FLOTABILITATEA NAVEI

5. Parametrii unei plutiri

Pozitia navei in raport cu suprafata libera a apei este definita de pozitia relativa a doua sisteme de coordonate; unul fix in raport cu nava dar mobil in spatiu despre care am vorbit in 3 (Fig.1) si unul fix in spatiu legat de suprafata linistita a apei. Este foarte dificil de gasit un singur sistem de coordonate, unanim acceptat pentru rezolvarea tuturor problemelor legate de teoria navei. In mod particular pentru fiecare problema se adopta sistemul de coordonate cel mai convenabil din punct de vedere al exprimarii comportarii navei.

Sunt trei parametri care definesc pozitia navei in raport cu suprafata apei si care se mai numesc si parametrii plutirii (Fig. 4):

1) pescajul corespunzator punctului de intersectie al plutirii cu axa , ;

2) unghiul de inclinare longitudinala (unghiul dintre axa si intersectia cu planul plutirii);

3) unghiul de inclinare transversala ( unghiul dintre axa si intersectia cu planul plutirii.

In cazul cel mai general, pozitia navei in raport cu suprafata libera a apei este inclinata atat longitudinal cat si transversal . Nava poate avea numai inclinare longitudinala (si ) sau numai inclinare transversala (si ). Pozitia normala insa este considerata 'pe carena dreapta ' atunci cand .

Cunoscand dimensiunile navei: - lungimea de calcul; - latimea navei si citind pescajele:

- pescajul la prova; - pescajul la pupa; - pescajul la tribord; - pescajul la babord; la scarile de pescaj: prova, pupa si in ambele borduri, atunci parametrii plutirii se vor calcula cu relatiile:

(5.1)

inclinarea longitudinala (5.2)

; inclinarea transversala (5.3)

Vom observa ca inclinarea longitudinala este considerata pozitiva atunci cand si nava este aprovata iar inclinarea transversala este pozitiva atunci cand si tribordul intra iar babordul iese din apa.

In cazul general cand si suprafata apei va fi inclinata cu unghiul fata de Intre aceste unghiuri exista relatia:

(5.4)

Cu referire la Fig. 5, c): nava inclinata longitudinal cu unghiul q ; se va demonstra in Capitolul III - 'Stabilitatea initiala a navei' ca planul plutirii initiale si planul plutirii inclinate se intersecteaza dupa o axa ce trece prin centrul de greutate al plutirii initiale , a carui abscisa o notam cu .

Noile pescaje prova si pupa se vor calcula cu relatiile:

(5.4)

(5.5)

unde:

variatia pescajului prova (5.6)

variatia pescajului pupa  (5.7)

Legatura dintre pescajul de calcul si pescajul mediu este:

(5.8)

Pentru o sectiune transversala de abscisa pescajul corespunzator se va calcula cu relatia:

. (5.9)

6. Forte care actioneaza asupra navei. Conditii de echilibru.

Un corp poate pluti la suprafata apei, caz in care o portiune din corp este in contact cu apa iar cealalta in contact cu aerul (navele de suprafata) sau poate pluti in conditii de imersare completa (submarinele). Pe suprafata imersa a unui corp care nu se misca in raport cu apa vor actiona fortele de presiune hidrostatica. Daca vom considera plutitorul gol la interior, deci in contact cu aerul atmosferic, atunci presiunea care va trebui luata in consideratie pentru a calcula actiunea hidrostatica asupra plutitorului este presiunea relativa:

(6.1)

Pe suprafata elementara de pe corp, va actiona forta de presiune elementara (Fig.6)

(6.2)

unde este versorul normalei la suprafata elementara . Cele trei componente vor fi:

(6.3)

Momentul acestei forte in raport cu originea este:

cu componentele:

(6.4)

Actiunea hidrostatica asupra acestui corp se reduce in final la un torsor format din rezultanta si momentul rezultant . Componentele acestor vectori se pot scrie:

(6.5)

(6.6)

Rationand strict matematic putem calcula forta hidrostatica ce actioneaza asupra plutitorului folosind formula integrala a lui Gauss. Vom putea scrie:

(6.7)

Termenul adaugat este nul si nu modifica valoarea integralei, insa a fost necesar pentru a transforma integrala intr-o integrala pe o suprafata inchisa ( reprezinta suprafata carenei plus aria plutirii, care inchide la interior volumul carenei ). Mai departe, aplicam formula lui Gauss si obtinem:

(6.8)

Relatia (6.8) exprima faptul ca forta hidrostatica se reduce la o rezultanta verticala, componentele orizontale fiind nule, adica:

(6.9)

(6.10)

unde si sunt proiectiile suprafetei carenei pe planele . In concluzie componentele elementare si se anuleaza doua cate doua si asemanator momentele acestor componente fata de axe, adica:

(6.11)

(6.12)

Inlocuind (6.11) si (6.12) in (6.6) gasim:

(6.13)

(6.14)

(6.15)

sau mai departe:

(6.16)

(6.17)

Vom observa ca:

si

si relatiile anterioare se pot scrie:

(6.18)

(6.19)

In continuare vom calcula integralele din expresiile (6.18) si (6.19). Cu referire la Fig. 7, notam si cotele punctelor care se gasesc pe suprafata pe aceeasi verticala in zonele superioara, respectiv inferioara ale acestei suprafete. De asemenea reprezinta proiectia intregii suprafete submerse pe planul . Obtinem:

Din Fig. 7 se observa ca este volumul unei prisme elementare ce are ca baza suprafata iar ca inaltime adica . Produsul este momentul static elementar al acestui volum fata de planul . Rationand identic si pentru integrala din formula (6.19) vom putea scrie in final:

(6.20)

(6.21)

Daca adaugam si relatia (6.8) obtinem actiunea completa hidrostatica asupra plutitorului. In concluzie, asupra unui corp scufundat in lichid actioneaza de jos in sus o forta egala in marime cu greutatea lichidului dezlocuit de acesta, suportul acestei forte trecand prin centrul de greutate al volumului dezlocuit. Aceasta este legea lui Arhimede; forta se numeste forta arhimedica sau forta de impingere iar centrul de greutate al volumului dezlocuit se noteaza cu si se numeste centru de carena. Coordonatele acestui punct se noteaza cu .

Deoarece corpul navei este simetric in raport cu planul diametral, planul , si in consecinta momentul static al volumului carenei fata de acest plan este nul, deci:

si

In afara de fortele hidrostatice, asupra navei actioneaza si fortele de greutate care se reduc la o rezultanta unica denumita greutatea navei notata cu . Punctul de aplicatie al fortei de greutate se numeste centru de greutate , se noteaza cu si are coordonatele (Fig. 8).

Din punct de vedere mecanic, un solid este in echilibru atunci cand forta rezultanta care actioneaza asupra lui si momentul rezultant in raport cu un punct arbitrar sunt nule.

In concluzie, pentru ca o nava sa fie in echilibru sunt necesare si suficiente a fi indeplinite urmatoarele doua conditii:

Forta arhimedica sa fie egala cu forta de greutate;

Cele doua forte sa actioneze pe acelasi suport, adica

(6.22)

In formulele (6.22) s-a notat cu volumul carenei diferit de notatia anterioara . Explicatia este urmatoarea . Prin s-a notat volumul carenei calculat din planul de forme, unde sunt prezentate formele navei la interiorul tablelor ce formeaza corpul. In realitate, datorita grosimii tablelor volumul dezlocuit de nava este mai mare, intre si existand relatia:

(6.23)

Coeficientul are valori supraunitare cuprinse intre 1,005 si 1,01 in functie de marimea navei, de existenta si marimea apendicilor si de tipul navei. Daca notam cu D masa navei, atunci prima relatie din (6.22) devine:

(6.24)

motiv pentru care, masa navei se poate substitui prin deplasament. Relatia (6.24) se numeste ecuatia flotabilitatii. Deplasamentul D se masoara in tone , iar volumul carenei in m³ . Densitatea apei dulci este r=1 t/m³ , iar a apei sarate variaza intre 1,009 si 1,028 t/m³ in functie de zona si anotimp. In tabelul 2 sunt prezentate valorile densitatii apei de mare in functie de anotimp, in cateva zone de pe glob.

Tabelul 2

Relatia (6.8) a fortei hidrostatice care actioneaza asupra navei aflate in repaus si implicit ecuatia flotabilitatii (6.24), este valabila atata timp cat toata suprafata imersa este in contact cu apa, deci nava pluteste liber. Daca nava este esuata, sau scufundata atunci forta hidrostatica este mai mica datorita faptului ca pe zona asezata pe fundul marii, sau pe o stanca, nu mai actioneaza presiunea hidrostatica.

In situatia din figura 9, nava este asezata cu suprafata de contact pe fundul senalului navigabil. Pe aceasta suprafata nu se manifesta presiunea hidrostatica. Daca din volumul etans al corpului navei se scade volumul cilindric corespunzator suprafetei se obtine volumul si corespunzator, forta de flotabilitate remanenta . Pentru a putea desprinde nava de pe fundul apei este necesara o forta verticala data de relatia:

(6.25)

unde este forta de presiune a apei care apasa pe suprafata de marime.

7. Greutatea navei. Coordonatele centrului de greutate.

In calculele de teoria navei in general si de stabilitate in particular, una din principalele probleme este determinarea pozitiei centrului de greutate.

Greutatea navei este reprezentata de suma greutatilor corespunzatoare grupelor de mase care compun deplasamentul navei

(7.1)

unde este greutatea corespunzatoare grupei de mase ''.

Centrul de greutate este punctul in care se considera ca actioneaza forta de greutate. Asa cum stim de la 'Mecanica', coordonatele centrului de greutate se calculeaza cu formulele:

(7.2)

In aceste formule sunt coordonatele centrului de greutate al grupei de mase '', iar sunt momentele statice in raport cu planele .

In conditii normale de incarcare, centrul de greutate este situat in planul diametral datorita simetriei navei fata de acest plan; deci si .

Pentru calculele preliminare, cota centrului de greutate se exprima de obicei ca o fractiune din inaltimea de constructie

unde este un factor adimensional, care depinde de tipul navei si de conditiile de incarcare; a carui valoare variaza intre 0,5 si 1,0.

Abscisa centrului de greutate se poate exprima ca o fractiune din lungimea navei si poate fi pozitiva, negativa sau zero; insa rareori valoarea sa in modul depaseste 1,5 % din lungimea navei.

Deplasamentul navei se exprima in tone metrice (1 tona metrica = 1000 Kg) sau tone engleze (1 tona engleza = 1016 Kg).

La navele comerciale se disting doua deplasamente importante:

a) Deplasamentul gol sau deplasamentul usor, adica deplasamentul pe care il are nava la iesirea din santierul de constructie; avand in compunere urmatoarele grupe de mase:

- corpul navei;

- amenajari, instalatii si echipamente; adica acele componente care dau navei posibilitatea de a-si indeplini misiunea principala (transportul de marfuri), care asigura echipajului o viata cat mai comoda la bord si care permit navei sa execute diferite manevre in port sau in timpul navigatiei, precum si acele sisteme necesare sigurantei navigatiei sau pentru salvare:

- instalatia de propulsie si mecanismele aferente.

b) Deplasamentul de plina incarcare sau deplasamentul gol la care se adauga urmatoarele grupe de mase:

- incarcatura utila sau deplasamentul util;

- rezervele de combustibil, ulei si apa tehnica pentru masini si instalatii;

- echipajul;

- proviziile pentru echipaj.

Diferenta dintre deplasamentul de plina incarcare si deplasamentul gol se numeste capacitate bruta de incarcare sau deadweight. Pentru navele de transport marfuri (cargouri, portcontainere, petroliere, etc.) deadweightul se determina relativ simplu, procedura fiind mai complicata pentru navele de transport pasageri sau pentru navele mixte.

Un model de tabel pentru calculul deplasamentului si a coordonatelor centrului de greutate este prezentat mai jos (vezi tabelul 3). Realizarea acestui calcul presupune parcurgerea mai multor etape:

1. Intocmirea tabelului cu toate greutatile de la bord.

In acest tabel se vor include toate greutatile care insumate, ne dau greutatea totala a navei. Ele se vor completa in coloana 2 simbolic si cantitativ in coloana 3. Simbolurile sunt reprezentate de litere pentru fiecare categorie de greutati: A - deplasamentul gol , B - incarcatura utila (marfa incarcata in magazii), C - apa tehnica (r=1000 Kg/m³), D - apa balast (r=1025 Kg/m³), E - combustibil greu (r=960 Kg/m³), F - motorina (r=860 Kg/m³), G - lubrifiant (r=910 Kg/m³), H - provizii.

2. Calculul coordonatelor centrelor de greutate

Pentru calculul coordonatelor centrelor de greutate ale categoriilor de greutati din tabelul 3 se utilizeaza tabelul cu coordonatele centrelor de volum pentru fiecare compartiment (tancuri si magazii de marfa). In situatia in care compartimentul este umplut in totalitate cu marfa omogena, centrul de greutate al marfii va coincide cu centrul volumului compartimentului respectiv. In cazul tancurilor partial umplute sau umplute cu marfuri diferite, pozitia centrului de greutate al masei din compartiment se poate aproxima tinand cont de gradul de umplere al compartimentului sau de tipul de marfuri din compartiment.

3. Calculul momentelor statice fata de linia de baza si planul cuplului maestru .

Se calculeaza aceste momente facand produsul dintre greutati si bratele lor masurate fata de si fata de .

In final se pot determina coordonatele centrului de greutate utilizand relatiile urmatoare:

(7.3)

In publicatiile de specialitate de limba engleza, pentru a desemna pozitia centrului de greutate al navei , in locul coordonatelor si se pot intalni notatiile (vertical centre of gravity), respectiv (longitudinal centre of gravity). Valorile acestor marimi pot fi masurate fie de la mijlocul lungimii navei, fie de la

In multe cazuri din timpul exploatarii navei pozitia centrului de greutate se modifica datorita ambarcarii, debarcarii sau deplasarii de greutati la bord.

1) Ambarcarea (Debarcarea) de greutati la bord.

In continuare se va considera numai efectul ambarcarii maselor; debarcarea fiind considerata ca o ambarcare de mase negative. Se considera o masa ambarcata intr-un punct ; datele initiale despre nava fiind: deplasamentul D si pozitia centrului de greutate . Consecintele acestei operatiuni asupra navei sunt multiple, incluzand modificarea deplasamentului si a pozitiei centrului de greutate.

Astfel noul deplasament se va calcula cu relatia:

(7.4)

iar noile coordonate ale centrului de greutate, cu relatiile:

(7.5)

(7.6)

(7.7)

In unele publicatii din literatura de specialitate, cota centrului de greutate a masei ambarcate se mai noteaza cu .

Generalizare: Daca la bordul navei se ambarca '' mase , cu centrele de greutate in punctele , , atunci noul deplasament al navei se va calcula cu formula:

(7.8)

iar noile coordonate ale centrului de greutate cu formulele:

(7.9)

(7.10)

(7.11)

2) Deplasarea de greutati la bord.

Daca la bordul navei, masa se deplaseaza din punctul in punctul , deplasamentul navei nu se modifica insa se deplaseaza centrul sau de greutate. Ca o consecinta a teoremei momentelor statice din 'Mecanica teoretica' se cunoaste ca:

'Daca in cadrul unui sistem format din mai multe corpuri, unul din corpuri se deplaseaza intr-o directie oarecare, atunci centrul de greutate al sistemului se va deplasa in aceiasi directie si in acelasi sens. Raportul dintre distanta de deplasare a centrului de greutate al corpului si distanta de deplasare a centrului de greutate al sistemului, este egal cu raportul dintre masa corpului si masa intregului sistem'

Coordonatele centrului de greutate in pozitia deplasata se calculeaza cu formulele:

(7.12)

(7.13)

(7.14)

8. Calculul elementelor hidrostatice ale carenei si curbele de variatie

ale acestora cu pescajul. Diagrama de carene drepte.

Se va presupune ca nava este pe carena dreapta, adica este paralel cu planul plutirii. In continuare vom determina variatia cu pescajul a elementelor hidrostatice ale carenei. Acestea sunt:

- Volumul carenei , deplasamentul si coordonatele centrului de carena ;

- Aria plutirii , abscisa centrului plutirii , momentele de inertie longitudinal si transversal ale plutirii;

- Ariile sectiunilor transversale ;

- Razele metacentrice: transversala si longitudinala .

8.1. Volumul carenei, deplasamentul, coordonatele centrului de carena.

Daca se considera o carena a carei ecuatie, pentru jumatatea tribord, este atunci asa cum se observa din figura 10 , un volum prismatic elementar al acestei carene va fi: . In consecinta, volumul intregii carene se va calcula cu formula:

(8.1)

Cu referire la Fig. 11 vom spune ca sectiunile prin carena paralele cu planul se numesc plutiri si ariile lor se noteaza cu , iar sectiunile paralele cu planul se numesc sectiuni transversale sau 'cuple' si ariile lor se noteaza cu .

Volumul carenei se poate calcula folosind fie ariile plutirilor (integrare pe verticala), fie ariile sectiunilor transversale (integrare pe lungime); cu formulele:

(8.2)

(8.3)

In calculele din teoria navei se folosesc toate cele trei relatii pentru calculul volumului carenei. Asa cum s-a aratat in 6, volumul real al carenei este . Mai departe, deplasamentul navei este .

Pentru un pescaj oarecare volumul teoretic al carenei se scrie:

(8.4)

Considerand diverse valori ale limitei superioare de integrare, se poate calcula volumul carenei la diverse plutiri. Se poate deci construi o variatie , care se numeste si curba volumului carenei. La fel se construiesc: curba volumului real al carenei si curba deplasamentului . Cele trei curbe se traseaza in aceeasi diagrama; stabilind scari de reprezentare diferite pentru volume si pentru deplasament. O astfel de diagrama arata ca in figura 12.

Derivand relatia (8.4) obtinem:

(8.5)

deci caracterul curbei volumului carenei depinde de caracterul curbei ariilor plutirilor.

Din relatia (8.5) rezulta ca tangenta trigonometrica a unghiului , format de tangenta intr-un punct la curba cu axa ordonatelor este egala cu aria plutirii corespunzatoare acelui punct.

Analizand relatia (8.5) putem obtine informatii si despre forma curbei in vecinatatea originii.

In Fig. 13 sunt prezentate doua tipuri de nave: a) nava cu fund plat ; b) nava cu fund stelat si curbele corespunzatoare.

In cazul navei cu fund plat, deoarece , rezulta , iar pentru nava cu fund stelat, deoarece , rezulta , deci curba este tangenta in origine la axa ordonatelor.

Curbele din Fig. 12 au o larga utilitate practica atat in timpul proiectarii cat si in timpul exploatarii navei. Spre exemplu, se masoara pescajul la scarile de pescaj si se aseaza valoarea acestuia la scara pe axa , fiind egal cu segmentul . Ducand o orizontala prin punctul si intersectand cele trei curbe putem citi la scarile volumelor si deplasamentului valorile lui corespunzatoare pescajului navei.

Daca fata de situatia data, se ambarca o masa atunci se poate determina variatia pescajului mediu dupa urmatorul algoritm. Se aseaza in continuarea lui un segment la scara egal cu . Din extremitatea acestui segment se ridica o verticala pana ce intersecteaza curba . Din punctul de intersectie se duce o orizontala si se va citi (vezi Fig. 12).

Ne propunem in continuare sa stabilim semnificatia geometrica a relatiei (8.5). Daca in punctul (vezi Fig.12), care corespunde pescajului navei, se construieste tangenta la curba ; aceasta face unghiul cu axa si o intersecteaza in punctul . Prin urmare

(8.6)

cum rezulta

si mai departe (8.7)

Pentru a determina coordonatele centrului de carena se vor considera momentele statice ale volumului carenei in raport cu planele ale sistemului de coordonate.

(8.8)

(8.9)

(8.10)

Ultima egalitate din relatia (8.8) se justifica daca se observa din Fig. 14 ca momentul static in raport cu al volumului prismatic elementar este .

Coordonatele centrului de carena se determina cu formulele:

(8.11)

Avand in vedere simetria carenei fata de , ceea ce inseamna ca rezulta:

(8.12)

(8.13)

(8.14)

Vom face acum observatia ca in unele publicatii de specialitate de limba engleza, pentru a desemna pozitia pe lungimea navei a centrului plutirii si a centrului de carena in locul notatiilor si se folosesc notatiile (position of the longitudinal centre of flotation) si (position of the longitudinal centre of buoyancy); aceste marimi putand fi masurate fie de la mijlocul lungimii navei, fie de la

Se mai observa din Fig. 12 ca aria triunghiului curbiliniu se scrie:

deci: (8.15)

Aria triunghiului curbiliniu se calculeaza:

(8.16)

Relatia (8.16) este echivalenta cu:

(8.17)

Membrul drept al relatiei (8.17) reprezinta momentul static al volumului carenei in raport cu planul plutirii.

Sa construim in continuare curba de variatie a cotei centrului de carena cu pescajul . Derivand in raport cu expresia lui , rezulta:

(8.18)

Tinand cont ca si rezulta

(8.19)

Se observa de aici ca in permanenta deoarece si deci functia nu va avea valori extreme si alura unei functii crescatoare. Relatia (8.19) se poate scrie si in urmatoarea forma echivalenta:

(8.20)

in care este pescajul navei.

Asa cum se vede din Fig. 15, forma sectiunilor transversale a unei nave este cuprinsa intre dreptunghiul de incadrare si un triunghi ceea ce inseamna ca:

(8.21)

Relatia (8.21) este utila pentru ca reprezinta un mijloc foarte util de verificare a calculelor, la determinarea lui . In figura 16 este prezentata variatia .