Poinsot. Suspendarea giroscopului se realizeaza printr-o suspensie cardanica ce permite rotirea simultana a lui in jurul a trei axe perpendiculare intre ele si concurente in punctul O (care coincide cu centrul de masa). Axa de simetrie se considera a fi axa Oz a triedrului mobil, solidar cu giroscopul.

Deoarece momentul singurei forte care actioneaza asupra rigidului (propria greutate) in raport cu punctul fix O este nul si ecuatiile lui Euler (21) devin:

(29)

Din obtinem , adica:

= constant (30)

Din (30) si a doua ecuatie (29) gasim ca:

(31)

Derivand prima ecuatie (29) si utilizand (30) obtinem:

(32)

Inlocuind (31) in (32) se obtine urmatoarea ecuatie diferentiala in necunoscuta (33)

S-a utilizat notatia . Solutia generala a acestei ecuatii este:

(34)

unde si sunt constante de integrare ce depind de conditiile initiale ale miscarii. Din prima ecuatie (29) si (34) se determina si componenta a vitezei unghiulare instantanee:

sau

(35)

dupa cum sau .

Daca giroscopul nu este perturbat, atunci la momentul initial sunt indeplinite conditiile:

(36)

Din (35)-(36) gasim ca, in aceste conditii:

adica:

(37)

giroscopul nedeviind de la directia Oz. Miscarea giroscopului este stabila.

Daca giroscopul este foarte putin perturbat la momentul initial, atunci si sunt foarte mici, ceea ce inseamna ca si si sunt foarte mici (solutii ale sistemului format din ecuatiile (34) si (35). Cum si depind de timp prin intermediul functiilor marginite si , rezulta ca aceste componente ale vitezei unghiulare raman foarte mici in timpul miscarii fata de componenta presupusa foarte mare.

Rezulta ca vectorul nu deviaza prea mult de la pozitia initiala, neperturbata, adica miscarea giroscopului este stabila. Aceasta proprietate a facut ca giroscopul sa fie folosit in practica ca busola si ca stabilizator.

2.4.3. Efectul giroscopic

Se considera un giroscop centrat (figura T 4) avand drept axa de rotatie axa Oz a triedrului mobil. Notand cu viteza unghiulara (foarte mare) a giroscopului si cu J momentul de inertie fata de axa de rotatie, atunci momentul cinetic al giroscopului va fi dirijat pe Oz si va avea modulul . Actionand asupra giroscopului cu o forta , paralela cu Oz, aceasta produce un moment in raport cu punctul O avand directia axei Oy.

Figura T 4

Acest moment produce o variatie a momentului cinetic , variatie data de teorema momentului cinetic:

(38)

Vectorul este coliniar cu . Noua valoare a momentului cinetic este:

(39)

Suportul vectorului reprezinta noua axa de rotatie a giroscopului. Ea este inclinata fata de axa initiala de rotatie Oz cu un unghi mic , datorita proprietatii de stabilitate a giroscopului.

In consecinta, daca se actioneaza asupra giroscopului centrat cu o forta, atunci axa de rotatie a acestuia sufera o mica deplasare intr-un plan perpendicular pe directia fortei.

Acest fenomen poarta numele de efect giroscopic.

3. Dinamica miscarii plan - paralele

Se considera un rigid in miscare plan-paralela actionat de un sistem de forte exterioare care se reduc in raport cu centrul de masa C al rigidului la torsorul .

Studiul miscarii (figura T 15.5) se face in raport cu un reper fix , avand planul paralel cu planul fix in raport cu care are loc miscarea (a se revedea "Cinematica miscarii plan-paralele") si care contine centrul de masa si un reper mobil Oxyz, solidar cu rigidul, avand originea in centrul de masa .

La un moment arbitrar de timp t, coordonatele centrului de masa fata de reperul fix sunt iar . Pozitia rigidului este determinata de trei parametri scalari independenti si anume:

Figura T 5 Figura T 6

Pentru determinarea acestor functii necunoscute se aplica teorema miscarii centrului de masa si teorema momentului cinetic fata de centrul de masa.

Teorema miscarii centrului de masa:

(40)

se proiecteaza pe axele sistemului de referinta fix. Se obtin ecuatiile:

(41)

Proiectiile ecuatiei vectoriale reprezentand teorema momentului cinetic in raport cu centrul de masa C pe axele reperului mobil au aceiasi forma ca la rigidul cu axa fixa:

, , (42)

unde .

Conditiile initiale pentru integrarea ecuatiilor (41) si (42) se refera la pozitia si viteza la momentul initial :

(43)

Caz particular: In cazul unei placi plane, care se misca in planul sau, studiul miscarii se face fata de un reper fix (ales in planul miscarii) si fata de reperul mobil Cxy, solidar cu rigidul, cu originea in centrul de masa C si axele Cx si Cy axe principale si centrale de inertie. Ecuatiile de miscare, obtinute prin particularizarea ecuatiilor (41) si (42), sunt:

(44)

Daca rigidul este liber, parametrii sunt independenti, intre ei neexistand relatii de legatura. Ecuatiile ramase disponibile in sistemul (44) servesc la determinarea reactiunilor.

4. Dinamica rigidului in miscarea generala

Se considera un rigid in miscare generala, supus actiunii unui sistem de forte exterioare care se reduc in raport cu centrul de masa C la torsorul . Studiul miscarii se face in raport cu reperul fix si reperul mobil Oxyz, avand originea in centrul de masa iar axele Ox, Oy si Oz axe principale si centrale de inertie (figura T 6).

Pozitia rigidului este fixata, la un moment de timp t, prin intermediul coordonatelor ale centrului de masa in raport cu reperul fix si unghiurile lui Euler . Cei sase parametri ai miscarii corespund celor sase grade de libertate ale

rigidului liber.

Pentru determinarea ecuatiilor de miscare se aplica teorema miscarii centrului de masa si teorema momentului cinetic in raport cu centrul de masa. Rezulta ecuatiile:

(45)

unde sunt momentele de inertie principale, proiectiile fortei rezultante pe axele reperului fix iar proiectiile momentului rezultant pe axele reperului mobil.

Conditiile initiale ale miscarii se refera la pozitie si viteza la momentul initial:

(46)

Rezolvarea sistemului (45) in conditiile initiale (46) permite obtinerea functiilor necunoscute:

, ,

.

5. Probleme rezolvate

R 1) Corpul cilindric omogen 1, de masa m = 50 kg, raza r = 15 cm si inaltime h = 2r, este fixat solidar cu arborele 2, de masa neglijabila, care se poate roti in jurul axei orizontale AB (figura R 1.1). Axa de simetrie a cilindrului formeaza unghiul cu axa de rotatie AB Cz. Asupra arborelui actioneaza un cuplu de forte situat intr-un plan perpendicular pe axa arborelui, avand momentul constant .

Figura R 1.1

Cunoscand distanta AB = 2h = 4r = 60 cm, stiind ca sistemul porneste din repaus si neglijand frecarile din lagarele A si B, sa se determine:

a)      Legea de miscare a corpului cilindric 1;

b)      Reactiunile din lagarele A si B la momentul de timp .

Rezolvare Deoarece corpul cilindric 1 are o miscare de rotatie singurul grad de libertate este unghiul format de planul Cyz cu el insusi intre momentele de timp t = 0 si t = arbitrar. Notam cu si reactiunile din lagarele A si B si aplicam teorema momentului cinetic in raport cu punctul A:

(1)

Deoarece reactiunile si din lagarele A si B si greutatea nu dau moment pe directia z, ecuatia (1) se rescrie ca:

(2)

Din (2), prin integrari succesive, se gaseste ca:

(3)

Constantele de integrare sunt nule datorita conditiei initiale: .

Valoarea momentului de inertie va fi determinata ulterior.

b) Pentru determinarea reactiunilor si se aplica teorema miscarii centrului de masa:

(4)

si teorema momentului cinetic in raport cu centrul de masa C:

(5)

Intrucat centrul de masa C se gaseste pe axa fixa AB acceleratia sa este nula (). Proiectand ecuatia (4) pe axele sistemului de referinta mobil Cxyz se obtin urmatoarele ecuatii scalare:

(6)

Derivata in raport cu timpul a momentului cinetic al corpului cilindric 1, avand axa fixa Cz, are expresia:

(7)

Totodata:

(8)

Proiectand ecuatia (5) pe axele reperului Cxyz si utilizand (7) si (8) gasim ecuatiile scalare:

(9)

Evident, ultima ecuatie (9) coincide cu ecuatia (1).

Rezolvand sistemul format din ecuatiile (6) si primele doua ecuatii (9) se obtin proiectiile reactiunilor din lagarele A si B:

Singurele elemente care mai trebuiesc determinate sunt momentele centrifugale si momentul de inertie axial . Pentru obtinerea lor se determina mai intai momentele de inertie axiale ale cilindrului in raport cu axele sistemului de referinta legat de corp, care sunt axe principale de inertie.

In conformitate cu rezultatul gasit in rezolvarea problemei R 14.2 avem:

Datorita simetriei avem si:

(12)

unde

(13)

Notand cu densitatea materialului din care a fost confectionat cilindrul gasim ca:

(14)

Pentru a calcula integrala tripla din relatia (13) (pe intreg domeniul ocupat de corpul cilindric) se utilizeaza sistemul de coordonate cilindrice prezentat in figura R 1.2.

Deoarece

din (13) se obtine:

Figura R 1.2

Tensorul momentelor de inertie al cilindrului fata de sistemul de referinta este:

(17)

Tensorul momentelor de inertie [J] fata de sistemul Cxyz are expresia:

in care

este matricea de transfer de la sistemul la sistemul Cxyz.

Din (17), (18) si (19) rezulta:

(20)

de unde:

(21)

Utilizand datele numerice din enuntul problemei se obtin urmatoarele valori:

.

R 2) O bila de greutate G si raza r este aruncata dintr-un turn de inaltime h cu viteza orizontala . In momentul aruncarii i se imprima o viteza unghiulara dupa o directie perpendiculara pe planul miscarii (figura R 2). Sa se determine:

a)      Legile miscarii plan-paralele a bilei;

b)      Timpul dupa care bila atinge solul;

c)      Distanta de la baza turnului la punctul de impact cu solul;

d)      Viteza cu care bila loveste solul;

e)      Numarul de rotatii efectuat de bila in aer.

Figura R 2

Rezolvare: a) Pentru studiul miscarii se considera un sistem de referinta fix , avand axa suprapusa peste axa turnului si trecand prin centrul de masa C in pozitia initiala a bilei, si un sistem de referinta mobil Cxy, solidar cu rigidul (vezi figura R 2).

Notand cu si cu coordonatele centrului de masa C in raport cu sistemul fix, sistemul de ecuatii diferentiale al miscarii este:

unde Cz este perpendiculara in C pe planul Cxy.

Prin integrari succesive in raport cu timpul t se obtine:

(2)

si

Conditiile initiale ale miscarii:

(4)

permit obtinerea constantelor de integrare

Ecuatiile parametrice ale miscarii plan-paralele a bilei sunt:

(6)

b) Bila atinge solul atunci cand , adica pentru:

de la inceputul miscarii.

c) Distanta de la baza turnului (verticala punctului de aruncare) la punctul de impact cu solul este:

d) Viteza centrului de masa al bilei la un moment arbitrar de timp are componentele:

(9)

In momentul impactului cu solul putem scrie ca:

Viteza unui punct al bilei aflat la periferia acesteia (deci si a aceluia care atinge solul) se compune din viteza centrului bilei si viteza de rotatie in jurul centrului bilei:

Deoarece este orizontala si dirijata in sens opus sensului pozitiv pe Ox, viteza punctului cu care bila vine in contact cu solul are componentele:

si modulul

e) Unghiul cu care s-a rotit bila in timpul miscarii prin aer este egal cu

astfel incat numarul de rotatii efectuate de bila este:

R 3) Locomotiva unui tren descrie o curba de raza R cu viteza v a centrului sau de masa. Stiind ca greutatea locomotivei este G, ca distanta dintre roti este l si ca raza rotilor este r, sa se precizeze cu cat se maresc sau micsoreaza reactiunile si (figura R 3).

Figura R 3 Figura R 4

Rezolvare: Inainte de intrarea in curba cele doua reactiuni sunt egale in modul:

(1)

In curba, ansamblul roti-axa de legatura formeaza un giroscop cu axa orizontala avand o rotatie proprie de viteza unghiulara:

(2)

si o miscare de precesie de viteza unghiulara:

(3)

Notand cu momentul de inertie in raport cu axa de inertie Cz si observand ca , gasim ca momentul giroscopic are directia si sensul de deplasare al trenului, marind presiunea pe sina exterioara si micsorand-o pe cea interioara cu aceiasi forta:

Reactiunile si in curba vor avea valorile:

R 4) Un corp de revolutie, cu axa de simetrie Oz, se roteste in jurul axei fixe , care trece prin centrul de greutate al corpului (figura R 4). Cunoscand viteza unghiulara constanta a corpului, unghiul dintre Oz si , distanta l dintre lagarele A si B si momentele de inertie si ale corpului, sa se determine reactiunile din lagare.

Rezolvare: Deoarece punctul O apartine axei fixe viteza sa este nula, astfel incat corpul de revolutie se trateaza ca un rigid cu punct fix. Alegand axa Ox in planul se obtin urmatoarele proiectii ale vectorilor si

Singurele forte care dau moment fata de punctul O sunt reactiunile si . Ecuatiile lui Euler in cazul acestei probleme conduc la:

Deci:

Momentul va fi dirijat in lungul axei Oy si va fi produs de componentele si (care formeaza un cuplu de forte). Modulul sau este:

de unde:

(4)

Celelalte componente ale reactiunilor in A si B sunt nule.

R 5) O bara cotita omogena ABC are greutatea 3G si este articulata in punctul B (figura R 5.1). Bara este prinsa in A de un resort avand constanta elastica k. In pozitia de echilibru latura BC formeaza unghiul cu orizontala. Sa se determine unghiul astfel incat perioada micilor oscilatii sa fie minima. Care este valoarea acestei perioade?

Figura R 5.1. Figura R 5.2

Rezolvare: Se considera bara intr-o pozitie oarecare, definita de unghiul fata de pozitia de echilibru (figura R 5.2). Asupra ei actioneaza fortele de greutate si (in centrele de masa ale segmentelor de bara AB si BC, respectiv) si forta elastica (perpendiculara pe AB in A), de modul reprezinta valoarea fortei elastice in pozitia de echilibru a barei. Ea se determina din ecuatia de momente in

raport cu punctul B (vezi figura R 5.1, pentru

Rezulta:

Pentru studiul micilor oscilatii ale barei se utilizeaza teorema momentului cinetic in proiectie pe axa , perpendiculara pe planul barei in B:

(3)

in care:

(4)

(5)

Dar

(6a)

(6b)

deoarece pentru micile oscilatii ale barei se poate considera si . Cu relatiile (6), ecuatia de miscare a barei capata forma:

(7)

Pulsatia micilor oscilatii are expresia iar perioada micilor oscilatii:

(8)

Deoarece

(9)

Conditia de obtinere a valorii extreme a perioadei micilor oscilatii, , permite obtinerea valorii cautate a unghiului :

(10)

Se poate arata ca aceasta valoare corespunde unui minim al functiei . Acesta este:

(11)

6. Probleme propuse

6.1. Teste clasice

TC 1) O bara omogena OA, de lungime l si greutate , se poate roti in jurul axei orizontale ce trece prin punctul O (figura TC 1.1). In momentul initial bara se gaseste in repaus la orizontala. Lasand libera bara, aceasta se misca sub actiunea propriei greutati.

Stiind ca momentul de frecare in articulatia O este , sa se determine:

a)      Acceleratia unghiulara in functie de pozitia a barei;

b)      Reactiunea in articulatia O in momentul in care bara se gaseste in pozitie verticala;

c)      Unghiul corespunzator pozitiei extreme a barei.

Figura TC 1.1 Figura TC 2.1

TC 2) O bara AB, de masa m si lungime l, se deplaseaza cu frecare intr-un plan vertical astfel incat capetele sale se sprijina in permanenta pe doi pereti, unul vertical si unul orizontal (figura TC 2.1). Coeficientul de frecare intre bara si pereti este . La momentul t = 0 capatul A se gasea la distanta de ghidajul vertical si avea viteza . Sa se determine ecuatia diferentiala a miscarii barei.

TC 3) Un disc de greutate si raza r se rostogoleste fara alunecare pe un plan inclinat cu unghiul fata de orizontala (figura TC 3). Coeficientul de frecare de rostogolire este s. Sa se stabileasca legile de miscare daca in momentul initial discul porneste de la inaltimea h fara viteza initiala.

TG 1) Care din urmatoarele formule exprima teorema momentului cinetic in miscarea absoluta a unui punct material ?

a)      ; b) ; c) ; d) .

Figura TC 3 Figura TG 2

TG 2) Un disc de raza r si greutate este infasurat de un fir inextensibil, de greutate neglijabila, a carei extremitate superioara este fixata de o grinda (figura TG 2). Daca la momentul initial discul este lipit de grinda, sa se stabileasca valoarea tensiunii din fir in timpul miscarii discului.

a)      ; b) ; c) ; d) .

7. Indicatii si raspunsuri

TC 1) Vezi figura TC 1.2.

a)      Se aplica teorema momentului cinetic in raport cu punctul fix O:

Cum , se gaseste ca

b) Teorema miscarii centrului de masa, , se proiecteaza pe Ox si Oy: Se obtine:

si

iar si

Patratul vitezei unghiulare, , se obtine prin aplicarea teoremei energiei cinetice si a lucrului mecanic:

iar acceleratia unghiulara din relatia (*). Rezulta .

Pentru obtinem:

c) Se aplica teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic intre momentul initial (bara este la orizontala) si momentul opririi:

Unghiul va fi solutia ecuatiei:

.

Figura TC 1.2 Figura TC 2.2

TC 2) Se elibereaza bara de legaturile sale (reazemele cu frecare din A si B) si se introduc fortele de legatura corespunzatoare si (figura TC 2.2). Sistemul de ecuatii diferentiale ale miscarii plan-paralele a barei este:

la care se aduga relatiile:

Coordonatele sunt legate prin relatiile:

Se obtine astfel un sistem de 7 ecuatii si 7 necunoscute: . Eliminand reactiunile normale si fortele de frecare se obtine urmatoarea ecuatie diferentiala neliniara si neomogena de ordinul al doilea in necunoscuta

Conditiile initiale ale miscarii sunt:

.

TC 3) Se utilizeaza un sistem de referinta fix Cxy, cu axa Cx paralela cu planul inclinat si originea in pozitia initiala a centrului maselor C. Sistemul ecuatiilor diferentiale ale miscarii este:

unde . S-a folosit faptul ca = constant (miscarea centrului discului este paralela cu planul inclinat). Intre viteza centrului discului si viteza unghiulara a miscarii plan-paralele a discului exista relatia (CIR-ul este in punctul de contact al discului cu planul inclinat). De aici deducem ca si . In conditiile initiale:

(2)

prin integrarea sistemului ecuatiilor diferentiale (1), se obtin urmatoarele legi ale miscarii discului:

(3)

TG 1 Rezultat teoretic. Raspuns corect: c)

TG 2) Discul are o miscare plan-paralela. Se aplica teorema miscarii centrului de masa si teorema momentului cinetic fata de punctul C:

Dar si , astfel incat . Raspuns corect: c).

BIBLIOGRAFIE

Brandeu L., Orgovici L., Chioreanu M., Teoremele generale ale dinamicii, Culegere de probleme, Timisoara, 1991.

Ceausu V., Enescu M., Ceausu F., Culegere de probleme de mecanica, Institutul Politehnic Bucuresti, 1984.

Dumitrascu Ghe., Deleanu D., Mecanica teoretica, Editura ExPonto, Constanta 1998.

Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Seminarii de mecanica, Editura Printech, Bucuresti, 2002.

Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Statica, Culegere de probleme, Editura Printech, Bucuresti, 2000.

Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Cinematica, culegere de probleme, Editura Printech, Bucuresti, 2000.

Deleanu D., Dumitrascu Ghe., Dinamica, Culegere de probleme, Editura Printech, Bucuresti, 1999.

Iacob C., Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1980.

Landau L., Lifsit F., Mecanica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1966.

Niculescu M, Dinculescu N., Marcus S., Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1966.

Olariu V., Sima P., Achiriloaie V., Mecanica teoretica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1982.

Olariu V., Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.

Ripianu A., Popescu P., Balan B., Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1979.

Rosca I., Mecanica pentru ingineri, Editura MatrixRom, Bucuresti, 1998.

Rosculet M., Analiza matematica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.

Silas M., Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1968.

Targ S., Theoretical Mechanics, Editura Mir, Moscova, 1975.

Tocaci E., Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1968.

Voinea R, Voiculescu D., Ceausu V., Mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.