Sisteme de numeratie

Sisteme de numeratie

Consideratii generale

Orice sistem de numeratie pozitional prezinta trei carcteristici si anume:

numarul de semne care-l compun;

modul de scriere a semnelor;

modul de evaluare a unui numar.

Fie:

x = un semn oarecare din multimea care alcatuieste sistemul de numeratie considerat;

b = numarul semnelor - baza sistemului;

R = un numar real pozitiv, care se scrie:

x _m x _m- x _m- x_i x x x , x _- x _- x _-n ; 0 ≤ x_i ≤ b - 1 ;

i = rangul semnului (m ≥ i ≥ -n) ; pentru partea intreaga m ≥ i ≥ 0 , iar pentru partea fractionara -1 ≥ i ≥ -n ;

V_R = valoarea numarului real R, scris in baza b, calculata cu formula:

Astfel, pentru sistemul de numeratie zecimal:

x є → b = 10

Numarul 1737,57₁₀ are semnul 7 in rangurile 2, 0 si -2

Valoarea numarului: 1707,57₁₀ este:

Formula pentru evaluarea unui numar reprezinta si regula de transformare a numarului dintr-o baza oarecare in baza 10.

Transformarea din baza 10 intr-o alta baza se face folosind o regula pentru partea intreaga si alta pentru partea fractionara.

a)      Regula pentru partea intreaga

Algoritmul consta din operatii de impartire succesive, in care impartitorul este noua baza. Prima operatie are ca deimpartit partea intreaga a numarului in baza 10, iar urmatoarele operatii au ca deimpartit catul impartirii precedente. Succesiunea operatiilor se opreste cand un cat este zero. Resturile impartirilor, indeplinind conditia 0 ≤ r ≤ b - 1, scrise in ordinea inversa aparitiei lor, alcatuiesc partea intreaga a numarului scris in noua baza.

b)      Regula pentru partea fractionara

Algoritmul consta din operatii de inmultire succesive, in care inmultitorul este noua baza. Prima operatie are ca deinmultit partea fractionara a numarului in baza 10, iar urmatoarele operatii au ca deinmultit partea fractionara a produsului precedent. Succesiunea operatiilor se opreste cand o parte fractionara este zero. Partile intregi ale produselor obtinute succesiv, indeplinind conditia 0 ≤ i ≤ b - 1, luate in ordinea aparitiei lor, alcatuiesc partea fractionara a numarului scris in noua baza.

Sistemul de numeratie binar

Este sistemul utilizat in prelucrarea automata a datelor si se afla la baza structurii si functionarii componentelor calculatorului.

In sistemul binar x є → b = 2.

Pentru a urmari cele prezentate in paragraful anterior vom lua ca exemplu numarul:

₂

Valoarea lui (corespondentul in baza 10) se obtine aplicand formula de evaluare:

Deci:

₂ = 713,8125₁₀

Transformarea numarului din baza 10 in baza 2 se face aplicand separat regulile pentru:

a)      partea intreaga:

r = 1

r = 0

89 r = 0

89 : 2 = 44 r = 1

44 : 2 = 22 r = 0 713₁₀ = 1011001001₂

22 : 2 = 11 r = 0

11 : 2 = 5 r = 1

5 : 2 = 2 r = 1

2 : 2 = 1 r = 0

1 : 2 = 0 r = 1

b)      partea fractionara:

0,8125 x 2 = 1,6250 i = 1

x 2 = 1,250 i = 1 0,8125₁₀ = 0,1101₂

x 2 = 0,5 i = 0

x 2 = 1,0 i = 1

Operatiile aritmetice se fac respectand regulile valabile pentru sistemul zecimal.

Adunarea: Scaderea:

110111,1101+ 101110,1101 -

11010,01111 1011,011

1010010,01001 100011,0111

1111111 111 11 11

Inmultirea: Impartirea:

10110,1101 x 1001100111 1 101101101

11,011 101101101 11,011

101101101 00111110101

101101101 101101101

101101101 01000100011

101101101 101101101

100110 11111 00101101101

1111111111 101101101

1111 000000000

Sistemul de numeratie hexazecimal

Este important numai pentru simplificarea manipularii configuratiilor binare, asa cum se va arata in finalul acestei prezentari.

In sistemul hexazecimal x є → b = 16

Pentru exemplificare vom considera numarul:

2C9,D₁₆

Corespondentul in baza 10 este:

Deci:

2C9,D₁₆ = 713,8125₁₀

Transformarea numarului din baza 10 in baza 16 pentru:

a)      partea intreaga:

r = 9

44 : 16 = 2 r = 12 713₁₀ = 2C9₁₆

2 : 16 = 0 r = 2

b)      partea fractionara:

0,8125 x 16 = 13,0 i = 13 0,8125₁₀ = 0,D₁₆

Adunarea: Scaderea:

,D + 2E,D -

1A,78 B,6

,48 23,7

Inmultirea: Impartirea:

16,D x 4CF,E 16D

3,6

88E 088E

7 88E

4C,FE

Pentru usurarea calculului se foloseste tabla inmultirii hexazecimale:

Legatura dintre cele trei sisteme de numeratie poate fi inteleasa studiind tabelul urmator:

Se poate observa ca unui grup de 4 cifre binare ii corespunde unic o cifra hexazecimala.

Folosind aceasta corespondenta se poate transforma un numar binar in hexazecimal si invers in mod direct. Gruparea se face de la virgula catre stanga, pentru partea intreaga si de la virgula catre dreapta, pentru partea fractionara, cu eventuala adaugare de zerouri nesemnificative.

In exemplele prezentate mai sus s-a facut uz de aceasta regula in urmatoarele cazuri:

Stabilirea corespondentului in baza 10 a unui numar binar si a unuia hexazecimal

₂ = 2C9,D₁₆ ambele reprezentand numarul 713,8125₁₀

Adunarea a doua numere

11.0111,1101₂ = 37,D₁₆ si 1.1010,0111.1₂ = 1A,78₁₆

sumele sunt echivalente: 101.0010,0100.1₂ = 52,48₁₆

Scaderea a doua numere

10.1110,1101₂ = 2E,D₁₆ si 1011,011₂ = B,6₁₆

cu diferentele: 10.0011,0111₂ = 23,7₁₆

Inmultirea a doua numere

1.0110,1101₂ = 16,D₁₆ si 11,011₂ = 3,6₁₆

cu produsele: 100.1100, 11.111₂ = 4C,FE₁₆

Impartirea a doua numere

100.1100.111 1₂ = 4CF,E₁₆ si 1.0110.1101₂ = 16D₁₆

cu caturile: 11,011₂ = 3,6₁₆