CONDUCTIA STATIONARA BIDIMENSIONALA A CALDURII

Conductia stationara Bidimensionala a caldurii

Un camp termic se numeste stationar daca el nu variaza in timp. De obicei, un astfel de camp termic reprezinta situatia de echilibru a unui sistem solicitat termic. Exemplele practice in care acest regim este intalnit sunt nenumarate, un astefl de regim termic succedand un regim tranzitoriu.

1. Bara cu sectiunea dreptunghiulara solicitata termic

Este cazul unei bare foarte lungi, cu sectiunea transversala dreptunghiulara (Fig.1a). Neglijand pirderile de caldura in lungul peretilor barei si la capetele acesteia, putem reduce problema de studiu la o problema bidimensionala. Domeniul de studiu este cel din Fig. 1a (sectiunea transversala a barei) iar ecuatia transferului termic se scrie:

. (1)

Latura din stanga a domeniului este mentinuta la temperatura T_b. Celelalte laturi sunt mentinute la temperatura mediului ambient, T_∞. Deci, conditiile de contur sunt:

; (2a)

; (2b)

; (2c)

. (2d)

Se cauta o solutie analitica a problemei. Rezolvarea prezinta trei pasi, pasi ce se regasesc in procesul de calcul al tuturor solutiilor analitice ale campurilor termice stationare.

Pasul 1: Stabilirea directiei conditiilor de contur omogene.

Facand schimbarea de variabila , ecuatia (1) se va scrie in forma

. (3)

Conditiile de contur devin:

(4)

unde .

Definitie: O conditie de contur se numeste omogena daca este de unul din urmatoarele tipuri:

Se observa ca pe directia y, conditiile de contur sunt omogene (4c si 4d) si ,deci, y este directia conditiilor de contur omogene

Stabilirea directiei pentru care conditiile de contur sunt omogene are un rol crucial in rezolvarea problemelor de acest tip. Pe directia respectiva, solutia trebuie sa fie o functie periodica de tipul sinus, cosinus sau o combinatie a acestor functii.

Pasul 2: Separarea variabilelor.

Separarea variabilelor, x si y, in ecuatia de transfer de caldura se realizeaza considerand ca este produsul a doua functii: X(x) si Y(y):

. (5)

Substituind ecuatia (5) in ecuatia (3):

,

si impartind prin XY , se obtine:

(6)

Primul termen din ecuatia (6) este o functie de x, al doilea termen este o functie de y. Ambii termeni pot satisface ecuatia (6) pentru orice valori ale lui x si y din domeniul de studiu numai daca acestia sunt termeni constanti.

. (7a)

(7b)

Semnul '-' va corespunde directiei conditiilor de contur omogene stabilite la pasul 1. Solutiile ecuatiilor (7) sunt:

Observatie:

;

;

;

.

Atat sinus cat si cosinus sunt solutii ale ecuatiei (7a); iar sinh si cosh sunt solutii ale ecuatiei (7b).

Rezulta

. (8)

Pentru a gasi necunoscutele C₁, C₂, C₃, C₄ si , se vor utiliza conditiile de contur (4a4d).

Se foloseste mai intai conditia de contur (4b) care impune ca

. (9)

In continuare, ecuatia de contur (4c) impune:

. Deci, C₂=0.

In acest punct, al rezolvarii, solutia (8) devine:

;

unde . In acest punct, solutia devine:

. (10)

Conditia de contur (4d) cere ca

. (11)

In concluzie,

Se observa ca, problema are o infinitate de solutii, cunoscute sub denumirea de valori proprii. Solutia cautata va fi suma tuturor acestor solutii, fiecare dintre ele participand la solutia finala intr-o proportie M_n ce urmeaza a fi determinata. Astfel

. (12)

Pasul 3: Conditia de ortogonalitate.

Pentru aflarea coeficientilor M_n, se aplica conditia (4a) ecuatiei (12):

. (13)

In continuare, se foloseste proprietatea de ortogonalitate a functiei sinus,

(14)

Multiplicand ecuatia (13) cu si integrand ambele parti ale ecuatiei de la y = 0 la y = H, se obtine

.

Integrand in partea stanga a ecuatiei :

, (15)

si tinand seama ca si

, (16)

solutia finala devine

. (17)

2. Campul termic stationar bidimensional pentru placa din figura alaturata

Exemplul supus examinarii este prezentat in Fig. 2. Este cazul unei placi care are grosimea (H) mult mai mica decat celelalte doua dimensiuni.

Ea este racita prin convectie la granitele de sus si jos, este mentinuta la temperatura T_∞ la granita din drealta si este mentinuta la temperatura T_b la granita din stanga.

Rezolvarea ecuatiei transferului de caldura pentru acest caz implica aceeasi pasi ca in cazul tratat anterior:

Identificarea directiei conditiilor de contur omogene;

Separarea variabilelor;

Conditia de ortogonalitate.

Daca ecuatia transferului termic este cea prezentata de ecuatia (18),

(18)

conditiile de contur sunt:

(19)

Transformarea determina transformarea ecuatiei de transfer termic

(20)

Si a conditiilor de contur (21a-d):

(21)

Pasul 1: Se observa ca, y este directia conditiilor de contur omogene.

Pasul 2: Separarea variabilelor, x si y, in ecuatia de transfer de caldura se realizeaza considerand ca este produsul a doua functii: X(x) si Y(y):

. (22)

Substituind ecuatia (22) in ecuatia (20),

,

si impartind prin XY , se obtine:

(23)

Primul termen din ecuatia (23) este o functie de x, al doilea termen este o functie de y. Ambii termeni pot satisface ecuatia (23) pentru orice valori ale lui x si y din domeniul de studiu numai daca acestia sunt termeni constanti.

. (24a)

(24b)

Semnul '-' va corespunde directiei conditiilor de contur omogene stabilite la pasul 1. Solutiile ecuatiilor (24) sunt:

Observatie:

;

;

;

.

Atat sin cat si cos sunt solutii ale ecuatiei (24a); iar si sunt solutii ale ecuatiei (24b).

Observatie: solutia unei ecuatii de tipul (24a) se considera o combinatie de functii exponential daca domeniul este (semi)infinit si o combinatie de cosinus si sinus hiperbolic (cosh si sinh) daca domeniul este finit, vezi ecuatia (7a)).

Deci, ecuatia transferului de caldura are urmatoarea solutie,

. (25)

Necunoscutele C₁, C₂, C₃, C₄ si λ se vor afla din aplicarea conditiilor de contur (21). Conditia de contur 21b implica

,

de unde deducem ca

C₁=0. (26)

Conditia de contur (21c) impune ca

.

Deducem ca

C₄=0 (27)

Expresia campului termic (25) devine

.

Sau, facand notatia ,

, (28)

Inlocuind ecuatia (28) in conditia de contur (21d), se stabileste ca,

↔

↔

↔

.

Notam: si ecuatia de mai sus devine:

, (29)

unde poarta denumirea de 'numarul lui Biot' si reprezinta un coeficient de transfer termic adimensional. Aceasta arata modul in care are loc contactul termic dintre corpul studiat si mediul inconjurator. In formula enuntata, acest numar este calculat pentru jumatate din grosimea benzii. Ecuatia (29) are o infinitate de solutii, a_n, astfel incat

. (30)

Pasul 3: Conditia de ortogonalitate

Pentru a afla coeficientii M_n, se foloseste conditia de contur (21a):

sau

. (31)

Se inmultesc ambii termeni ai ecuatiei (31) cu si se integreaza de la y=0 la y=H/2:

(32)

Folosind proprietatea de ortogonalitate a functiei cosinus:

, (33)

ecuatia (32) devine:

(34)

Dar

(35)

iar

(36)

Inlociund (35) si (36) in (34):

↔

→

(37)

Inluciun (37) in (30), campul termic este dat de

. (38)