MECANICA FLUIDELOR

MECANICA FLUIDELOR

OBIECTIVELE CURSULUI

Cinematica integralelor de volum

Principiul conservarii masei (ecuaþia de continuitate)

Cinematica deformarii in curgerea fluidelor

Tensorul tensiunilor

Cinematica integralelor de volum

Intr-un domeniu fluid aflat in miscare, se considera o proprietate oarecare notata .

(I) (II)

Formele (I) si (II) ale cinematicii de volum (cum rezolvam o integrala pe un domeniu variabil).

Un domeniu fix in raport cu reperul utilizat pentru studiul miscarii se numeste voum de control. Frontiera acestuia se numeste suprafaþa de control.

Este valabila si o alta relaþie numita teorema transportului:

Teorema transportului este o alta forma a cinematicii integralelor de volum care spune ca derivata in raport cu timpul a integralei campului pe domeniul D(t) este egala cu intensitatea derivatei in raport cu timpul a campului pe volumul de control D, care coincide instantaneu cu D(t), plus debitul de proprietate prin suprafaþa de control S a lui D.

(III)

2) Principiul conservarii masei (ecuaþia de continuitate)

In mecanica fluidelor, expresia matematica a principiului conservarii masei se numeste ecuaþia de continuitate.

, deci

Consideram:

Intr-un domeniu fluid izolat faþa de mediul exterior, masa de substanþa cuprinsa in domeniu este un invariant.

Dupa egalarea relaþiei de mai sus cu 0, se aplica lema integralei nule, si vor rezulta:

(I)- reprezinta cazul cel mai general al ecuaþiei de

continuitate sub forma diferenþialaiferentialacuatiei de continuitate sub forma diferentialaei nule, si vor rezulta:

niu este un invariant.

(II)

Caz particular:

Cazul miscarii permanente:

(I)

(II)

Pentru ca

In problemele generale, condiþia obligatorie ca v_x, v_y, v_z sa reprezinte componentele vitezei intr-o curgere, este ca aceste funcþii sa satisfaca ecuaþia de continuitate.

In practica se apeleaza la ecuaþia de continuitate specifica unui tub de curent:

Fie D un volum de control cu care coincide in momentul t domeniul D(t) ocupat de un volum material oarecare, iar S suprafaþa de control care constituie frontiera lui D.

S₁- suprafaþa de intrare

S₂- suprafaþa de iesire

S_l- suprafaþa laterala

In cazul cel mai general suprafaþa S₁ poate sa fie "stramba", adica normala la aceasta suprafaþa nu trebuie sa fie corespunzatoare axei tubului.

-normala in sensul curgerii

-normala exterioara domeniului

In relaþia (III) (Teorema transportului) facem

(forma integrala a ecuaþiei

de continuitate)

dar

()

Introducem notaþiile:

(debit masic)

3) Cinematica deformarii in curgerea fluidelor

Se considera un element de fluid care in timpul miscarii sale sufera miscari de translaþie, rotaþie, deformaþie.

Viteza poate fi descompusa ca fiind:

Se considera ca pe un interval de deplasare relativ mic, , viteza variaza ajungand la o viteza v^', alcatuita din 3 termeni: o viteza de translaþie, o viteza de rotaþie (vartej) si o viteza de deformaþie.

In vecinatatea infinitezimala a unui punct aparþinand domeniului de fluid considerat, campul vitezelor poate fi privit ca fiind obþinut prin suprapunerea celor 3 campuri menþionate anterior.

matricea asociata tensorului vitezelor de deformare ()

Componentele de pe prima diagonala se numesc termenii vitezei de deformaþie dupa direcþia principala, iar celalþi se numesc componentele vitezei de deformaþie dupa direcþiile secundare (componente mutuale sau reciproce).

4) Tensorul tensiunilor

Se poate demonstra ca starea de eforturi unitare dintr-un corp oarecare aflat intr-un domeniu fluid este complet determinata de eforturile unitare exercitate asupra a 3 elemente de suprafaþa plane care pot reprezenta feþele unui tetraedru intr-un sistem de coordonate drept xOy.

Sau ales cele 3 feþe OAC, OBC, OAB ca aparþinand feþelor sistemului de coordonate, si au fost marcate normalele exterioare la aceste suprafeþe.

Efortul nu este efectuat dupa direcþia x, el este efectuat corespunzator feþei OBC. Pe faþa ABC, OP este inalþimea perpendiculara din O pe ABC, efortul pe faþa ABC este ; printr-un procedeu de trecere la limita, punctele A, B, C tind catre 0.

primul indice reprezinta direcþia normalei la suprafaþa pe care se exercita efortul respectiv;

al doilea indice reprezinta direcþia pe care se proiecteaza efortul respectiv.

Tensorul tensiunilor

Tensorul tensiunilor descrie starea de eforturi in punctul considerat.