REZOLVAREA PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINIARA

Rezolvarea problemelor si procesul de luare a deciziilor

In general, prin "problema" se intelege o dificultate care nu poate fi depasita in mod automat. Procesul de rezolvare a unei probleme poate fi definit ca procesul de identificare a diferentelor dintre starea actuala si starea dorita a unei afaceri si stabilirea actiunilor necesare pentru a rezolva aceasta diferenta. Pentru probleme destul de complicate care sa justifice timpul si efortul unei analize amanuntite, procesul de rezolvare a unei probleme implica parcurgerea urmatorilor pasi:

1. Identificarea si definirea problemei.
2. Determinarea unui set de solutii alternative.
3. Determinarea unui criteriu sau a unor criterii pentru evaluarea alternativelor.
4. Evaluarea alternativelor.
5. Alegerea unei alternative.
6. Implementarea alternativei alese.
7. Evaluarea rezultatelor si verificarea daca a fost selectata o solutie satisfacatoare.

Luarea deciziilor este un termen in general asociat cu primele cinci etape ale procesului de rezolvare a unei probleme. Astfel, prima etapa in luarea unei decizii este identificarea si definirea problemei, iar ultima etapa este alegerea unei alternative, care de fapt este actul de luare a deciziei (figura II.1.1).

Sa consideram urmatoarea situatie. Un absolvent de facultate isi cauta un serviciu. Ca urmare a cererilor depuse, absolventul primeste mai multe oferte situate in localitati diferite: Bucuresti, Timisoara, Constanta, Brasov. Alternativele pentru acest caz de luare a deciziei sunt:

1. Acceptarea postului din Bucuresti.
2. Acceptarea postului din Timisoara.
3. Acceptarea postului din Constanta.
4. Acceptarea postului din Brasov.

Urmatorul pas al procesului de luare a deciziei este stabilirea criteriilor ce vor fi folosite in evaluarea alternativelor. Problemele decizionale in care obiectivul este de a gasi cea mai buna solutie in raport cu un singur criteriu se numesc decizii cu un singur obiectiv. Desigur, un criteriu important este salariul, dar pot exista si alte criterii: posibilitatea de avansare, localitatea, posibilitatea de a avea o locuinta. Problemele decizionale in care decizia este luata in functie de mai multe criterii se numesc decizii multicriteriale.

Urmatorul pas este evaluarea fiecarei altenative in raport cu fiecare criteriu. Unele criterii sunt usor de evaluat (cum ar fi salariul), altele pot fi evaluate pe baza unor factori subiectivi (potentialul de avansare, localitatea). In general, la factorii subiectivi, pentru fiecare varianta se acorda un calificativ sau o nota. De foarte multe ori criteriile sunt contradictorii. O alternativa buna prin aplicarea unui criteriu poate sa nu fie la fel de buna prin aplicarea celorlalte criterii.

Pentru evaluarea primului tip de criterii se folosesc metodele cantitative, pentru cel de al doilea tip, metodele calitative.

In abordarea cantitativa analistul se va concentra asupra datelor asociate problemei si va dezvolta un model matematic care va descrie obiectivele, restrictiile sau alte relatii care exista in problema. Ulterior, prin utilizarea metodelor cantitative, analistul va face o alegere in functie de datele problemei.

Analiza calitativa se bazeaza mai mult pe intuitie si experienta. Daca managerul a avut experiente similare, problema este relativ simpla. Daca managerul nu are experienta in probleme similare sau problema este prea complexa pentru luarea deciziei finale se recomanda metodele cantitative.

Figura II.1.1 - Procesul de luare a deciziei

Dezvoltarea modelelor

Modelele sunt reprezentari ale unor obiecte sau situatii reale. Ele pot exista in mai multe forme. De exemplu, o macheta a unui avion este o reprezentare a unui avion adevarat. Similar, un camion de jucarie este modelul unui camion adevarat. Aceste doua exemple de modele sunt replici fizice ale obiectelor reale. Folosind terminologia adecvata ele sunt modele fizice sau modele iconice.

O alta categorie de modele include obiectele care exista in forma fizica dar nu au acelasi aspect ca si obiectul modelat. Acestea sunt modelele analogice. Cutia de viteze a unui automobil este un model analogic: pozitia acului indica viteza automobilului. Un termometru este un alt model analogic pentru reprezentarea temperaturii.

A treia categorie include acele modele care reprezinta o problema sub forma unui set de relatii matematice. Aceste modele se numesc modele matematice. De exemplu, profitul total obtinut prin vanzarea unui produs poate fi calculat inmultind profitul unitar cu cantitatea vanduta. Daca x reprezinta numarul de unitati vandute, P profitul total, atunci pentru un profit unitar de 1000 lei, modelul matematic care stabileste profitul total in functie de vanzari este P=1000*x.

Scopul utilizarii modelelor este realizarea unei interfete cu situatia reala prin studierea si analizarea modelului. De exemplu, un constructor de avioane poate testa un model fizic pentru a verifica caracteristicile de zbor ale unui avion adevarat. Similar, un model matematic poate fi utilizat pentru a analiza ce profit va fi obtinut daca un produs este vandut. Pentru cazul prezentat, daca vor fi vandute 30 de bucati (x=30), profitul obtinut va fi de 30*1000=30000 lei.

Utilizarea modelelor matematice reduce cheltuielile si timpul necesar pentru rezolvarea unei probleme reale. O macheta de avion se construieste mai repede si este mai ieftina decat un avion real. La fel, prin utilizarea modelului matematic, se poate calcula rapid profitul ce poate fi obtinut, fara ca managerul sa produca si sa vanda cele x unitati.

Modelele au si avantajul reducerii riscului asociat, prin experimentarea unei situatii reale. Pentru exemplele prezentate se pot evita greselile de proiectare, care ar putea duce la prabusirea avionului, sau se pot evita deciziile gresite care ar duce la pierderi de milioane de lei.

Concluziile obtinute depind de cat de bine reprezinta modelul situatia reala. Cu cat modelul se apropie mai mult de cazul real, cu atat rezultatele vor fi mai precise.

In continuare vor fi analizate numai modelele matematice. Principalele aspecte abordate se refera la utilizarea metodelor cantitative in procesul de luare a deciziei. Accentul este pus nu pe metodele propriu-zise, ci pe modul in care ele pot fi rezolvate utilizand foile de calcul.

Modele matematice

In majoritatea cazurilor in care se incearca rezolvarea unor probleme manageriale se constata ca modul in care este structurata problema conduce la obtinerea unui obiectiv specific (cum ar fi maximizarea unui profit sau minimizarea unui cost). De asemenea, se constata ca de multe ori exista o serie de restrictii sau constrangeri (cum ar fi capacitatea de productie). Succesul folosirii analizei cantitative depinde de acuratetea cu care obiectivul si restrictiile sunt exprimate sub forma de ecuatii si relatii matematice.

Expresia matematica care descrie obiectivul problemei se numeste functie obiectiv. De exemplu, ecuatia P=10*x poate fi functia obiectiv a unei firme care incearca sa maximizeze profitul.

Relatiile matematice care descriu constrangerile problemei se numesc restrictii. Daca de exemplu pentru a produce o unitate de produs sunt necesare 5 ore si intr-o saptamana se lucreaza doar 40 de ore, atunci relatia 50*x>=40 este o restrictie de timp. 5*x reprezinta timpul total necesar pentru a produce x unitati, care trebuie sa fie mai mic sau egal cu cele 40 de ore disponibile.

Problema de decizie este urmatoarea: Cate unitati trebuie produse intr-o saptamana pentru a maximiza profitul? Modelul matematic al acestei probleme este:

Restrictia x>=0 este necesara deoarece nu se poate fabrica un numar negativ de produse.

Metoda programarii liniare

Programarea liniara este o metoda de rezolvare a problemelor de luare a deciziei. Urmatoarele tipuri de aplicatii sunt specifice pentru rezolvarea lor cu ajutorul programarii liniare:

Un manager trebuie sa stabileasca pentru perioada urmatoare programul de productie si nivelul stocurilor astfel incat sa fie satisfacuta cererea de pe piata si in acelasi timp vrea sa minimizeze costul total de productie si costurile de stocare.

Un analist financiar trebuie sa selecteze pentru un portofoliu de investitii cea mai buna combinatie de actiuni si obligatiuni. Aceste investitii trebuie selectate astfel incat sa se maximizeze eficienta investitiei.

Un director de marketing trebuie sa stabileasca modul in care va distribui bugetul pentru publicitate in diverse medii: radio, televiziune, ziare si reviste, astfel incat efectul reclamei facute sa fie maxim.

O companie are depozite in cateva orase din tara si primeste comenzi de la clienti din diverse localitati. Se pune problema determinarii cantitatilor care vor fi trimise de la depozite spre clienti astfel incat costurile totale de transport sa fie minimizate.

Acestea sunt doar cateva exemple in care programarea liniara a fost utilizata cu succes, dar lista poate continua. Ce au in comun aceste exemple este faptul ca ele incearca sa minimizeze sau sa maximizeze ceva. In primul exemplu managerul vrea sa minimizeze costurile; in exemplul 2 analistul financiar vrea sa maximizeze eficienta investitiei; in exemplul 3 directorul de marketing trebuie sa maximizeze eficienta reclamei; in exemplul 4 trebuie minimizate cheltuielile de transport. In toate problemele de programare liniara obiectivul este maximizarea sau minimizarea unor cantitati.

Toate problemele de programare liniara au si o a doua proprietate: restrictiile care limiteaza gradul in care obiectivul poate fi realizat. In exemplul 1 productia este limitata de capacitatea de productie si in acelasi timp trebuie sa satisfaca cererea; in exemplul 2 analistul este limitat de suma disponibila si tipul actiunilor existente; in exemplul 3 directorul de marketing este constrans de bugetul fixat si de disponibilitatea mediilor de reclama; in exemplul 4 cantitatile ce pot fi transportate sunt limitate la disponibilul din fiecare depozit. Deci, restrictiile sunt o alta trasatura generala a fiecarei probleme de programare liniara.

Exemplu

Firma ABC produce o varietate de produse chimice. In cadrul unui proces de productie, pentru a produce doua produse (un aditiv si un solvent) sunt necesare trei tipuri de materii prime. Aditivul este vandut fabricilor de ulei si este folosit la producerea a diverse tipuri de combustibil. Solventul este vandut combinatelor chimice si este utilizat la fabricarea detergentilor. Pentru a fabrica aditivul si solventul cele trei materii prime sunt amestecate in proportiile indicate in tabelul II.1.1.

Tabelul II.1.1 - Necesarul de materii prime pentru obtinerea unei tone de adidiv/solvent

Pentru a obtine o tona de aditiv se amesteca ²/₅ tone de material 1si ³/₅ tone de material 3. O tona de solvent poate fi obtinuta prin amestecarea a ½ tone de material 1, ¹/₅ tone de material 2 si ³/₁₀ tone de material 3.

Productia este limitata de disponibilitatea celor trei materii prime. In prezent firma dispune de 20 tone de material 1, 5 tone de material 2 si 21 tone de material 3. Prin natura procesului de productie, materiile prime care nu sunt utilizate in procesul de productie curent sunt considerate deseuri.

Fiecare tona de aditiv aduce un profit de 40$ , iar fiecare tona de solvent aduce un profit de 30$.

Managementul firmei ABC, dupa analiza cererii de pe piata a decis ca preturile stabilite vor determina vanzarea intregii cantitatii produse (aditiv si sovent).

Formularea problemei

Formularea problemei sau modelarea reprezinta procesul de transpunere a problemei intr-un model matematic. Modelarea problemei este o arta care poate fi stapanita prin practica si experienta. Desi fiecare problema are caracteristici unice, multe probleme pot avea trasaturi comune. Ca urmare, pentru incepatori pot fi utile o serie de reguli ce pot fi aplicate pentru formularea unui model, reguli ce vor fi ilustrate in dezvoltarea modelului matematic pentru firma ABC.

Acest exemplu a fost selectat pentru a introduce metoda programarii liniare pentru ca este usor de inteles. In practica apar probleme mai complicate, care necesita o analiza mai profunda pentru a identifica toate aspectele care trebuie incluse in model.

Primul pas este identificarea obiectivului si a restrictiilor. In cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total. Restrictiile se refera la cantitatile de materii prime disponibile, care limiteaza cantitatile de aditiv si solvent ce pot fi produse.

Restrictia 1: cantitatea de material 1 utilizata trebuie sa fie mai mica sau egala cu cantitatea de material 1 disponibila.

Restrictia 2: cantitatea de material 2 utilizata trebuie sa fie mai mica sau egala cu cantitatea de material 2 disponibila.

Restrictia 3: cantitatea de material 3 utilizata trebuie sa fie mai mica sau egala cu cantitatea de material 3 disponibila.

Urmatorul pas este definirea variabilelor de decizie. Cele doua variabile de decizie sunt: numarul de tone de aditiv produse si numarul de tone de solvent produse. Notam cu:

A: cantitatea de aditiv produsa (tone)

S: cantitatea de solvent produsa (tone)

A si S sunt variabile de decizie.

Se scrie obiectivul utilizand variabilele de decizie. Profitul total provine din doua surse: vanzarile de aditiv si vanzarile de solvent. Daca profitul obtinut prin vanzarea unei tone de aditiv este de 40$, atunci prin vanzarea a A tone profitul va fi 40*A. La fel, daca profitul obtinut prin vanzarea unei tone de solvent este de 30$, atunci prin vanzarea a S tone profitul va fi 40*S.

Profitul total = 40A + 30S

Expresia matematica a obiectivului se numeste functie obiectiv. In cazul nostru obiectivul este maximizarea profitului total, deci functia obiectiv va fi:

Max ( 40A + 30S )

Se scriu restrictiile utilizand variabilele de decizie.

Restrictia 1. Deoarece o tona de aditiv este produsa folosind ²/₅ tone de material 1, cantitatea de material 1 necesara pentru a produce A tone de aditiv este ²/₅ * A. Pentru fiecare tona de solvent se folosesc ½ tone de material 1, deci cantitatea de material 1 necesara pentru a produce S tone de solvent este ½ * S. Astfel, cantitatea totala de material 1 necesara este ²/₅ * A + ½ * S. Cantitatea disponibila de material 1 este de 20 tone, deci transpunerea sub forma de ecuatie a restrictiei 1 este:

²/₅ * A + ½ * S > =20

Restrictia 2. Deoarece la fabricarea aditivului nu este necesar materialul 1 se va lua in lua in calcul doar cantitatea de material 2 utilizata la fabricarea solventului. Pentru fiecare tona de solvent se folosesc ¹/₅ tone de material 2, deci cantitatea de material 2 necesara pentru a produce S tone de solvent este ¹/₅ * S. Astfel, cantitatea totala de material 2 necesara este ¹/₅ * S. Cantitatea disponibila de material 2 este de 5 tone, deci transpunerea sub forma de ecuatie a restrictiei 2 este:

¹/₅ * S >=5

Restrictia 3. Deoarece o tona de aditiv este produsa folosind ³/₅ tone de material 3, cantitatea de material 3 necesara pentru a produce A tone de aditiv este ³/₅ * A. Pentru fiecare tona de solvent se folosesc ³/₁₀ tone de material 3, deci cantitatea de material 3 necesara pentru a produce S tone de solvent este ³/₁₀ * S. Astfel, cantitatea totala de material 3 necesara este ³/₅ * A + ³/₁₀ * S. Cantitatea disponibila de material 3 este de 21 tone, deci transpunerea sub forma de ecuatie a restrictiei 3 este:

³/₅ * A + ³/₁₀ * S >= 21

Pana acum am specificat relatiile matematice referitoare la constrangerile asociate celor trei materii prime. Mai trebuie oare alte restrictii? Poate firma ABC sa produca un numar negativ de tone de aditiv si solvent? Raspunsul este evident nu. Deci pentru ca variabilele de decizie sa nu aiba valori negative mai sunt necesare doua restrictii:

A >=0

S >=0

Modelul matematic al problemei este acum complet. Atat obiectivul cat si restrictiile au fost transformate intr-un set de relatii matematice, set de relatii definit ca model matematic. Modelul matematic complet al problemei este:

Max ( 40A + 30S )

²/₅ * A + ½ * S>=20

¹/₅ * S>=5

³/₅ * A + ³/₁₀ * S>=21

A>=0

S>=0

Pentru rezolvarea problemei trebuie gasita combinatia optima (de A si S) care sa satisfaca toate restrictiile si in acelasi timp sa conduca la o valoare a functiei obiectiv care sa fie mai mare sau egala decat orice valoare calculata cu o alta solutie posibila.

Daca functia obiectiv si restrictiile sunt functii liniare in raport cu variabilele de decizie (variabilele de decizie apar numai la puterea I), atunci avem o problema de programare liniara.

Pentru rezolvarea problemelor de programare liniara exista mai multe metode analitice: metoda Simplex, metoda grafica. In continuare vom prezenta modul in care pot fi rezolvate problemele de programare liniara utilizand foile de calcul (Microsoft Excel).

Utilizarea foilor de calcul pentru rezolvarea problemelor de programare liniara

Foile de calcul sunt instrumente utilizate frecvent pentru prelucrarea datelor in multe organizatii. Deoarece modelele matematice necesita de multe ori date care deja exista in alte foi de calcul, este important a intelege modul in care o problema de programare liniara poate fi rezolvata cu ajutorul foilor de calcul. In continuare vom ilustra modul in care se poate rezolva problema precedenta folosind foile de calcul. In acest scop va fi folosit programul de calcul tabelar Microsoft Excel.

Un model de programare liniara transpus intr-o foaie de calcul va contine urmatoarele elemente:

Celulele care contin datele problemei.

Celulele pentru variabilele de decizie.

O celula care contine formula pentru calcularea functiei obiectiv.

Celulele care contin formulele pentru calcularea partii stangi a restrictiilor.

Celulele care contin valorile partii drepte a restrictiilor.

Transpunerea problemei intr-o foaie de calcul presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

Introducerea datelor problemei in foaia de calcul.

Definirea celulelor care vor contine variabilele de decizie.

Definirea celulei care contine formula pentru functia obiectiv.

Definirea celulelor care contin formulele din partea stanga a restictiilor.

Definirea celulelor care contin valorile din partea dreapta a restrictiilor.

In figura II.1.2 este prezentata solutia pentru problema prezentata anterior.

Figura II.1.2 - Foaia de calcul utilizata pentru rezolvarea problemei

Remarcati ca foaia de calcul este alcatuita din doua parti: o parte contine datele problemei si alta contine modelul. Un avantaj al separarii datelor de model este ca se poate studia efectul modificarii marimilor de intrare asupra modelului facand modificari doar in zona care contine date. Un alt avantaj este ca analistul poate dezvolta modelul independent de datele disponibile.

In continuare este prezentat fiecare pas al procedurii:

Pasul 1: Introducerea datelor problemei. Datele problemei apar in partea superioara a foii de calcul. Fractiile care reprezinta compozitia pentru obtinerea unei tone de solvent si aditiv au fost convertite in valori zecimale si introduse in domeniul B5:C7. Valoarea 0.4 din celula B5 arata ca fiecare tona de aditiv produsa utilizeaza 0.4 tone de material 1, valoarea 0.5 din celula C5 arata ca fiecare tona de solvent produsa utilizeaza 0.5 tone de material 1, etc. Celulele D5:D7 contin cantitatea disponibila din fiecare material, iar celulele B8 si C8 contin profitul obtinut prin vanzarea unei tone de aditiv (40$), respectiv solvent (30$).

Pasul 2: Definirea celulelor care vor contine variabilele de decizie. Celulele B15 si C15 contin numarul de tone de aditiv si solvent produse.

Pasul 3: Definirea celulei care contine formula functiei obiectiv. Celula B17 contine formula pentru calcularea functiei obiectiv: = B8*B15+ C8*C15 (profiul unitar pe tona de aditiv * productia de aditiv + profiul unitar pe tona de solvent * productia de solvent).

Pasul 4: Definirea celulelor care contin formulele din partea stanga a restrictiilor. Celulele B20:B22 contin formulele care indica cum se calculeaza partea stanga a restrictiilor. Pentru materialul 1, in celula B20 se introduce formula =B5*B15+C5*C15 (cantitatea de aditiv produsa*cantitatea de material 1 pentru a produce o tona de aditv + cantitatea de solvent produsa*cantitatea de material 1 pentru a produce o tona de solvent). In mod similar se vor introduce in celulele B21 si B22 formulele pentru materialele 2 si 3.

Pasul 5: Definirea celulelor care contin valorile din partea dreapta a restrictiilor. In problema analizata valorile din partea dreapta a restrictiilor reprezinta cantitatile de material disponibile, valori care deja sunt introduse in domeniul D5:D7. Pentru materialul 1, in celula D20 se introduce formla =D5, pentru matrialul 2, in celula D21 se introduce formula =D6, iar pentru materialul 3 in celula D22 se introduce formula =D7.

Un avantaj al folosirii foilor de calcul este ca daca una din valorile din partea care contine datele problemei se modifica valorile din model se modifica automat..

Pentru a determina solutia optima a problemei se va folosi Solver-ul din Excel. Pasii urmatori arata modul in care poate fi folosit Solver-ul pentru obtinerea solutiei optime pentru o problema de programare liniara.

Se selecteaza meniul Tools.

Se aplica comanda Solver.

Caseta Solver Parameters se completeaza in modul urmator:

Set Target Cell: B17

Se selecteaza optiunea Max.

By Changing Cells: B15:C15.

Se selecteaza butonul Add.

Caseta Add Constraint se completeaza astfel:

Cell Reference: B20:B22

Se selecteaza operatorul =

Constraint: D20:D22

Se selecteaza butonul OK.

Cand caseta Solver Parameters apare din nou se selecteaza butonul Options.

In caseta Solver Options se selecteaza:

Assume Linear Model.

Assume Non- Negative.

Butonul Ok.

Cand caseta Solver Parameters apare din nou se selecteaza butonul Solve.

In caseta Solver Results se selecteaza Keep Solver Solution. Se selecteaza butonul Ok pentru a genera solutia optima afisata in celulele B15, C15.

Solutia optima este 25 tone de aditiv si 20 tone de solvent.

Analiza de senzitivitate si interpretarea rezultatelor

Problemele din lumea reala au loc intr-un mediu in continua schimbare. Pretul materiilor prime, salariile, cererea, oferta, valoarea actiunilor, etc. sunt valori care pot varia de la un moment la altul. Daca o problema de programare liniara este utilizata intr-un astfel de mediu, ne putem astepta ca anumiti coeficienti ai problemei sa se modifice in timp. Deci va trebui sa determinam cum afecteaza aceste schimbari solutia optima a problemei de programare liniara initiala.

Cu analiza de senzitivitate se poate observa cum este afectata solutia optima de modificari ale coefiecientilor dintr-o problema de programare liniara. Utilizand analiza de senzitivitate se poate raspunde la intrebari de tipul:

Cum este afectata solutia optima de o modificare a unui coeficient din functia obiectiv?

Cum este afectata solutia optima de o modificare a valorii din partea dreapta a restrictiilor?

Deoarece obiectul analizei de senzitivitate este modul in care modificarile specificate afecteaza solutia optima analiza nu poate incepe pana cand nu se obtine solutia problemei de programare liniara initiala. Din aceasta cauza analiza de senzitivitate este de multe ori numita si analiza postoptimala.

Revenind la problema prezentata anterior:

Max ( 40A + 30S )

²/₅ * A + ½ * S>=20 Materialul 1

¹/₅ * S>=5 Materialul 2

³/₅ * A + ³/₁₀ * S>=21 Materialul 3

A>=0

S>=0

Solutia optima A=25 tone de aditiv si S=20 tone de solvent s-a obtinut pentru cazul in care s-a considerat ca profitul pe tona pentru aditiv este 40$, iar profitul pe tona pentru solvent este de 30$.

Presupunem ca datorita unor factori exteriori are loc o reducere a preturilor, ceea ce determina o scadere a profitului de la 30$ pe tona la 25$ pe tona pentru solvent. In acest caz programul de productie de 25 de tone de aditiv si 20 de tone de solvent este in continuare cel mai bun? In mod normal ar trebui sa rezolvam o noua problema de programare liniara cu functia obiectiv modificata 40*A+25*S. Acest lucru nu este necesar, deoarece cu analiza de senzitivitate putem determina in ce limite poate varia profitul pe tona de aditiv fara ca solutia optima sa se modifice. Daca analiza de senzitivitate arata ca 25 tone de aditiv si 20 de tone de solvent ramane solutia optima atata timp profitul pe tona de solvent variaza intre 20$ si 40$, agentul decizional poate considera ca estimarea de 30$/tona este buna. Daca analiza de senzitivitate arata ca 25 de tone de aditiv si 20 de tone de solvent ramane solutia optima atata timp profitul pe tona de solvent variaza intre 29.90$ si 32$, managementul va trebui sa reanalizeze acuratetea estimarii de 30$/tona de solvent.

Domeniul de optimalitate pentru fiecare coeficient al functiei obiectiv este domeniul de valori in care acest coeficient poate varia fara a modifica solutia optima. Managerul va trebui sa analizeze cu atentie acei coeficienti din functia obiectiv care au un domeniu de optimalitate ingust, deoarece o mica modificare a acestora poate modifica solutia optima.

Un alt aspect al analizei de senzitivitate se refera la modificarile valorilor din partea dreapta a restrictiilor. Referindu-ne la aceeasi problema pentru solutia optima sunt utilizate in intregime stocurile de material 1 si 3. Ce se intampla cu solutia optima si profitul total daca se maresc cantitatile disponibile de material 1 si 3?

Cu analiza de senzitivitate se poate determina cu cat va creste profitul total daca cantitatea disponibila de material 1 sau 3 creste cu o tona.

Pentru ca programul Excel sa furnizeze un raport pentru realizarea analizei de senzitivitate, cand se rezolva problema cu Solver-ul, in fereastra de dialog Solver Results, sectiunea Reports, se selecteaza Sensitivity (vezi lectia

Interpretarea raportului Excel pentru analiza de senzitivitate

Raportul generat de Excel are structura prezentata in figura II.1.3.

Figura II.1.3 - Raportul de analiza de senzitivitate

Raportul are doua sectiuni Adjustable Cells si Constraints. In sectiunea Adjustable Cells se analizeaza coeficientii variabilelor de decizie din functia obiectiv, iar in sectiunea Constraints sunt analizate valorile din partea dreapta a restrictiilor.

Sectiunea Adjustable Cells

In coloana Cell sunt afisate celulele care contin coeficientii variabilelor de decizie din functia obiectiv, iar in coloana Name sunt afisate numele acestor celule.

Coloana Final Value contine valorile optime pentru variabilele de decizie. Pentru problema analizata solutia este 25 de tone de aditiv si 20 tone de solvent.

Coloana Reduced Cost. Pentru fiecare variabila de decizie, valoarea absoluta din Reduced Cost arata cat de mult trebuie sa creasca (pentru problemele de maximizare) sau sa scada (pentru problemele de minimizare) coeficientul variabilei de decizie din functia obiectiv astfel incat variabila de decizie respectiva sa aiba valoare pozitiva. Daca o variabila de decizie este pozitiva in solutia optima costul redus este 0. Pentru problema analizata ambele variabile de decizie au valori pozitive si costurile reduse sunt 0. Daca de exemplu pentru cantitatea de solvent s-ar fi obtinut 0 in coloana Final Value si -12.5 in coloana Reduced Cost, interpretarea ar fi urmatoarea: profitul pe tona de solvent ar trebui sa creasca la 30+12.50=42.50 pentru ca in solutia optima variabila de decizie atasata cantitatii de solvent sa aiba o valoare pozitiva. Altfel spus, pentru a produce solvent ar trebui ca profitul pe tona de solvent sa fie 42.50$.

Coloana Objective Coefficient contine valorile coeficientilor variabilelor de decizie din functia obiectiv, iar coloanele Allowable Increase si Allowable Decrease contin valorile pe baza carora se poate calcula domeniu de optimalitate pentru coeficientul respectiv (cresterea si micsorarea permisa). De exemplu, pentru aditiv:

Deci daca profitul pe tona de aditiv variaza intre 24 si 60, solutia optima de 25 tone de aditiv si 20 tone de solvent ramane neschimbata.

Pentru solvent:

Deci daca profitul pe tona de solvent variaza intre 20 si 50, solutia optima de 25 tone de aditiv si 20 tone de solvent ramane neschimbata.

Sectiunea Constraints

Coloana Cell indica celulele care contin valorile din partea dreapta a restrictiilor, iar coloana Name contine numele acestor celule.

Valorile din coloana Final Value sunt valorile restrictiilor (partea stanga) calculate pentru solutia optima. Pentru problema analizata valorile din coloana Final Value indica cantitatile de material 1, 2 si 3 necesare pentru a produce combinatia optima de 25 de tone de aditiv si 20 tone de solvent. Deci pentru solutia optima sunt necesare 20 tone de material 1, 4 tone de material 2 si 21 tone de material 3.

Valorile din coloana Constraint RH sunt valorile initiale ale problemei: 20 tone de material 1, 5 tone de material 2, 21 tone de material 3 (cantitatile disponibile). Pentru fiecare restrictie abaterea reprezinta diferenta dintre valoarea din coloana Constraint RH si valoarea din Final Value. Abaterea asociata materialului 1 este 20-20=0 tone, pentru materialul 2: 5-4=1 tona iar pentru materialul 3: 21-21=0 tone. Deci materialele 1 si 3 sunt utilizate in totalitate, iar din materialul 2 ramane o tona. Concluzia este ca daca ar exista cantitati mai mari de material 1 sau 3 s-ar putea obtine un profit total mai mare. Modul in care modificarea acestor cantitati influenteaza profitul este indicat in coloana Shadow Price (preturi umbra).

Preturile umbra arata cu cat se modifica (crestere/micsorare) valoarea functiei obiectiv la cresterea/micsorarea cu o unitate a valorii din partea dreapta a unei restrictii.

In cazul nostru, pretul umbra de 33.33 pentru materialul 1 arata ca o tona suplimentara de material 1 va creste profitul cu 33.33$. Deci, daca cantitatea disponibila de material 1 ar creste de la 20 la 21, ceilalti coeficienti ramanand constanti, profitul total ar creste cu 33.33$, ceea ce inseamna 1600+33.33=1633.33$.

Similar, daca cantitatea disponibila de material 3 ar creste de la 21 la 22, ceilalti coeficienti ramanand constanti, profitul total ar creste cu 44.44$, ceea ce inseamna 1600+44.44=1644.44$.

Valoarea 0 a pretului umbra pentru materialul 2 arata ca daca cantitatea disponibila de material 2 ar creste, valoarea functiei obiectiv (profitul total) nu s-ar modifica.

Ultimele doua coloane Allowable Increase si Allowable Decrease determina domeniul in care poate varia termenul din dreapta al unei restrictii fara a se modifica preturile umbra. De exemplu, considerand restrictia pentru materialul 1, termenul din partea dreapta are valoarea 20, cresterea permisa este 1.5 si micsorarea permisa este de 6. Stim ca cu un pret umbra de 33.33$ , o tona in plus de material 1 va creste valoarea functiei obiectiv (profitul) cu 33.33$, iar reducerea cantitatii de material cu o tona va micsora valoarea functiei obiectiv cu 33.33$. Valorile din Allowable Increase si Allowable Decrease arata ca pretul umbra de 33.33$ este valabil pentru cresteri de material 1 de pana la 1.5 tone si reduceri de pana la 6 tone.

Domeniul de valori in care pretul umbra este aplicabil se numeste domeniu de fezabilitate. Deci pentru materialul 1 domeniul de fezabilitate este intre 20-6=14 si 20+1.5=21.5 tone. Pentru modificari in afara domeniului de fezabilitate problema trebuie rezolvata din nou pentru a gasi noul pret umbra.

Pentru restrictia materialului 2 cresterea permisa este 1E+30, deci 10³⁰, un numar foarte mare. Putem interpreta aceasta valoare ca o evidenta a faptului ca nu exista limita superioara pentru domeniul de fezabilitate a materialului 2. Cu alte cuvinte, oricat material 2 ar fi disponibil, valoarea functiei obiectiv nu s-ar modifica. Descresterea permisa (1) arata ca limita minima a domeniului de fezabilitate pentru materialul 2 este 5-1=4 tone. Deci daca pentru productie ar fi disponibile 4.5 tone de material 2, valoarea functiei obiectiv nu s-ar modifica. Daca sunt disponibile mai putin de 4 tone va trebui sa rezolvam problema din nou pentru a afla noua solutie si preturile umbra.

Pentru materialul 3, domeniul de fezabilitate este intre 21-2.25=18.75 tone si 21+9=30 tone. Deci pretul umbra de 44.44 este aplicabil daca termenul din partea dreapta a restrictiei (cantitatea de material disponibil) ia valori intre 18.75 tone si 30 tone.

Informatiile din raportul de analiza de senzitivitate se bazeaza pe presupunerea ca doar un coeficient se modifica toti ceilalti ramanand neschimbati.