Stabilitatea formei de echilibru - flambajul barei drepte comprimate

STABILITATEA FORMEI DE ECHILIBRU

1 Flambajul barei drepte comprimate

1.1 Introducere. Cauzele producerii flambajului

In marea majoritate a cazurilor de solicitare determinarea tensiunilor s-a facut considerand ca barele erau in echilibru stabil, adica in bare era asigurata stabilitatea formei de echilibru, aceasta insemnand ca deformatiile elastice sunt atat de mici, incat nu modifica forma generala a corpului, pentru cresteri mici ale fortelor corespund deformatii mici proportionale.

Exista insa situatii cand pot interveni stari de echilibru instabil din punct de vedere elastic, adica situatii cand nu mai este asigurata stabilitatea formei de echilibru. La cresteri mici ale sarcinilor pot apare cresteri mari ale deformatiilor. In astfel de situatii ecuatiile de echilibru trebuie exprimate pe forma deformata a elementului, principiul suprapunerii efectelor nemaifiind valabil.

De asemenea si modul de scriere matematica a ecuatiilor este diferita. In problemele de o vergea dreapta subtire, dublu articulata, actionata la capete de doua forte de compresiune.

Pentru valori mici ale fortei de solicitare bara isi pastreaza forma rectilinie. Marind fortele pana la o anumita valoare, bara continua sa-si pastreze forma dreapta, apoi se incovoaie brusc, luand o forma de echilibru curbilinie asa cum se poate vedea si din figura 1. Valoarea fortei pentru care bara trece de la forma rectilinie la o forma curbilinie este denumita forta critica de flambaj si se va nota

Fig. 1

Atat timp cat, bara ramane dreapta (este in echilibru stabil). Cand, bara trece intr-un echilibru indiferent, adica poate sa ia orice forma curbilinie in jurul pozitiei drepte. Cand creste peste se ating valori ale deformtiilor plastice atat de mari incat bara nu mai poate fi exploatata.

1.2 Metode pentru determinarea fortei critice de flambaj

1. Metoda statica. Sistemului aflat in echilibru static i se da o deplasare infinitizimala, scriindu-se, pe aceasta forma deformata, ecuatiile de echilibru, diferentiale sau algebrice, functie de numarul de grade de libertate. Daca aceste ecuatii au o singura solutie atunci este posibila o forma de echilibru stabil. Daca exista mai multe solutii atunci pe langa forma initiala de echilibru mai sunt posibile si alte forme de echilibru.

2. Metoda energetica. Pentru situatia de echilibru a sistemului, energia potentiala totala a acestuia are o valoare extrema, natura extremului formei deformate fiind data de principiul Lejeune-Dirichlet: daca sistemul se afla intr-o forma deformata de echilibru stabil, energia potentiala totala a lui reprezinta un minim fata de toate formele deformate infinit vecine; energia potentiala totala reprezinta un maxim pentru o forma deformata de echilibru nestabil, iar pentru o forma deformata de echilibru indiferent, energia potentiala totala ramane aceeasi in comparatie cu formele deformate vecine.

3. Metoda dinamica. Prin extinderea criteriului general de stabilitate a pozitiei de echilibru pentru un punct material, un sistem perturbat din pozitia sa de echilibru stabil si lasat liber, va executa miscari oscilatorii in jurul formei deformate initiale de echilibru, frecventa vibratiilor proprii fiind functie de forta exterioara.

Daca miscarea este data de mici oscilatii amortizate sau neamortizate, in jurul pozitiei initiale de echilibru, atunci aceasta pozitie a sistemului este stabila. Daca miscarea este oscilatorie si amplitudinile cresc cu timpul, pozitia initiala a sistemului este nestabila.

1.3 Determinarea fortei critice de flambaj pentru cazurile clasice de rezemare

A. Bara dublu articulata

Se considera bara articulata din figura 2.

Fig. 2

Marimile sectionale vor fi scrise in starea deformata a barei.

In sectiunea va apare momentul incovoietor:

(1)

Ecuatia diferentiala poate fi scrisa pleacand de la aproximatiile succesive studiate deja la Teoria elasticitatii:

(2)

Sau grupand:

(3)

Introducand notatia:

(4)

rezulta:

(5)

Cu notatia din relatia (4) rezulta ecuatia:

(6)

Ecuatia diferentiala astfel obtinuta este de ordinul doi, liniara, cu coeficienti constanti si omogena. Solutia generala poate fi scrisa sub forma:

(7)

in care si sunt constante de integrare care se vor determina din conditiile la limita. Aceste conditii la limita sunt:

-

-

Prima conditie introdusa in (6) da, iar a doua:

Constanta nu poate fi nula, deoarece in acest caz ar rezulta, adica bara este drepta, contrar ipotezei ca flambajul s-a produs. De asemenea nu poate fi nul, deoarece din relatia (4) ar rezulta, adica bara nu este solicitata. Ultima posibilitate este, din care rezulta:

(8)

Acestea sunt valorile proprii pentru cazul barei dublu articulate. Din relatia (8) se deduce:

(9)

Se poate obtine astfel forta critica de flambaj:

(10)

Pentru rezulta un sir de forte critice:

(11)

Dintre toate fortele critice, valoarea minima este cea mai defavorabila si va fi privita ca forta critica de flambaj a barei si este denumita si forta critica EULER, deoarece a fost stabilita pentru

prima data de Leonard Euler.

Ecuatia fibrei medii deformate rezulta din (7), in care se face, iar dat de relatia (9) pentru

(12)

si reprezinta o sinusoida cu o semiunda.

Constanta A nu a putut fi determinata din conditiile la limita. Semnificatia ei fizica reiese facand in relatia (12):, adica reprezinta sageata maxima a barei flambate.

O observatie cu caracter de generalitate este aceea ca asa cum se stie sectiunea transversala a unei bare are doua directii principale de inertie, fata de care momentele de inertie axiale sunt unul maxim celalalt minim.

Flambajul se va produce intotdeauna dupa directia dupa care momentul de inertie este minim, astfel incat relatia de calcul a fortei critice de flambaj va fi scrisa:

(13)

Fig. 3

B. Bara incastrata perfect la un capat si libera la celalalt.

Originea axelor este luata in capatul liber al barei, fiind atasata acestuia (adica mobila odata cu capatul liber, figura 4). Intr-o sectiune, momentul incovoietor are aceeasi relatie ca si in cazul precedent.

Fig. 4

Se va scrie solutia impreuna cu prima derivata:

Ceea ce difera fata de cazul precedent sunt conditiile la limita:

- ;

- .

Introducand aceste conditii la limita in relatiile precedente, rezulta si.

Ultima conditie din care nu se accepta reprezinta ecuatia caracteristica:

cu solutia (valorile proprii):

Acestor solutii la corespund fortele:

din care valoarea minima (pentru) reprezinta forta critica de flambaj in cazul de rezemare considerat:

Pentru acest caz, fibra medie deformata va fi o sinusoida:

a carei semiunda are lungimea.

C. Bara articulata la un capat si incastrata perfect la celalalt

Pentru a scrie momentul incovoietor intr-o sectiune trebuie sa fie luata in considerare si componenta a rectiunii in articulatia O, ca in figura 5.

Fig. 5

Momentul incovoietor se va scrie:

(14)

iar ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate se scrie succesiv:

(15)

Ultima ecuatie din (15) difera de cele scrise pana acum deoarece are membru drept, de aceea solutiei ecuatiei omogene va trebui sa i se asocieze si o solutie particulara. Aceasta se gaseste usor observand ca partea dreapta este functie liniara de si cautand o solutie de aceeasi forma, rezulta:

solutia generala fiind in acest caz de forma:

Impunand conditiile la limita:

- ;

- si ,

rezulta si

Se observa ca nu este cunoscut, astfel incat se pot considera ca necunoscute si raportul; sistemul este omogen si admite solutii diferite de cea banala numai daca determinantul principal este nul:

.

Din dezvoltarea acestui determinant rezulta ecuatia caracteristica:

(16)

Radacina cea mai mica a acestei ecuatii transcendente este:

.

Observand ca , forta critica de flambaj va fi:

(17)

D. Bara dublu incastrata

Este prezentata in figura 6.

Fig. 6

Tinand seama ca o incastrare comporta trei necunoscute, momentul incovoietor in sectiunea din figura 6 va fi:

(18)

iar ecuatia fibrei medii deformate devine:

sau

(19)

Solutia generala se obtine ca si in cazul precedent:

(20)

Prima derivata este:

(21)

In problema au intervenit patru necunoscute, si anume si

. Pentru determinarea lor se exprima conditiile la limita:

- si ;

- si .

Se ajunge la sistemul omogen:

Din anularea determinantului principal rezulta ecuatia caracteristica:

(22)

Ecuatia (22) admite o familie de radacini din care, pentru cea mai mica, se deduce forta critica de flambaj:

sau .

Ecuatia (22) mai poate fi scrisa sub forma:

(23)

ale carei radacini pot fi deduse (prin dedublare) din radacinile ecuatiei (17).

Ecuatia fibrei medii deformate va fi:

.

E. Bara dublu incastrata cu un capat deplasabil

Se alege originea axelor in incastrarea deplasabila (figura 7).

Fig. 7

Expresia momentului incovoietor devine:

(24)

iar ecuatia fibrei medii deformate este:

,

cu solutia generala:

(25)

Conditiile la limita se scriu:

- si ;

- .

Rezulta ecuatia caracteristica, cu aceeasi solutie ca in cazul barei dublu articulate.

Diferenta rezida doar in fibra medie deformata, care are semiunde de lungime, insa decalate cu jumatate de interval (punct de inflexiune la mijlocul barei).

Forta critica de flambaj este deci tot:

Concluzii

In tabelul urmator sunt prezentate sintetic fortele critice de flambaj si valorile proprii pentru cazurile de legare a barelor la capete prezentate anterior.

Lungimea de flambaj

Din exprimarea diferitelor cazuri studiate a rezultat ca forta critica de flambaj poate fi exprimata ca un produs dintre factorul dimensional

si un coeficient numeric depinzand de conditiile de rezemare la capete.

O forma unitara de exprimare a fortei critice de flambaj poate fi cea de mai jos:

unde reprezinta lungimea de flambaj care pentru diferitele cazuri de rezemare a barei la capete este:

- bara articulata la ambele capete: ;

- bara incastrata la un capat si libera la celalalt: ;

- bara incastrata la un capat si articulata la celalalt: ;

- bara incastrata perfect la ambele capete: .

Se face precizarea ca lungimea de flambaj reprezinta distanta pe lungimea barei dintre doua puncte de inflexiune succesive ale fibrei medii deformate.

1.4 Rezistente critice de flambaj. Coeficienti de zveltete

In prezentarea care urmeaza se va considera ca bara este dublu articulata la capete pentru ca modul de rezemare a barei la capete sa nu mai conteze.

Se determina tensiunea care apare in sectiune cand forta aplicata atinge valoarea critica; ea fiind denumita rezistenta critica de flambaj.

Folosind formula de la compresiune simpla se obtine direct:

(26)

unde reprezinta aria sectiunii transversale a barei.

Raportul reprezinta patratul razei de inertie, deci se va putea nota mai departe:

(27)

Caracteristicele geometrice si de rezemare ale barei intervin doar prin raportul dintre lungimea de flambaj si raza de inertie. Acest raport este denumit coeficient de zveltete sau subtirimea barei si se noteaza:

(28)

Tinand cont de relatia (28) rezistenta critica de flambaj se poate scrie:

(29)

Legea de variatie a rezistentei critice data de relatia (29) reprezinta o hiperbola cubica, cunoscuta sub numele de hiperbola lui Euler (ramura pozitiva pentru). Cu cat este mai mare, adica bara este mai zvelta, cu atat rezistenta critica este mai mica. joaca rolul limitei de curgere sau al rezistentei de rupere din cazul teoriei de ordinul I.