TENDINTE IN MODELAREA 3D A OBIECTELOR TEHNICE

Lucrare de disertatie

TENDINTE IN MODELAREA 3D

A OBIECTELOR TEHNICE

Conceptul de inginerie asistata de calculator

In prezent parcurgem o perioada in care strategia de productie se subordoneaza filozofiei de piata bazata pe ideea de 'a produce ceea ce se cere' total diferita de cea antebelica in care s-a aplicat strategia 'produce ceea ce se poate produce'. Mai mult ca oricand in prezent se cere 'a se produce atat cat trebuie, de livrat acolo unde trebuie, in cantitatea care trebuie, la momentul potrivit, la cea mai inalta calitate si la un pret cat mai scazut'. Tinand cont de aceste conditii se deduce ca ponderea cea mai mare poate fi reprezentata de productia de serie mica-mijlocie si pe alocuri chiar de unicate.

Producia de serie mare, acolo unde mai exista, este organizata pentru a asigura elementele tipizate, sau in cadrul unei producerii de grup.

In etapa actuala de dezvoltare a tehnicii si pornind de aici si a consumului, se observa o tendinta tot mai pronuntata de a realiza obiecte fizice cu forme tot mai diverse si mai complexe. In domeniul industrial se cunosc rigorile care se impun pe plan psiho-sociologic pentru formele diverselor utilaje, instalatii etc. de a fi cat mai placute si cat mai putin stresante.

Aceasta tendinta este explicata pe de o parte de functional si de nevoia de frumos, iar pe de alta parte de posibilitatile de prelucrare practic nelimitate oferite de sistemele de productie actuale..La o prima vedere s-ar spune ca utilizarea tehnicii de calcul (hardware si software) ar reprezenta o solutie, insa problema nu este atat de simpla. Solutia s-a dovedit a fi reorganizarea intregului proces de fabricatie pe principiile informaticii si integrarea asistata de calculator a intregului proces de fabricatie . Activitatea de inginerie a capatat denumirea de inginerie asistata de calculator, deoarece inginerul specialist isi desfasoara activitatea cu ajutorul unui sistem de calcul (asistat), sistem de calcul care este in legatura direct cu celelalte sisteme de calcul (integrat). De aici au derivat si activitatile de conceptie / proiectare constructiva sau tehnologica asistate de calculator dar si cea de productie asistata sub forma celulelor si sistemelor flexibile de fabricatie.

Pentru a putea prezenta obiectul de studiu al disciplinei de proiectare asistata este necesar deci sa se faca mai intai o analiza a intregului sistem, sa se identifice domeniul propriu de lucru, domeniile invecinate si relatiile cu acestea.

Introducere

Un model geometric solid este o reprezentare matematica neambigua si completa a unui obiect fizic intr-o forma ce poate fi procesata de un computer.

Un model geometric solid este o reprezentare matematica neambigua si completa a unui obiect fizic intr-o forma ce poate fi procesata de un computer Modelarea solida reprezinta o modelare geometrica completa, care permite crearea si comunicarea tuturor informatiilor geometrice de forma ale unui obiect oarecare. Aceasta presupune crearea si mentinerea unui model solid pentru accesare si analiza ulterioara. In modelarea solida, aceasta presupune informatii privind proprietatile volumetrice ale unui solid, precum greutatea sau momentul de inertie, precum si despre proprietatile topologice corespunzatoare, cum ar fi relatii de conexiune sau continut. In prezent, sistemele CAD utilizeaza metode hibride de modelare pseudo-solida, care evita definirea analitica. Metoda care a castigat cel mai mult teren este metoda de modelare cu suprafete de marginire. In principiu aceasta metoda defineste indirect un solid oarecare, prin suprafetele de marginire ale solidului si prin topologia acestora, adica prin relatia care trebuie sa existe intre aceste suprafete pentru a delimita zona spatiului umpluta cu material, de cea a mediului inconjurator.

Trebuie retinut ca in cadrul acestei metode informatiile geometrice nu sunt suficiente pentru a defini solidul, ci aceste informatii trebuie completate cu informatii topologice. Datele topologice includ relatiile de conexiune intre componentele geometrice.

Pentru aceasta se utilizeaza operatori Euler care asigura consistenta si validitatea topologica la realizarea fatetelor, muchiilor si vertexurilor.

Hiperpetic de solid elementar analitic

Trecerea la modelul de suprafata din cel de curbe s-a facut prin trecerea de la modelul    monoparametric la cel biparametric, prin introducerea unui nou parametru, spatiul de definire parametric fiind bidimensional (plan).

In acelasi mod se face trecerea la modelul de reprezentare al unui solid oarecare, prin adaugarea unui nou parametru. Rezulta un model matematic cu trei parametri u,v,w, de tip triparametric. Elementul de solid de baza se numeste hiperpetic (hiperpatch) de volum (solid) si este reprezentat prin urmatoarea ecuatie:

Ca si in cazul suprafetelor, cand printr -un    punct trec doua curbe de parametru constant, la modelul de solid, prin fiecare punct r(u,v,w) trece numai o suprafata din fiecare familie. Aceste suprafete sunt numite cateodata suprafete isopametrice, indicand o suprafata in interiorul unui solid pe care unul din cei trei parametri variabili este constant.

In asociere cu fiecare hiperpatch, exista un set de elemente de margine Pentru un hiperpatch obisnuit, nedegenerat sau solid parametrizat sunt intotdeauna 8puncte de colt

Acestea urmaresc combinatiile posibile de cate doua din trei variabile parametrice.

Hiperpeticul de solid.

Muchiile curbelor sunt functii de cate una din cele trei variabile parametrice. Le obtinem permitand unei variabile sa ramana libera in timp ce fixam combinatii ale celorlalte doua in intervalul stabilit. Rezulta 12 combinatii posibile, care dau functiile care definesc muchiile celor 12 curbe parametrice.

Tragem concluzia ca fetele hiperpeticului de solid sunt functii de doi din trei parametri variabili. Aceste suprafete se obtin prin blocarea unui parametru la o valoare constanta limita, iar ceilalti doi sa fie liberi. Aceasta conduce la obtinerea a sase posibilitati de permutare a parametrilor, obtinandu-se astfel cele sase petice care marginesc un solid oarecare.

Cel mai simplu exemplu de solid este paralelipipedul dreptunghic, solid .

Ecuatiile parametrice de reprezentare sunt date in continuare:

Forma Ferguson a solidului elementar

Aceasta forma se obtine simplu prin extinderea formei bicubice care prezinta modelul peticului elementar de suprafata, la forma tricubica.

Parametrii u,v,w sunt restrictionati prin definitie la domeniul [0,1]. Dezvoltand ecuatia de mai sus dupa u,v,w se obtine un polinom cubic in r(u,v,w):

Aceasta relatie presupune un numar de 4 x 4 x 4 coeficienti vectoriali si un numar de 64 x 3 de coeficienti scalari. Manevrarea unei astfel de ecuatii nu este comoda chiar si in cadrul tratarii computationale. O solutie ar fi notatia matriciala, insa vectorii cu trei componente si trei parametri independenti fac manevrarea acestor masive de date dificila

Rezulta astfel:

Primitiva de tip paralelipiped dreptunghic.

Aceasta forma este introdusa pentru a putea permite o notatie mult mai comoda si anume cea tensoriala. Renuntand pentru comoditate la simbolurile de suma, se obtine forma:

Utilizand formele functiilor de compozitie, aceasta ultima ecuatie se mai poate scrie astfel:

in care Fi, Fj, Fk sunt functiile de compozitie cunoscute.

Se pune problema care sunt conditiile de margine si cum se interpreteaza din punct de vedere geometric. Pentru un solid oarecare nedegenerat, se pot lua in consideratie urmatoarele conditii de margine:

• varfurile hiperpeticului r(u,v,w) in total 8 conditii:

• tangentele la fiecare muchie a solidului in colturi in numar de 24 conditii:

• vectorii de torsiune ai suprafetelor de marginire in numar de 24 conditii:

• vectorii de hipertorsiune, in colturi, interpretati ca derivata de ordinul trei mixta, in numar de 8 conditii:

Astfel s-a obtinut un sistem de 64 ecuatii vectoriale cu 64 de necunoscute care are, in mod normal, solutii. Pentru a intelege modul de reprezentare in forma tensoriala se reaminteste ca pentru un petic de suprafata oarecare:

• legatura intre parametrii bij si conditiile de margine este urmatoarea:

si o interpretam astfel:

Generalizam aceasta ecuatie pe baza observatiei ca, atunci cand indicii functiilor de compozitie sunt mai mici decat 3, atunci vectorul asociat b reprezinta un punct, iar atunci cand unul din acesti indici este 3 sau 4, atunci vectorul asociat reprezinta un vector tangent.

In aceste conditii expresia coeficientilor polinomiali aijk este:

sau pentru simplificarea scrierii:

unde M reprezinta matricea universala de definire a functiilor de compozitie, iar indiciidiferiti reprezinta elementele specifice ale acestor matrici.

Acest mod de reprezentare nu este prea comod si de aceea Stanton (1974) a dezvoltat o forma usor diferita prin care cei 64 de parametri ai hiperpeticului se reprezinta ca un set de 16 parametri. Aceasta permite intelegerea mai usoara a proprietatilor de combinare si a relatiilor dintre peticele de suprafata si hiperpetic. Stanton a plecat de la definirea in trei forme distincte, dar echivalente, a o treime din valorile vectoriale necesare expresiei analitice a unui solid. Fiecare forma necesita numai 64 de valori.

Aceste forme sunt date ca o suma tripla.

Particularizarea coeficientilor geometrici ai unui cub unitar.

Vectori tangenti si vectori de torsiune pe un solid

Ne intereseaza semnificatia geometrica a acestor expresii in cazul solidului.

Exista trei variante de ordinal intai:

Exista trei derivate de ordinul doi dublu-mixte: care au semnificatia de vectori de torsiune ai suprafetelor care marginesc solidul, in mod absolute identic cu vectorii de torsiune de la suprafete.

In sfarsit, exista o derivata de ordinul trei triplu-mixta care este specifica solidului:

Se observa ca vectorul de torsiune solid,controleaza schimburile de forma din interiorul solidului si nu afecteaza suprafetele de margine. In acest mod, acest vector contribuie la asigurarea continuitatii unui hiperpetic de solid cu altul,dupa cum se va vedea in continuare.

Influenta valorii derivatelor asupra formei solidului.

Interpretarea spatiului parametric pentru element de solid

Curbe si suprafete izoparametrice intr-un element de solid.

Spatiul parametric al unui solid difera fata de cel al unei curbe sau suprafete, avand in plus o variabila parametrica. Avem acum un set de spatii parametrice cu patru dimensiuni definite de coordonatele (u, v, w, x),(u,v,w,y) si (u,v,w,z).

Interpretarea spatiului parametric.

Suprafete si curbe intr-un solid

Un solid parametric suporta un sistem de coordonate curbiliniu tridimensional, in care se pot defini curbe si suprafete.

O curba parametrica rabw intr-un solid rezulta atunci cand precizam u = a si v = b, unde a, b sunt constante. In acelasi mod se pot obtine doua suprafete izoparametrice, ravw si rubw care sunt prezentate mai jos:

Hiperpetice degenerate

Este posibil sa existe si solizi care sa nu aiba o forma papalelipipedica curbilinie oarecare. Un exemplu specific este aratat in figura urmatoare:

Modele pseudo-solide

Modelarea prin suprafete de marginire

In cadrul acestui tip de model, un obiect solid poate fi reprezentat printr-o colectie de suprafete date analitic si printr-un numar de informatii privind pozitia reciproca a acestor suprafete (prin metode matematice diverse). Aceste suprafete de marginire definite prin ecuatii biparametrice sunt limitate de muchii care sunt descrise de ecuatii de curba.

Informatiile necesare pentru a construi o prisma din cele patru fatete plane

• date geometrice - se reprezinta analitic geometric;
• informatii privind elementele componente ale obiectului - grafuri;
• informatii de apartenenta reciproca a elementelor - matrici;
• informatii de apartenenta reciproca elementelor - matrici;

Prisma

Topologia fatetelor plane pentru un poliedru

Multe dintre schemele de reprezentare existente pentru modelarea obiectelor solidefolosesc poliedre si topologia lor. Poliedrul clasic este un excelent exemplu cu care se poate incepe o discutie asupra fatetelor plane. Prin poliedru vom intelege un aranjament de suprafete poligonale plane .

Doua si numai doua poligoane se intalnesc la o muchie si este posibila traversarea suprafetei poliedrului prin intersectarea muchiilor sale si prin deplasare de pe o fata poligonala pe alta pana cand toate poligoanele au fost traversate de aceasta cale continua. Poliedrele regulate sunt un exemplu si o submultime a poliedrelor simple. Poliedrele regulate nu au muchii reentrante si astfel sunt convexe.. Desi convexitatea nu este o proprietate topologica ,ea implica una si anume, fiecare poliedru convex este un poliedru simplu. Un poliedru toroidal nu este un poliedru simplu.Exista o relatie binecunoscuta intre numarul de vertexuri, muchii si fete ale unui poliedru simplu, numita formula Euler pentru poliedre. Fie V, E si F, respectiv numarul de vertexuri, muchii si fete ale unui poliedru. Formula Euler pentru poliedresimple stabileste ca

Poliedrele sunt, din punct de vedere topologic, echivalente oricarui obiect solid Prezinta goluri si sunt, din acest motiv, de o utilitate directa in modelarea geometrica forma de paralelipiped ale carui laturi sunt paralele cu fetele exterioare.

Exemple de poliedre complexe.

Concluzii privind modelarea pseudo-solida

Pana de curand, cele mai multe sisteme de modelare geometrica lasau controlul final utilizatorului pentru a verifica daca modelul este complet, valid si unic determinat.Aceasta verificare a devenit din ce in ce mai dificila odata cu cresterea complexitatii modelului, chiar in cazul utilizarii unor tehnici sofisticate de afisare grafica. Pe de alta parte, un model valid poate fi folosit ca intrare pentru alte aplicatii care genereaza automat modificari ale modelului, fie temporare, fie permanente, asa cum se intampla

Pentru inceput, putem afirma ca cele mai importante caracteristici ale obiectelor fizice solide sunt suprafata si forma. Forma unui obiect este determinate de multimea tuturor punctelor spatiale care il definesc. Suprafata unui obiect este o submultime a acestei multimi de puncte.

O forma este marginita daca ea este definibila intr-un spatiu finit si este conectata, daca fiecare pereche de puncte dininteriorul sau pot fi unite printr-o curba, fara a iesi din interior. Suprafata unei forme trebuie sa satisfaca anumite conditii: sa fie inchisa, orientabila, sa nu se intersecteze cu ea insasi,    sa fie limitativa, sa fie conectata.   

Modelarea solida a obiectelor complexe

A modela un solid de o forma oarecare este o activitate complet diferita de activitatea de proiectare clasica si in special fata de proiectarea asistata 2D.

Mai intai obiectul este descompus mental in obiecte mai simple, care vor fi modelate separat. Se poate combina si cu metoda de generare geometrica si tehnologica(features). Utilizand aceste obiecte si o serie de primitive puse la dispozitie de sistemul CAD se face sinteza completa a obiectului. Asadar nu exista o cale unica de modelare a unui obiect, un rol important avand si experienta abilitatea si imaginatia proiectantului.

Exemplu de descompunere a unui obiect complex

Acest proces poarta numele de descompunere in macroelemente componente. Orice solid poate fi reprezentat ca o suma sau ca o reuniune a setului de elemente componente in care acesta poate fi divizat.

Sunt sase categorii mari de metode de constructie a modelelor de solide oarecare:

• metoda analitica
• forme parametrizate (instances, parametrized shapes);
• discretizarea in elemente finite (cell decomposition);
• generare geometrica sau tehnologica (sweep representation);
• compunere din elemente geometrice simple (constructive solid geometry) -CSG;

• modelare cu suprafete de marginire (boundary representation).

Modelarea analitica

Pentru a putea genera un solid oarecare este necesar sa se compuna doua sau mai multe petice de solid, cu asigurarea conditiilor de continuitate pana la o anumita clasa.

Continuitatea a doua hiperpetice.

Modelarea prin compunere din elemente simple

Se poate considera ca un obiect solid se poate descompune intr-un numar de celule solide simple, spre exemplu cubul elementar astfel incat tot spatiul solid sa fie "umplut" cu aceste celule elementare.

Pentru o mai buna adaptare a procesului, dimensiunile cubului elementar trebuie sa fie variabile.

Cuburile elementare de diferite marimi, trebuie localizate geometric si topologic printr-un procedeu de numerotare pe un arbore binar.

Se evidentiaza doua avantaje ale reprezentarii unui solid printr-o matrice spatiala: accesul la un punct dat este usor de realizat, iar unicitatea spatiala este asigurata. Exista de asemenea si dezavantaje cum ar fi lipsa unei relatii de legatura explicita intre elementele componente ale obiectului, iar asemenea scheme cer cantitati mari de date ce trebuie memorate si manipulate.

Arborele patratic pentru reprezentarea plana si analogul sau tridimensional, arboreal octogonal, sugereaza un mod de utilizare mult mai eficient al numerotarii pozitiei spatiale.

Reprezentarea prin arbore patratic a unui obiect bidimensional.

Reprezentarea prin arbore patratic a unui obiect bidimensional se bazeaza pe subdivizionarea recurenta a unui patrat in cuadranti(elemente de forma patratica). Fiecare nod al arborelui reprezinta o zona patrata pe un plan. De retinut ca fiecare nod al arborelui binar are doi fii, iar fiecare nod al arborelui patratic are patru.

Reprezentarea prin arbore octogonal a unui obiect tridimensional.

Procesul de reducere a unui obiect solid la o reprezentare arborescenta patratica se mai numeste si codificare arborescenta patratica. Codificarea octoedrica este o extensie in spatiul tridimensional a codificarii patratice.

S-au dezvoltat metode de modelare a solidului bazate pe codificarea octoedrica in vederea obtinerii unei mai mari viteze de manipulare, analizare si afisare grafica pe calculator a obiectelor solide.

Variante ale acestor scheme pot furniza elemente metodologiei de cercetare pentru procesarea si sortarea rapida a modelelor bazate pe alte tehnici.

Metoda nu este folosita direct in sistemele CAD, ci numai pentru procesarea unui model solid in vederea transferarii pe un sistem CAE pentru simulari functionale in campuri diverse (mecanice, electrice, termice etc.).

Modelarea cu suprafete de marginire

Panza de suprafata a unui solid separa punctele interioare de punctele exterioare ale solidului. Suprafata de separatie este interfata primara intre solid si mediul inconjurator. Reflexia luminii de pe un solid si infatisarea acestuia sunt determinate de proprietatile formei, culorii si texturii suprafetei. Chiar si suprafetele de contur ale obiectelor transparente influenteaza reflexia luminii. Suprafata de separatie a unui solid apare si acolo unde apare problema de contact cu alti solizi. De asemenea cum se va vedea in continuare, procedeele de fabricatie iau in considerare interactiunea dintre suprafata infasuratoare a traiectoriei sculei de prelucrare si forma piesei brute. Toate acestea corelate cu simplitatea relativa a unui model de suprafata au facut ca aceasta metoda de modelare pseudo-solida sa fie foarte utilizata in sistemele CAD moderne. Este absolut firesc ca odata modelat un obiect din suprafete, acesta sa fie "umplut cu materie si sa devina un solid, adica sa se creeze un model matematic de rang superior.

Solidificarea spatiilor marginite de suprafete

O metoda directa de modelare solida, foarte raspandita in sistemele CAD actuale este cea a "solidificarii" unui spatiu 3D inchis de un numar de suprafete. Se spune ca se "umple" cu material acest spatiu.

Metoda consta in modelarea prin utilizarea entitatilor de tip suprafata. Pentru modelarea de suprafete se utilizeaza suprafete de tipul cunoscut spre exemplu NURBS, care sunt apoi trimate, extinse, racordate etc. Rezultatul il reprezinta un model tipic de suprafete. Un solid modelat trebuie sa satisfaca urmatorul set minimal de conditii:

• sa existe un numar finit de suprafete care sa margineasc_asolidul;
• suprafata este un subset al suprafetelor de marginire ale solidului;
• reuniunea tuturor suprafetelor unui obiect defineste marginirea prin suprafete a

acestuia;

• suprafata de marginire este un subset sau o regiune limitata ale unei suprafete

mai extinse;

• suprafata de marginire trebuie sa aiba o suprafata finita si sa fie omogena din

punct de vedere dimensional.

Aceste conditii sunt ilustrate de suprafetele de marginire a unui cub sau unui cilindru simplu.

Este evident ca o singura suprafata a cubului sau cilindrului nu defineste intregul obiect si de aceea fiecare fata este un subset al conturului complet. Fiecare fata a cubului si cilindrului are o suprafata finita si este omogena din punct de vedere dimensional.

Fiecare fata a cubului si cilindrului are o suprafata finita si este omogena din punct de vedere dimensional.

Exista o varietate de scheme hibride pentru a efectua modificari locale asupra unui model solid fara a modifica topologia. In schemele de reprezentare cu suprafete de marginire aceasta relatie booleana inseamna ca suprafata de marginire a obiectului rezultat S este formata dintr-un set de regiuni corespunzatoare ale suprafetelor delimitare ale primitivelor A si B.Aceste regiuni sunt numite regiuniactive si sunt notate cu aA si aB respectiv. Regiunile active se pot determina luand in considerare doua condit ii. Pentru prima, regiunile sunt delimitate prin intersectia suprafetelor de marginire ale lui A si B.

Pentru a doua conditie, selectam regiunea activa a unei anumite primitive bazat pe faptul ca aceasta suprafata de marginire se gaseste fie in interiorul, fie in exteriorul sau fie pe conturul altor primitive de combinare.

Forma unui obiect complex poate fi redata de ecuatia:

Limitarea prin curbe a suprafetelor de marginire.

In figura urmatoare se prezinta modul de calcul a reuniunii obiectelor A si B. Acest calcul se va face in doua etape. Mai intai aflam punctele u1 si u2 de intersectie a celor doua curbe de contur ale lui A si B.

Simularea 2D a modelarii prin suprafete de marginire.

Observam ca reuniunea intervalelor active dupa orice operatie de combinare defineste intotdeauna una sau mai multe bucle inchise.

O situatie similara apare si in cazul obiectelor tridimensionale. Regiunile suprafetelor active (fatete) de pe toate primitivele sunt combinate pentru a defini un solid vor forma o suprafata inchisa.

Modelare 3D.

Aceasta forma consta din reuniunea unei sfere P1 cu un cilindru P2 taiat la un capat dupa un plan inclinat. Observam ca cilindrul solid este definit de concatenarea a trei suprafete a caror curbe de intersectie delimiteaza regiunile fetelor.

Reuniunea acestor regiuni ale fetelor defineste suprafata de marginire a cilindrului.

Observam ca punctele contureaza regiuni active pe curbe si curbele contureaza regiuni active pe suprafete.

Desi pare simplu, raman multe probleme nerezolvate in schemele reprezentarilor de contur. Cea mai importanta dintre ele este problema validitatii modelului.

Generarea geometrica si tehnologica a obiectelor

Pentru a usura procesul de modelare (constructie) a unui corp solid in sistemele CAD se pun la dispozitie metode si tehnici care sa simuleze anumite procedee matematice (geometrice) sau tehnologice de constructie respectiv de prelucrare.

Cea mai simpla metoda este cea a generarii pe baza unei miscari cinematice a unui model de tip punct, curba sau suprafata (sweep generation). Locul geometric al punctelor generate prin acest proces defineste un obiect uni-, bi- sau tridimensional.

Generarea geometrica (denumita uneori si generare tehnologica) pentru modelarea solidelor este simpla de inteles si executat si ofera totodata un domeniu fertil pentru dezvoltarea unor metode noi.

Pentru a modela solide, prin aceasta metoda sunt absolut necesare doua elemente un obiect care se va deplasa si o traiectorie, de-a lungul careia se va deplasa obiectul.

Cateodata, obiectul mai este denumit si obiect generator sau simplu generator, traiectoria de deplasare fiind denumita curba directoare.

Sunt prezentate doua tipuri principale de traiectorii - translatia echivalenta tehnologic cu extruziunea, frezarea sau gaurirea si rotatia echivalenta cu strunjirea. Ceva mai tarziu, vom analiza reprezentarile generate neliniar, intr-o forma generalizata

Curba directoare nu este neaparat un element al obiectului generat. De asemenea, mai trebuie remarcat ca in procesul de generare are loc deplasarea fiecarui punct al obiectului generator de-a lungul unui arc circular situat intr-un plan perpendicular pe axa de rotatie si cu o raza definita ca fiind perpendiculara de la acest punct la axa de rotatie.

Exemple de solide obtinute prin generare.

Pentru aceasta metoda, exista o serie de pericole ca obiectul generat sa fie fara sens in special prin crearea obiectelor neomogene din punct de vedere al dimensiunii.Putem crea modele neomogene dimensional, utile sau trucuri uzuale in practica proiectarii asistate.

Solide generate cu dimensiuni neomogene.

Generarile complexe presupun deplasarea obiectului generator dupa o curba oarecare plana sau spatiala cu sau fara modificarea formei si dimensiunilor obiectului generator in dea ungul curbei directoare.

Problema principala este cea a controlului in functie de pozitia obiectului generator pe curba directoare.

Se apeleaza la un sistem triortogonal drept atasat de un punct de pe curba si la un vector de orientare a obiectului generator notat di. Se poate defini o entitate complexa, numita curba PD - curba de pozitie si directie, bazata pe o curba spline oarecare, reprezentata vectorial- parametric, dar care poate genera pentru fiecare punct de pe curba si un vector de directie asociat.

Aceasta se realizeaza printr-o variabila parametrica care asociaza vectorului de directie o pozitie specifica pe curba.

Componentele curbei PD.

In CAM se foloseste aceiasi tehnica pentru a genera entitatea de tip traiectorie de prelucrare.

Axele l si n definesc directia planului in care este localizat di, care este vectorul Directie asociat lui ri. Acest plan de referinta se modifica pe masura ce vectorul tangent si vectorul di se modifica continuu de-a lungul curbei de ghidare. O curba de ghidare defineste transformarile continue a punctelor de pe o curba de contur sau un obiect de generat.

Elementele caracteristice ale unei curbe de ghidare

Se poate demonstra ca doua sau mai multe sectiuni transversale curbe pot fi folosite cu o singura curba de ghidare (de exemplu o teava sau un tub cu o sectiune transversala variabila). Curbe de ghidare multiple si curbe generatoare asociate creeaza de fapt semispatii cu normale orientate drept si pot fi folosite pentru a adauga sau a extrage 'material' dintr-un model brut.

Parametrizarea modelelor solide

Un mod direct de definire a unei forme consta in transformarea liniara simpla a modelului unui obiect existent.

Pentru simplitate, se considera un cub cu latura egala cu unitatea. Obtinerea unei forme noi se poate realiza cu ajutorul operatorilor de scalare. O scalare uniforma a celor trei dimensiuni va duce la formarea unui nou cub. Scalarea neuniforma va duce la formarea unui solid paralelipipedic. Fiecare cub nou sau solid paralelipipedic nou creat este o instanta particulara a cubului initial.

Forme obtinute prin scalare.

Modificarea formei initiale nu este limitata la transformarea unor astfel de de forme initiale simple. Sa urmarim ca exemplu de mai jos. Aceasta piesa cu sectiune Z poate fi transformata printr-o scalare uniforma sau neuniforma intr-un numar infinit de forme.

In figura de mai jos aceeasi forma simpla ilustrata in figura precedenta este acum tratata intr-o forma mai puternica de reprezentare.

Varianta parametrizata a profilului Z.

O tehnica asociata, numita tehnica de grup, a fost dezvoltata in concordanta cu tehnicile deja cunoscute din CAM pentru a incuraja standardizarea in partea de proiectare si productie.

Aceasta tehnica permite gruparea partilor fabricate in clase sau familii de forme similare, unde numarul familiilor individuale se distinge prin cativa parametrii. O singura familie de forme este o primitiva generica, iar partile individuale sunt primitive scalabile.

Formele scalabile, in general, nu se vor combina in vederea obtinerii unor forme complexe, chiar daca nu exista restrictii    in acest sens din punct de vedere teoretic, decat cu luarea in considerare a unui mecanism complex de referentiere reciproca

Sistemele de modelare construite numai pe acest tip de reprezentare au un grad mare de specializare, spre exemplu un catalog de profile, din aluminiu utilizate pentru constructii moderne.

Diverse tipuri de primitive generice.

Modelarea prin compunerea de elemente geometrice simple

Metoda curenta de modelare a unor solizi cu o forma cat de cat complexa este de a utiliza un numar de obiecte initiale mai simple (primitive) asupra carora se aplica o serie de operatii de compunere booleene sau de operatii diverse de transformare (feature).

Informatiile initiale metrice (geometrice) si topologice ale fiecarui solid implicat intr-o operatie logica se considera cunoscute.

Operatii booleene cu solizi

Operatiile booleene se aplica tratand fiecare obiect ca o multime finita de elemente (puncte), doua sau mai multe astfel de multimi putand suporta operatii de tip reuniune, interesectie si scadere logica.

Daca un obiect solid este reprezentat ca o combinatia booleana a doua sau mai multe obiecte simple, atunci reprezentarea respectiva este un model boolean.

Presupunem ca se cunoaste marimea, pozitia si orientarea solizilor A, B si C sub forma unei liste a coordonatelor varfurilor.

Modelul boolean al lui D este dat de relatia booleana:

Trebuie determinate legaturile (conectivitatile) noilor elemente pentru a putea fi determinate caracteristicile topologice ale modelului.

Modelare procedurala simp Arborele binar pentru AUB-C.

Fiecare nod intern combina urmatoarele doua obiecte aflate pe o ramura inferioara in arbore, si daca este necesar, transforma rezultatul in elemente de intrare pentru urmatoarea operatie.

Sa trecem in revista efectul a trei operatori booleeni pe un set de doua sau trei obiecte primitive (Fig. de mai jos)

In aceasta figura se prezinta definitiile cunoscute ale operatiilor logice:

• Reuniunea a doua obiecte A si B. AUB este o multime de puncte ce apartin lui

A, B sau lui A si B.

• Diferenta dintre aceste doua obiecte, (A - B), este o multime de puncte ce

apartin suprafetei si interiorului lui A si nu aparsin interiorului lui B, si o

multime de puncte ce apartin zonelor de suprafata ale lui B si interiorului lui A.

• Intersectia dintre doua obiecte A si B este o multime de puncte ce apartin atat

lui A cat si lui B.

Exista o serie intreaga de situatii dificile care maresc dificultatea modelarii prin operatii booleene, cum ar fi:

• reuniunea a doua primitive disjuncte;
• diferenta a doua primitive disjuncte;
• reuniunea a doua primitive, una din ele complet in interiorul celeilalte;
• diferenta dintre doua primitive, unde primitiva de scazut este complet continuta

in primitiva scazator;

• diferenta a doua primitive unde scazatorul este complet continut in descazut;
• diferenta a doua primitive care creeaza doua sau mai multe obiecte diferite;
• reuniunea a doua primitive tangente;
• reuniunea a doua primitive care creeaza bucle interne sau cavitati.

Cu toate acestea majoritatea pachetelor actuale CAD/CAM utilizeaza curent metoda

booleana de modelare solida

Constructive Solid Geometry

(Constructive solid Geometry - CSG) este un termen ce desemneaza metodele demodelare pentru corpurile solide complexe ca fiind rezultatul unei compuneri de solide simple (primitive), cu utilizarea operatorilor booleeni. Metoda denumita si modelarea din blocuri geometrice predefinite - primitive - a fost dezvoltata la Universitatea din Rochester, prilej cu care s-au introdus si majoritatea conceptelor de baza. Aceste concepte includ primitive, operatori Boole regularizati, proceduri de evaluare a marginilor si proceduri de clasificare a punctelor de intersectie.

Primitive CSG

sunt determinate Reprezentarile CSG sunt arbori binari ordonati ale caror frunze (noduri terminale), suntfie primitive, fie matrici de transformare a obiectelor. Nodurile interioare ale arborelui

reprezinta fie operatori booleeni regularizati (reuniune, diferenta si intersectie) fie transformari ale obiectului (translatie si/sau rotatie) care opereaza asupra celor doua subnoduri (sau subsolizi). Fiecare subarbore al unui nod (care nu este o frunza de transformare) reprezinta un solid care rezulta prin combinarea si transformarea operatiilor indicate mai jos. Radacina, desigur, reprezinta obiectul final.

In figura de mai jos cele patru noduri frunza reprezinta primitivele P1 si P2, si translatia

Cele doua noduri interne reprezinta rezultatul operatiilor (P1 - P2) si P2[Ox]. Nodul radacina reprezinta obiectul final. De observat ca primitiva si obiectele intermediare reprezinta solizi valizi si corect marginiti. In plus, transformarile obiectelor pot fi completate cu transformari de scalare si oglindire.

Cea mai utilizata metoda, este cea care ofera un set finit, concis si compact de

primitive, a caror dimensiune, forma, pozitie si orientare de un set

redus de parametri specificati de utilizator. De exemplu, majoritatea acestor sistemefurnizeaza o primitiva de tip paralelipiped a carei lungime, latime, inaltime si pozitie sunt specificate de utilizator.

Modelarea CSG.

Alte primitive folosite    sunt cilindrul, sfera, conul si torul. Aceste impreuna cu alte exemple sunt ilustrate in urmatoarea figura, cu parametrii corespunzatori (excluzand pozitia si orientarea) si cateva dintre sistemele de modelare care folosesc aceste primitive.Cele mai sofisticate sisteme pot genera de asemenea cvasiprimitive cu operatori de tip generare si extrudere.

Diverse primitive solide utilizate in CSG.

Primitivele sunt in general reprezentate prin intersectia unui set de curbe sau semispatii plane.

Operatorii booleeni folositi de sistemele CSG raman cei de baza: reuniunea, intersectia si diferenta. Totusi, cateva modele includ si alti operatori de asamblare care reprezinta versiunea specializata a arborelui de baza. Operatorul complement nu este utilizat, deoarece, poate produce obiecte neregulate. Aceasta deoarece reuniunea si intersectia sunt comutative , dar operatorul de diferenta nu este comutativ .

Evaluarea marginilor

Sisteme de modelare mai puternice genereaza doua reprezentari ale unui solid. Primaeste o reprezentare constructiva exemplificata printr-o structura de date sub forma de arbore binar care uneste primitive si subsolizi succesivi prin utilizarea operatorilor de combinare si prin transformari. A doua este o reprezentare cu suprafete de marginire care descrie fetele, muchiile si varfurile conturului solidului cu o reprezentare topologica a conexiunii elementelor de contur si o reprezentare a datelor numerice care descriu forma geometrica si pozitia acestor elemente.

Reprezentarea cu suprafete de marginire se calculeaza din reprezentarea constructiva cu un set de algoritmi numit evaluator de contur. Evaluatorul de contur determina locurile unde fetele componentelor sunt deformate si locurile unde noi muchii si varfuri sunt create sau indepartate.

Evaluatorul de contur descopera aceste intersectii si apoi determina prin clasificarea elementelor componente care din segmentele intersectiei sunt muchiile noului solid.

Noile muchii sunt terminate prin varfuri aflate in locul unde muchia intersecteaza o suprafata. Varfurile trebuiesc din nou clasificate.

Evaluarea marginilor.

Se clasifica segmentele in etape. Mai intai se clasifica fiecare segment de muchie t care se refera la fiecare primitiva in parte. Apoi se folosesc clasificarile in locul primitivelor procesandu-le prin arborele binar al modelului si reclasificand-ule pentru fiecare din nodurile succesive.

La fiecare nod radacina segmentele de muchii t, de pe contur sunt muchii reale ale conturului C.

Clasificarea punctelor de intersectie

Trebuie stiut care puncte de langa fiecare segment al muchiei t sunt interioare solidului si care sunt exterioare lui. Cunoscand numai ca un segment se afla pe o primitiva nu este suficient pentru clasificarea acestuia la nivele superioare intr-un arbore binar al modelului. De aceea se propune folosirea unui model de vecinatate, care sa contina puncte apropiate segmentului pentru a arata, care puncte sunt in interiorul si care suntin exteriorul solidului.

Cu alte cuvinte, se creeaza o vecinatate la fiecare nod al arborelui de reprezentare CSG prin aplicare operatorului indicat in vecinatatile celor doua subnoduri.

Modelul aditional.

Metoda de modelare solida CSG a fost prima actiune importanta de a crea un sistem coerent si complet articulat de modelare solida. Aceasta metoda reprezinta baza pentru majoritatea sistemelor de modelare din sistemele CAD actuale.

Afisarea obiectelor modelate

In domeniul CAD/CAM exista o corelatie directa intre avansul obtinut in domeniul modelarii geometrice si grafica pe computer.

Grafica pe computer, care este altceva decat geometria computationala, cuprinde mai multe concepte diferite, de la psihologie si ergonometria mediului la sofisticate aspecte de proiectare software si hardware. Toate aceste eforturi au avut in final un scop precis, cel de a crea o imagine virtuala. Aceasta imagine poate apare ca o imagine video incredibila sau ca iesire simpla pentru un plotter.

Pentru aceasta vom analiza transformarile necesare pentru a converti un model matematic (geometric) tridimensional intr-o imagine bidimensionala, care sa dea senzatia unei imagini tridimensionale.

Realismul imaginii grafice computerizate pentru un obiect depinde in mod cert de o serie de proprietati geometrice, care afecteaza parametrii de afisare: iluminarea si umbrirea, gradul de reflexie, refractie, textura suprafetei etc. Aceasta constituie un domeniu separat, cel al procesarii de imagini (image processing), din care sectiunea CAD/CAM utilizeaza elementele necesare.

Asociat cu posibilitatea de a realiza suprafete de afisare matriceale extraplate (in locul sistemelor de afisare cu tub catodic) si a printerplotterelor matriciale laser sau cu jet de cerneala, in prezent se utilizeaza exclusiv cel de-al doilea tip de dispozitive de afisare.

Curbe de profil

Curba de profil a unei suprafetei este acea curba de-a lungul careia componentele pe z ale normalelor la suprafata sunt 0.

Cel mai simplu caz este cel al unui solid marginit de fete poligonale plane. Un caz mai interesant este cel al solidului marginit de suprafete curbe. Un cub este un bun exemplu pentru primul caz.

Normalele unei fete in raport cu planul de proiectie.

Fig.    reprezinta un cub intr-un sistem de coordonate drept orientat. Fiecarei fete a cubului i se asociaza un vector normal unitar.

Se poate vedea ca fiecare normala se poate descompune in doua componente, una normala pe planul de proiectie si una paralela cu el. Acele fete ale caror normale au o componenta in directia pozitiva a axei z care este indreptata dinspre noi, nu sunt vizibile.Urmatorul pas este cel de a gasi muchiile vizibile care compun profilul. Sase din cele noua muchii vizibile ale cubului din figura de mai jos definesc profilul, trei din ele nu contribuie la definirea lui. Cele mai multe corpuri au, insa, suprafete oarecare.

Curbele de proiectie ale unui poliedru

Daca o suprafata este doar partial vizibila, atunci exista pe ea o curba care este parte componenta a curbei de profil. Aceasta, bineinteles, presupune ca punctul de vedere este pe axa z si ca normalele la suprafata sunt exteriorul solidului.

Figura de mai jos ilustreaza geometria in aceste conditii.

Pentru o suprafata bicubica, expresia pentru normala in orice punct este un polinom de gradul 5 in u si v pentru fiecare componenta.

Curba de profil o suprafata oarecare.

Fiecare punct de coordonate u, v de pe acest petic al normalelor determina componentele vectorului normal in acelasi punct (u,v) pe suprafata originala. Presupunand linia de vedere de-a lungul axei z (suprafata initiala trebuie astfel transformata daca este necesar), atunci intersectia dintre aceasta suprafata reprezentand normalele unitare si planul z = 0 este o curba pe care normalele unitare au o componenta pe z egala cu 0. Aceasta este de fapt curba de profil.

Algoritm de calcul pentru o curba de profil.

De vreme ce exista o corespondenta biunivoca a punctelor (u,v) intre suprafata reprezentand normalele (sfera unitara si suprafata originala cuprinzand o parte din frontiera unui solid, practic am terminat de trasat aceasta curba de profil pe suprafata initiala. La fel de usor, putem obtine coordonatele x si y ale acestei curbe.

Desigur, multe solide sunt marginite de suprafete cuprinzand si fete plane si fete curbate. In acest caz, vom trata solidul ca pe un poliedru (potential) cu fete curbate si muchii. Putem calcula curbele de profil pentru acele fete care sunt curbate, pe care le vom considera ulterior ca noi muchii, impartind fetele pe care se afla in doua fete (una fiind vizibila si cealalta invizibila

Exista multe aspecte ale problemei si multe complicaii care pot apare pe care nu le-am abordat aici: calculul profilului unui solid cu gauri sau cu ondulatii pronuntate (de exemplu torul sau suprafete incretite). Problema suprafetelor ascunse complica, evident, problema profilului; cu cat forma solidului este mai complicata cu atat creste posibilitatea suprapunerilor.

Ascunderea suprafetelor invizibile

Pentru a produce o afisare realista a unui obiect solid, trebuie sa determinam care curbe si suprafete pot fi vazute dintr-un punct de vedere particular, si care nu. Aceasta nu numai ca mareste realismul unei reprezentari dar inlatura unele ambiguitati.

Aceasta este problema liniilor ascunse sau a suprafetelor ascunse. Aceasta problema este redusa prin gasirea si eliminarea suprafetelor 'din spate'.

Multe din metodele de determinare a curbelor de profil se aplica aici, multe alte tehnici sunt valabile pentru simplificarea acestei probleme. De exemplu, in loc sa trasam fiecare element ca fiind independent, localizat la intamplare, algoritmurile ascunse sunt mai eficiente atunci cand tin cont de relatiile intre elemente. Aceste relatii poarta numele de coerenta si se aplica la dou nivele de reprezentare a modelului: spatiul obiect si spatiul imaginii.

Reprezentarea cu linii ascunse

Realizarea de imagini realiste

Cum putem face ca o imagine proiectata in doua dimensiuni a unui grup de obiecte, sa arate cat mai reala? Se poate pune urmatoarea intrebare, ce inseamna, in acest context 'real' sau    realism'. Privind obiectele din jur observam ca problema suprafetelor ascunse este data de opacitatea materialelor. Lumina si umbra contribuie semnificativ la perceptia de adancime si spatialitate. Suprafata obiectelor reflecta lumina in diferite moduri: suprafete lucioase au, de obicei pete luminoase sau puncte de maxima luminozitate; suprafetele rugoase sau texturate au un aspect specific. Unele obiecte sunt transparente si curbura suprafetelor lor si proprietatile fizice ale materialului din care sunt alcatuite determina refractia razelor luminoase care le traverseaza. Mai exista, desigur, culori, miscari si efecte de paralaxa ale vederii binoculare ale    observatorului.

Toate aceste fenomene au fost incluse deja in sistemele grafice computerizate actuale. Sunt incluse si multe alte fenomene fizice conexe care fac reprezentarea mai aproape de realitate.

Obiectele iluminate de o sursa punctiforma de lumina dau umbre geometrice simple. De fapt, descrierea matematica a acestui fapt este exact aceeasi ca si in problema suprafetelor ascunse.

O suprafata ascunsa este o suprafata pe care ochiul nostru nu poate vedea, deci putem privi o umbra ca pe o parte de suprafata pe care o sursa de lumina nu o poate vedea. Imaginati-va plasat intr-o sursa de lumina. Aria ascunsa vederii este exact aria umbrita de obiectul care opreste lumina. Obiectele cu forma complexa vor avea umbrite anumite parti ale lor. In cazul scenelor cu mai multe obiecte, pot exista diferite combinatii de intersectii de suprafete ascunse si suprafete umbrite.

Felul in care un obiect reflecta lumina depinde de caracteristicile materialului la suprafata, de intensitatea sursei de lumina si de unghiul dintre directia sursei de lumina si normala la suprafata..

Umbrire.

Reflexia geometrica pe o suprafata

O formula simpla da intensitatea luminii difuzate Id care ajunge la ochiul nostru.

• kd este coeficientul de reflexie al materialului suprafetei, variind intre 0 si 1;
• Ip este intensitatea sursei punctiforme de lumina
• este unghiul dintre normala la suprafata n si directia l

La fel ca pentru orice imagine in oglinda, trebuie sa existe o anumita dispunere unghiulara intre observator, suprafata care reflecta si sursa de lumina.

Reflexia aleatoare.

Reflexia aleatoare este vizibila doar atunci cand se apropie de valoarea zero. De observat ca vectorii l n si r sunt coplanari. Relatia depinde de natura materialului suprafetei si distorsiunea datorata curburii sale. De vreme ce sursele reale de lumina nu sunt punctuale, ci sunt ele insele suprafete, reflexia aleatoare pe care o vedem in viata de zi cu zi, este foarte dificil de descris intr-o forma matematic simpla.

CONCLUZII

Modelarea matematica a obiectelor, reprezinta o conceptie noua, fara de care nu poate fi conceputa sectiunea deCAD si de aici intregul CIM.

In prezent coexista mai multe variante de modele matematice, de la modele simplificate la modele complexe.A trebuit rezolvata problema compatibilitatii reciproce intre modele.

Chiar daca afisarea modelului tehnic se face 3D, utilizatorul    trebuie sa interactioneze cu modelul, pentru a putea realize editarea( transformari de coordonate)

Pentru modelarea unui solid oarecare, se utilizeaza primitive, care sunt modelate analitic sau prin domenii inchise de suprafete.