Metode aplicate in studiul convectiei termice (Analiza dimensionala)

Metode aplicate in studiul convectiei termice (Analiza dimensionala)

Rezolvarea analitica a problematicii transferului de caldura prin convectie impune solutionarea simultana a ecuatiilor de miscare a fluidului si a celor de transmitere a caldurii prin fluide in miscare. Aceasta metoda presupune stapanirea corespunzatoare a mecanismului fizic de desfasurare a fenomenului, pentru ca acesta sa poata fi pus sub forma matematica.

Pentru rezolvarea acestor ecuatii este preferata metoda de integrare teoretico-experimentala, deoarece, prin calcule matematice simple aceasta metoda conduce la solutii exacte care pot fi usor interpretate fizic, iar prin criteriile adimensionale permite extinderea domeniului de aplicare a datelor experimentale.

Analiza dimensionala reprezinta ansamblul de cunostinte si metode pentru tratarea unor elemente de inginerie cu ajutorul formulelor dimensionale ale marimilor.

Analiza dimensionala pleaca de la ideea ca relatiile care permit descrierea fenomenelor sunt dimensional omogene, adica, cele doua parti ale relatiei (din dreapta si din stanga semnului egal) sunt identice sub aspect dimensional.

Relatia prin care se exprima o marime, functie de unitatile de masura fundamentale, se numeste ecuatie de dimensiuni sau ecuatie dimensionala.

Principala limitare a acestei metode este aceea ca rezultatele obtinute sunt incomplete si, practic, inutilizabile, daca nu sunt completate de date experimentale.

O aplicatie de mare utilitate practica este folosirea analizei dimensionale pentru stabilirea formei generale a ecuatiilor care descriu fenomene complexe, dependente de un numar mare de variabile. Aceasta metoda se poate utiliza in cazurile in care se pot stabili parametrii care influenteaza fenomenul complex pe baza de observatii. De aceea, prima etapa a analizei dimansionale este stabilirea marimilor fizice care influenteaza evolutia fenomenului studiat.

Cu ajutorul analizei dimensionale, respectiv a teoremei P, se poate obtine o descriere matematica a fenomenului studiat insa, pentru ca relatia sa poata fi utilizata in calcule tehnice, este necesar sa se recurga la experimentari pentru stabilirea constantelor si exponentilor care intervin in relatie.

Ajutorul esential care se obtine prin utilizarea teoremei P (teorema Buchingham) consta in obtinerea unei relatii care sa poata fi complet definita printr-un numar redus de experimente. Tinand seama de faptul ca toate ecuatiile trebuie sa fie dimensional omogene, marimile sau parametrii ce caracterizeaza fenomenul studiat sunt grupate in rapoarte de marimi adimensionale.

Teorema P este o regula empirica de determinare a numarului de rapoarte adimensionale independente necesar pentru stabilirea ecuatiei care descrie un fenomen, de forma :

F = f(w, X, r, c_p, n l

Prin aplicarea teoremei P, aceasta functie poate fi scrisa sub forma unei ecuatii de parametri adimensionali (criterii sau invarianti), de forma :

F = f(P P P (2.5)

Numarul  c  de criterii independente necesar care poate fi format prin combinarea variabilelor fizice ale unui fenomen este egal cu numarul total  p  al acestor marimi fizice minus numarul  u  de unitati de masura primare necesar pentru exprimarea formulelor dimensionale ale celor  m  marimi fizice :

c = p - u (2.6)

Exemplu : daca un fenomen este caracterizat de p = 5 marimi fizice care se pot exprima in functie de u = 3 unitati de masura primare, fenomenul poate fi descris de c = 2 criterii adimensionale printr-o ecuatie de forma :

F(P P ) = 0 sau P = f(P (2.7)

Se foloseste un sistem de patru unitati de masura primare : M - masa, L - lungime, T - timp si Q - temperatura.

In rezolvarea ecuatiei F = f(P P P = 0 se pot utiliza mai multe metode. Oricare ar fi aceasta, tinand seama de omogenitatea relatiilor sub aspect dimensional, suma exponentilor fiecarei unitati fundamentale trebuie sa fie nula

Rezulta :

x_i = M^ai . L^bi . T^ci . Q^di (2.8)

de unde :    åa_i = 0

åb_i = 0

åc_i = 0

åd_i = 0

Exemplul 1 : consideram un corp cilindric cu diametrul d cufundat intr-un fluid stationar (w = 0).

Fortele care intervin :

- forta motrice : forta care produce deplasarea fluidului datorita diferentei de densitate creata de diferenta de temperatura dintre corp si fluid :

F_m = f(Dt, b, g)

- forta rezistenta : forta care se opune deplasarii fluidului :

F_r = f(n r, d)

- capacitatea de cumulare a caldurii de catre fluid :

C_a = f(l r, c_p ) = f(a)

Deci p = 7 marimi fizice care descriu fenomenul, u = 4 unitati de masura primare. Rezulta c = 7 - 4 = 3 criterii adimensionale.

Coeficientul de convectie in acest caz depinde de cele 7 marimi :

a = f[(g.b Dt, (r n), d, r l, c_p] (2.9)

Relatia (2.9) poate fi scrisa ca un produs al celor 7 marimi, fiecare marime la un anumit exponent:

a=C.(g.b)^x.Dt^m.h^u.d^v.r^z l^y.c_p (2.10)

Relatia (2.10) este transpusa in relatie de unitati de masura :

Rezulta sistemul de ecuatii :

J½ 1 = y + n

s½ -1 = -2x - u - y

m½ -2 = x - 3z - u + v - y    un sistem de 5 ecuatii cu 7 necunoscute

grd½ -1 = -x + m - y - n

kg½ 0 = z - n + u

Pentru eliminarea nedeterminarii se aleg ca variabile independente exponentii m, pentru diferenta de temperatura, care creaza deplasarea fluidului si n, pentru caldura specifica, care are o pondere mai mare in capacitatea de acumulare a caldurii de catre fluid.

Rezulta : x = m, y = 1 - n, z = 2m, v = 3m - 1 si u = n - 2m.

(2.12)

sau :    (2.13)

Se fac notatiile :

- criteriul Nusselt

- criteriul Grashof

- criteriul Prandtl, in care , [m²/s] reprezinta difuzivitatea termica a fluidului (caracterizeaza inartia termica a fluidului).

Rezulta ecuatia criteriala :

Nu = C . Gr^m . Prⁿ (2.14)

Exemplul 2 : consideram un corp cilindric cu diametrul d parcurs transversal de un fluid cu viteza w.

Fortele care intervin :

- forta motrice : forta care produce deplasarea fluidului datorita diferentei de presiune creata artificial din exterior (ventilator, pentru gaze sau pompa, pentru lichide :

F_m = f(r, w)

- forta rezistenta : forta care se opune deplasarii fluidului :

F_r = f(n r, d)

- capacitatea de cumulare a caldurii de catre fluid :

C_a = f(l r, c_p ) = f(a)

Deci p = 6 marimi fizice care descriu fenomenul, u = 4 unitati de masura primare. Rezulta c = 6 - 4 = 2 criterii adimensionale.

Coeficientul de convectie in acest caz depinde de cele 6 marimi :

a = f(w, d, r n l, c_p)    (2.15)

Relatia (2.15) poate fi scrisa ca un produs al celor 6 marimi, fiecare marime la un anumit exponent:

a=C.d^x.w^m.n^z.d^v.rⁿ l^y.c_p^v (2.16)

Relatia (2.16) este transpusa in relatie de unitati de masura :

(2.17)

Rezulta sistemul de ecuatii :

J½ 1 = y + v

s½ -1 = -m - y - z

m½ -2 = m + x - y + 2z - 3n    un sistem de 4 ecuatii cu 6 necunoscute

grd½ -1 = - y - v

kg½ 0 = n - v

Pentru eliminarea nedeterminarii se aleg ca variabile independente exponentii m, pentru viteza fluidului si n, pentru densitate care, in acest caz, are o pondere mai mare in capacitatea de acumulare a caldurii de catre fluid.

Rezulta : x = m - 1, y = 1 - n, z = n - m si v = n.

(2.18)

sau :    (2.19)

Se face notatia :

- criteriul Reynolds

Rezulta ecuatia criteriala :

Nu = C . Re^m . Prⁿ (2.20)

Cele mai utilizate criterii adimensionale (de similitudine) sunt prezentate in tabelul 2.1.

Tab.2.1

Obs : X, [m] reprezinta dimensiunea determinanta, explicata la fiecare proces de convectie termica prezentat in continuare.