PRINCIPIUL DE FUNCTIONARE, ECUATII, DIAGRAME ALE MASINII DE INDUCTIE (ASINCRONA )

PRINCIPIUL DE FUNCTIONARE, ECUATII, DIAGRAME ALE MASINII DE INDUCTIE (ASINCRONA )

1 Principiul de functionare al motorului trifazat

Se presupune o masina asincrona in constructie directa avand pe stator o infasurare trifazata, alimentata de la un sistem trifazat simetric de tensiuni sau curenti.

Se stie ca aceasta infasurare creeaza un camp magnetic invartitor care se poate caracteriza prin fundamentala inductiei magnetice sau prin fluxul magnetic polar Φ_st, fig. 5.7, rotitor in sens direct cu viteza unghiulara Ω₁, unde:

(5.1)

Acest camp inductor intersecteaza atat conductoarele statorice fixe cat si conductoarele rotorice, presupuse initial imobile (la pornire), inducand in acestea, tensiuni. Tensiunile induse in infasurarea rotorica trifazata, intretin curenti prin conductoare, daca circuitul rotoric este inchis. Inchiderea circuitului rotoric se realizeaza prin reostatul de pornire (sau de reglare a vitezei) la masinile cu rotor bobinat si prin inelele de scurtcircuitare a barelor rotorice in cazul masinilor in colivie. Se poate aprecia ca in rotor apare o "patura de curent" indus, care prin interactiune cu campul magnetic inductor, creeaza forte tangentiale intre armaturi la nivelul intrefierului, ce se manifesta sub forma unui cuplu electromagnetic. Statorul, prin fixarea sa pe talpi de exemplu, echilibreaza acest cuplu, in schimb rotorul va fi antrenat in miscare de rotatie cu o anumita viteza unghiulara Ω, in sensul de rotire a campului inductor. Sensul de rotire a rotorului este astfel incat sa fie eliminata cauza care produce "discontinuitatea" energiei magnetice in intrefier, deci aparitia curentului rotoric, adica a variatiei campului magnetic prin rotor. Daca rotorul s-ar roti cu viteza unghiulara de sincronism (a campului) Ω₁, atunci nu mai exista variatia fluxului inductor prin circuitul rotoric, nu exista nici curent rotoric, iar cuplul ar deveni nul. Rotorul se va roti cu o viteza 0< Ω < Ω₁, astfel incat se poate defini o marime numita alunecare, s, definita astfel:

(5.2)

Diferenta dintre viteze :

(5.3)

este viteza unghiulara dintre campul invartitor statoric si rotor (viteza relativa).

Tensiunile induse, deci si curentii rotorici vor avea frecventa dictata de aceasta viteza relativa, adica, similar cu (5.1) (intrucat este pozitiva):

    (5.4)

Intrucat infasurarea rotorica este trifazata-simetrica, in cele trei faze se vor induce curenti de frecventa f₂, defazati la cate 2π/3[rad], care vor crea un camp magnetic rotoric, caracterizat prin fluxul polar rotoric Φ_rot, rotitor fata de rotor cu viteza unghiulara dedusa similar cu (5.1), adica :

    (5.5)

Acest flux rotoric se va roti fata de stator cu viteza compusa:

(5.6)

adica se roteste tot cu viteza de sincronism Ω₁.

In concluzie, atat Φ_st cat si Φ_rot se rotesc fata de stator cu aceeasi viteza de sincronism Ω₁, compunandu-se intr-un flux rezultant Φ, dupa regula paralelogramului (fig. 5.7), rotitor fata de stator cu Ω₁. Evident, acest flux rezultant va intersecta conductoarele statorice cu viteza Ω₁, iar conductoarele rotorice cu Ω₂ = s Ω₁ , frecventa curentilor in stator este f₁, iar in rotor este f₂=s f₁.

2 Ecuatiile de functionare a masinii asincrone trifazate

In fig.5.8 este reprezentata o masina asincrona trifazata, cu rotor bobinat. Cele trei faze statorice, conectate in stea sunt alimentate de la un sistem trifazat simetric de tensiuni. O faza statorica avand spire efective este caracterizata prin rezistenta R₁ si inductanta de scapari L_s1.

Infasurarile rotorice sunt conectate in stea cu capetele accesibile, racordate la reostatul trifazat de pornire R_p. Cele trei faze rotorice au cate k_w2W₂ spire efective si sunt caracterizate de rezistenta R₂ si inductanta de scapari L_s2.

2.1 Functionarea masinii asincrone cu rotor imobil la gol

Se considera rotorul fix, iar circuitul rotoric este deschis (R_p este infinit). Statorul este conectat la reteaua trifazata, curentii absorbiti pe cele trei faze constituie un sistem trifazat simetric, solenatiile, inductiile si fluxurile polare fiind unde invartitoare, rotitoare cu viteza de sincronism. Se poate considera ca masina este in regim de transformator trifazat cu secundarul in gol, fluxul variabil fiind datorat undei invartitoare statorice; adica pentru oricare din spirele infasurarilor "fixe", rotirea campului, in raport cu acestea, conduce la obtinerea unor tensiuni induse, de frecventa impusa de viteza de rotire a campului, f₁ - in cazul de fata. Fata de un transformator trifazat, diferenta esentiala consta in faptul ca exista intrefierul stator - rotor intre primar si secundar. O consecinta a acestui fapt este valoarea ridicata a curentului absorbit de infasurarea primara (statorica) chiar la mers in gol. Daca la transformatoarele trifazate de zeci de kVA, I₁₀-curentul de mers in gol se situa la 1-2% din valoarea celui nominal, la masina asincrona acesta ajunge frecvent la 20-30% si chiar mai mult (80% din I_1N la motoarele de cateva sute de wati).

Pentru acest caz, al functionarii in gol, se vor distinge marimile corespunzatoare prin indicele 0. Aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru ochiul primar corespunzator fazei A - X, se obtine ecuatia similara cu (2.81) [6], adica :

(5.7)

unde: W_1ef = k_w1W₁ este numarul efectiv de spire inseriate in faza respectiva, iar :

(5.8)

este tensiunea indusa intr-o spira, prin variatia fluxului ; Φ_m este valoarea maxima a fluxului magnetic fascicular pe un pol (polar) (pe ansamblu, in masina actioneaza fluxul rotitor creat de solenatiile celor trei faze, sau fluxul corespunzator solenatiei rezultante). Valoarea efectiva a tensiunii induse pe faza, e₁ este data de:

(5.9)

Ecuatia (5.7) se poate trece la reprezentarea in complex simplificat, anume:

(5.10)

unde s-a introdus reactanta de scapari a infasurarii primare: X_s1=ω₁L_s1, iar fluxul polar fascicular Φ a fost considerat ca origine de faza. S-a tinut seama de faptul ca derivatei unei marimi ii corespunde la reprezentarea in complex inmultirea cu jω₁, unde ω₁ este pulsatia marimii respective.

In ceea ce priveste rotorul, pentru faza a - x, lucrand in gol, se poate scrie:

(5.11)

unde:

(5.12)

relatie similara cu (5.9). Se mentioneaza ca rotorul este imobil.

2.2 Functionarea masinii asincrone trifazate cu rotor in circuit inchis in miscare de rotatie

Se considera rotorul in miscare cu viteza unghiulara ω = ct. (ca motor, 0<Ω<Ω₁), cu fazele conectate pe o rezistenta, fig. 5.8. Intre campul rotitor si conductoarele infasurarii rotorice exista o alunecare s , data de (5.2).

In ceea ce priveste statorul, fenomenele raman aproximativ aceleasi ca la gol, doar valoarea curentului creste si unghiul de defazaj fata de flux, adica in loc de I₁₀ se va scrie I₁ (unde I₁>I₁₀), iar ecuatia (5.10) in complex simplificat devine:

(5.13)

Referitor la rotor, acesta functioneaza ca un transformator in sarcina. Prin faza a-x si rezistenta R_p circula curentul i₂, care va crea un flux de reactie a rotorului. Intr-o prima instanta, facem presupunerea ca fluxul rezultant in masina ramane acelasi cu cel de la gol. Ecuatia care caracterizeaza o faza rotorica este similara cu (5.7) sau (5.13), in care intra marimile rotorice induse, avand frecventa: f₂=sf₁ , sau pulsatia ω₂=sω₁, adica:

(5.14)

Daca se face trecerea in complex si se imparte prin s, se obtine:

(5.15)

Marimile cu indice s ale rotorului: u_2s si e_2s semnifica faptul ca acestea au o frecventa dependenta de s .

Tensiunea indusa in faza rotorica se deduce din (5.12), adica:

(5.16)

unde:

(5.17)

este tensiunea indusa in faza rotorica, cand acesta este imobil, iar frecventa este egala cu a statorului (s=1).

De cele mai multe ori reostatul de pornire se aduce pe pozitia de scurtcircuit la putin timp dupa conectarea la retea a statorului. Acesta este regimul normal de functionare a masinii. La motoarele cu rotor in colivie, in permanenta rotorul functioneaza in scurtcircuit. Ecuatia unei faze a rotorului (5.15) se poate aduce, tinand seama de (5.16), la forma:

(5.18)

Se obtine I₂ in complex, precum si modulul sau, astfel:

(5.19)

Pentru a ajunge la relatia dintre solenatii se pot utiliza rezultatele cunoscute de la Transformatorul el. [vol. 1] sau [vol. 2- Masina sincrona, cap.3]. Daca se foloseste relatia (5.13), in conditiile cand curentul absorbit I₁<I_1N, ultimii doi termeni din membrul drept sunt neglijabili in raport cu ceilalti si se obtine:

(5.20)

Deoarece U₁ si f₁ sunt constante, acestea fiind dictate de sistemul de alimentare, rezulta:

(5.21)

Marimea Φ_m (si implicit Φ) este impusa de solenatie, iar daca se considera caracteristica magnetica a masinii-liniara (se neglijeaza saturatia circuitului magnetic), atunci, la mersul in gol, se scrie fazorul fluxului:

(5.22)

unde k_ф este o constanta, in care intra elemente geometrice si numerele de spire.

La functionarea in sarcina, fluxul Φ_m (considerat egal cu cel de la gol, desi in realitate difera cu cateva procente) este determinat de rezultanta solenatiilor statorului si rotorului, adica:

(5.23)

Din (5.22) si (5.23) se obtine relatia dintre curenti la masina cu rotor bobinat:

(5.24)

Prin impartirea cu k_w1W₁, se ajunge la relatia:

(5.25)

unde: k_i este raportul dintre numerele efective de spire din fazele: statorica, respectiv rotorica.

Observatia 1: Se anticipeaza faptul ca daca numerele de faze ale armaturilor sunt diferite, adica , intervine si in expresia lui k_i.

Asadar, functionarea in sarcina a masinii asincrone trifazate este descrisa de sistemul de ecuatii, in complex simplificat, (5.13), (5.18), (5.25):

(5.26)

in care intervine alunecarea s.

2.3 Ecuatiile masinii asincrone trifazate in marimi raportate

In mod similar ca la "transformatorul raportat" se pot obtine ecuatiile masinii asincrone trifazate in marimi raportate la stator. Prin raportarea marimilor rotorice (secundare) la cele ale statorului (primar), se va aduce infasurarea rotorica la un numar efectiv de spire pe faza egal cu numarul efectiv de spire pe faza statorica. In sistemul (5.26) se inmulteste ecuatia a doua cu k_i, dat de (5.25), astfel incat se obtine:

(5.27)

unde modulul primei marimi din membrul drept este :

(5.28)

Prin analogie cu prima ecuatie din (5.26), se poate scrie (5.27) sub forma :

(5.29)

unde s-au introdus marimile rotorice raportate la stator :

(5.30)

obtinute dupa regulile cunoscute de la 2.2.1.2 [6], adica :

- tensiunile secundare se raporteaza prin inmultire cu k_i ,

- curentii secundari se raporteaza prin impartirea la k_i ,

- rezistentele, reactantele (in general impedantele), se raporteaza prin inmultirea cu k_i².

Observatia 2: Cand numarul de faze ale armaturilor sunt diferite: , relatiile de raportare a marimilor rotorice devin:

Justificarea se obtine cu rationamentele expuse in 5.4.3.

Ecuatiile masinii asincrone trifazate in marimi raportate, sunt:

(5.31)

deci similare cu ale unui transformator in scurt circuit, in care intra alunecarea.

3 Scheme electrice echivalente ale m. a. trifazate

3.1 Scheme echivalente ale masinii asincrone trifazate cu pierderi in fier neglijabile

In conditiile neglijarii pierderilor in fier si daca , curentul de mers in gol ideal I₁₀ (rotorul - rotit la sincronism) este in faza cu fluxul pe care il produce.

Daca se au in vedere ecuatiile (5.31), se poate desena o schema electrica echivalenta, avand n - 1 = 1, deci n = 2 noduri si o = 2 ochiuri independente. In aceasta schema se evidentiaza o impedanta (mai concret o reactanta, X_m) de magnetizare, strabatuta de I₁₀ care intretine fluxul in masina.

La bornele acesteia se obtine tensiunea indusa (fig.5.9 a).

Este valabila relatia urmatoare:

(5.32)

In ochiul circuitului secundar II se afla o rezistenta variabila cu alunecarea, . Tinand seama de identitatea :

(5.33)

schema echivalenta din fig. 5.9 a) devine una similara cu cea a unui transformator fara pierderi in fier, avand o rezistenta de sarcina dependenta de alunecarea s (fig. 5.9 b). Tensiunea secundara raportata, la bornele rezistentei variabile cu s, este:

(5.34)

Daca s = 1, rezulta , adica la n = 0, (in momentul pornirii) puterea vehiculata cu exteriorul de secundar este nula. Pentru s = 0, rezistenta de sarcina tinde la infinit, deci curentul este nul, puterea in secundar este nula; fapt justificat prin aceea ca rotorul fiind in sincronism nu este viteza relativa intre acesta si camp, deci nu exista interactiune camp statoric - curent indus rotoric. Se mentioneaza faptul ca tensiunile, curentii, rezistentele si reactantele din schemele echivalente prezentate corespund unei faze a masinii analizate.

3.2 Scheme echivalente ale masinii asincrone trifazate cu considerarea pierderilor in fier

Pierderile in fier pentru masina functionand la s = s_N, se manifesta in circuitul magnetic statoric, unde frecventa este f₁. Intrucat aceste pierderi sunt dependente de frecventa (mai exact de , α fiind intre 1 si 2), valorile lor sunt reduse la frecvente mici. Cum in rotor frecventa tensiunilor induse este mica (1-2 Hz), pierderile in fier vor fi neglijabile. Utilizand rationamentul de la transformator, 2.2.3 [6], in schema electrica echivalenta din fig. 5.9 a) se introduce o rezistenta in paralel cu reactanta de magnetizare, incat schema devine cea prezentata in fig. 5.10 a) (numita in Π).

Marimea rezistentei R_mp, se poate deduce cu oarecare exactitate astfel: se face incercarea in gol la viteza de sincronism; se masoara puterea activa absorbita p₁₀; se calculeaza pierderile prin efect electrocaloric la mers in gol 3R₁I₁₀²; se determina: p_Fe = p₁₀ - 3R₁I₁₀²; se calculeaza R_mp din egalitatea aproximativa:

(5.35)

Componentele: activa si reactiva ale curentului, I₁₀ se deduc imediat :

; (5.36)

Cunoscand I_10r si U₁ ≈ E₁, se poate deduce reactanta de magnetizare sau utila:

(5.37)

Cele doua elemente de circuit (R_mp, X_mp) conectate in paralel in schema din fig.5.10 a), pot fi substituite prin elemente conectate in serie.

Impedanta echivalenta Z_m se determina astfel :

(5.38)

In forma concentrata, schema electrica echivalenta in T a masinii asincrone, pe o faza, este redata in fig. 5.10 b), unde intervin trei impedante :

(5.39)

In schema prezentata in fig.5.10 b), se aplica teoremele lui Kirchhoff, considerand: ca necunoscute si se obtin sistemul in forma:

(5.40)

Se rezolva sistemul (5.40) si se deduce curentul adica:

(5.41)

unde Z_m = jX_m; deci se neglijeaza pierderile in fier (R_mp→∞, R_m=0), iar R₁<<X_s1.

3.3 Diagrama fazoriala a masinii asincrone trifazate

Se va considera fluxul Φ - rezultant (util) ca origine de faza, fig.5.11, adica:

Curentul de mers in gol ideal, I₁₀ , va fi defazat cu un unghi α₀, in avans fata de flux datorita prezentei componentei active, corespunzatoare pierderilor in fier.

Tensiunile induse sunt, conform (5.31), defazate cu π/2 in avans fata de flux:

, (5.43)

Curentul I₁ este in avans cu un unghi α₁ > α₀ fata de flux, intrucat la functionarea in sarcina creste componenta activa fata de functionarea in gol (statorul este un circuit activ-inductiv):

(5.44)

Curentul secundar satisface ecuatia a treia din setul (5.31). Fazorii: sunt: coliniar cu I₁, respectiv perpendicular pe I₁ , iar reprezinta tensiunea primara de faza U₁. Pentru circuitul secundar, este valabila ecuatia a doua din (5.31) iar in plan se obtine configuratia OADE unde :

(5.45)

Avand in vedere faptul ca U'₂ si I'₂ sunt in opozitie, unghiul secundar φ₂ =π, puterea activa din secundar: U'₂I'₂cos φ₂ este negativa, adica masina cedeaza prin rotor o putere activa care se regaseste ca putere mecanica cedata masinii de lucru - cuplata pe arbore.

Se mai face precizarea ca din aceasta putere mecanica, o parte (cateva procente) este necesara acoperirii unor frecari in lagare sau cu aerul, constituind "pierderile mecanice si prin ventilatie", p_mec, la care se mai adauga si altele suplimentare, iar cea mai mare parte o constituie puterea mecanica utila, P₂ - transmisa masinii de lucru.